MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

Proporción

En matemáticas, una proporción es una relación entre dos números que indican cuántas veces el primer número contiene el segundo. ^[1] Por ejemplo, si un tazón de fruta contiene ocho naranjas y seis limones, entonces la proporción de naranjas a limones es de ocho a seis (es decir, 8: 6, que es equivalente a la relación 4: 3). De manera similar, la proporción de limones a naranjas es 6: 8 (o 3: 4) y la proporción de naranjas a la cantidad total de fruta es 8:14 (o 4: 7).

Los números en una proporción pueden ser cantidades de cualquier tipo, como conteos de personas u objetos, o medidas de longitudes, pesos, tiempo, etc. En la mayoría de los contextos, ambos números están restringidos a ser positivos.

Una relación puede especificarse ya sea dando los dos números constitutivos, escritos como " a to b " o " a : b ", o bien dando el valor de su cociente a/b , ^[2], ya que el producto del cociente y el el segundo número produce el primero, como lo requiere la definición anterior.

En consecuencia, una relación puede considerarse como un par ordenado de números, como una fracción con el primer número en el numerador y el segundo como denominador, o como el valor indicado por esta fracción. Las proporciones de conteos, dadas por números naturales (no cero) , son números racionales , y algunas veces pueden ser números naturales. Cuando dos cantidades se miden con la misma unidad, como suele ser el caso, su relación es un número sin dimensiones . Un cociente de dos cantidades que se miden con unidades diferentesse llama tasa .

Notación y terminología [ editar ]

La proporción de los números A y B se puede expresar como: ^[4]

• la relación de A a B
• A es a B (seguido a menudo por "como C es a D ")
• A ∶ B
• una fracción con A como numerador y B como denominador, que representa el cociente: A dividido por B :$${\ displaystyle {\ tfrac {A} {B}}}. Esto se puede expresar como una fracción simple o decimal, o como un porcentaje, etc. ^[5]

Hay varias variantes en el mismo sentido como porcentaje , con el significado de por cien , equivalente a$${\ displaystyle 1 \% = {\ tfrac {1} {100}};}por ejemplo, el por molino de Latin mille, que significa mil, equivalente a 1 ‰$${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {1000}} = 0.1 \%,}o, especialmente para densidades de partículas, partes por billón , abreviadas como ppb . También hay un signoespecífico de Unicode , el signo per , que se parece a, para el uso de denominadores arbitrarios, por ejemplo, ⅌ 12 según una docena .

Los números A y B a veces se denominan términos de la relación, siendo A el antecedente y B el consecuente . ^[6]

Una declaración que expresa la igualdad de dos relaciones de A : B y C : D se llama una proporción ^{[ citación necesaria ]} , escrito como A : B = C : D o A : B :: C : D . Esta última forma, cuando se habla o escribe en el idioma inglés, a menudo se expresa como

( A es a B ) como ( C es a D ).

A , B , C y D se llaman los términos de la proporción. A y D se llaman sus extremos , y B y C se llaman sus medios . La igualdad de tres o más razones, como A ∶ B = C ∶ D = E ∶ F , se llama proporción continua . ^[7]

Las proporciones se usan a veces con tres o más términos, por ejemplo, la proporción para las longitudes de los bordes de " dos por cuatro " que tiene diez pulgadas de largo es, por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ text {grosor: ancho: largo}} = 2: 4: 10;}

una buena mezcla de concreto (en unidades de volumen) a veces se cita como

$${\ displaystyle {\ text {cemento: arena: grava}} = 1: 2: 4.}^[8]

Para una mezcla (bastante seca) de 4/1 partes en volumen de cemento a agua, se puede decir que la proporción de cemento a agua es 4∶1, que hay 4 veces más cemento que agua, o que hay un cuarto (1/4) de agua tanto como el cemento.

El significado de tal proporción de relaciones con más de dos términos es que la proporción de dos términos en la LHS constituye una proporción estándar con los dos términos correspondientes en la RHS. Los términos correspondientes se denominan homólogos ^{[ cita requerida ]} en la proporción.

