OCEANOGRAFÍA FÍSICA

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Elevación superficial de una onda de aguas profundas según la teoría de tercer orden de Stokes . La pendiente de la ola es: ka  = 0,3, con k el número de onda y una la onda de amplitud . Típicas de estas ondas de gravedad de superficie son las crestasafiladas y las depresiones planas .

Pruebas de modelos con ondas periódicas en el tanque de remolque de olas del laboratorio de ingeniería de Jere A. Chase Ocean, Universidad de New Hampshire .

Undular bore and whelps near the mouth of Araguari River in north-eastern Brazil. View is oblique toward mouth from airplane at approximately 100 ft (30 m) altitude.^[1] The undulations following behind the bore front appear as slowly-modulated Stokes waves.

En dinámica de fluidos , una onda de Stokes es una onda de superficie periódica y no lineal en una capa de fluido inviscida de profundidad media constante. Este tipo de modelado tiene sus orígenes a mediados del siglo XIX cuando Sir George Stokes , que utiliza una serie de perturbaciones , ahora conocida como la expansión de Stokes , obtuvo soluciones aproximadas para movimientos de ondas no lineales.

La teoría de las olas de Stokes es de uso práctico directo para las olas en aguas intermedias y profundas. Se utiliza en el diseño de estructuras costeras y marinas para determinar la cinemática de onda ( elevación de superficie libre y velocidades de flujo ). Las cinemáticas de onda se necesitan posteriormente en el proceso de diseño para determinar las cargas de onda en una estructura. ^[2] Para ondas largas (en comparación con la profundidad), y con solo unos pocos términos en la expansión de Stokes, su aplicabilidad está limitada a ondas de pequeña amplitud . En tales aguas poco profundas, una ola cnoidal La teoría a menudo proporciona mejores aproximaciones de onda periódica.

Si bien, en sentido estricto, la onda de Stokes se refiere a ondas periódicas progresivas de forma permanente, el término también se usa en relación con las ondas estacionarias ^[3] e incluso para ondas aleatorias . 

Ejemplos [ editar ]

Los siguientes ejemplos describen las ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad (sin efectos de tensión superficial ) en caso de movimiento de onda puro, por lo que sin una corriente media ambiental.

Onda de Stokes de tercer orden en aguas profundas [ editar ]

Stokes de tercer orden agita en aguas profundas bajo la acción de la gravedad. La inclinación de las olas es: ka  = 0.3.

Los tres armónicos que contribuyen a la elevación de la superficie de una onda de aguas profundas, de acuerdo con la teoría de tercer orden de Stokes. La inclinación de las olas es: ka  = 0.3. Para la visibilidad, la escala vertical está distorsionada por un factor de cuatro, en comparación con la escala horizontal. 
Descripción:
• la línea azul marino es la elevación de la superficie de la onda de Stokes de tercer orden, 
• la línea negra es el componente fundamental de laonda, con número de onda k ( longitud de onda λ, k = 2π / λ), 
• la línea azul clara es la armónico a 2  k (longitud de onda ½ λ), y 
• la línea roja es el armónico a 3  k (longitud de onda ⅓ λ).

De acuerdo con la teoría de tercer orden de Stokes, la elevación de la superficie libre η , el potencial de velocidad , la velocidad de fase (o celeridad) c y la fase de onda θ son, para una onda de gravedad de superficie progresiva en aguas profundas, es decir, la capa de fluido tiene Profundidad infinita: ^[6]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ eta (x, t) = & a \ left \ {\ left [1 - {\ tfrac {1} {16}} (ka) ^ {2} \ right] \ cos \ theta + {\ tfrac {1} {2}} (ka) \, \ cos 2 \ theta + {\ tfrac {3} {8}} (ka) ^ {2} \, \ cos 3 \ theta \ right \ } \\ & + {\ mathcal {O}} \ left ((ka) ^ {4} \ right), \\ Phi (x, z, t) = & a {\ sqrt {\ frac {g} {k }}} \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \ theta + {\ mathcal {O}} \ left ((ka) ^ {4} \ right), \\ c = & { \ frac {\ omega} {k}} = \ left (1 + {\ tfrac {1} {2}} (ka) ^ {2} \ right) \, {\ sqrt {\ frac {g} {k} }} + {\ mathcal {O}} \ left ((ka) ^ {4} \ right), {\ text {and}} \\\ theta (x, t) = & kx- \ omega t, \ end { alineado}}}

con:

