SISTEMAS DE COORDENADAS

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Coordenadas triangulares

En matemáticas , las coordenadas biangularesson un sistema de coordenadas para el plano donde$${\ displaystyle C_ {1}} y $${\ displaystyle C_ {2}}son dos puntos fijos, y la posición de un punto P no en la línea$${\ displaystyle {\ overline {C_ {1} C_ {2}}}} esta determinado por los angulos $${\ displaystyle \ angle PC_ {1} C_ {2}} y $${\ displaystyle \ angle PC_ {2} C_ {1}} .

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Ver también: coordenadas bipolares de dos centros.

Sistema de coordenadas bipolar

Las coordenadas bipolares son un sistema de coordenadas ortogonal bidimensional basado en los círculos apolínicos . ^[1] . Confusamente, el mismo término también se usa a veces para coordenadas bipolares de dos centros . También hay un tercer sistema, basado en dos polos ( coordenadas biangulares ). 

El término "bipolar" también se usa en ocasiones para describir otras curvas que tienen dos puntos singulares (focos), como elipsis , hipérbolas y óvalos de Cassini . Sin embargo, el término coordenadas bipolares se reserva para las coordenadas que se describen aquí, y nunca se usa para sistemas asociados con esas otras curvas, como las coordenadas elípticas .

Definición [ editar ]

El sistema se basa en dos focos F ₁ y F ₂ . Con referencia a la figura de la derecha, la coordenada σ de un punto P es igual al ángulo F ₁ P  F ₂ , y la coordenada τ es igual al logaritmo natural de la relación de las distancias d ₁ y d ₂ :

$${\ displaystyle \ tau = \ ln {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}

Si, en el sistema cartesiano, los focos se ubican en (- a , 0) y ( a , 0), las coordenadas del punto P son

$${\ displaystyle x = a \ {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}, \ qquad y = a \ {\ frac {\ sin \ sigma} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}

La coordenada τ se extiende desde$${\ displaystyle - \ infty}(para puntos cercanos a F ₁) a$${\ displaystyle \ infty}(para puntos cercanos a F ₂ ). La coordenada σ solo se define en el módulo 2π , y se considera mejor que oscile entre -π y π , tomándola como el negativo del ángulo agudo F ₁  P  F ₂ si P está en la mitad del plano inferior.

Prueba de que el sistema de coordenadas es ortogonal [ editar ]

Las ecuaciones para x y y se pueden combinar para dar

$${\ displaystyle x + iy = ai \ cot \ left ({\ frac {\ sigma + i \ tau} {2}} \ derecha).}^[2] [3]

Esta ecuación muestra que σ y τ son las partes reales e imaginarias de una función analítica de x + iy (con puntos de ramificación logarítmica en los focos), lo que a su vez demuestra (apelando a la teoría general del mapeo conforme) que las curvas de σ y τ se intersecan en ángulos rectos, es decir, que el sistema de coordenadas es ortogonal.

Curvas de constante σ y τ [ editar ]

Las curvas de la constante σ corresponden a círculos no concéntricos.

$${\ displaystyle x ^ {2} + \ left (ya \ cot \ sigma \ right) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ sigma}}}

que se cruzan en los dos focos. Los centros de los círculos de constante σ se encuentran en el eje y . Los círculos de σ positivo están centrados sobre el eje x , mientras que los de σ negativos se encuentran debajo del eje. Como la magnitud | σ | aumenta, el radio de los círculos disminuye y el centro se acerca al origen (0, 0), que se alcanza cuando | σ | = π .

Las curvas de constante. $${\ displaystyle \ tau} Son círculos no intersecantes de diferentes radios.

$${\ displaystyle y ^ {2} + \ left (xa \ coth \ tau \ right) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}}}

Que rodean los focos pero de nuevo no son concéntricos. Los centros de los círculos de la constante τ se encuentran en el eje x . Los círculos de τ positivos se encuentran en el lado derecho del plano ( x  > 0), mientras que los círculos de τ positivos se encuentran en el lado derecho del plano ( x  <0 font="" nbsp="">La  curva τ = 0 corresponde al eje y ( x  = 0). A medida que aumenta la magnitud de τ , el radio de los círculos disminuye y sus centros se acercan a los focos.