Historia y etimología [ editar ]

Es imposible rastrear el origen del concepto de razón porque las ideas a partir de las cuales se desarrolló podrían haber sido familiares a las culturas preliterarias. Por ejemplo, la idea de que una aldea sea dos veces más grande que otra es tan básica que habría sido entendida en la sociedad prehistórica. ^[9] Sin embargo, es posible rastrear el origen de la palabra "ratio" hasta el griego antiguo λόγος ( logos ). Los primeros traductores convirtieron esto en latín como proporción ("razón"; como en la palabra "racional"). (Un número racional puede expresarse como el cociente de dos enteros). Una interpretación más moderna del significado de Euclides es más parecida a la computación o al cálculo de cuentas. ^[10]Los escritores medievales utilizaron la palabra proportio ("proporción") para indicar razón y proportionalitas ("proporcionalidad") para la igualdad de razones. ^[11]

Euclid recopiló los resultados que aparecen en los Elementos de fuentes anteriores. Los pitagóricos desarrollaron una teoría de proporción y proporción aplicada a los números. ^[12] La concepción del número de los pitagóricos incluía solo lo que hoy se llamaría números racionales, poniendo en duda la validez de la teoría de la geometría donde, como también descubrieron los pitagóricos, existen proporciones inconmensurables (correspondientes a números irracionales). El descubrimiento de una teoría de razones que no asume la posibilidad de conmensurabilidad es probablemente debido a Eudoxus de Cnidus . La exposición de la teoría de proporciones que aparece en el Libro VII de Los Elementos refleja la teoría anterior de las proporciones de comensurables. ^[13]

La existencia de múltiples teorías parece innecesariamente compleja para la sensibilidad moderna, ya que las relaciones se identifican, en gran medida, con los cocientes. Sin embargo, este es un desarrollo relativamente reciente, como se puede ver en el hecho de que los libros de texto de geometría moderna todavía usan una terminología y notación distintas para proporciones y cocientes. Las razones de esto son dobles. Primero, hubo la renuencia mencionada anteriormente de aceptar números irracionales como números reales. En segundo lugar, la falta de un simbolismo ampliamente utilizado para reemplazar la terminología de ratios ya establecida retrasó la aceptación total de las fracciones como alternativa hasta el siglo XVI. ^[14]

Las definiciones de euclides [ editar ]

El Libro V de los Elementos de Euclides tiene 18 definiciones, todas relacionadas con proporciones. ^[15] Además, Euclid usa ideas que estaban en un uso tan común que no incluyó definiciones para ellas. Las primeras dos definiciones dicen que una parte de una cantidad es otra cantidad que la "mide" y, a la inversa, un múltiplo de una cantidad es otra cantidad que mide. En la terminología moderna, esto significa que un múltiplo de una cantidad es esa cantidad multiplicada por un número entero mayor que uno, y una parte de una cantidad (que significa parte alícuota ) es una parte que, cuando se multiplica por un número entero mayor que uno, da la cantidad.

Euclid no define el término "medida" como se usa aquí. Sin embargo, uno puede inferir que si una cantidad se toma como una unidad de medida, y una segunda cantidad se da como un número integral de estas unidades, entonces la primera cantidad mide la segundo. Tenga en cuenta que estas definiciones se repiten, casi palabra por palabra, como las definiciones 3 y 5 en el libro VII.

La definición 3 describe qué es una proporción de una manera general. No es riguroso en el sentido matemático y algunos lo han atribuido a los editores de Euclid en lugar de al propio Euclid. ^[16] Euclides define una relación entre dos cantidades del mismo tipo , por lo que, según esta definición, se definen las proporciones de dos longitudes o de dos áreas, pero no la relación de una longitud y un área. La definición 4 hace que esto sea más riguroso. Establece que existe una proporción de dos cantidades cuando hay un múltiplo de cada uno que supera al otro. En notación moderna, existe una relación entre las cantidades p y q si existen enteros m y n de modo que pf > q y nq> p . Esta condición se conoce como la propiedad de Arquímedes .