X	: la coordenada horizontal;
z	: la coordenada vertical, con la dirección z positiva hacia arriba, opuesta a la dirección de la gravedad de laTierra, y z  = 0 correspondiente a la elevación media de la superficie;
t	: hora;
una	: la amplitud de onda de primer orden ;
k	: el número de onda angular , k  = 2π /  λ siendo λ la longitud de onda ;
ω	: la frecuencia angular , ω  = 2π /  τ donde τ es el período , y
sol	: la fuerza de la gravedad terrestre, una constante en esta aproximación.

El parámetro de expansión ka se conoce como la inclinación de la onda. La velocidad de fase aumenta al aumentar la no linealidad ka de las ondas. La altura de la ola H , siendo la diferencia entre la elevación de superficie η en una cresta y un canal , es: ^[7]

$${\ displaystyle H = 2a \, \ left (1 + {\ tfrac {3} {8}} \, k ^ {2} a ^ {2} \ right).}

Tenga en cuenta que los términos de segundo y tercer orden en el potencial de velocidad Φ son cero. Solo en el cuarto orden aparecen las contribuciones que se desvían de la teoría de primer orden, es decir, la teoría de la onda aerea . ^[6] Hasta el tercer orden, el campo de velocidad orbital u  =  ∇ Φ consiste en un movimiento circular del vector de velocidad en cada posición ( x , z ). Como resultado, la elevación de la superficie de las olas de aguas profundas es trococoidal , como ya lo señaló Stokes (1847) . ^[8]

Stokes observó además que, aunque (en esta descripción euleriana ) el campo de velocidad orbital de tercer orden consiste en un movimiento circular en cada punto, los caminos lagrangianos de las parcelas de fluidos no son círculos cerrados. Esto se debe a la reducción de la amplitud de la velocidad al aumentar la profundidad debajo de la superficie. Esta deriva lagrangiana de las parcelas de fluidos se conoce como la deriva de Stokes . ^[8]

Onda de Stokes de segundo orden en profundidad arbitraria [ editar ]

La relación S = a ₂ / a de la amplitud a ₂ de la armónica con dos veces el número de onda (2  k ), a la amplitud a de la fundamental , según la teoría de segundo orden de Stokes para las ondas de gravedad de superficie. En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es el parámetro S de Stokes dividido por la inclinación de la onda ka (con k  = 2π / λ). 
Descripción:
• la línea azul es válida para una profundidad de agua arbitraria, mientras que 
• la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (profundidad de agua pequeña en comparación con la longitud de onda), y 
• la línea verde de puntos y rayas es el límite asintótico para las ondas de aguas profundas.

La elevación de la superficie η y el potencial de velocidad Φ son, de acuerdo con la teoría de Stokes de las ondas de gravedad de la superficie en una capa fluida de profundidad media h : ^[6] [9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\,\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}\\&+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {\cosh \,k(z+h)}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$

Observe que, para una profundidad finita, el potencial de velocidad Φ contiene una desviación lineal en el tiempo, independiente de la posición ( x y z ). Tanto esta deriva temporal como el término de doble frecuencia (que contiene sen 2 sin) en Φ desaparecen para las ondas de aguas profundas.

