SISTEMAS DE COORDENADAS

El tiempo cósmico (también conocido como tiempo desde el Big Bang ) es la coordenada de tiempocomúnmente utilizada en los modelos de Big Bang de la cosmología física . Se define para universos homogéneos y en expansión de la siguiente manera: elija una coordenada de tiempo para que el universo tenga la misma densidad en todas partes en cada momento en el tiempo (el hecho de que esto sea posible significa que el universo es, por definición, homogéneo). Mida el paso del tiempo utilizando relojes que se mueven con el flujo de Hubble. Elija la singularidad del big bang como el origen de la coordenada de tiempo. También se estima que el universo tiene una antigüedad de 13,8 mil millones de años (referencia- https://www.space.com/24054-how-old-is-the-universe.html ).

Tiempo cósmico $${\ displaystyle t}^[1] [2] es una medida del tiempo por un reloj físico con velocidad peculiar ceroen ausencia de densidades excesivas / insuficientes de materia (para evitar la dilatación del tiempo debido a efectos relativistas o confusiones causadas por la expansión del universo). A diferencia de otras medidas de tiempo, como la temperatura, el desplazamiento al rojo, el horizonte de partículas o el horizonte de Hubble, el tiempo cósmico (similar y complementario a las coordenadas comoving) es ciego a la expansión del universo.

Hay dos formas principales para establecer un punto de referencia para el tiempo cósmico. La forma más trivial es tomar el tiempo presente como el punto de referencia cósmico (a veces denominado tiempo de espera) o, como alternativa, tomar el Big Bang como$${\ displaystyle t = 0}(También referido como edad del universo). El big bang no necesariamente tiene que corresponder a un evento físico, sino que se refiere al punto en el cual el factor de escala desaparecería para un modelo cosmológico estándar como el ΛCDM. Por ejemplo, en el caso de la inflación, es decir, una cosmología no estándar, el momento hipotético del big bang todavía se determina utilizando los modelos cosmológicos de referencia que pueden coincidir con el final de la época inflacionaria. Para los modelos inflacionarios, no es posible establecer un origen del tiempo bien definido antes del Big Bang, ya que el universo no requiere un evento de inicio en tales modelos. Para fines técnicos,

El tiempo cósmico es la coordenada de tiempo estándar para especificar las soluciones de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker de las ecuaciones de Einstein .

coordenadas curvilíneas son un sistema de coordenadas para el espacio euclidiano en el que las líneas de coordenadaspueden ser curvas. Los sistemas de coordenadas curvilíneas de uso común incluyen: sistemas de coordenadas rectangulares, esféricos y cilíndricos. Estas coordenadas pueden derivarse de un conjunto de coordenadas cartesianas utilizando una transformación que es invertible localmente (un mapa uno a uno) en cada punto. Esto significa que uno puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesiano a sus coordenadas curvilíneas y viceversa. El nombre de coordenadas curvilíneas , acuñado por el matemático francés Lamé., se deriva del hecho de que las superficiesde coordenadas de los sistemas curvilíneos son curvas.

Los ejemplos conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclidiano tridimensional ( R ³ ) son coordenadas polares cartesianas , cilíndricas y esféricas . Una superficie de coordenadas cartesianas en este espacio es un plano de coordenadas ; por ejemplo, z = 0 define el plano x - y . En el mismo espacio, la superficie de coordenadas r = 1 en coordenadas polares esféricas es la superficie de una esfera unitaria , que es curva. El formalismo de las coordenadas curvilíneas proporciona una descripción unificada y general de los sistemas de coordenadas estándar.

Las coordenadas curvilíneas se utilizan a menudo para definir la ubicación o distribución de cantidades físicas que pueden ser, por ejemplo, escalares , vectores o tensores . Las expresiones matemáticas que involucran estas cantidades en el cálculo vectorial y el análisis tensorial (como el gradiente , la divergencia , el rizo y el laplaciano ) se pueden transformar de un sistema de coordenadas a otro, de acuerdo con las reglas de transformación para los escalares, vectores y tensores. Dichas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneas.

Dependiendo de la aplicación, un sistema de coordenadas curvilíneas puede ser más fácil de usar que el sistema de coordenadas cartesiano. Por ejemplo, un problema físico con simetría esférica definida en R ³ (por ejemplo, movimiento de partículas bajo la influencia de fuerzas centrales ) suele ser más fácil de resolver en coordenadas polares esféricas que en coordenadas cartesianas. Ecuaciones con condiciones de contorno.que seguir las superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneas particular puede ser más fácil de resolver en ese sistema. Por ejemplo, uno describiría el movimiento de una partícula en una caja rectangular en coordenadas cartesianas, mientras que uno preferiría coordenadas esféricas para una partícula en una esfera. Las coordenadas esféricas son uno de los sistemas de coordenadas curvilíneas más utilizados en campos como las ciencias de la Tierra , la cartografía y la física (en particular, la mecánica cuántica , la relatividad ) y la ingeniería .

Coordenadas curvilíneas (arriba), afines (derecha) ycartesianas (izquierda) en el espacio bidimensional

Coordenadas curvilíneas ortogonales en 3 dimensiones [ editar ]

Coordenadas, base, y los vectores [ editar ]

Fig. 1 - Coordinar superficies, líneas de coordenadas y ejes de coordenadas de coordenadas curvilíneas generales.

