MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

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Un pastel con un cuarto (un cuarto) eliminado. Se muestran los tres cuartos restantes. Las líneas de puntos indican dónde se puede cortar la torta para dividirla en partes iguales. Cada cuarto de la torta se denota por la fracción 1/4 .

Una fracción (del latín fractus , "quebrada") representa una parte de un todo o, más generalmente, cualquier número de partes iguales. Cuando se habla en inglés cotidiano, una fracción describe cuántas partes de un cierto tamaño hay, por ejemplo, la mitad, ocho quintos, tres cuartos. Una fracción común , vulgar o simple (ejemplos:$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}y 17/3) consta de un numerador entero que se muestra sobre una línea (o antes de una barra), y un denominador entero distinto de cero, que se muestra debajo (o después) de esa línea. Los numeradores y denominadores también se usan en fracciones que no son comunes , incluidas fracciones compuestas, fracciones complejas y números mixtos.

Comenzamos con fracciones comunes positivas, donde el numerador y el denominador son números naturales . El numerador representa un número de partes iguales, y el denominador indica cuántas de esas partes forman una unidad o un todo. El denominador no puede ser cero porque las partes cero nunca pueden formar un todo. Por ejemplo, en la fracción 3/4, el numerador, 3, nos dice que la fracción representa 3 partes iguales, y el denominador, 4, nos dice que 4 partes forman un todo. La imagen de la derecha ilustra.$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}o ³ / ₄ de una torta.

Una fracción común es un número que representa un número racional . Ese mismo número también se puede representar como un decimal, un porcentaje o con un exponente negativo. Por ejemplo, 0.01, 1% y 10 ^{−2 son}iguales a la fracción 1/100. Se puede pensar que un entero como el número 7 tiene un denominador implícito de uno: 7 es igual a 7/1.

Otros usos para las fracciones son representar razones y división . ^[1] Por lo tanto la fracción 3/4 también se utiliza para representar la relación de 3: 4 (la relación de la parte con el todo) y la división 3 ÷ 4 (tres dividido por cuatro). El denominador distinto de cero en el caso de usar una fracción para representar la división es un ejemplo de la regla de que la división por cero no está definida.

También podemos escribir fracciones negativas, que representan el opuesto de una fracción positiva. Por ejemplo, si 1/2 representa una ganancia medio dólar, entonces - 1/2 representa una pérdida de medio dólar. Debido a las reglas de división de números con signo, que requieren que, por ejemplo, negativo dividido por positivo es negativo, - 1/2 , -1/2 y 1/-2 , representan todos la misma fracción, negativo a la mitad. Debido a que un negativo dividido por un negativo produce un positivo, -1/-2 representa la mitad positiva.

En matemáticas, el conjunto de todos los números que se pueden expresar en la forma a / b, donde a y b son enteros y b no es cero, se denomina conjunto de números racionales y se representa mediante el símbolo Q , que significa cociente . La prueba para un número que es un número racional es que se puede escribir de esa forma (es decir, como una fracción común). Sin embargo, la palabra fracción también se utiliza para describir las expresiones matemáticas que no son números racionales, por ejemplo fracciones algebraicas (cocientes de expresiones algebraicas), y expresiones que contienen números irracionales , tales como √ 2 /2 (ver raíz cuadrada de 2 ) y π / 4 (verprueba de que π es irracional ).

En una fracción, el número de partes iguales de ser descrito es el numerador (de América numerador , "counter" o "Numberer"), y el tipo o variedad de las piezas es el denominador (de América denominador ", cosa que los nombres o designe "). ^[2] Como un ejemplo, la fracción ⁸ / ₅ asciende a ocho partes, cada una de las cuales es del tipo llamado "quinto". En términos de división , el numerador corresponde al dividendo , y el denominador corresponde al divisor .

