SISTEMAS DE COORDENADAS

TENSORES EN COORDENADAS CURVILÍNEAS - CONTINUACIÓN

Campo tensor de segundo orden [ editar ]

El gradiente de un campo tensor de segundo orden se puede expresar de manera similar como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ cfrac {\ partial {\ boldsymbol {S}}} {\ partial q ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}}

Expresiones explícitas para el gradiente [ editar ]

Si consideramos la expresión del tensor en términos de una base contravariante, entonces

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} = {\ cfrac {\ partial} {\ partial q ^ {k}}} [S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {i } \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}] \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} = \ left [{\ cfrac {\ partial S_ {ij}} {\ partial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} ~ S_ {lj} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {il} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b } ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k}}

También podemos escribir

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {S}} & = \ left [{\ cfrac {\ partial S ^ {ij}} {\ partial q ^ {k}} } + \ Gamma _ {kl} ^ {i} ~ S ^ {lj} + \ Gamma _ {kl} ^ {j} ~ S ^ {il} \ right] ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ {~ j} ^ {i}} {\ parcial q ^ {k}}} + \ Gamma _ {kl} ^ {i} ~ S_ {~ j} ^ {l} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {~ l} ^ {i} \ right ] ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ {i} ^ {~ j}} {\ parcial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ik} ^ {l} ~ S_ {l} ^ {~ j} + \ Gamma _ {kl} ^ {j } ~ S_ {i} ^ {~ l} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \ end {alineado }}}

Representando un campo tensor físico de segundo orden [ editar ]

Los componentes físicos de un campo tensor de segundo orden se pueden obtener utilizando una base contravariante normalizada, es decir,

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = {\ hat {S}} _ {ij} ~ { \ hat {\ mathbf {b}}} ^ {i} \ otimes {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {j}}

donde los vectores de base de sombrero se han normalizado. Esto implica que (de nuevo sin resumen)

$${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {ij} = S_ {ij} ~ {\ sqrt {g ^ {ii} ~ g ^ {jj}}}}

Divergencia [ editar ]

Campo vectorial [ editar ]

La divergencia de un campo vectorial ($${\ displaystyle \ mathbf {v}})Se define como

$${\ displaystyle \ operatorname {div} ~ \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf { v})}

En términos de componentes con respecto a una base curvilínea.

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {\ ell i} ^ {i} ~ v ^ {\ ell} = \ left [{\ cfrac {\ partial v_ {i}} {\ partial q ^ {j}}} - \ Gamma _ {ji} ^ {\ ell} ~ v_ {\ ell} \ right] ~ g ^ {ij}}

Una ecuación alternativa para la divergencia de un campo vectorial se utiliza con frecuencia. Para derivar esta relación recordemos que

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {\ ell i} ^ {i} ~ v ^ {\ ell}}

Ahora,

$${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell i} ^ {i} = \ Gamma _ {i \ ell} ^ {i} = {\ cfrac {g ^ {mi}} {2}} \ left [{\ frac { \ parcial g_ {im}} {\ parcial q ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ parcial g _ {\ ell m}} {\ parcial q ^ {i}}} - {\ frac {\ parcial g_ {il}} {\ partial q ^ {m}}} \ right]}

Teniendo en cuenta que, debido a la simetría de $${\ displaystyle {\ boldsymbol {g}}},

$${\ displaystyle g ^ {mi} ~ {\ frac {\ partial g _ {\ ell m}} {\ partial q ^ {i}}} = g ^ {mi} ~ {\ frac {\ partial g_ {i \ ell }} {\ parcial q ^ {m}}}}

tenemos

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ cfrac {g ^ {mi }} {2}} ~ {\ frac {\ partial g_ {im}} {\ partial q ^ {\ ell}}} ~ v ^ {\ ell}}

Recuerde que si [ g _ij ] es la matriz cuyos componentes son g _ij , entonces la inversa de la matriz es$${\ displaystyle [g_ {ij}] ^ {- 1} = [g ^ {ij}]}. El inverso de la matriz está dado por

$${\ displaystyle [g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1} = {\ cfrac {A ^ {ij}} {g}} ~; ~~ g: = \ det ([g_ { ij}]) = \ det {\ boldsymbol {g}}}

donde A ^ij es la matriz de cofactor de los componentes g _ij . Del álgebra matricial tenemos

$${\ displaystyle g = \ det ([g_ {ij}]) = \ sum _ {i} g_ {ij} ~ A ^ {ij} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ partial g} {\ partial g_ {ij}}} = A ^ {ij}}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle [g ^ {ij}] = {\ cfrac {1} {g}} ~ {\ frac {\ partial g} {\ partial g_ {ij}}}}