Fig. 2 - Coordinar superficies, coordinar líneas y coordinar ejes de coordenadas esféricas. Superficies: r - esferas, θ - conos, - semiplanos; Líneas: r - vigas rectas, θ - semicírculos verticales, φ - círculos horizontales; Ejes: r - vigas rectas, - tangentes a semicírculos verticales, φ - tangentes a círculos horizontales

Por ahora, consideremos el espacio 3-D . Un punto P en el espacio 3d (o su vector de posición r ) se puede definir usando coordenadas cartesianas ( x , y , z ) [escrito de manera equivalente ( x ¹ , x ² , x ³)], por$${\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {e} _ {x} + y \ mathbf {e} _ {y} + z \ mathbf {e} _ {z}}, donde e _x , e _y , e _zson los vectores de base estándar .

También se puede definir por sus coordenadas curvilíneas ( q ¹ , q ² , q ³ ) si este triplete de números define un solo punto de manera inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada por las funciones de transformación invertible:

$${\ displaystyle x = f ^ {1} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}), \, y = f ^ {2} (q ^ {1}, q ^ {2 }, q ^ {3}), \, z = f ^ {3} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}

$${\ displaystyle q ^ {1} = g ^ {1} (x, y, z), \, q ^ {2} = g ^ {2} (x, y, z), \, q ^ {3} = g ^ {3} (x, y, z)}

Las superficies q ¹ = constante, q ² = constante, q ³ = constante se denominan superficies de coordenadas ; y las curvas de espacio formadas por su intersección en pares se denominan curvas de coordenadas . Los ejes de coordenadas están determinados por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. No son, en general, direcciones fijas en el espacio, lo que sucede en el caso de las coordenadas cartesianas simples, por lo que generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.

En el sistema cartesiano, los vectores de base estándar pueden derivarse de la derivada de la ubicación del punto P con respecto a la coordenada local

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial x}}; \; \ mathbf {e} _ {y} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial y}}; \; \ mathbf {e} _ {z} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial z}}.

La aplicación de los mismos derivados al sistema curvilíneo localmente en el punto P define los vectores de base natural:

$${\ displaystyle \ mathbf {h} _ {1} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_ {1}}}; \; \ mathbf {h} _ {2} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_ {2}}}; \; \ mathbf {h} _ {3} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q_ {3} }}.}

Dicha base, cuyos vectores cambian su dirección y / o magnitud de un punto a otro se denomina base local . Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores de base que son iguales en todos los puntos son bases globales , y pueden asociarse solo con sistemas de coordenadaslineales o afines .

Nota: para este artículo, e está reservado para la base estándar (cartesiana) y h o b es para la base curvilínea.

Estos pueden no tener una unidad de longitud, y también pueden no ser ortogonales. En el caso de que seanortogonales en todos los puntos donde los derivados están bien definidos, definimos los coeficientes de Lamé(después de Gabriel Lamé ) por

$${\ displaystyle h_ {1} = | \ mathbf {h} _ {1} |; \; h_ {2} = | \ mathbf {h} _ {2} |; \; h_ {3} = | \ mathbf { h} _ {3} |}

y los vectores de base ortonormal curvilínea por

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} = {\ dfrac {\ mathbf {h} _ {1}} {h_ {1}}}; \; \ mathbf {b} _ {2} = {\ dfrac {\ mathbf {h} _ {2}} {h_ {2}}}; \; \ mathbf {b} _ {3} = {\ dfrac {\ mathbf {h} _ {3}} {h_ {3} }}.}

Es importante tener en cuenta que estos vectores de base pueden depender de la posición de P ; por lo tanto, es necesario que no se asuma que son constantes en una región. (Técnicamente forman una base para el paquete tangente de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}en P , y por lo tanto son locales a P. )

En general, coordenadas curvilíneas permiten que los vectores de la base natural de h _i no todos mutuamente perpendiculares entre sí, y no se requiere para ser de unidad de longitud: pueden ser de magnitud y dirección arbitraria. El uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones de vectores sean más simples que las no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y la ingeniería , en particular la mecánica de fluidos y la mecánica continua , requieren bases no ortogonales para describir las deformaciones y el transporte de fluidos para tener en cuenta las dependencias direccionales complicadas de las cantidades físicas. Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.

Cálculo vectorial [ editar ]

Ver también: Geometría diferencial.

Elementos diferenciales [ editar ]

En coordenadas curvilíneas ortogonales, ya que el cambio diferencial total en r es

$${\ displaystyle d \ mathbf {r} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {1}}} dq ^ {1} + {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {2}}} dq ^ {2} + {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {3}}} dq ^ {3} = h_ {1} dq ^ {1} \ mathbf {b} _ {1} + h_ {2} dq ^ {2} \ mathbf {b} _ {2} + h_ {3} dq ^ {3} \ mathbf {b} _ {3} }

entonces los factores de escala son $${\ displaystyle h_ {i} = \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}} \ right |}

En coordenadas no ortogonales la longitud de $${\ displaystyle d \ mathbf {r} = dq ^ {1} \ mathbf {h} _ {1} + dq ^ {2} \ mathbf {h} _ {2} + dq ^ {3} \ mathbf {h} _ {3}} es la raíz cuadrada positiva de ${\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}$(Con la convención sumatoria de Einstein ). Los seis productos escalares independientes g _ij = h _i . h _j de los vectores de base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para coordenadas ortogonales. Los nueve g _ij son los componentes del tensor métrico , que tiene solo tres componentes distintos de cero en coordenadas ortogonales: g ₁₁ = h ₁ h ₁ , g ₂₂ = h ₂ h ₂ , g ₃₃ = h ₃ h₃ .