De manera informal, el numerador y el denominador pueden distinguirse solo por ubicación, pero en contextos formales siempre están separados por una barra de fracción . La barra de fracción puede ser horizontal (como en 1/3 ), oblicua (como en 1/5), o diagonal (como en ¹ / ₉ ). ^[3] Estas marcas se conocen respectivamente como la barra horizontal, la barra ( US ) o el trazo ( UK ), la barra de división y la barra de fracción . ^{[n 1]} En tipografía , las fracciones horizontales también se conocen como " en " o " en "Fracciones de tuerca "y fracciones diagonales como" fracciones em ", según el ancho de una línea que ocupan. ^[3]

Los denominadores de las fracciones en inglés generalmente se expresan como números ordinales , en plural si el numerador no es uno. (Por ejemplo, ² / ₅ y ³ / ₅ son ambos leen como una serie de "quintos".) Las excepciones incluyen el denominador 2, que siempre se lee "medio" o "mitades", el denominador 4, que puede ser expresado alternativamente como "trimestre" / "trimestres" o como "cuarto" / "cuartos", y el denominador 100, que puede expresarse alternativamente como "centésima" / "centésimas" o " porcentaje ". Cuando el denominador es 1, puede expresarse en términos de "wholes" pero es más comúnmente ignorado, con el numerador leído como un número entero. (Por ejemplo, 3/1puede describirse como "tres enteros" o simplemente como "tres".) Cuando el numerador es uno, puede omitirse. (Por ejemplo, "una décima parte" o "cada trimestre".)

La fracción completa puede expresarse como una composición única, en cuyo caso está dividida en guiones, o como un número de fracciones con un numerador de uno, en cuyo caso no lo son. (Por ejemplo, "dos quintas partes" es la fracción 2/5 y "dos quintas partes" es la misma fracción entendida como 2 casos de ¹ / ₅ ). Las fracciones que deben ser siempre guión cuando se utiliza como adjetivos. Alternativamente, una fracción puede describirse leyéndolo como el numerador "sobre" el denominador, con el denominador expresado como un número cardinal . (Por ejemplo, 3/1también se puede expresar como "tres sobre uno".) El término "sobre" se usa incluso en el caso de las fracciones de solidus, donde los números se colocan a la izquierda y la derecha de una marca de barra diagonal . (Por ejemplo, 1/2 puede leerse "one-media", "uno medio", o "uno sobre dos".) Las fracciones con grandes denominadores que son no potencias de diez a menudo se representan de esta manera (por ejemplo, 1/117 como "uno más de ciento diecisiete") mientras que aquellos con denominadores divisibles por diez están típicamente leen en la moda ordinal normal (por ejemplo, 6/millón como "seis millonésimas", "seis millonésimas", o "seis uno millonésimas" ).

Formas de fracciones [ editar ]

Fracciones simples, comunes o vulgares [ editar ]

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar ) es un número racionalescrito como a / b o$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}, Donde un y b son dos números enteros . ^[7] Al igual que con otras fracciones, el denominador ( b ) no puede ser cero. Ejemplos incluyen$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}, $${\ displaystyle - {\ tfrac {8} {5}}}, $${\ displaystyle {\ tfrac {-8} {5}}}, $${\ displaystyle {\ tfrac {8} {- 5}}}, y 3/17. Las fracciones simples pueden ser positivas o negativas, apropiadas o impropias (ver más abajo). Las fracciones compuestas, las fracciones complejas, los números mixtos y los decimales (ver a continuación) no son fracciones simples , aunque, a menos que sean irracionales, pueden evaluarse a una fracción simple.

• Una fracción unitaria es una fracción común con un numerador de 1, por ejemplo,$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {7}}}. Las fracciones unitarias también se pueden expresar utilizando exponentes negativos, como en 2 ⁻¹ , que representa 1/2, y 2 ⁻² , que representa 1 / (2 ² ) o 1/4.
• Una fracción diádica es una fracción común en la que el denominador es una potencia de dos , por ejemplo,$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {8}} = {\ tfrac {1} {2 ^ {3}}}}.

Fracciones propias e impropias [ editar ]

Las fracciones comunes se pueden clasificar como apropiadas o inadecuadas. Cuando el numerador y el denominador son ambos positivos, la fracción se denomina adecuada si el numerador es menor que el denominador, e incorrecto de lo contrario. ^[8] [9] En general, se dice que una fracción común es una fracción adecuada si el valor absoluto de la fracción es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1. ^{[10 ] [11]} Se dice que es una fracción impropia , o a veces una fracción muy alta , ^[12]si el valor absoluto de la fracción es mayor o igual que 1. Los ejemplos de fracciones adecuadas son 2/3, –3/4 y 4/9; ejemplos de fracciones impropias son 9/4, –4/3 y 3/3.