Parámetros de Stokes y Ursell [ editar ]

Más información: parámetro de Ursell

La relación S de las amplitudes de superficie libre en segundo o primer orden, según la teoría de segundo orden de Stokes, es: ^[6]

$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = ka \, {\ frac {3- \ tanh ^ {2} \, kh} {4 \, \ tanh ^ {3} \, kh}}.}

En aguas profundas, para grandes kh la relación S tiene la asíntota.

$${\ displaystyle \ lim _ {kh \ to \ infty} {\ mathcal {S}} = {\ frac {1} {2}} \, ka.}

Para ondas largas, es decir, pequeñas kh , la relación S se comporta como

$${\ displaystyle \ lim _ {kh \ downarrow 0} {\ mathcal {S}} = {\ frac {3} {4}} \, {\ frac {ka} {(kh) ^ {3}}},}

o, en términos de la altura de onda H = 2 a y la longitud de onda λ = 2π / k :

$${\ displaystyle \ lim _ {kh \ downarrow 0} {\ mathcal {S}} = {\ frac {3} {32 \, \ pi ^ {2}}} \, {\ frac {H \, \ lambda ^ {2}} {h ^ {3}}} = {\ frac {3} {32 \, \ pi ^ {2}}} \, {\ mathcal {U}},}   con   $${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ equiv {\ frac {H \, \ lambda ^ {2}} {h ^ {3}}}.}

Aquí U es el parámetro de Ursell (o parámetro de Stokes). Para las ondas largas ( λ » h ) de pequeña altura H , es decir, U « 32π ² /3 ≈ 100 , de segundo orden teoría Stokes es aplicable. De lo contrario, para ondas bastante largas ( λ> 7 h ) de altura apreciable H, es más apropiada una descripción de onda cnoidal . ^[6] Según Hedges, la teoría de Stokes de quinto orden es aplicable para U <40 font=""> , y de lo contrario es preferible la teoría de ondas cnoidales de quinto orden . ^[10] [11]

De tercer orden dispersión relación [ editar ]

Mejora no lineal de la velocidad de fase c  = ω /  k- de acuerdo con la teoría de tercer orden de Stokes para las ondas de gravedad de superficie , y utilizando la primera definición de celeridad de Stokes - en comparación con la velocidad de fase de la teoría lineal c ₀ . En el eje horizontal está la profundidad relativa del agua h  / λ, con h la profundidad media y λ la longitud de onda , mientras que el eje vertical es la mejora de velocidad de fase no lineal ( c  -  c ₀ ) /  c ₀ dividida por la inclinación de la onda ka al cuadrado. 
Descripción:
• la línea azul continua es válida para una profundidad de agua arbitraria, 
• la línea roja discontinua es el límite de aguas poco profundas (profundidad de agua pequeña en comparación con la longitud de onda), y 
• la línea verde de puntos y rayas es el límite asintótico para las ondas de aguas profundas.

Para las ondas de Stokes bajo la acción de la gravedad, la relación de dispersión de tercer orden es, según la primera definición de celeridad de Stokes : ^[9]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ omega ^ {2} = & \ left (gk \, \ tanh \, kh \ right) \; \ left \ {1 + {\ frac {9-10 \, \ sigma ^ {2} +9 \, \ sigma ^ {4}} {8 \, \ sigma ^ {4}}} \, (ka) ^ {2} \ right \} \\ & + {\ mathcal {O} } \ left ((ka) ^ {4} \ right), \ qquad {\ text {with}} \\\ sigma = & \ tanh \, kh. \ end {alineado}}}

Esta relación de dispersión de tercer orden es una consecuencia directa de evitar los términos seculares , al insertar la solución de Stokes de segundo orden en las ecuaciones de tercer orden (de la serie de perturbaciones para el problema de la onda periódica).

En aguas profundas (longitud de onda corta en comparación con la profundidad):

$${\ displaystyle \ lim _ {kh \ to \ infty} \ omega ^ {2} = gk \, \ left \ {1+ \ left (ka \ right) ^ {2} \ right \} + {\ mathcal {O }} \ left ((ka) ^ {4} \ right),}

y en aguas poco profundas (longitudes de onda largas en comparación con la profundidad):

$${\ displaystyle \ lim _ {kh \ downarrow 0} \ omega ^ {2} = k ^ {2} \, gh \, \ left \ {1 + {\ frac {9} {8}} \, {\ frac {\ left (ka \ right) ^ {2}} {\ left (kh \ right) ^ {4}}} \ right \} + {\ mathcal {O}} \ left ((ka) ^ {4} \ Correcto).}

Como se muestra arriba , la expansión de Stokes de onda larga para la relación de dispersión solo será válida para valores suficientemente pequeños del parámetro de Ursell: U ≪ 100 .

