SISTEMAS DE COORDENADAS

las coordenadas hiperbólicas son un método para ubicar puntos en el cuadrante I del plano cartesiano

{\ displaystyle \ {(x, y) \: \ x> 0, \ y> 0 \ \} = Q}.

Las coordenadas hiperbólicas toman valores en el plano hiperbólico definido como:

{\ displaystyle HP = \ {(u, v): u \ in \ mathbb {R}, v> 0 \}}.

Estas coordenadas en HP son útiles para estudiar comparaciones logarítmicas de proporción directa en Q y medir desviaciones de proporción directa.

por $${\ displaystyle (x, y)} en $${\ displaystyle Q} tomar

$${\ displaystyle u = \ ln {\ sqrt {\ frac {x} {y}}}}

y

$${\ displaystyle v = {\ sqrt {xy}}}.

El parámetro u es el ángulo hiperbólico a ( x, y ) y v es la media geométrica de x e y .

El mapeo inverso es

$${\ displaystyle x = ve ^ {u}, \ quad y = ve ^ {- u}}.

La función $${\ displaystyle Q \ rightarrow HP}Es un mapeo continuo , pero no una función analítica .

Cuadrante Alternativa métrica [ editar ]

Dado que HP lleva la estructura del espacio métrico del modelo de geometría hiperbólica semiplano de Poincaré, la correspondencia biyectiva $${\ displaystyle Q \ leftrightarrow HP}trae esta estructura para Q . Puede ser captado usando la noción de movimientos hiperbólicos . Como las geodésicas en HP son semicírculos con centros en el límite, las geodésicas en Q se obtienen de la correspondencia y resultan ser rayos del origen o curvas en forma de pétalo que salen y reingresan al origen. Y el movimiento hiperbólico de HP dada por un desplazamiento a la izquierda-derecha corresponde a un mapeo de compresión aplicada a Q .

Desde hipérbolas en Q corresponden a líneas paralelas a los límites de HP , son horociclo en la geometría métrica de Q .

Si sólo se tiene en cuenta la topología euclidiana del plano y la topología heredada por Q , entonces las líneas que delimitan Q parecen cerca de Q . Visión desde el espacio métrico HP muestra que el conjunto abierto Q solo tiene el origen como límite cuando se ve a través de la correspondencia. De hecho, considere los rayos desde el origen en Q , y sus imágenes, los rayos verticales desde el límite R de HP . Cualquier punto en HP es una distancia infinita desde el punto p al pie de la perpendicular a R, pero una secuencia de puntos en esta perpendicular puede tender en la dirección de p . La secuencia correspondiente en Q tiende a lo largo de un rayo hacia el origen. El antiguo límite euclidiano de Q ya no es relevante.

Aplicaciones en la ciencia física [ editar ]

Las variables físicas fundamentales a veces se relacionan mediante ecuaciones de la forma k = xy . Por ejemplo, V = IR ( ley de Ohm ), P = VI ( potencia eléctrica ), PV = k T ( ley del gas ideal ) y f λ = v (relación de longitud de onda , frecuencia y velocidad en el medio de onda). Cuando k es constante, las otras variables se encuentran en una hipérbola, que es un horociclo en el cuadrante Q apropiado .

Por ejemplo, en termodinámica, el proceso isotérmico sigue explícitamente el camino hiperbólico y el trabajopuede interpretarse como un cambio de ángulo hiperbólico. De manera similar, una masa M determinada de gas con volumen cambiante tendrá una densidad variable δ = M / V , y la ley del gas ideal puede escribirse P = k T δ de modo que un proceso isobárico rastree una hipérbola en el cuadrante de temperatura absoluta y gas densidad.

Para coordenadas hiperbólicas en la teoría de la relatividad, vea la sección de Historia .