Covariantes y contravariantes bases [ editar ]

Artículos principales: Covarianza y contravarianza de vectores e Incremento y descenso de índices.

Un vector v ( rojo ) representado por • una base vectorial ( amarillo, izquierda: e ₁ , e ₂ , e ₃ ), vectores tangentes para coordinar curvas ( negro ) y • una base covector o cobasis ( azul , derecha: e ¹ , e ² , e ³), vectores normales para coordinar superficies ( gris ) en coordenadas curvilíneas generales (no necesariamente ortogonales ) ( q ¹ , q ² , q³ ). Tenga en cuenta la base y las cobasis no coinciden a menos que el sistema de coordenadas sea ortogonal. ^[1]

Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas de tiempo y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas por dos grupos de vectores básicos:

1. Vectores de base que son localmente tangentes a su línea de ruta de coordenadas asociada:

   $${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = {\ dfrac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}}}

   que se transforma como vectores covariantes (denotados por índices reducidos), o
2. Vectores de base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas:

   $${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = \ nabla q ^ {i}}

   que se transforma como vectores contravariantes (denotados por índices elevados), ∇ es el operador del .

En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneas general tiene dos conjuntos de vectores de base para cada punto: { b ₁ , b ₂ , b ₃ } es la base covariante, y { b ¹ , b ² , b ³ } es la contravariante (también conocida como recíproca) base. Los tipos de vectores de base covariante y contravariante tienen una dirección idéntica para los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero como es habitual tienen unidades invertidas entre sí.

Tenga en cuenta la siguiente igualdad importante:

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {j} = \ delta _ {j} ^ {i}}

donde $${\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}Denota el delta generalizado de Kronecker .

mostrarprueba

Un vector v puede especificarse en términos de cualquier base, es decir,

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {1} \ mathbf {b} _ {1} + v ^ {2} \ mathbf {b} _ {2} + v ^ {3} \ mathbf {b} _ {3} = v_ {1} \ mathbf {b} ^ {1} + v_ {2} \ mathbf {b} ^ {2} + v_ {3} \ mathbf {b} ^ {3}}

Usando la convención de suma de Einstein, los vectores de base se relacionan con los componentes por ^{[2] ( pp30–32 )}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k} \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k } \ delta _ {k} ^ {i} = v ^ {i}}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} \ mathbf {b} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} \ delta _ {i} ^ {k} = v_ {i}}

y

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v ^ {k} \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ki} v ^ {k}}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v_ {k} \ mathbf {b} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = g ^ {ki} v_ {k}}

donde g es el tensor métrico (ver más abajo).

Un vector se puede especificar con coordenadas covariantes (índices bajos, escrito v _k ) o coordenadas contravariantes (índices elevados, escrito v ^k ). De las sumas de vectores anteriores, se puede ver que las coordenadas contravariantes están asociadas con vectores de base covariantes, y las coordenadas covariantes están asociadas con vectores de base contravariantes.

Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores básicos es la invariabilidad en el sentido de que los componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) están emparejados con vectores de base que se transforman en contravariante (o de manera covariante).

Base covariante [ editar ]

Artículo principal: Transformación covariante.

Construyendo una base covariante en una dimensión [ editar ]

Fig. 3 - Transformación de bases covariantes locales en el caso de coordenadas curvilíneas generales

Considere la curva unidimensional que se muestra en la Fig. 3. En el punto P , tomada como origen , xes una de las coordenadas cartesianas, y q ¹ es una de las coordenadas curvilíneas. El (no unidad) base vector local es b ₁ (anotado h ₁ anterior, con breservado para vectores unitarios) y que está construido sobre la q ¹ eje que es una tangente a la recta de coordenadas en el punto P . El eje q ¹ y por tanto el vector b ₁ forman un ángulo.$${\ displaystyle \ alpha}con el eje xcartesiano y el vector de base cartesiana e ₁ .

Se puede ver desde el triángulo PAB que

$${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ cfrac {| \ mathbf {e} _ {1} |} {| \ mathbf {b} _ {1} |}} \ quad \ Rightarrow \ quad | \ mathbf {e} _ {1} | = | \ mathbf {b} _ {1} | \ cos \ alpha}

donde | e ₁ |, | b ₁ | son las magnitudes de los dos vectores de base, es decir, las intercepciones escalares PB y PA . Tenga en cuenta que PA también es la proyección de b ₁ en el eje x .

Sin embargo, este método para transformaciones de vectores de base que utilizan cosenos direccionales no es aplicable a las coordenadas curvilíneas por las siguientes razones:

1. Al aumentar la distancia desde P , el ángulo entre la línea curva q ¹ y el eje cartesiano x se desvía cada vez más de$${\ displaystyle \ alpha}.
2. A la distancia PB, el ángulo verdadero es el que forma la tangente en el punto C con el eje x, y este último ángulo es claramente diferente de$${\ displaystyle \ alpha}.

Los ángulos que el q ¹ línea y que forma eje con los x eje se vuelven más cerca en valor cuanto más cerca se mueve hacia el punto P y se convierten en exactamente igual a P .

