SISTEMAS DE COORDENADAS

Sistemas de coordenadas para el plano hiperbólico.

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En el plano hiperbólico , como en el plano euclidiano , cada punto puede ser identificado de manera única por dos números reales . Se utilizan varias formas cualitativamente diferentes de coordinar el plano en geometría hiperbólica.

Este artículo trata de ofrecer una descripción general de varios sistemas de coordenadas en uso para el plano hiperbólico bidimensional.

En las descripciones a continuación, la curvatura gaussiana constante del plano es −1. Sinh , cosh y tanh son funciones hiperbólicas .

Sistema de coordenadas polares [ editar ]

Puntos en el polar sistema con el poste de coordenadas O y polar eje L . En verde, el punto con coordenada radial 3 y coordenada angular 60 grados o (3, 60 °) . En azul, el punto (4, 210 °) .

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto en un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia.

El punto de referencia (análogo al origen de un sistema cartesiano ) se denomina polo , y el rayo desde el polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se denomina coordenada radial o radio , y el ángulo se denomina coordenada angular o ángulo polar .

De la ley hiperbólica de los cosenos , obtenemos que la distancia entre dos puntos dada en coordenadas polares es

$${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle r_ {1}, \ theta _ {1} \ rangle, \ langle r_ {2}, \ theta _ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \, \ izquierda (\ cosh r_ {1} \ cosh r_ {2} - \ sinh r_ {1} \ sinh r_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ theta _ {1}) \ derecha) \ ,. }

El tensor métrico correspondiente es: $${\ displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = (\ mathrm {d} r) ^ {2} + \ sinh ^ {2} r \, (\ mathrm {d} \ theta) ^ {2 } \ ,.}

Las rectas se describen mediante ecuaciones de la forma.

$${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ pm {\ frac {\ pi} {2}} \ quad {\ text {o}} \ quad \ tanh r = \ tanh r_ {0} \ sec (\ theta - \ theta _ {0})}

donde r ₀ y θ ₀ son las coordenadas del punto más cercano en la línea al polo.

Modelo de sistema Quadrant [ editar ]

El modelo de semiplano de Poincaré está estrechamente relacionado con un modelo del plano hiperbólico en el cuadrante Q = {( x, y ): x > 0, y > 0}. Para tal punto la media geométrica $${\ displaystyle v = {\ sqrt {xy}}}y el ángulo hiperbólico $${\ displaystyle u = \ ln {\ sqrt {x / y}}}produce un punto ( u, v ) en el semiplano superior. La métrica hiperbólica en el cuadrante depende de la métrica del semiplano de Poincaré. Los movimientos del modelo de Poincaré se trasladan al cuadrante; en particular, los desplazamientos hacia la izquierda o hacia la derecha del eje real corresponden a rotaciones hiperbólicas del cuadrante. Debido al estudio de las proporciones en la física y la economía donde el cuadrante es el universo del discurso, se dice que sus puntos están localizados por coordenadas hiperbólicas .

Coordenadas cartesianas sistemas de estilo [ editar ]

En geometría hiperbólica no existen rectángulos . La suma de los ángulos de un cuadrilátero en geometría hiperbólica es siempre menor que 4 ángulos rectos (consulte el cuadrilátero de Lambert ). También en la geometría hiperbólica no hay líneas equidistantes (ver hiperciclos ). Todo esto tiene influencias en los sistemas de coordenadas.

Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en la elección de un punto real (no ideal ) (el Origen ) en una línea dirigida elegida (el eje x ) y después de eso existen muchas opciones.

Coordenadas axiales [ editar ]

Las coordenadas axiales x _a y y _a se encuentran al construir un eje y perpendicular al eje x a través del origen. ^[1]

Al igual que en el sistema de coordenadas cartesiano , las coordenadas se encuentran al soltar perpendiculares desde el punto hasta los ejes x e y . x _a es la distancia desde el pie de la perpendicular en el eje x al origen (considerada como positiva en un lado y negativa en el otro); y _a es la distancia desde el pie de la perpendicular en el eje y hasta el origen.

Cada punto y la mayoría de los puntos ideales tienen coordenadas axiales, pero no todos los pares de números reales corresponden a un punto.

Si $${\ displaystyle \ tanh ^ {2} (x_ {a}) + \ tanh ^ {2} (y_ {a}) = 1} entonces $${\ displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})} Es un punto ideal.

Si {\ displaystyle \ tanh ^ {2} (x_ {a}) + \ tanh ^ {2} (y_ {a})> 1} entonces $${\ displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})} No es un punto en absoluto.

La distancia de un punto $${\ displaystyle P (x_ {a}, y_ {a})}al eje x es$${\ displaystyle \ operatorname {artanh} \ left (\ tanh (y_ {a}) \ cosh (x_ {a}) \ right)}. Para el y eje x es$${\ displaystyle \ operatorname {artanh} \ left (\ tanh (x_ {a}) \ cosh (y_ {a}) \ right)}.