Conectando esta relación en la expresión para la divergencia da

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ cfrac {1} {2g }} ~ {\ frac {\ parcial g} {\ parcial g_ {mi}}} ~ {\ frac {\ parcial g_ {im}} {\ parcial q ^ {\ ell}}} ~ v ^ {\ ell} = {\ frac {\ parcial v ^ {i}} {\ parcial q ^ {i}}} + {\ cfrac {1} {2g}} ~ {\ frac {\ parcial g} {\ parcial q ^ {\ ell}}} ~ v ^ {\ ell}}

Un poco de manipulación conduce a la forma más compacta.

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ {\ frac {\ partial} {\ parcial q ^ {i}} } (v ^ {i} ~ {\ sqrt {g}})}

Campo tensor de segundo orden [ editar ]

La divergencia de un campo tensor de segundo orden se define usando

$${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}}) \ cdot \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot ({\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {a})}

donde a es un vector constante arbitrario. ^[11] En coordenadas curvilíneas,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} & = \ left [{\ cfrac {\ parcial S_ {ij}} {\ parcial q ^ {k} }} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} ~ S_ {lj} - \ Gamma _ {kj} ^ {l} ~ S_ {il} \ right] ~ g ^ {ik} ~ \ mathbf {b} ^ {j} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ partial S ^ {ij}} {\ partial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {il} ^ {i} ~ S ^ { lj} + \ Gamma _ {il} ^ {j} ~ S ^ {il} \ right] ~ \ mathbf {b} _ {j} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ partial S_ { ~ j} ^ {i}} {\ parcial q ^ {i}}} + \ Gamma _ {il} ^ {i} ~ S_ {~ j} ^ {l} - \ Gamma _ {ij} ^ {l} ~ S_ {~ l} ^ {i} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {j} \\ [8pt] & = \ left [{\ cfrac {\ partial S_ {i} ^ {~ j}} { \ parcial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ik} ^ {l} ~ S_ {l} ^ {~ j} + \ Gamma _ {kl} ^ {j} ~ S_ {i} ^ {~ l } \ right] ~ g ^ {ik} ~ \ mathbf {b} _ {j} \ end {alineado}}}

Laplaciano [ editar ]

Campo escalar [ editar ]

El laplaciano de un campo escalar φ ( x ) se define como

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi: = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi)}

El uso de la expresión alternativa para la divergencia de un campo vectorial nos da

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}} ([{\ boldsymbol { \ nabla}} \ varphi] ^ {i} ~ {\ sqrt {g}})}

Ahora

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi = {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {l}}} ~ \ mathbf {b} ^ {l} = g ^ {li} ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial q ^ {l}}} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ quad \ Rightarrow \ quad [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi] ^ {i } = g ^ {li} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {l}}}}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}} \ left (g ^ { li} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {l}}} ~ {\ sqrt {g}} \ right)}

Curl de un campo vectorial [ editar ]

El rizo de un campo vectorial v en coordenadas curvilíneas covariantes se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {v} = {\ mathcal {E}} ^ {rst} v_ {s | r} ~ \ mathbf {b} _ {t}}

dónde

$${\ displaystyle v_ {s | r} = v_ {s, r} - \ Gamma _ {sr} ^ {i} ~ v_ {i}}

Ortogonales coordenadas curvilíneas [ editar ]

Supongamos, para los fines de esta sección, que el sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal , es decir,

{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = {\ begin {cases} g_ {ii} & {\ text {if}} i = j \\ 0 & {\ text {if}} i \ neq j, \ end {cases}}}

o equivalente,

{\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {j} = {\ begin {cases} g ^ {ii} & {\ text {if}} i = j \\ 0 & { \ text {if}} i \ neq j, \ end {cases}}}

dónde $${\ displaystyle g ^ {ii} = g_ {ii} ^ {- 1}}. Como antes,$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i}, \ mathbf {b} _ {j}}son vectores de base covariante y b ⁱ , b ^j son vectores de base contravariante. Además, sea ( e ¹ , e ² , e ³ ) una base cartesiana , fija, de fondo . Una lista de coordenadas curvilíneas ortogonales se da a continuación.

Tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales [ editar ]

Artículo principal: Tensor métrico.