Descripción general [ editar ]

Enfoque de Stokes al problema de la onda no lineal [ editar ]

Ondas en el patrón de estela de Kelvin generado por un barco en el Maas – Waalkanaal en los Países Bajos. Las ondas transversales en este patrón de estela de Kelvin son ondas de Stokes casi planas.

El barco Delaware II de NOAA con mal tiempo en el Georges Bank . Si bien estas ondas oceánicas son aleatorias , y no las ondas de Stokes (en sentido estricto), indican las típicas crestas afiladas y las depresiones planas que se encuentran en las ondas de gravedad de superficie no lineales.

Un problema fundamental en la búsqueda de soluciones para las ondas de gravedad de superficie es que las condiciones de contorno se deben aplicar en la parte desconocida de antemano y, por lo tanto, forman parte de la solución buscada, la posición de la superficie libre . Sir George Stokes resolvió este problema de onda no lineal, en 1847, al expandir las cantidades de flujo potencialrelevantes en una serie de Taylor alrededor de la elevación media (o aún) de la superficie. ^[12] Como resultado, las condiciones de contorno se pueden expresar en términos de cantidades en la elevación media (o fija) de la superficie (que es fija y conocida).

A continuación, se busca una solución para el problema de la onda no lineal (incluida la expansión de la serie de Taylor alrededor de la elevación media o fija de la superficie) mediante una serie de perturbaciones, conocida como expansión de Stokes , en términos de un pequeño parámetro, la mayoría de las veces inclinación de las olas. Los términos desconocidos en la expansión se pueden resolver de forma secuencial. ^[6] [8] A menudo, solo se necesita un pequeño número de términos para proporcionar una solución de precisión suficiente para fines de ingeniería. ^[11] Las aplicaciones típicas están en el diseño de estructuras costeras y de alta mar , y de barcos .

Otra propiedad de las ondas no lineales es que la velocidadde fase de las ondas no lineales depende de la altura de la onda . En un enfoque de serie de perturbaciones, esto fácilmente da lugar a una variación secular espuria de la solución, en contradicción con el comportamiento periódico de las ondas. Stokes resolvió este problema al expandir también la relación de dispersión en una serie de perturbaciones, mediante un método ahora conocido como el método de Lindstedt-Poincaré . ^[6]

Aplicabilidad [ editar ]

Validez de varias teorías para ondas de agua periódicas, según Le Méhauté (1976). ^[13] El área azul claro proporciona el rango de validez de la teoría de la onda cnoidal ; amarillo claro para la teoría de las ondas aéreas ; y las líneas azules discontinuas demarcan entre el orden requerido en la teoría de la onda de Stokes. El sombreado gris claro proporciona la extensión del rango mediante aproximaciones numéricas utilizando la teoría de la función de la corriente de quinto orden , para ondas altas ( H  > ¼ H de _ruptura ).

La teoría de la onda de Stokes , cuando se usa un orden bajo de la expansión de perturbación (por ejemplo, de segundo, tercer o quinto orden), es válida para ondas no lineales en aguas intermedias y profundas, es decir, para longitudes de onda ( λ ) no grandes en comparación con la profundidad media ( h ). En aguas poco profundas , la expansión de Stokes de orden bajo se rompe (da resultados irreales) para una amplitud de onda apreciable (en comparación con la profundidad). Entonces, las aproximaciones de Boussinesq son más apropiadas. Más aproximaciones sobre las ecuaciones de onda de tipo Boussinesq (multidireccionales) conducen, para la propagación de ondas unidireccionales, a la ecuación de Korteweg – de Vries o la ecuación de Benjamin – Bona – Mahony.. Al igual que las soluciones de onda de Stokes (casi) exactas, ^[14] estas dos ecuaciones tienen soluciones de onda solitaria ( solitón ), además de las soluciones de onda periódica conocidas como ondas cnoidales . ^[11]