Aplicaciones estadísticas [ editar ]

• El estudio comparativo de la densidad de población en el cuadrante comienza con la selección de una nación, región o área urbana de referencia cuya población y área se toman como punto (1,1).
• El análisis de la representación elegida de las regiones en una democracia representativa comienza con la selección de un estándar para comparación: un grupo representado particular, cuya magnitud y magnitud de pizarra (de representantes) se ubica en (1,1) en el cuadrante.

Aplicaciones económicas [ editar ]

Hay muchas aplicaciones naturales de coordenadas hiperbólicas en la economía :

• Análisis de la fluctuación del tipo de cambio :

Los conjuntos de divisas de la unidad. $${\ displaystyle x = 1}. La moneda del precio corresponde a$${\ displaystyle y}. por

{\ displaystyle 0

encontramos {\ displaystyle u> 0}, un ángulo hiperbólico positivo. Para una fluctuación tomar un nuevo precio.

{\ displaystyle 0 .

Entonces el cambio en u es:

$${\ displaystyle \ Delta u = \ ln {\ sqrt {\ frac {y} {z}}}}.

La cuantificación de la fluctuación de la tasa de cambio a través del ángulo hiperbólico proporciona una medidaobjetiva, simétrica y consistente . La cantidad$${\ displaystyle \ Delta u} es la duración del desplazamiento de izquierda a derecha en la vista de movimiento hiperbólico de la fluctuación de la moneda.

• Análisis de la inflación o deflación de precios de una canasta de bienes de consumo .
• Cuantificación del cambio de cuota de mercado en duopolio .
• Las acciones corporativas se dividen contra la recompra de acciones.

Historia [ editar ]

El medio geométrico es un concepto antiguo, pero el ángulo hiperbólico fue desarrollado en esta configuración por Gregoire de Saint-Vincent . Estaba intentando realizar una cuadratura con respecto a la hipérbola rectangular y = 1 / x . Ese desafío fue un problema abierto ya que Arquímedes realizó la cuadratura de la parábola . La curva pasa por (1,1) donde está opuesta al origen (matemáticas) en una unidad cuadrada . Los otros puntos de la curva se pueden ver como rectángulos que tienen la misma áreacomo esta plaza. Dicho rectángulo se puede obtener aplicando un mapeo de compresión al cuadrado. Otra forma de ver estas asignaciones es a través de sectores hiperbólicos . A partir de (1,1) el sector hiperbólico del área de la unidad termina en (e, 1 / e), donde ees 2.71828 ..., según el desarrollo de Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

Tomando (e, 1 / e) como el vértice del rectángulo de área de unidad, y aplicando nuevamente el apretón que lo hizo desde el cuadrado de unidad, se obtiene $${\ displaystyle (e ^ {2}, \ e ^ {- 2}).} Generalmente n aprieta los rendimientos. $${\ displaystyle (e ^ {n}, \ e ^ {- n}).}AA de Sarasa observó una observación similar de G. de Saint Vincent, que a medida que las abscisas aumentaban en una serie geométrica , la suma de las áreas en contra de la hipérbola aumentaba en la serie aritmética , y esta propiedad correspondía al logaritmo ya utilizado para reducir las multiplicaciones a las adiciones. El trabajo de Euler convirtió el logaritmo natural en una herramienta matemática estándar y elevó las matemáticas al ámbito de las funciones trascendentales . Las coordenadas hiperbólicas se forman en la imagen original de G. de Saint-Vincent, que proporcionó la cuadratura de la hipérbola y trascendió los límites de las funciones algebraicas .

En la relatividad especial, la atención se centra en la hipersuperficie tridimensional en el futuro del espacio-tiempo, donde varias velocidades llegan después de un tiempo apropiado dado . Scott Walter ^[1] explica que en noviembre de 1907 Hermann Minkowski aludió a una conocida geometría hiperbólica tridimensional mientras hablaba con la Sociedad Matemática de Göttingen, pero no con una de cuatro dimensiones. ^[2] En homenaje a Wolfgang Rindler , el autor de un libro de texto estándar de nivel universitario introductorio sobre relatividad, las coordenadas hiperbólicas del espacio-tiempo se denominan coordenadas de Rindler .