Deje que el punto E se ubique muy cerca de P , tan cerca que la distancia PE sea ​​infinitamente pequeña. Entonces PE mide en los q ¹ eje casi coincide con PE medida en el q ¹ línea. Al mismo tiempo, la relación PD / PE ( PD es la proyección de PE en el eje x ) se vuelve casi exactamente igual a$${\ displaystyle \ cos \ alpha}.

Deje que las intercepciones infinitesimalmente pequeñas, PD y PE, se etiqueten, respectivamente, como dx y d q ¹ . Entonces

$${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ cfrac {dx} {dq ^ {1}}} = {\ frac {| \ mathbf {e} _ {1} |} {| \ mathbf {b} _ {1} |}}}.

Por lo tanto, los cosenos direccionales se pueden sustituir en transformaciones con las relaciones más exactas entre las intercepciones de coordenadas infinitesimalmente pequeñas. De ello se deduce que la componente (proyección) de b ₁ en el eje x es

$${\ displaystyle p ^ {1} = \ mathbf {b} _ {1} \ cdot {\ cfrac {\ mathbf {e} _ {1}} {| \ mathbf {e} _ {1}}}} = | \ mathbf {b} _ {1} | {\ cfrac {| \ mathbf {e} _ {1} |} {| \ mathbf {e} _ {1} |}} \ cos \ alpha = | \ mathbf {b } _ {1} | {\ cfrac {dx} {dq ^ {1}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ cfrac {p ^ {1}} {| \ mathbf {b} _ {1}}}} = {\ cfrac {dx} {dq ^ {1}}}}.

Si q ⁱ = q ⁱ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y x _i = x _i ( q ¹ , q ² , q ³ ) son funciones suaves (continuamente diferenciables), las relaciones de transformación se pueden escribir como$${\ displaystyle {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial x_ {j}}}} y $${\ displaystyle {\ cfrac {\ partial x_ {i}} {\ partial q ^ {j}}}}. Es decir, esas relaciones son derivadas parciales de coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a las coordenadas que pertenecen a otro sistema.

Construyendo una base covariante en tres dimensiones [ editar ]

Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras 2 dimensiones, b ₁ se puede expresar como:

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} = p ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + p ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} + p ^ {3} \ mathbf {e} _ {3} = {\ cfrac {\ parcial x_ {1}} {\ parcial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {1} + {\ cfrac {\ parcial x_ {2}} {\ parcial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ parcial x_ {3}} {\ parcial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {3} }

Ecuaciones similares son válidas para b ₂ y b _{3, de} modo que la base estándar { e ₁ , e ₂ , e ₃ } se transforma en una base local (ordenada y normalizada ) { b ₁ , b ₂ , b ₃ } por el siguiente sistema de ecuaciones

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} _ {1} & = {\ cfrac {\ parcial x_ {1}} {\ parcial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {1} + {\ cfrac {\ parcial x_ {2}} {\ parcial q ^ {1}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ parcial x_ {3}} {\ parcial q ^ {1 }}} \ mathbf {e} _ {3} \\\ mathbf {b} _ {2} & = {\ cfrac {\ parcial x_ {1}} {\ parcial q ^ {2}}} \ mathbf {e } _ {1} + {\ cfrac {\ parcial x_ {2}} {\ parcial q ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ parcial x_ {3}} {\ parcial q ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {3} \\\ mathbf {b} _ {3} & = {\ cfrac {\ parcial x_ {1}} {\ parcial q ^ {3}} } \ mathbf {e} _ {1} + {\ cfrac {\ partial x_ {2}} {\ partial q ^ {3}}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ cfrac {\ partial x_ { 3}} {\ parcial q ^ {3}}} \ mathbf {e} _ {3} \ end {alineado}}}

Por un razonamiento análogo, se puede obtener la transformación inversa de una base local a otra estándar:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {e} _ {1} & = {\ cfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {1}}} \ mathbf {b} _ {1} + {\ cfrac {\ parcial q ^ {2}} {\ parcial x_ {1}}} \ mathbf {b} _ {2} + {\ cfrac {\ parcial q ^ {3}} {\ parcial x_ {1 }}} \ mathbf {b} _ {3} \\\ mathbf {e} _ {2} & = {\ cfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ mathbf {b } _ {1} + {\ cfrac {\ parcial q ^ {2}} {\ parcial x_ {2}}} \ mathbf {b} _ {2} + {\ cfrac {\ parcial q ^ {3}} { \ parcial x_ {2}}} \ mathbf {b} _ {3} \\\ mathbf {e} _ {3} & = {\ cfrac {\ parcial q ^ {1}} {\ parcial x_ {3}} } \ mathbf {b} _ {1} + {\ cfrac {\ partial q ^ {2}} {\ partial x_ {3}}} \ mathbf {b} _ {2} + {\ cfrac {\ partial q ^ {3}} {\ parcial x_ {3}}} \ mathbf {b} _ {3} \ end {alineado}}}

Jacobiano de la transformación [ editar ]

Los sistemas de ecuaciones lineales anteriores se pueden escribir en forma matricial utilizando la convención de suma de Einstein como

$${\ displaystyle {\ cfrac {\ partial x_ {i}} {\ partial q ^ {k}}} \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {b} _ {k}, \ quad {\ cfrac { \ parcial q ^ {i}} {\ parcial x_ {k}}} \ mathbf {b} _ {i} = \ mathbf {e} _ {k}}.