Relaciones recíprocas [ editar ]

El pasaje de las coordenadas cartesianas hacia las coordenadas bipolares se puede realizar mediante las siguientes fórmulas:

$${\ displaystyle \ tau = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {(x + a) ^ {2} + y ^ {2}} {(xa) ^ {2} + y ^ { 2}}}}

y

$${\ displaystyle \ pi - \ sigma = 2 \ arctan {\ frac {2ay} {a ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} + {\ sqrt {(a ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} y ^ {2}}}}}.

También tenemos las identidades elegantes:

$${\ displaystyle \ tanh \ tau = {\ frac {2ax} {x ^ {2} + y ^ {2} + a ^ {2}}}}

y

$${\ displaystyle \ tan \ sigma = {\ frac {2ay} {x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}}}.}

Factores de escala [ editar ]

Para obtener los factores de escala para coordenadas bipolares, tomamos el diferencial de la ecuación para $${\ displaystyle x + iy}, lo que da

$${\ displaystyle dx + i \, dy = {\ frac {-ia} {\ sin ^ {2} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} (\ sigma + i \ tau) {\ bigr )}}} (d \ sigma + i \, d \ tau).}

Multiplicando esta ecuación con sus complejos rendimientos conjugados.

$${\ displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {{\ bigl [} 2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma + i \ tau {\ bigr)} \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma -i \ tau {\ bigr)} {\ bigr]} ^ {2 }}} {\ bigl (} (d \ sigma) ^ {2} + (d \ tau) ^ {2} {\ bigr)}.}

Empleando las identidades trigométricas para productos de senos y cosenos, obtenemos

$${\ displaystyle 2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma + i \ tau {\ bigr)} \ sin {\ tfrac {1} {2}} {\ bigl (} \ sigma -i \ tau {\ bigr)} = \ cos \ sigma - \ cosh \ tau,}

de lo que se deduce que

$${\ displaystyle (dx) ^ {2} + (dy) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {(\ cosh \ tau - \ cos \ sigma) ^ {2}}} {\ bigl (} (d \ sigma) ^ {2} + (d \ tau) ^ {2} {\ bigr)}.}

Por lo tanto, los factores de escala para σ y τ son iguales, y dados por

$${\ displaystyle h _ {\ sigma} = h _ {\ tau} = {\ frac {a} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}

Muchos resultados ahora siguen en rápida sucesión de las fórmulas generales para coordenadas ortogonales . Por lo tanto, el elemento del área infinitesimal es igual a

$${\ displaystyle dA = {\ frac {a ^ {2}} {\ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right) ^ {2}}} \, d \ sigma \, d \ tau,}

y el laplaciano está dado por

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2}}} \ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ sigma ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ tau ^ {2}}} \ derecha) .}

Expresiones para $${\ displaystyle \ nabla f}, $${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}y $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}se puede expresar obtenido al sustituir los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .

Aplicaciones [ editar ]

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bipolares están en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas bipolares permiten una separación de variables . Un ejemplo es el campo eléctrico que rodea dos conductores cilíndricos paralelos con diámetros desiguales.

Los trazadores polares utilizan coordenadas bipolares para describir los trazados de dibujo necesarios para dibujar una imagen de destino.

Extensión a 3 dimensiones [ editar ]

Las coordenadas bipolares forman la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales .

• Las coordenadas cilíndricas bipolares se producen al traducir las coordenadas bipolares a lo largo del eje z , es decir, el eje fuera del plano.

• Las coordenadas bisféricas se producen girando las coordenadas bipolares alrededor del eje x , es decir, el eje que conecta los focos.

• Las coordenadas toroidales se producen girando las coordenadas bipolares alrededor del eje y , es decir, el eje que separa los focos.

Interpretación geométrica de las coordenadas bipolares. El ángulo σ está formado por los dos focos y el punto P , mientras que τ es el logaritmo de la relación de distancias a los focos. Los círculos correspondientes de la constante σ y τ se muestran en rojo y azul, respectivamente, y se encuentran en ángulos rectos (caja magenta); son ortogonales.