Extensiones modernas [ editar ]

Ya en 1914, Wilton extendió la expansión de Stokes para ondas de gravedad de aguas profundas a décimo orden, aunque introdujo errores en el orden de ocho. ^[15] Una teoría de quinto orden para profundidad finita fue derivada por De en 1955. ^[16] Para uso de ingeniería, las formulaciones de quinto orden de Fenton son convenientes, aplicables tanto a la primera como a la segunda definición de velocidad de fase de Stokes (celeridad). ^[17] La demarcación entre cuando la teoría de Stokes de quinto orden es preferible a la teoría de ondas cnoidales de quinto orden es para los parámetros de Ursell por debajo de aproximadamente 40. ^[10] [11]

Diferentes opciones para el marco de referencia y los parámetros de expansión son posibles en los enfoques tipo Stokes para el problema de la onda no lineal. En 1880, el propio Stokes invirtió las variables dependientes e independientes, tomando el potencial de velocidad y la función de la corriente como variables independientes, y las coordenadas ( x , z ) como las variables dependientes, con x y z las coordenadas horizontal y vertical respectivamente. ^[18]Esto tiene la ventaja de que la superficie libre, en un marco de referencia en el que la onda es estable (es decir, se mueve con la velocidad de la fase), se corresponde con una línea en la que la función de flujo es una constante. Entonces, la ubicación de la superficie libre se conoce de antemano y no es una parte desconocida de la solución. La desventaja es que se reduce el radio de convergencia de la expansión de la serie reformulada. ^[19]

Otro enfoque es mediante el uso del marco de referencia lagrangiano , siguiendo las parcelas de fluidos . Las formulaciones de Lagrangian muestran una convergencia mejorada, en comparación con las formulaciones tanto en el marco de Eulerian , como en el marco con el potencial y la función de flujo como variables independientes. ^[20] [21]

Crapper obtuvo una solución exacta para las ondas capilares puras no lineales de forma permanente y para la profundidad infinita del fluido en 1957. Tenga en cuenta que estas ondas capilares, que son ondas cortas forzadas por la tensión superficial , si los efectos de la gravedad son despreciables, tienen depresiones agudas Y crestas planas. Esto contrasta con las ondas de gravedad de superficie no lineales, que tienen crestas afiladas y depresiones planas. ^[22]

Varias propiedades integrales de las olas de Stokes en aguas profundas en función de la inclinación de las olas. ^[23] La inclinación de la onda se define como la relación entre la altura de la onda H y la longitud de onda λ. Las propiedades de la onda se hacen adimensionales utilizando el número de onda k = 2π / λ , la aceleración gravitacional g y la densidad del fluido ρ . 
Se muestran la densidad de energía cinética T , la densidad de energía potencial V , la densidad de energía total E  =  T  + V , la densidad de momento de onda horizontal I y la mejora relativa de la velocidad de fase c . Las densidades de energía de onda T , V y E se integran sobre la profundidad y se promedian en una longitud de onda, por lo que son energías por unidad de área horizontal; La densidad de momento de onda I es similar. Las líneas negras discontinuas muestran 1/16 ( kH ) ² y 1/8 ( kH ) ² , siendo los valores de las propiedades integrales derivadas de la teoría de la onda de Airy (lineal) . La altura máxima de la ola se produce para una inclinación de la ola H /λ ≈ 0.1412 , sobre el cual no existen ondas de gravedad de superficie periódicas. ^[24]
Tenga en cuenta que las propiedades de onda mostradas tienen un máximo para una altura de onda menor que la altura de onda máxima (véase, por ejemplo, Longuet-Higgins 1975 ; Cokelet 1977 ).