Sea r ( x ) el vector de posición del punto x con respecto al origen del sistema de coordenadas. La notación se puede simplificar observando que x = r ( x ). En cada punto podemos construir un pequeño elemento de línea d x. El cuadrado de la longitud del elemento de línea es el producto escalar d x • d x y se denomina la métrica del espacio . Recordemos que se asume que el espacio de interés es euclidiano.Cuando hablamos de coordenadas curvilíneas. Expresemos el vector de posición en términos del fondo, fijo, cartesiano, es decir,

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} x_ {i} ~ \ mathbf {e} _ {i}}

Usando la regla de la cadena , podemos expresar d x en términos de coordenadas curvilíneas ortogonales tridimensionales ( q ¹ , q ² , q ³ ) como

$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ left ({\ cfrac {\ partial x_ {i }} {\ parcial q ^ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {i} \ right) \ mathrm {d} q ^ {j}}

Por lo tanto, la métrica está dada por

$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {x} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ cfrac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {j}}} ~ {\ cfrac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {k}}} ~ \ mathrm {d} q ^ {j} ~ \ mathrm {d} q ^ {k}}

La cantidad simétrica.

$${\ displaystyle g_ {ij} (q ^ {i}, q ^ {j}) = \ sum _ {k = 1} ^ {3} {\ cfrac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ { i}}} ~ {\ cfrac {\ partial x_ {k}} {\ partial q ^ {j}}} = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}}

Se llama tensor fundamental (o métrico) del espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.

Tenga en cuenta también que

$${\ displaystyle g_ {ij} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ { j}}} = \ left (\ sum _ {k} h_ {ki} ~ \ mathbf {e} _ {k} \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {m} h_ {mj} ~ \ mathbf { e} _ {m} \ right) = \ sum _ {k} h_ {ki} ~ h_ {kj}}

donde h _ij son los coeficientes de lamé.

Si definimos los factores de escala, h _i , usando

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ii} = \ sum _ {k} h_ {ki} ^ {2} =: h_ {i} ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad \ left | {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} \ right | = \ left | \ mathbf {b} _ {i} \ right | = {\ sqrt {g_ {ii}}} = h_ {i}}

Obtenemos una relación entre el tensor fundamental y los coeficientes de Lamé.

Ejemplo: coordenadas polares [ editar ]

Si consideramos coordenadas polares para R ² , ten en cuenta que

$${\ displaystyle (x, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta)}

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) es r .

Los vectores de base ortogonal son b _r = (cos θ, sin θ), b _θ = (- r sin θ, r cos θ). Los vectores de base normalizados son e _r = (cos θ, sin θ), e _θ = (−sin θ, cos θ) y los factores de escala son h _r = 1 y h _θ = r . El tensor fundamental es g ₁₁ = 1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ = 0.

Integrales de línea y superficie [ editar ]

Si deseamos usar coordenadas curvilíneas para los cálculos de cálculos vectoriales , es necesario realizar ajustes en el cálculo de las integrales de línea, superficie y volumen. Para simplificar, nuevamente restringimos la discusión a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican para$${\ displaystyle n}problemas tridimensionales aunque hay algunos términos adicionales en las expresiones cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal.

Integrales de linea [ editar ]

Normalmente en el cálculo de las integrales de línea estamos interesados ​​en calcular

$${\ displaystyle \ int _ {C} f \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {x} (t)) \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | \; dt}

donde x ( t ) parametriza C en coordenadas cartesianas. En coordenadas curvilíneas, el término

$${\ displaystyle \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | = \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ partial \ mathbf {x} \ over \ parcial q ^ {i}} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial t} \ derecho |}

por la regla de la cadena . Y a partir de la definición de los coeficientes de Lamé,

$${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {i}} = \ sum _ {k} h_ {ki} ~ \ mathbf {e} _ {k}}

y por lo tanto

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | & = \ left | \ sum _ {k} \ left (\ sum _ {i} h_ {ki} ~ {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial t}} \ right) \ mathbf {e} _ {k} \ right | \\ [8pt] & = {\ sqrt {\ sum _ {i} \ sum _ {j} \ sum _ {k} h_ {ki} ~ h_ {kj} {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial t}} {\ cfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial t}}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i} \ sum _ {j} g_ {ij} ~ {\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial t}} {\ cfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial t}}}} \ end {alineado}}}

Ahora desde $${\ displaystyle g_ {ij} = 0} cuando $${\ displaystyle i \ neq j}, tenemos

$${\ displaystyle \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | = {\ sqrt {\ sum _ {i} g_ {ii} ~ \ left ({\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial t}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ sum _ {i} h_ {i} ^ {2} ~ \ left ({\ cfrac {\ partial q ^ {i}} {\ partial t}} \ right) ^ {2}}}}

y podemos proceder normalmente.