Recíprocos y el "denominador invisible" [ editar ]

El recíproco de una fracción es otra fracción con el numerador y el denominador intercambiados. El recíproco de$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {7}}}, por ejemplo, es $${\ displaystyle {\ tfrac {7} {3}}}. El producto de una fracción y su recíproco es 1, por lo tanto, el recíproco es el inverso multiplicativo de una fracción. El recíproco de una fracción apropiada es impropio, y el recíproco de una fracción impropia no es igual a 1, es decir, el numerador y el denominador no son iguales, es una fracción apropiada.

Cuando el numerador y el denominador de una fracción son iguales ($${\ displaystyle {\ tfrac {7} {7}}}, por ejemplo), su valor es 1, y la fracción por lo tanto es impropia. Su recíproco también tiene el valor 1, y también es impropio.

Cualquier entero puede escribirse como una fracción con el número uno como denominador. Por ejemplo, 17 se pueden escribir como$${\ displaystyle {\ tfrac {17} {1}}}, donde 1 se refiere a veces como el denominador invisible . Por lo tanto, cada fracción o entero, a excepción de cero, tiene un recíproco. El recíproco de 17 es$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {17}}}.

Razones [ editar ]

Una relación es una relación entre dos o más números que a veces se pueden expresar como una fracción. Normalmente, una serie de elementos se agrupan y se comparan en una proporción, especificando numéricamente la relación entre cada grupo. Las relaciones se expresan como "grupo 1 a grupo 2 ... a grupo n ". Por ejemplo, si un lote de autos tuviera 12 vehículos, de los cuales

• 2 son blancos,
• 6 son rojos, y
• 4 son amarillas,

luego, la proporción de rojo a blanco a amarillo es de 6 a 2 a 4. La proporción de amarillo a blanco es de 4 a 2 y puede expresarse como 4: 2 o 2: 1.

Una proporción se convierte a menudo en una fracción cuando se expresa como una relación al conjunto. En el ejemplo anterior, la proporción de autos amarillos con respecto a todos los autos en el lote es 4:12 o 1: 3. Podemos convertir estas proporciones a una fracción y decir que 4/12 de los autos o ⅓ de los autos en el lote son amarillos. Por lo tanto, si una persona eligió al azar un coche en el lote, entonces hay una posibilidad entre tres o probabilidad de que sería amarilla.

Las fracciones decimales y porcentajes [ editar ]

Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador no se da explícitamente, pero se entiende como una potencia entera de diez. Las fracciones decimales se expresan comúnmente usando notación decimal en la que el denominador implícito está determinado por el número de dígitos a la derecha de un separador decimal , cuya apariencia (por ejemplo, un período, un período elevado (•), una coma) depende de el local (para ejemplos, ver separador decimal ). Así, para 0,75 el numerador es 75 y el denominador implícito es 10 para la segunda potencia, a saber. 100, porque hay dos dígitos a la derecha del separador decimal. En números decimales mayores que 1 (como 3.75), la parte fraccionariaEl número se expresa mediante los dígitos a la derecha del decimal (con un valor de 0.75 en este caso). 3.75 puede escribirse como una fracción impropia, 375/100, o como un número mixto,$${\ displaystyle 3 {\ tfrac {75} {100}}}.

Las fracciones decimales también se pueden expresar usando notación científica con exponentes negativos, como 6.023 × 10 ⁻⁷ , que representa 0.0000006023. El 10 ⁻⁷ representa un denominador de 10 ⁷ . Dividir por 10 ⁷ mueve el punto decimal 7 lugares a la izquierda.

Las fracciones decimales con infinitos dígitos a la derecha del separador decimal representan una serie infinita . Por ejemplo, 1/3 = 0,333 ... representa la serie infinita 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Otro tipo de fracción es el porcentaje (latín por ciento que significa "por cien", representado por el símbolo%), en el que el denominador implícito es siempre 100. Por lo tanto, 51% significa 51/100. Los porcentajes superiores a 100 o menos de cero se tratan de la misma manera, por ejemplo, 311% es igual a 311/100, y −27% es igual a −27/100.