La relación de las coordenadas axiales con las coordenadas polares (asumiendo que el origen es el polo y que el eje x positivo es el eje polar) es

$${\ displaystyle x = \ operatorname {artanh} \, (\ tanh r \ cos \ theta)}

$${\ displaystyle y = \ operatorname {artanh} \, (\ tanh r \ sin \ theta)}

$${\ displaystyle r = \ operatorname {artanh} \, ({\ sqrt {\ tanh ^ {2} x + \ tanh ^ {2} y}} \,)}

$${\ displaystyle \ theta = 2 \ operatorname {artan} \, \ left ({\ frac {\ tanh y} {\ tanh x + {\ sqrt {\ tanh ^ {2} x + \ tanh ^ {2} y}}} }\Correcto)\,.}

Lobachevsky coordenadas [ editar ]

Las coordenadas de Lobachevsky x _ℓ y y _ℓ se encuentran al colocar una perpendicular sobre el eje x . x _ℓ es la distancia desde el pie del eje perpendicular al eje x hasta el origen (positivo en un lado y negativo en el otro, igual que en las coordenadas axiales ). ^[1]

y _ℓ es la distancia a lo largo del perpendicular del punto dado a su pie (positivo en un lado y negativo en el otro).

$${\ displaystyle x_ {l} = x_ {a} \, \ \ tanh (y_ {l}) = \ tanh (y_ {a}) \ cosh (x_ {a}) \, \ \ tanh (y_ {a} ) = {\ frac {\ tanh (y_ {l})} {\ cosh (x_ {l})}}}.

Las coordenadas de Lobachevsky son útiles para la integración de la longitud de las curvas ^[2] y el área entre líneas y curvas. ^{[ ejemplo necesario ]}

Las coordenadas de Lobachevsky llevan el nombre de Nikolai Lobachevsky, uno de los descubridores de la geometría hiperbólica .

Construya un sistema de coordenadas tipo cartesiano como sigue. Elija una línea (el eje x ) en el plano hiperbólico (con una curvatura estandarizada de -1) y etiquete los puntos en ella por su distancia desde un punto de origen ( x = 0) en el eje x (positivo en un lado y negativo en el otro). Para cualquier punto en el plano, se puede definir las coordenadas x y y dejando caer una perpendicular a la x eje y. x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positivo en un lado y negativo en el otro). Entonces la distancia entre dos puntos será

$${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} \ left (\ cosh y_ { 1} \ cosh (x_ {2} -x_ {1}) \ cosh y_ {2} - \ sinh y_ {1} \ sinh y_ {2} \ right) \ ,.}

Esta fórmula se puede derivar de las fórmulas sobre triángulos hiperbólicos .

El tensor métrico correspondiente es: $${\ displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = \ cosh ^ {2} y \, (\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2} }.

En este sistema de coordenadas, las líneas rectas son perpendiculares al eje x (con la ecuación x = una constante) o se describen mediante ecuaciones de la forma

{\ displaystyle \ tanh y = A \ cosh x + B \ sinh x \ quad {\ text {when}} \ quad A ^ {2} <1 b="" font="">

donde A y B son parámetros reales que caracterizan la línea recta.

La relación de las coordenadas de Lobachevsky con las coordenadas polares (asumiendo que el origen es el polo y que el eje x positivo es el eje polar) es

$${\ displaystyle x = \ operatorname {artanh} \, (\ tanh r \ cos \ theta)}

$${\ displaystyle y = \ operatorname {arsinh} \, (\ sinh r \ sin \ theta)}

$${\ displaystyle r = \ operatorname {arcosh} \, (\ cosh x \ cosh y)}

$${\ displaystyle \ theta = 2 \ operatorname {artan} \, \ left ({\ frac {\ sinh y} {\ sinh x \ cosh y + {\ sqrt {\ cosh ^ {2} x \ cosh ^ {2} y -1}}}} \ derecha) \ ,.}

Basado en un sistema de coordenadas horociclo [ editar ]

Sistema de coordenadas basado en horociclos

Otro sistema de coordenadas usa la distancia desde el punto hasta el horociclo hasta el origen centrado alrededor$${\ displaystyle \ Omega = (0, + \ infty)}y la longitud del arco a lo largo de este horociclo. ^[3]

Dibuja el horociclo h _{O a} través del origen centrado en el punto ideal $${\ displaystyle \ Omega}al final del eje x

Desde el punto P dibuje la línea p asintótica al eje x al punto idealcorrecto $${\ displaystyle \ Omega}. P _h es la intersección de la línea p y horociclo h _O .

La coordenada x _h es la distancia de P a P _h - positiva si P está entre P _hy$${\ displaystyle \ Omega}, negativo si P _h está entre P y$${\ displaystyle \ Omega}.

La coordenada y _h es la longitud del arco a lo largo del horociclo h _Odesde el origen hasta P _h .