La definición 5 es la más compleja y difícil. Define lo que significa que dos razones sean iguales. Hoy en día, esto se puede hacer simplemente afirmando que las proporciones son iguales cuando los cocientes de los términos son iguales, pero Euclid no aceptó la existencia de los cocientes de inconmensurables, por lo que tal definición no habría tenido sentido para él. Por lo tanto, se necesita una definición más sutil cuando las cantidades involucradas no se miden directamente entre sí. Aunque puede que no sea posible asignar un valor racional a una relación, es posible comparar una relación con un número racional. Específicamente, dadas dos cantidades, p y q , y un número racional m / n , podemos decir que la relación de p a qes menor que, igual o mayor que m / ncuando np es menor que, igual o mayor que mq respectivamente. La definición de igualdad de Euclides se puede afirmar como que dos razones son iguales cuando se comportan de manera idéntica con respecto a ser menor, igual o mayor que cualquier número racional. En la notación moderna, esto dice que dadas cantidades p , q , r y s, luego p : q :: r : s si para cualquier entero positivo m y n , np < mq ,np = mq , np > mq según nr < ms , nr = ms , nr > ms respectivamente. Existe una notable similitud entre esta definición y la teoría de los cortes de Dedekindutilizada en la definición moderna de números irracionales. ^[17]

La definición 6 dice que las cantidades que tienen la misma proporción son proporcionales o proporcionales . Euclid usa el ἀναλόγον griego (analogon), tiene la misma raíz que λόγος y está relacionado con la palabra inglesa "analog".

La definición 7 define lo que significa que una relación sea menor o mayor que otra y se basa en las ideas presentes en la definición 5. En la notación moderna se dice que las cantidades p , q , r y s dadas , luego p : q > r: s si hay enteros positivos m y n, de modo que np > mq y nr ≤ ms .

Al igual que con la definición 3, algunos consideran que la definición 8 es una inserción posterior de los editores de Euclid. Define tres términos p , q y r a estar en proporción cuando p : q :: q : r . Esto se extiende a 4 términos p, q , r y s como p : q :: q : r :: r : s , y así sucesivamente. Las secuencias que tienen la propiedad de que las razones de los términos consecutivos son iguales se llaman progresiones geométricas. Las definiciones 9 y 10 aplican esto, diciendo que si p , q y r están en proporción, entonces p : r es la relación duplicada de p : q y si p , q, r y s están en proporción, entonces p : s es la relación por triplicado de p : q . Si p , q y r son en proporción a continuación, q se llama una media proporcionala (o la media geométrica de) p y r . De manera similar, si p , q , ry s están en proporción, entonces q y r se denominan dos medias proporcionales a p y s .

Número de términos y uso de fracciones [ editar ]

En general, una comparación de las cantidades de una relación de dos entidades puede expresarse como una fracción derivada de la relación. Por ejemplo, en una proporción de 2: 3, la cantidad, tamaño, volumen o cantidad de la primera entidad es$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}} La de la segunda entidad.

Si hay 2 naranjas y 3 manzanas, la proporción de naranjas a manzanas es de 2: 3, y la proporción de naranjas al número total de piezas de fruta es de 2: 5. Estas proporciones también pueden expresarse en forma de fracción: hay 2/3 tantas naranjas como manzanas, y 2/5 de las piezas de fruta son naranjas. Si el concentrado de jugo de naranja se diluye con agua en una proporción de 1: 4, entonces una parte del concentrado se mezcla con cuatro partes de agua, dando un total de cinco partes; la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/4 de la cantidad de agua, mientras que la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/5 del líquido total. Tanto en las proporciones como en las fracciones, es importante tener claro qué se está comparando con qué, y los principiantes a menudo cometen errores por esta razón.

Las fracciones también se pueden inferir de razones con más de dos entidades; sin embargo, una proporción con más de dos entidades no se puede convertir completamente en una sola fracción, porque una fracción solo puede comparar dos cantidades. Se puede usar una fracción separada para comparar las cantidades de cualquiera de las dos entidades cubiertas por la relación: por ejemplo, a partir de una relación de 2: 3: 7 podemos inferir que la cantidad de la segunda entidad es$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {7}}} La de la tercera entidad.