Mediante el uso de modelos informáticos, la expansión de Stokes para las ondas de gravedad de la superficie se ha continuado, hasta el orden más alto (117) de Schwartz (1974) . Schwartz ha encontrado que la amplitud de una (o un ₁ ) del primer orden fundamental alcanza un máximo antes de la máxima altura de ola H se alcanza. En consecuencia, la inclinación de la onda ka en términos de amplitud de onda no es una función monótona hasta la onda más alta, y Schwartz utiliza en su lugar kH como parámetro de expansión. Para estimar la ola más alta en aguas profundas, Schwartz ha utilizado aproximaciones de Padé y parcelas Domb-SykesPara mejorar la convergencia de la expansión de Stokes. En Williams ( 1981 , 1985 ) se proporcionan tablas extendidas de ondas de Stokes en varias profundidades, calculadas por un método diferente (pero de acuerdo con los resultados de otros ).

Existen varias relaciones exactas entre las propiedades integrales, como la energía cinética y potencial , el momento de la onda horizontal y el estrés por radiación , según lo encontrado por Longuet-Higgins (1975) . Él muestra, para las olas de aguas profundas, que muchas de estas propiedades integrales tienen un máximo antes de que se alcance la altura máxima de la ola (en apoyo de los hallazgos de Schwartz). Cokelet (1978) , utilizando un método similar al de Schwartz, calculó y formó propiedades integrales tabuladas para una amplia gama de profundidades de agua finitas (todas alcanzando máximos por debajo de la altura de ola más alta). Además, estas propiedades integrales desempeñan un papel importante en las leyes de conservación de las olas de agua, a través deTeorema de Noether . ^[25]

En 2005, Hammack, Henderson y Segur proporcionaron la primera evidencia experimental de la existencia de ondas progresivas tridimensionales de forma permanente en aguas profundas, es decir, patrones de ondas progresivas bi-periódicas y bidimensionales de forma permanente. ^[26] La existencia de estas ondas tridimensionales de aguas profundas estables se reveló en 2002, a partir de un estudio de bifurcación de ondas de Stokes bidimensionales por Craig y Nicholls, utilizando métodos numéricos. ^[27]

Convergencia e inestabilidad [ editar ]

Convergencia [ editar ]

La convergencia de la expansión de Stokes fue probada por primera vez por Levi-Civita (1925) para el caso de ondas de pequeña amplitud, en la superficie libre de un fluido de profundidad infinita. Esto fue extendido poco después por Struik (1926) para el caso de las ondas de profundidad finita y de pequeña amplitud. ^[28]

Cerca del final del siglo XX, se demostró que para las ondas de amplitud finita, la convergencia de la expansión de Stokes depende en gran medida de la formulación del problema de la onda periódica. Por ejemplo, una formulación inversa del problema de la onda periódica que usa Stokes, con las coordenadas espaciales en función del potencial de velocidad y la función de la corriente , no converge para las ondas de alta amplitud. Mientras que otras formulaciones convergen mucho más rápidamente, por ejemplo, en el marco de referencia euleriano (con el potencial de velocidad o la función de flujo en función de las coordenadas espaciales). ^[19]

Ola más alta [ editar ]

Stokes olas de altura de ola máxima en aguas profundas, bajo la acción de la gravedad.

La pendiente máxima de onda, para las ondas periódicas y se propagan de aguas profundas, es H / λ ≈ 0.1412 , por lo que la altura de las olas es aproximadamente un séptimo ( 1/7) de la λ la longitud de onda. ^[24] Y las ondas de gravedad superficial de esta altura máxima tienen una cresta de ondaaguda , con un ángulo de 120 ° (en el dominio del fluido), también para profundidad finita, como lo demostró Stokes en 1880. ^[18]

Una estimación precisa de la mayor inclinación de las olas en aguas profundas ( H / λ ≈ 0.142 ) ya se realizó en 1893, por John Henry Michell , utilizando un método numérico. ^[29] Un estudio más detallado del comportamiento de la ola más alta cerca de la cresta de esquinas agudas ha sido publicado por Malcolm A. Grant, en 1973. ^[30]La existencia de la ola más alta en aguas profundas con una cresta de ángulo agudo de 120 ° fue probado por John Toland en 1978. ^[31] . La convexidad de η (x) entre los máximos sucesivos con una cresta de ángulo agudo de 120 ° fue probada de manera independiente por CJ Amick et al y Pavel I. Plotnikov en 1982 ^[32] [33] .