Esta matriz de coeficientes del sistema lineal es la matriz jacobiana (y su inversa) de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden usar para transformar una base cartesiana en una base curvilínea, y viceversa.

En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

En la transformación inversa (sistema de segunda ecuación), las incógnitas son los vectores de base curvilínea. Para cualquier ubicación específica, solo puede existir uno y solo un conjunto de vectores base (de lo contrario, la base no está bien definida en ese punto). Esta condición se cumple si y solo si el sistema de ecuaciones tiene una solución única, del álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única (no trivial) solo si el determinante de su matriz de sistema no es cero:

$${\ displaystyle \ det (\ mathbf {J} ^ {- 1}) \ neq 0}

que muestra la razón detrás del requisito anterior con respecto al determinante jacobiano inverso.

Generalización a n dimensiones [ editar ]

El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera.

Considere el espacio euclidiano real n -dimensional, que es R ⁿ = R × R × ... × R ( n veces) donde R es el conjunto de números reales y × denota el producto cartesiano , que es un espacio vectorial . 

Las coordenadas de este espacio se pueden denotar por: x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ). Como se trata de un vector (un elemento del espacio vectorial), se puede escribir como:

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ mathbf {e} ^ {i}}

donde e ¹ = (1,0,0 ..., 0), e ² = (0,1,0 ..., 0), e ³ = (0,0,1 ..., 0) ,. .., e ⁿ = (0,0,0 ..., 1) es la norma base conjunto de vectores para el espacio R ⁿ , y i = 1, 2, ... n es un componentes de etiquetado índice. Cada vector tiene exactamente un componente en cada dimensión (o "eje") y son mutuamente ortogonales ( perpendiculares ) y normalizados (tienen una unidad de magnitud ).

Más generalmente, podemos definir los vectores de base b _i para que dependan de q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n ), es decir, cambian de punto a punto: b _i = b _i ( q ). En cuyo caso, para definir el mismo punto x en términos de esta base alternativa: las coordenadas con respecto a esta base v _i también dependen necesariamente de x también, es decir v _i = v _i ( x ). Entonces un vectorv en este espacio, con respecto a estas coordenadas alternativas y los vectores de base, se puede expandir como una combinación lineal en esta base (lo que simplemente significa multiplicar cada vector de base e _i por un número v _i - multiplicación escalar ):

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ bar {v}} ^ {j} \ mathbf {b} _ {j} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ bar {v}} ^ {j} (\ mathbf {q}) \ mathbf {b} _ {j} (\ mathbf {q})}

La suma de vectores que describe v en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la suma en sí permanece igual.

Transformación de coordenadas [ editar ]

Desde una perspectiva más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneas es simplemente un parche de coordenadas en la variedad diferenciable E ⁿ ( espacio euclidiano n-dimensional ) que es difeomorfo al parche de coordenadas cartesianas en la variedad. ^[3] Tenga en cuenta que dos parches de coordenadas difeomórficas en un colector diferencial no necesitan solaparse de manera diferente. Con esta definición simple de un sistema de coordenadas curvilíneas, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en topología diferencial .

Las funciones de transformación son tales que existe una relación de uno a uno entre los puntos en las coordenadas "antiguo" y "nuevo", es decir, esas funciones son bijections y cumplen los siguientes requisitos dentro de sus dominios :

1. Son funciones suaves : q ⁱ = q ⁱ ( x )
2. El determinante jacobiano inverso.

   {\ displaystyle J ^ {- 1} = {\ begin {vmatrix} {\ dfrac {\ partial q ^ {1}} {\ partial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial q ^ {1}} {\ parcial x_ {2}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ parcial q ^ {1}} {\ parcial x_ {n}}} \\ {\ dfrac {\ parcial q ^ {2}} {\ parcial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ parcial q ^ {2}} {\ parcial x_ {2}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ parcial q ^ {2}} {\ parcial x_ { n}}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ parcial q ^ {n}} {\ parcial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ parcial q ^ { n}} {\ parcial x_ {2}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ parcial q ^ {n}} {\ parcial x_ {n}}} \ fin {vmatrix}} \ neq 0}

   no es cero; Es decir, la transformación es invertible : x _i ( q ).
   De acuerdo con el teorema de la función inversa . La condición de que el determinante jacobiano no sea cero refleja el hecho de que tres superficies de diferentes familias se intersecan en un solo punto y, por lo tanto, determinan la posición de este punto de una manera única. ^[4]

Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales [ editar ]

Nota: la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos se utiliza a continuación.

El vector elemental y el álgebra tensorial en coordenadas curvilíneas se utilizan en la literatura científica más antigua en mecánica y física y pueden ser indispensables para comprender el trabajo desde principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. ^[5] En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y los contenidos son principalmente de Ogden, ^[6] Naghdi, ^[7] Simmonds, ^[2] Green y Zerna, ^[5] Basar y Weichert, ^[8] y Ciarlet. ^[9]

Tensores en coordenadas curvilíneas [ editar ]

Artículo principal: Tensores en coordenadas curvilíneas.