Integrales de superficie [ editar ]

Asimismo, si estamos interesados ​​en una integral de superficie , el cálculo relevante, con la parametrización de la superficie en coordenadas cartesianas es:

$${\ displaystyle \ int _ {S} f \, dS = \ iint _ {T} f (\ mathbf {x} (s, t)) \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial s} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | \, ds \, dt}

De nuevo, en coordenadas curvilíneas, tenemos

$${\ displaystyle \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial s} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | = \ left | \ left (\ sum _ { i} {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {i}} {\ partial q ^ {i} \ over \ partial s} \ right) \ times \ left (\ sum _ {j} {\ parcial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {j}} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ derecha) \ derecha |}

y hacemos uso de la definición de coordenadas curvilíneas de nuevo para ceder

$${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial q ^ {i}} {\ partial q ^ {i} \ over \ partial s} = \ sum _ {k} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {3} h_ {ki} ~ {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} \ derecha) \ mathbf {e} _ {k} ~; ~~ {\ partial \ mathbf {x} \ sobre \ parcial q ^ {j}} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} = \ sum _ {m} \ izquierda (\ sum _ {j = 1} ^ {3} h_ {mj} ~ {\ partial q ^ {j} \ over \ partial t} \ right) \ mathbf {e} _ {m}}

Por lo tanto,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial s} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right | & = \ left | \ sum _ {k} \ sum _ {m} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {3} h_ {ki} ~ {\ partial q ^ {i} \ over \ partial s} \ right) \ izquierda (\ sum _ {j = 1} ^ {3} h_ {mj} ~ {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ derecha) \ mathbf {e} _ {k} \ times \ mathbf { e} _ {m} \ right | \\ [8pt] & = \ left | \ sum _ {p} \ sum _ {k} \ sum _ {m} {\ mathcal {E}} _ {kmp} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {3} h_ {ki} ~ {\ partial q ^ {i} \ over \ partial s} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {3} h_ {mj} ~ {\ partial q ^ {j} \ over \ partial t} \ right) \ mathbf {e} _ {p} \ right | \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}Es el símbolo de permutación .

En forma determinante, el producto cruzado en términos de coordenadas curvilíneas será:

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} \ mathbf {e} _ {1} & \ mathbf {e} _ {2} & \ mathbf {e} _ {3} \\ && \\ sum _ {i} h_ {1i} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} & \ sum _ {i} h_ {2i} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} & \ sum _ {i} h_ {3i} {\ parcial q ^ {i} \ sobre \ parcial s} \\ && \\ sum _ {j} h_ {1j} {\ parcial q ^ {j} \ over \ parcial t} & \ sum _ {j} h_ {2j} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} & \ sum _ {j} h_ {3j} {\ parcial q ^ {j} \ sobre \ parcial t} \ fin {vmatrix }}}

Grad, curl, div, laplaciano [ editar ]

En coordenadas curvilíneas ortogonales de 3 dimensiones, donde

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = \ sum _ {k} g ^ {ik} ~ \ mathbf {b} _ {k} ~; ~~ g ^ {ii} = {\ cfrac {1} {g_ {ii}}} = {\ cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}}}

se puede expresar el gradiente de un campo escalar o vectorial como

$${\ displaystyle \ nabla \ varphi = \ sum _ {i} {\ partial \ varphi \ over \ partial q ^ {i}} ~ \ mathbf {b} ^ {i} = \ sum _ {i} \ sum _ { j} {\ partial \ varphi \ over \ parcial q ^ {i}} ~ g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _ {j} = \ sum _ {i} {\ cfrac {1} {h_ {i } ^ {2}}} ~ {\ partial f \ over \ partial q ^ {i}} ~ \ mathbf {b} _ {i} ~; ~~ \ nabla \ mathbf {v} = \ sum _ {i} {\ cfrac {1} {h_ {i} ^ {2}}} ~ {\ partial \ mathbf {v} \ over \ partial q ^ {i}} \ otimes \ mathbf {b} _ {i}}

Para una base ortogonal

$${\ displaystyle g = g_ {11} ~ g_ {22} ~ g_ {33} = h_ {1} ^ {2} ~ h_ {2} ^ {2} ~ h_ {3} ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ sqrt {g}} = h_ {1} h_ {2} h_ {3}}

La divergencia de un campo vectorial se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}} (h_ {1} h_ {2} h_ {3} ~ v ^ {i})}