Las proporciones y relaciones porcentuales [ editar ]

Si multiplicamos todas las cantidades involucradas en una relación por el mismo número, la relación seguirá siendo válida. Por ejemplo, una relación de 3: 2 es igual a 12: 8. Es habitual reducir los términos al mínimo común denominador o expresarlos en partes por cien ( porcentaje ).

Si una mezcla contiene sustancias A, B, C y D en la relación 5: 9: 4: 2, entonces hay 5 partes de A por cada 9 partes de B, 4 partes de C y 2 partes de D. Como 5 + 9 + 4 + 2 = 20, la mezcla total contiene 5/20 de A (5 partes de 20), 9/20 de B, 4/20 de C y 2/20 de D. Si dividimos todos los números por los total y multiplicado por 100, hemos convertido a porcentajes : 25% A, 45% B, 20% C y 10% D (equivalente a escribir la relación como 25: 45: 20: 10).

Si las dos o más cantidades de relación abarcan todas las cantidades en una situación particular, se dice que "el todo" contiene la suma de las partes: por ejemplo, una cesta de frutas que contiene dos manzanas y tres naranjas y ninguna otra fruta se hace Compuesto por dos partes de manzanas y tres partes de naranjas. En este caso,$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {5}}}, o el 40% del total son manzanas y $${\ displaystyle {\ tfrac {3} {5}}}, o el 60% de la totalidad son naranjas. Esta comparación de una cantidad específica con "el todo" se denomina proporción.

Si la relación consta de solo dos valores, se puede representar como una fracción, en particular como una fracción decimal. Por ejemplo, los televisores más antiguos tienen una relación de aspecto de 4: 3 , lo que significa que el ancho es 4/3 de la altura (esto también puede expresarse como 1.33: 1 o simplemente 1.33 redondeado a dos decimales). Los televisores de pantalla panorámica más recientes tienen una relación de aspecto de 16: 9, o 1.78 redondeado a dos decimales. Uno de los formatos populares de películas de pantalla ancha es 2.35: 1 o simplemente 2.35. La representación de razones como fracciones decimales simplifica su comparación. Al comparar 1.33, 1.78 y 2.35, es obvio qué formato ofrece una imagen más amplia. Tal comparación funciona solo cuando los valores que se comparan son consistentes, como si siempre expresaran el ancho en relación con la altura.

Reducción [ editar ]

Las proporciones se pueden reducir (como las fracciones) al dividir cada cantidad por los factores comunes de todas las cantidades. En cuanto a las fracciones, la forma más simple se considera aquella en la que los números en la relación son los enteros más pequeños posibles.

Por lo tanto, la proporción 40:60 es equivalente en significado a la relación 2: 3, la última se obtiene de la primera al dividir ambas cantidades por 20. Matemáticamente, escribimos 40:60 = 2: 3, o equivalentemente 40:60: : 2: 3. El equivalente verbal es "40 es a 60, mientras que 2 es a 3".

Una relación que tiene enteros para ambas cantidades y que no se puede reducir más (usando enteros) se dice que está en la forma más simple o en los términos más bajos.

A veces es útil para escribir una relación en la forma 1: x o x : 1, donde x no es necesariamente un número entero, para permitir comparaciones de diferentes ratios. Por ejemplo, la relación 4: 5 se puede escribir como 1: 1.25 (dividiendo ambos lados por 4) Alternativamente, se puede escribir como 0.8: 1 (dividiendo ambos lados por 5).

Donde el contexto aclara el significado, una proporción en esta forma a veces se escribe sin el 1 y los dos puntos, aunque, matemáticamente, esto lo convierte en un factor o multiplicador .

Ratios irracionales [ editar ]

Las relaciones también se pueden establecer entre cantidades inconmensurables (cantidades cuya proporción, como valor de una fracción, equivale a un número irracional ). El primer ejemplo descubierto, encontrado por los pitagóricos , es la relación entre la longitud de la diagonal d y la longitud de un lado s de un cuadrado , que es la raíz cuadrada de 2 , formalmente$${\ displaystyle a: d = 1: {\ sqrt {2}}.}Otro ejemplo es la relación entre la circunferencia de un círculoy su diámetro, que se llama π , y no es solo un número algebraicamente irracional , sino un irracional trascendental .