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = S ^ {ij} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S ^ {i} {} _ {j} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} {} ^ {j} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S_ {ij} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

dónde $${\ displaystyle \ scriptstyle \ otimes}Denota el producto tensorial . Los componentes S ^ij se denominan componentes contravariantes , S ⁱ _jlos componentes mixtos covariantes derechos , S _i ^j los componentes mixtos covariantes izquierdos y S _ij los componentes covariantes del tensor de segundo orden. Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por

$${\ displaystyle S ^ {ij} = g ^ {ik} S_ {k} {} ^ {j} = g ^ {jk} S ^ {i} {} _ {k} = g ^ {ik} g ^ { j \ ell} S_ {k \ ell}}

El tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales [ editar ]

Artículo principal: Tensor métrico.

En cada punto, se puede construir un pequeño elemento de línea d x , por lo que el cuadrado de la longitud del elemento de línea es el producto escalar d x • d x y se llama la métrica del espacio , dado por:

$${\ displaystyle d \ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x} = {\ cfrac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} {\ cfrac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {k}}} dq ^ {j} dq ^ {k}}.

La siguiente porción de la ecuación anterior.

$${\ displaystyle {\ cfrac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {i}}} {\ cfrac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {j}}} = g_ {ij} (q ^ {i}, q ^ {j}) = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}}

es un tensor simétrico denominado tensor fundamental (o métrico) del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

Los índices se pueden subir y bajar por la métrica:

$${\ displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} v_ {k}}

Relación con los coeficientes de Lamé [ editar ]

Definiendo los factores de escala h _i por

$${\ displaystyle h_ {i} h_ {j} = g_ {ij} = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} \ quad \ Rightarrow \ quad h_ {i} = {\ sqrt {g_ {ii}}} = \ left | \ mathbf {b} _ {i} \ right | = \ left | {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} \ right |}

Da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lamé. Tenga en cuenta también que

$${\ displaystyle g_ {ij} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ { j}}} = \ left (h_ {ki} \ mathbf {e} _ {k} \ right) \ cdot \ left (h_ {mj} \ mathbf {e} _ {m} \ right) = h_ {ki} h_ {kj}}

donde h _ij son los coeficientes de lamé. Para una base ortogonal también tenemos:

$${\ displaystyle g = g_ {11} g_ {22} g_ {33} = h_ {1} ^ {2} h_ {2} ^ {2} h_ {3} ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ sqrt {g}} = h_ {1} h_ {2} h_ {3} = J}

Ejemplo: coordenadas polares [ editar ]

Si consideramos coordenadas polares para R ² , ten en cuenta que

$${\ displaystyle (x, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta)}

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) es r .

Los vectores de base ortogonal son b _r = (cos θ, sin θ), b _θ = (−sin θ, cos θ). Los factores de escala son h _r = 1 y h _θ = r . El tensor fundamental es g ₁₁ = 1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ = 0.

El tensor alterno [ editar ]

En una base ortonormal con la mano derecha, el tensor alterno de tercer orden se define como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = \ varepsilon _ {ijk} \ mathbf {e} ^ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j} \ otimes \ mathbf {e} ^ { k}}

En una base curvilínea general, el mismo tensor puede expresarse como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = {\ mathcal {E}} _ {ijk} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} = {\ mathcal {E}} ^ {ijk} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} _ {k} }

También se puede demostrar que

$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {ijk} = {\ cfrac {1} {J}} \ varepsilon _ {ijk} = {\ cfrac {1} {+ {\ sqrt {g}}}} \ varepsilon _ {ijk}}

Símbolos de Christoffel [ editar ]

Símbolos de Christoffel del primer tipo.

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i, j} = {\ frac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = \ Gamma _ {ijk} \ mathbf {b} ^ {k} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} _ {i, j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} = \ Gamma _ {ijk}}

donde la coma denota una derivada parcial (ver cálculo de Ricci ). Para expresar Γ _ijk en términos de g _ij notamos que

{\ displaystyle {\ begin {alineado} g_ {ij, k} & = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k} = \ mathbf {b} _ {i, k} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j, k} = \ Gamma _ {ikj} + \ Gamma _ {jki} \\ g_ {ik, j} & = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} = \ mathbf {b} _ {i , j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, j} = \ Gamma _ {ijk} + \ Gamma _ {kji } \\ g_ {jk, i} & = (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} = \ mathbf {b} _ {j, i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, i} = \ Gamma _ {jik} + \ Gamma _ {kij} \ end {alineado}}}

Ya que

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i, j} = \ mathbf {b} _ {j, i} \ quad \ Rightarrow \ quad \ Gamma _ {ijk} = \ Gamma _ {jik}}

el uso de estos para reorganizar las relaciones anteriores da

$${\ displaystyle \ Gamma _ {ijk} = {\ frac {1} {2}} (g_ {ik, j} + g_ {jk, i} -g_ {ij, k}) = {\ frac {1} { 2}} [(\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} + (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} - (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k}]}

Símbolos de Christoffel del segundo tipo.

$${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} {} ^ {k} = \ Gamma _ {ji} {} ^ {k}, \ quad {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} = \ Gamma _ {ij} {} ^ {k} \ mathbf {b} _ {k}}

Esto implica que

$${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} {} ^ {k} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} \ cdot \ mathbf {b} ^ {k} = - \ mathbf {b} _ {i} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {k}} {\ partial q ^ {j}}}}

Otras relaciones que siguen son

$${\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = - \ Gamma ^ {i} {} _ {jk} \ mathbf {b} ^ { k}, \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} _ {i} = \ Gamma _ {ij} {} ^ {k} \ mathbf {b} _ {k} \ otimes \ mathbf {b } ^ {j}, \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} ^ {i} = - \ Gamma _ {jk} {} ^ {i} \ mathbf {b} ^ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