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El diagrama cruzado keynesiano incluye una línea de identidad para mostrar los estados en los cuales la demanda agregada es igual a la salida

En un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional , donde xrepresenta la abscisa e y la ordenada , la línea de identidad ^[1] [2] o línea de igualdad ^[3] es la línea y  =  x . La línea, a veces llamada línea 1: 1 , tiene una pendiente de 1. ^[4] Cuando la abscisa y la ordenada están en la misma escala, la línea de identidad forma un ángulo de 45 ° con la abscisa, y por lo tanto también es, informalmente, Llamada la línea 45 ° . ^[5] La línea se usa a menudo como referencia en un diagrama de dispersión bidimensional que compara dos conjuntos de datos que se espera sean idénticos en las condiciones ideales. Cuando los puntos de datos correspondientes de los dos conjuntos de datos son iguales entre sí, los dispersos correspondientes caen exactamente en la línea de identidad. ^[6]

En economía , una línea de identidad se utiliza en el diagrama cruzado keynesiano para identificar el equilibrio, ya que solo en la línea de identidad la demanda agregada es igual a la oferta agregada.

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Jacobi coordina para el problema de dos cuerpos ; Coordenadas de Jacobi son$${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} = {\ frac {m_ {1}} {M}} {\ boldsymbol {x}} _ {1} + {\ frac {m_ {2}} {M}} { \ boldsymbol {x}} _ {2}}y $${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = {\ boldsymbol {x}} _ {1} - {\ boldsymbol {x}} _ {2}} con $${\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}. ^[1]

Un posible conjunto de coordenadas de Jacobi para un problema de cuatro cuerpos; las coordenadas de Jacobi son r ₁ , r ₂ , r ₃ y el centro de masa R . Ver Cornille. ^[2]

En la teoría de los sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi a menudo se usan para simplificar la formulación matemática. Estas coordenadas son particularmente comunes en el tratamiento de moléculaspoliatómicas y reacciones químicas , ^[3] y en la mecánica celeste . ^[4] Un algoritmo para generar las coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede estar basado en árboles binarios . ^[5] En palabras, el algoritmo se describe de la siguiente manera: ^[5]

Sean m _j y m _k las masas de dos cuerpos que son reemplazados por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m _j + m _k . Las coordenadas de posición x _j y x _k se reemplazan por su posición relativa r _jk = x _j  -  x _k y por el vector a su centro de masa R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k ) / ( m _j + m _k ). El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m _jcomo su hijo derecho y m _k como su hijo izquierdo. El orden de los hijos indica los puntos de coordenadas relativas de x _k a x _j . Repita el paso anterior para los  cuerpos N -1, es decir, los  cuerpos originales N -2 más el cuerpo virtual nuevo.

Para el problema de N- body el resultado es: ^[2]

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r_ {j}}} = {\ frac {1} {m_ {0j}}} \ sum _ {k = 1} ^ {j} m_ {k} {\ boldsymbol {x_ {k }}} \ - \ {\ boldsymbol {x_ {j + 1}}} \, \ quad (j = 1,2, \ dots, N-1)}

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r_ {N}}} = {\ frac {1} {m_ {0N}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} {\ boldsymbol {x_ {k }}} \,}

con

$${\ displaystyle m_ {0j} = \ sum _ {k = 1} ^ {j} \ m_ {k} \.}

El vector $${\ displaystyle {\ boldsymbol {r_ {N}}}}Es el centro de masa de todos los cuerpos.

El resultado que se deja es un sistema de N -1 coordenadas invariables en la traducción$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r_ {1}}}, \ dots, {\ boldsymbol {r_ {N-1}}}} y un centro de coordenadas de masa. $${\ displaystyle {\ boldsymbol {r_ {N}}}}, de la reducción iterativa de los sistemas de dos cuerpos dentro del sistema de muchos cuerpos.