El concepto relacionado de permilo o partes por mil (ppt) tiene un denominador implícito de 1000, mientras que las partes por notación más generales , como en 75 partes por millón (ppm), significa que la proporción es de 75 / 1,000,000.

Si las fracciones comunes o las fracciones decimales se utilizan es a menudo una cuestión de gusto y contexto. Las fracciones comunes se usan con mayor frecuencia cuando el denominador es relativamente pequeño. Por cálculo mental , es más fácil multiplicar 16 por 3/16 que hacer el mismo cálculo utilizando el equivalente decimal de la fracción (0.1875). Y es más preciso.multiplicar 15 por 1/3, por ejemplo, que multiplicar 15 por cualquier aproximación decimal de un tercio. Los valores monetarios se expresan comúnmente como fracciones decimales con denominador 100, es decir, con dos decimales, por ejemplo $ 3.75. Sin embargo, como se señaló anteriormente, en la moneda británica anterior al decimal, los chelines y los peniques a menudo recibían la forma (pero no el significado) de una fracción, ya que, por ejemplo, 3/6 (léase "tres y seis") significa 3 chelines y 6 peniques, y no teniendo relación con la fracción 3/6.

Números mixtos [ editar ]

Un número mixto (también llamado fracción mixta o número mixto ) es una denotación tradicional de la suma de un número entero que no es cero y una fracción apropiada (que tiene el mismo signo). Se utiliza principalmente en la medición:$${\ displaystyle 2 {\ tfrac {3} {16}}}pulgadas, por ejemplo. Las mediciones científicas casi invariablemente usan notación decimal en lugar de números mixtos. La suma está implícita sin el uso de un operador visible como el "+" apropiado. Por ejemplo, al referirse a dos tortas enteras y tres cuartos de otra torta, los números que denotan la parte entera y la parte fraccionaria de las tortas se escriben uno al lado del otro como$${\ displaystyle 2 {\ tfrac {3} {4}}} en lugar de la notación inequívoca $${\ displaystyle 2 + {\ tfrac {3} {4}}.} Números mixtos negativos, como en $${\ displaystyle -2 {\ tfrac {3} {4}}}, son tratados como $${\ displaystyle - (2 + {\ tfrac {3} {4}}).}Cualquier suma de un totalmás una parte se puede convertir en una fracción impropia aplicando las reglas de agregar cantidades diferentes.

Esta tradición está, formalmente, en conflicto con la notación en álgebra donde los factores adyacentes denotan un producto, sin un operador de infijo explícito . Cuando dos expresiones algebraicas se escriben una al lado de la otra, la regla general implica la operación de la multiplicación:$${\ displaystyle 2x} siempre significa el producto de $${\ displaystyle 2} y $${\ displaystyle x}, incluso si el valor de $${\ displaystyle x}es una fraccion La expresion$${\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}}} por ejemplo, no es un número mixto, en cambio, la multiplicación se requiere expresamente, donde $${\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}} = 2 \ cdot {\ tfrac {b} {c}}.

Para una mejor legibilidad, la multiplicación a veces se hace explícita o se agregan paréntesis. Asi que,$${\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}}} puede ser escrito como

$${\ displaystyle 2 \ cdot {\ tfrac {b} {c}}, \ quad} o $${\ displaystyle \ quad 2 \ times {\ tfrac {b} {c}}, \ quad} o $${\ displaystyle \ quad 2 \ left ({\ tfrac {b} {c}} \ right), \; \ ldots}

Una fracción impropia se puede convertir en un número mixto de la siguiente manera:

1. divide el numerador entre el denominador. En el ejemplo$${\ displaystyle {\ tfrac {11} {4}}}, divide 11 por 4. 11 ÷ 4 = 2 con el resto 3.
2. El cociente (sin el resto) se convierte en la parte entera del número del número mixto. El resto se convierte en el numerador de la parte fraccionaria. En el ejemplo, 2 es la parte entera del número y 3 es el numerador de la parte fraccionaria.
3. El nuevo denominador es el mismo que el denominador de la fracción impropia. En el ejemplo, ambos son 4. Así$${\ displaystyle {\ tfrac {11} {4}} = 2 {\ tfrac {3} {4}}}.