También,

$${\ displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} ~ v_ {k} \ quad \ Rightarrow v ^ {1} = g ^ {11} ~ v_ {1} = {\ cfrac {v_ {1}} { h_ {1} ^ {2}}} ~; ~~ v ^ {2} = g ^ {22} ~ v_ {2} = {\ cfrac {v_ {2}} {h_ {2} ^ {2}} } ~; ~~ v ^ {3} = g ^ {33} ~ v_ {3} = {\ cfrac {v_ {3}} {h_ {3} ^ {2}}}}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}} \ left ({\ cfrac {h_ {1} h_ {2} h_ {3}} {h_ {i} ^ {2}}} ~ v_ {i} \Correcto)}

Podemos obtener una expresión para el laplaciano de manera similar al observar que

$${\ displaystyle g ^ {li} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {l}}} = \ left \ {g ^ {11} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ parcial q ^ {1}}}, g ^ {22} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ parcial q ^ {2}}}, g ^ {33} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {3}}} \ right \} = \ left \ {{\ cfrac {1} {h_ {1} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {1}}}, {\ cfrac {1} {h_ {2} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {2}}}, {\ cfrac {1 } {h_ {3} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial q ^ {3}}} \ right \}}

Entonces nosotros tenemos

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = {\ cfrac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} ~ \ sum _ {i} {\ frac {\ partial} {\ parcial q ^ {i}}} left ({\ cfrac {h_ {1} h_ {2} h_ {3}} {h_ {i} ^ {2}}} ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ parcial q ^ {i}}} \ right)}

Las expresiones para el gradiente, la divergencia y el laplaciano se pueden extender directamente a n-dimensiones.

El rizo de un campo vectorial está dado por

$${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {e } _ {i} \ sum _ {jk} \ varepsilon _ {ijk} h_ {i} {\ frac {\ partial (h_ {k} v_ {k})} {\ partial q ^ {j}}}}

donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita .

Ejemplo: coordenadas polares cilíndricas [ editar ]

Para coordenadas cilíndricas tenemos

$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ mathbf {x} = {\ boldsymbol {\ varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ { 3}) = {\ boldsymbol {\ varphi}} (r, \ theta, z) = \ {r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, z \}}

y

$${\ displaystyle \ {\ psi ^ {1} (\ mathbf {x}), \ psi ^ {2} (\ mathbf {x}), \ psi ^ {3} (\ mathbf {x}) \} = ( q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) \ equiv (r, \ theta, z) = \ {{\ \ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ { 2}}}, \ tan ^ {- 1} (x_ {2} / x_ {1}), x_ {3} \}}

dónde

{\ displaystyle 0

Entonces los vectores de base covariante y contravariante son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} _ {1} & = \ mathbf {e} _ {r} = \ mathbf {b} ^ {1} \\\ mathbf {b} _ {2} & = r ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} = r ^ {2} ~ \ mathbf {b} ^ {2} \\\ mathbf {b} _ {3} & = \ mathbf {e} _ { z} = \ mathbf {b} ^ {3} \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta}, \ mathbf {e} _ {z}} son los vectores unitarios en el $${\ displaystyle r, \ theta, z} direcciones.

Tenga en cuenta que los componentes del tensor métrico son tales que

$${\ displaystyle g ^ {ij} = g_ {ij} = 0 (i \ neq j) ~; ~~ {\ sqrt {g ^ {11}}} = 1, ~ {\ sqrt {g ^ {22}} } = {\ cfrac {1} {r}}, ~ {\ sqrt {g ^ {33}}} = 1}

Lo que demuestra que la base es ortogonal.

Los componentes distintos de cero del símbolo de Christoffel del segundo tipo son

$${\ displaystyle \ Gamma _ {12} ^ {2} = \ Gamma _ {21} ^ {2} = {\ cfrac {1} {r}} ~; ~~ \ Gamma _ {22} ^ {1} = -r}

Representando un campo vectorial físico [ editar ]

Los vectores de base contravariantes normalizados en coordenadas polares cilíndricas son

$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {1} = \ mathbf {e} _ {r} ~; ~~ {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {2} = \ mathbf {e} _ {\ theta} ~; ~~ {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {3} = \ mathbf {e} _ {z}}

y los componentes físicos de un vector v son

$${\ displaystyle ({\ hat {v}} _ {1}, {\ hat {v}} _ {2}, {\ hat {v}} _ {3}) = (v_ {1}, v_ {2 } / r, v_ {3}) = :( v_ {r}, v _ {\ theta}, v_ {z})}