Operaciones vectoriales [ editar ]

1. Producto de punto :
   El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es ^{[2] ( p32 )}

   $${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ {i} v_ {i} = u_ {i} v ^ {i} = g_ {ij} u ^ {i} v ^ {j} = g ^ {ij} u_ {i} v_ {j}}

2. Producto vectorial :
   El producto cruzado de dos vectores está dado por ^{[2] ( pp32-34 )}

   $${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ epsilon _ {ijk} {u} _ {j} {v} _ {k} \ mathbf {e} _ {i}}

   dónde $${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}es el símbolo de permutación y$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}Es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es

   $${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s} ] u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s} = {\ mathcal {E}} _ {smn} u ^ {m} v ^ {n} \ mathbf {b} ^ {s }}

   dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk}}Es el tensor alterno de tercer orden .

Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales [ editar ]

Nota: la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos se utiliza a continuación.

Los ajustes deben realizarse en el cálculo de las integrales de línea , superficie y volumen . Para simplificar, lo siguiente se restringe a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican a los espacios en n dimensiones. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.

Simmonds, ^[2] en su libro sobre el análisis del tensor , cita a Albert Einstein diciendo ^[10]

La magia de esta teoría no dejará de imponerse a quien la haya entendido realmente; representa un auténtico triunfo del método de cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial en múltiplescurvas curvilíneas cuatridimensionales en la relatividad general , ^[11] en la mecánica de conchas curvadas , ^[9] al examinar las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell en las que ha sido de interés metamateriales ^[12] [13] y en muchos otros campos.

En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y los contenidos son principalmente de Ogden, ^[14] Simmonds, ^[2] Green y Zerna, ^[5] Basar y Weichert, ^[8] y Ciarlet. ^[9]

Sea φ = φ ( x ) un campo escalar bien definido y v = v ( x ) un campo vectorial bien definido, y λ ₁ , λ ₂ ... sean parámetros de las coordenadas

Elementos geométricos [ editar ]

1. Vector tangente : si x ( λ ) parametriza una curva C en coordenadas cartesianas, entonces

   $${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} = {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {i}} {\ partial q ^ {i} \ over \ partial \ lambda} = \ left (h_ {ki} {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial \ lambda}} \ right) \ mathbf {b} _ {k}}

   es un vector tangente a C en coordenadas curvilíneas (usando la regla de la cadena ). Usando la definición de los coeficientes de Lamé, y eso para la métrica g _ij = 0 cuando i ≠ j , la magnitud es:

   $${\ displaystyle \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right | = {\ sqrt {h_ {ki} h_ {kj} {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} { \ partial \ lambda}} {\ cfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial \ lambda}}}} = {\ sqrt {g_ {ij} {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ parcial \ lambda}} {\ cfrac {\ parcial q ^ {j}} {\ parcial \ lambda}}}} = {\ sqrt {h_ {i} ^ {2} \ left ({\ cfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ partial \ lambda}} \ right) ^ {2}}}}

2. Elemento plano tangente : si x ( λ ₁ , λ ₂ ) parametriza una superficie S en coordenadas cartesianas, el siguiente producto cruzado de vectores tangentes es un vector normal a S con la magnitud del elemento plano infinitesimal, en coordenadas curvilíneas. Utilizando el resultado anterior,

   $${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {2}} = \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {i}} {\ partial q ^ {i} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ right) \ times \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {j}} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial \ lambda _ {2}} \ derecha) = {\ mathcal {E}} _ {kmp} \ izquierda (h_ {ki } {\ partial q ^ {i} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ right) \ left (h_ {mj} {\ partial q ^ {j} \ over \ partial \ lambda _ {2}} \ derecha) \ mathbf {b} _ {p}}

   dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Es el símbolo de permutación . En forma determinante:

   {\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {2}} = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {e} _ {1} & \ mathbf {e} _ {2} & \ mathbf {e} _ {3} \\ h_ {1i} {\ dfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ parcial \ lambda _ {1}}} & h_ {2i} {\ dfrac {\ parcial q ^ {i}} {\ partial \ lambda _ {1}}} & h_ {3i} {\ dfrac {\ parcial q ^ {i} } {\ partial \ lambda _ {1}}} \\ h_ {1j} {\ dfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial \ lambda _ {2}}} & h_ {2j} {\ dfrac {\ parcial q ^ {j}} {\ partial \ lambda _ {2}}} & h_ {3j} {\ dfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial \ lambda _ {2}}} \ end {vmatrix} }}

Integración [ editar ]

Operador	Campo escalar	Campo vectorial
Integral de linea	$${\ displaystyle \ int _ {C} \ varphi (\ mathbf {x}) ds = \ int _ {a} ^ {b} \ varphi (\ mathbf {x} (\ lambda)) \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right | d \ lambda}	$${\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ cdot d \ mathbf {s} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {v} (\ mathbf {x } (\ lambda)) \ cdot \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda} \ right) d \ lambda}
Integral de superficie	$${\ displaystyle \ int _ {S} \ varphi (\ mathbf {x}) dS = \ iint _ {T} \ varphi (\ mathbf {x} (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})) \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {2}} \ right | d \ lambda _ {1} d \ lambda _ {2}}	$${\ displaystyle \ int _ {S} \ mathbf {v} (\ mathbf {x}) \ cdot dS = \ iint _ {T} \ mathbf {v} (\ mathbf {x} (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})) \ cdot \ left ({\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ {1}} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial \ lambda _ { 2}} \ derecha) d \ lambda _ {1} d \ lambda _ {2}}
Volumen integral	$${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ varphi (x, y, z) dV = \ iiint _ {V} \ chi (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) Jdq_ {1} dq_ { 2} dq_ {3}}	$${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ mathbf {u} (x, y, z) dV = \ iiint _ {V} \ mathbf {v} (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) Jdq_ {1} dq_ {2} dq_ {3}}

La diferenciación [ editar ]

Las expresiones para gradiente, divergencia y laplaciano pueden extenderse directamente a n- dimensiones, sin embargo, el rizo solo se define en 3d.