La distancia entre dos puntos dada en estas coordenadas es

$${\ displaystyle \ operatorname {dist} (\ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle, \ langle x_ {2}, y_ {2} \ rangle) = \ operatorname {arcosh} (\ cosh (x_ {2 } -x_ {1}) + {\ tfrac {1} {2}} (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} \ exp (-x_ {1} -x_ {2})) \, .}

El tensor métrico correspondiente es: $${\ displaystyle (\ mathrm {d} s) ^ {2} = (\ mathrm {d} x) ^ {2} + \ exp (-2x) \, (\ mathrm {d} y) ^ {2} \ ,.}

Las líneas rectas se describen mediante ecuaciones de la forma y  = una constante o

$${\ displaystyle x = {\ tfrac {1} {2}} \ ln (\ exp (2x_ {0}) - (y-y_ {0}) ^ {2})}

donde x ₀ e y ₀ son las coordenadas del punto en la línea más cercana al punto ideal$${\ displaystyle \ Omega}(es decir, tener el mayor valor de x en la línea).

Modelo basado en los sistemas de coordenadas [ editar ]

Los sistemas de coordenadas basados ​​en modelos utilizan uno de los modelos de geometría hiperbólica y toman las coordenadas euclidianas dentro del modelo como las coordenadas hiperbólicas.

Coordenadas de Beltrami [ editar ]

Las coordenadas de Beltrami de un punto son las coordenadas euclidianas del punto cuando se mapea el punto en el modelo de Beltrami-Klein del plano hiperbólico, el eje x se asigna al segmento (−1,0) - (1,0) y el origen se asigna al centro del círculo del límite. ^[1]

Las siguientes ecuaciones son válidas:

$${\ displaystyle x_ {b} = \ tanh (x_ {a}), \ y_ {b} = \ tanh (y_ {a})}

Coordenadas de Poincaré [ editar ]

Las coordenadas de Poincaré de un punto son las coordenadas euclidianas del punto cuando se mapea el punto en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, ^[1] el eje x se asigna al segmento (−1,0) - (1, 0) y el origen se asigna al centro del círculo del límite.

Las coordenadas de Poincaré, en términos de las coordenadas de Beltrami, son:

$${\ displaystyle x_ {p} = {\ frac {x_ {b}} {1 + {\ sqrt {1-x_ {b} ^ {2} -y_ {b} ^ {2}}}}}, \ \ y_ {p} = {\ frac {y_ {b}} {1 + {\ sqrt {1-x_ {b} ^ {2} -y_ {b} ^ {2}}}}}}

Weierstrass coordenadas [ editar ]

Las coordenadas de Weierstrass de un punto son las coordenadas euclidianas del punto cuando el punto se asigna en el modelo hiperboloide del plano hiperbólico, el eje x se asigna a la hipérbola (media) $${\ displaystyle (t \, \ 0 \, \ {\ sqrt {t ^ {2} +1}})}y el origen se asigna al punto (0,0,1). ^[1]

El punto P con coordenadas axiales ( x _a ,  y _a ) se asigna a

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ tanh x_ {a}} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} x_ {a} - \ tanh ^ {2} y_ {a}}}} \, \ {\ frac {\ tanh y_ {a}} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} x_ {a} - \ tanh ^ {2} y_ {a}}}} \, \ {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} x_ {a} - \ tanh ^ {2} y_ {a}}}} \ right)}

Otros [ editar ]

Coordenadas Gyrovector [ editar ]

Artículo principal: gyrovector

Espacio gyrovector

Coordenadas baricéntricas hiperbólicas [ editar ]

Desde Gyrovector espacio # triángulo centro

El estudio de los centros triangulares tradicionalmente se ocupa de la geometría euclidiana, pero los centros triangulares también pueden estudiarse en geometría hiperbólica. Usando la girotrigonometría, se pueden calcular expresiones para coordenadas baricéntricas trigonométricas que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica. Para que las expresiones coincidan, las expresiones no deben encapsular la especificación del ángulo de 180 grados.

sin coordenadas , o sin componentes , de una teoría científica o un tema matemático desarrolla sus conceptos en cualquier forma de variedad sin referencia a ningún sistema de coordenadas en particular .

Beneficios [ editar ]

Los tratamientos sin coordenadas generalmente permiten sistemas de ecuaciones más simples y limitan inherentemente ciertos tipos de inconsistencia, permitiendo una mayor elegancia matemática a costa de una cierta abstracción de las fórmulas detalladas necesarias para evaluar estas ecuaciones dentro de un sistema particular de coordenadas.

Historia [ editar ]

Los tratamientos sin coordenadas fueron el único enfoque disponible para la geometría (y ahora se conocen como geometría sintética ) antes del desarrollo de la geometría analítica por parte de Descartes . Después de varios siglos de exposición generalmente basada en coordenadas, la tendencia moderna es generalmente introducir a los estudiantes a tratamientos sin coordenadas desde el principio, y luego derivar los tratamientos basados ​​en coordenadas a partir del tratamiento sin coordenadas, en lugar de viceversa .

Aplicaciones [ editar ]

Los campos que ahora se introducen a menudo con tratamientos sin coordenadas incluyen cálculo vectorial , tensores , geometría diferencial y gráficos de computadora ^[1] .

En física, la existencia de tratamientos libres de coordenadas de las teorías físicas es un corolario del principio de covarianza general .