Nociones históricas [ editar ]

Fracción egipcia [ editar ]

Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias positivas distintas, por ejemplo$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}}}. Esta definición se deriva del hecho de que los antiguos egipcios expresaron todas las fracciones excepto$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}, $${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}} y $${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}de esta forma. Cada número racional positivo puede expandirse como una fracción egipcia. Por ejemplo,$${\ displaystyle {\ tfrac {5} {7}}} Se puede escribir como $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {21}}.Cualquier número racional positivo puede escribirse como una suma de fracciones unitarias de infinitas formas. Dos formas de escribir$${\ displaystyle {\ tfrac {13} {17}}} son $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {68}}} y $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {68}}}.

Fracciones 'complejas' y 'compuestas' [ editar ]

Las nociones "fracción compleja" y "fracción compuesta" están ambas desactualizadas ^[13] y en la actualidad no se utilizan de manera bien definida, en parte incluso se toman como sinónimos entre sí ^[14] o para números mixtos. ^[15] Perdieron su significado como términos técnicos y los atributos "complejo" y "compuesto" tienden a ser usados ​​en su significado diario de "consistir en partes".

• Fracciones complejas

No debe confundirse con fracciones que involucran números complejos.

En una fracción compleja , el numerador, o el denominador, o ambos, es una fracción o un número mixto, ^[16] [17] correspondiente a la división de fracciones. Por ejemplo,$${\ displaystyle {\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}}}} y $${\ displaystyle {\ frac {12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}}}Son fracciones complejas. Para reducir una fracción compleja a una fracción simple, trate la línea de fracción más larga como representación de la división. Por ejemplo:

$${\ displaystyle {\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}}} = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {3} {1}} = {\ tfrac {3} {2}} = 1 {\ tfrac {1} {2}}}

$${\ displaystyle {\ frac {12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}} = 12 {\ tfrac {3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {12 \ cdot 4 + 3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {51} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = { \ tfrac {51} {104}}}

$${\ displaystyle {\ frac {\ tfrac {3} {2}} {5}} = {\ tfrac {3} {2}} \ times {\ tfrac {1} {5}} = {\ tfrac {3} {10}}}

$${\ displaystyle {\ frac {8} {\ tfrac {1} {3}}} = 8 \ times {\ tfrac {3} {1}} = 24.}

Si, en una fracción compleja, no hay una forma única de indicar qué línea de fracción tiene prioridad, entonces esta expresión se forma incorrectamente, debido a la ambigüedad. Por lo tanto, 5/10/20/40 no es una expresión matemática válida, debido a múltiples interpretaciones posibles, por ejemplo, como

$${\ displaystyle 5 / (10 / (20/40)) = {\ frac {5} {10 / {\ tfrac {20} {40}}}} = {\ frac {1} {4}} \ quad} o como $${\ displaystyle \ quad (5/10) / (20/40) = {\ frac {\ tfrac {5} {10}} {\ tfrac {20} {40}}} = 1}

• Fracciones compuestas

Una fracción compuesta es una fracción de una fracción, o cualquier número de fracciones relacionadas con la palabra de , ^[16] [17] correspondiente a la multiplicación de fracciones. Para reducir una fracción compuesta a una fracción simple, simplemente realice la multiplicación (consulte la sección sobre multiplicación ). Por ejemplo,$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}de $${\ displaystyle {\ tfrac {5} {7}}} es una fracción compuesta, correspondiente a $${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ times {\ tfrac {5} {7}} = {\ tfrac {15} {28}}}. Los términos fracción compuesta y fracción compleja están estrechamente relacionados y, en ocasiones, uno se usa como sinónimo del otro. (Por ejemplo, la fracción compuesta$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ times {\ tfrac {5} {7}}} Es equivalente a la fracción compleja. $${\ displaystyle {\ tfrac {3/4} {7/5}}}.)