También es conocida la proporción áurea de dos (en su mayoría) longitudes a y b , que se define por la proporción

$${\ displaystyle a: b = (a + b): a \ quad} o equivalente $${\ displaystyle \ quad a: b = (1 + b / a): 1.}

Tomando las razones como fracciones y $${\ displaystyle a: b}al tener el valor x , se obtiene la ecuación

$${\ displaystyle x = 1 + {\ tfrac {1} {x}} \ quad} o $${\ displaystyle \ quad x ^ {2} -x-1 = 0,}

Que tiene la solución positiva, irracional. $${\ displaystyle x = {\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.} Por lo tanto, al menos uno de a y b tiene que ser irracional para que estén en la proporción áurea. Un ejemplo de una ocurrencia de la proporción áurea en matemáticas es como el valor límite de la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos : aunque todas estas relaciones son relaciones de dos enteros y, por lo tanto, son racionales, el límite de la secuencia de estas relaciones racionales es La proporción de oro irracional.

Del mismo modo, la relación de plata de a y b se define por la proporción

$${\ displaystyle a: b = (2a + b): a \ quad (= (2 + b / a): 1),} correspondiente a $${\ displaystyle x ^ {2} -2x-1 = 0.}

Esta ecuación tiene la solución positiva, irracional. $${\ displaystyle x = {\ tfrac {a} {b}} = 1 + {\ sqrt {2}},} así que de nuevo al menos una de las dos cantidades a y b en la proporción de plata debe ser irracional.

Probabilidades [ editar ]

Artículo principal: Probabilidades

Las probabilidades (como en el juego) se expresan como una proporción. Por ejemplo, las probabilidades de "7 a 3 en contra" (7: 3) significan que hay siete posibilidades de que el evento no ocurra a cada tres oportunidades que sucederá. La probabilidad de éxito es del 30%. En cada diez intentos, se espera que haya tres victorias y siete derrotas.

Unidades [ editar ]

Las relaciones pueden no tener unidades , ya que en el caso de que relacionen cantidades en unidades de la misma dimensión , incluso si sus unidades de medida son inicialmente diferentes. Por ejemplo, la relación 1 minuto: 40 segundos pueden reducirse cambiando el primer valor a 60 segundos. Una vez que las unidades son iguales, se pueden omitir y la proporción se puede reducir a 3: 2.

Por otro lado, hay relaciones sin dimensiones, también conocidas como tasas . ^[18] [19] En química, las relaciones de concentración en masa generalmente se expresan como fracciones de peso / volumen. Por ejemplo, una concentración de 3% p / v generalmente significa 3 g de sustancia en cada 100 ml de solución. Esto no se puede convertir a una proporción adimensional, como en peso / peso o volumen / volumen fracciones.

Coordenadas triangulares [ editar ]

Las ubicaciones de los puntos en relación con un triángulo con los vértices A , B y C y los lados AB , BC y CA amenudo se expresan en forma de relación extendida como coordenadas triangulares .

En coordenadas baricéntricas , un punto con coordenadas.$${\ displaystyle \ alpha: \ beta: \ gamma}es el punto sobre el cual una hoja de metal sin peso en la forma y el tamaño del triángulo se equilibraría exactamente si los pesos se pusieran en los vértices, con la relación de los pesos en A y B siendo$${\ displaystyle \ alpha: \ beta,}La relación de los pesos en B y C es$${\ displaystyle \ beta: \ gamma,}y por lo tanto la relación de pesos en A y C es$${\ displaystyle \ alpha: \ gamma.}

En coordenadas trilineales , un punto con coordenadas x: y: z tiene distancias perpendiculares al lado BC (a través del vértice A ) y al lado CA (a través del vértice B ) en la relación x: y , distancias al lado CA y al lado AB (a través de desde C ) en la relación y: z , y por lo tanto, las distancias a los lados BC y AB en la relación x: z .

Dado que toda la información se expresa en términos de proporciones (los números individuales indicados por $${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma,} x, y, y z no tienen significado por sí mismos), un análisis triángulo usando barycentric o trilineal coordenadas se aplica independientemente del tamaño del triángulo.