El campo vectorial b _i es tangente a la curva de coordenadas q ⁱ y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se discutió al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante. También podemos definir una base recíproca , o una base curvilínea contravariante , b ⁱ . Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de base, como se discutió en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican para la base natural y su recíproco en cada punto x .

Operador	Campo escalar	Campo vectorial	Campo tensor de 2do orden
Gradiente	$${\ displaystyle \ nabla \ varphi = {\ cfrac {1} {h_ {i}}} {\ partial \ varphi \ over \ parcial q ^ {i}} \ mathbf {b} ^ {i}}	$${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}} {\ partial \ mathbf {v} \ over \ partial q ^ {i}} \ otimes \ mathbf {b} _ {i}}	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {S}}} {\ partial q ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}}
Divergencia	N / A	$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {\ prod _ {j} h_ {j}}} {\ frac {\ partial} {\ parcial q ^ {i}}} ( v ^ {i} \ prod _ {j \ neq i} h_ {j})}	$${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}}) \ cdot \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot ({\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {a})} donde a es un vector constante arbitrario. En coordenadas curvilíneas, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = \ left [{\ cfrac {\ partial S_ {ij}} {\ partial q ^ {k}}} - \ Gamma _ { ki} ^ {l} S_ {lj} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} S_ {il} \ right] g ^ {ik} \ mathbf {b} ^ {j}}
Laplaciano	$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {\ prod _ {j} h_ {j}}} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}} \ left ({\ cfrac {\ prod _ {j} h_ {j}} {h_ {i} ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {i}}} \ right)}
Rizo	N / A	Para campos vectoriales en 3d solamente, $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} \ mathbf {e} _ {i} \ epsilon _ {ijk} h_ {i} {\ frac {\ parcial (h_ {k} v_ {k})} {\ parcial q ^ {j}}}} dónde $${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}Es el símbolo de Levi-Civita.	Ver Curl de un campo tensorial.

Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas generales [ editar ]

Por definición, si una partícula sin fuerzas que actúan sobre ella tiene su posición expresada en un sistema de coordenadas de inercia ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  t ), entonces no tendrá aceleración (d ² x _j / d t ²  = 0). ^[15]En este contexto, un sistema de coordenadas puede dejar de ser "inercial" debido a un eje de tiempo no recto o a ejes espaciales no rectos (o ambos). En otras palabras, los vectores de base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en tiempos fijos, o en ambos. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas no inercial (en este sentido), aparecen términos adicionales, llamados símbolos de Christoffel. Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta (en mecánica clásica), pero también podemos elegir continuar considerando d ² x _j / d t ² como la aceleración (como si las coordenadas fueran inerciales) y tratar los términos adicionales como si fueran fuerzas, en cuyo caso se llaman fuerzas ficticias.^[16] La componente de cualquier fuerza ficticia normal a la trayectoria de la partícula y en el plano de la curvatura de la trayectoria se llama fuerza centrífuga . ^[17]

Este contexto más general aclara la correspondencia entre los conceptos de fuerza centrífuga en sistemas de coordenadas de rotación y en sistemas de coordenadas curvilíneas estacionarias. (Ambos de estos conceptos aparecen con frecuencia en la literatura. ^{[18] [19] [20]} ) Para un ejemplo simple, considere una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular w relativa a un sistema de coordenadas polares que gira con velocidad angular W . La ecuación radial del movimiento es mr ”=  F _r  +  mr ( w  +  W ) ². Así, la fuerza centrífuga es mr veces el cuadrado de la velocidad de rotación absoluta A  =  w  +  W de la partícula. Si elegimos un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W  =  A y w  = 0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es mrA ² , mientras que si seleccionamos un sistema de coordenadas estacionario tenemos W = 0 y w  =  A , en cuyo caso la fuerza centrífuga vuelve a ser mrA ^2.. El motivo de esta igualdad de resultados es que en ambos casos los vectores base en la ubicación de la partícula están cambiando en el tiempo exactamente de la misma manera. Por lo tanto, estas son realmente dos formas diferentes de describir exactamente lo mismo, una descripción en términos de coordenadas rotativas y la otra en términos de coordenadas curvilíneas estacionarias, las cuales no son inerciales según el significado más abstracto de ese término .

Cuando se describe el movimiento general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula a menudo se refieren al círculo oscilante instantáneo tangente a la trayectoria del movimiento, y este círculo en el caso general no está centrado en una ubicación fija, por lo que la descomposición en centrífuga y Coriolis Los componentes están cambiando constantemente. Esto es cierto independientemente de si el movimiento se describe en términos de coordenadas estacionarias o giratorias.