Gradiente de un campo escalar [ editar ]

El gradiente de un campo escalar, f ( x ), en coordenadas cilíndricas ahora se puede calcular a partir de la expresión general en coordenadas curvilíneas y tiene la forma

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} f = {\ cfrac {\ partial f} {\ partial r}} ~ \ mathbf {e} _ {r} + {\ cfrac {1} {r}} ~ { \ cfrac {\ partial f} {\ partial \ theta}} ~ \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ cfrac {\ partial f} {\ partial z}} ~ \ mathbf {e} _ {z} }

Gradiente de un campo vectorial [ editar ]

De manera similar, se puede mostrar que el gradiente de un campo vectorial, v ( x ), en coordenadas cilíndricas es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial v_{r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-v_{\theta }\right)~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

La divergencia de un campo vectorial [ editar ]

Usando la ecuación para la divergencia de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas, se puede demostrar que la divergencia en coordenadas cilíndricas es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} & = {\ cfrac {\ partial v_ {r}} {\ partial r}} + {\ cfrac {1} {r}} \ left ({\ cfrac {\ partial v _ {\ theta}} {\ partial \ theta}} + v_ {r} \ right) + {\ cfrac {\ partial v_ {z}} {\ partial z }} \ end {alineado}}}

Laplaciano de un campo escalar [ editar ]

El laplaciano se calcula más fácilmente al señalar que $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} f = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} f}. En coordenadas polares cilíndricas.

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ nabla}} f = \ left [v_ {r} ~~ v _ {\ theta} ~~ v_ {z} \ right] = \ left [{\ cfrac { \ parcial f} {\ parcial r}} ~~ {\ cfrac {1} {r}} {\ cfrac {\ parcial f} {\ partial \ theta}} ~~ {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial z}} \ right]}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ nabla}} ^ {2} f = {\ cfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r ^ {2}}} + {\ cfrac {1} {r}} \ left ({\ cfrac {1} {r}} {\ cfrac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ theta ^ {2} }} + {\ cfrac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ derecha) + {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}} = {\ cfrac {1} {r}} \ left [{\ cfrac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ cfrac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) \ right] + {\ cfrac {1 } {r ^ {2}}} {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial \ theta ^ {2}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}}}

Representando un campo tensor físico de segundo orden [ editar ]

Los componentes físicos de un campo tensor de segundo orden son aquellos obtenidos cuando el tensor se expresa en términos de una base contravariante normalizada. En coordenadas polares cilíndricas estos componentes son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ hat {S}} _ {11} & = S_ {11} =: S_ {rr} ~; ~~ {\ hat {S}} _ {12} = {\ cfrac {S_ {12}} {r}} =: S_ {r \ theta} ~; ~~ {\ hat {S}} _ {13} & = S_ {13} =: S_ {rz} \\ {\ hat {S}} _ {21} & = {\ cfrac {S_ {11}} {r}} =: S _ {\ theta r} ~; ~~ {\ hat {S}} _ {22} = {\ cfrac {S_ {22}} {r ^ {2}}} =: S _ {\ theta \ theta} ~; ~~ {\ hat {S}} _ {23} & = {\ cfrac {S_ {23}} {r}} =: S _ {\ theta z} \\ {\ hat {S}} _ {31} & = S_ {31} =: S_ {zr} ~; ~~ {\ hat {S}} _ { 32} = {\ cfrac {S_ {32}} {r}} =: S_ {z \ theta} ~; ~~ {\ hat {S}} _ {33} & = S_ {33} =: S_ {zz } \ end {alineado}}}

Gradiente de un campo tensor de segundo orden [ editar ]

Usando las definiciones anteriores podemos mostrar que el gradiente de un campo tensor de segundo orden en coordenadas polares cilíndricas se puede expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rr}}{\partial \theta }}-(S_{\theta r}+S_{r\theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{rz}}{\partial \theta }}-S_{\theta z}\right]~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{zr}}{\partial \theta }}-S_{z\theta }\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial \theta }}+S_{zr}\right]~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }\otimes \mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}~{\frac {\partial S_{zz}}{\partial \theta }}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Divergencia de un campo tensor de segundo orden [ editar ]

La divergencia de un campo tensor de segundo orden en coordenadas polares cilíndricas puede obtenerse a partir de la expresión del gradiente mediante la recopilación de términos en los que el producto escalar de los dos vectores externos en los productos diádicos es distinto de cero. Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\cfrac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\[8pt]&+{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$