La onda de Stokes más alta, bajo la acción de la gravedad, se puede aproximar con la siguiente representación simple y precisa de la elevación de superficie libre η ( x , t ): ^[34]

$${\ displaystyle {\ frac {\ eta} {\ lambda}} = A \, \ left [\ cosh \, \ left ({\ frac {x-ct} {\ lambda}} \ right) -1 \ right] ,}   con   $${\ displaystyle A = {\ frac {1} {{\ sqrt {3}} \, \ sinh \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} \ approx 1.108,}   para $${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {2}} \, \ lambda \ leq (x-ct) \ leq {\ tfrac {1} {2}} \, \ lambda,}

y se desplazó horizontalmente sobre un número entero de longitudes de onda para representar las otras ondas en el tren de ondas regular. Esta aproximación es precisa dentro del 0.7% en todas partes, en comparación con la solución "exacta" para la ola más alta. ^[34]

Otra aproximación precisa, aunque sea menos precisa que la anterior, del movimiento fluido en la superficie de la onda más inclinada es, por analogía, con el balanceo de un péndulo en un reloj de abuelo . ^[35]

Inestabilidad [ editar ]

En aguas más profundas, las olas de Stokes son inestables. ^[36] Esto fue demostrado por T. Brooke Benjamin y Jim E. Feir en 1967. ^[37] [38] La inestabilidad de Benjamin-Feir es una inestabilidad de banda lateral o modulación, con las modulaciones de banda lateral propagándose en la misma dirección como la onda portadora ; las olas se vuelven inestables en aguas más profundas para una profundidad relativa kh > 1.363 (con k el número de waveny h la profundidad media del agua). ^[39] La inestabilidad de Benjamin-Feir se puede describir con la ecuación de Schrödinger no lineal, insertando una onda de Stokes con bandas laterales. ^[36] Posteriormente, con un análisis más refinado, se ha demostrado, teórica y experimentalmente, que la onda de Stokes y sus bandas laterales muestran la recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou : una alternancia cíclica entre la modulación y la demodulación. ^[40]

En 1978, Longuet-Higgins , mediante el modelado numérico de ondas y modulaciones totalmente no lineales (propagándose en la dirección de la onda portadora), presentó un análisis detallado de la región de inestabilidad en aguas profundas. ^[41] [42] En los estudios de Longuet-Higgins sobre el movimiento de ondas bidimensionales, así como los estudios posteriores de modulaciones tridimensionales de McLean et al., Se encontraron nuevos tipos de inestabilidades, que se asocian con interacciones de ondas resonantes entre Cinco (o más) componentes de onda. ^{[43] [44] [45]}

Expansión de Stokes [ editar ]

Ecuaciones gobernantes para un flujo potencial [ editar ]

En muchos casos, el flujo oscilatorio en el interior fluido de las ondas superficiales se puede describir con precisión utilizando la teoría del flujo potencial , aparte de las capas límite cercanas a la superficie libre y al fondo (donde la vorticidad es importante, debido a los efectos viscosos , consulte la capa límite de Stokes ). ^[46]Entonces, la velocidad de flujo u puede describirse como el gradiente de un potencial de velocidad Φ :

$${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi.}

( A )

En consecuencia, asumiendo un flujo incompresible , el campo de velocidad u está libre de divergencias y el potencial de velocidad Φ satisface la ecuación de Laplace ^[46]

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 0}

( B )

En el interior fluido.

La región de fluido se describe utilizando tridimensionales coordenadas cartesianas ( x , y , z ), con x y y las coordenadas horizontales, y z la coordenada vertical - con el positivo z -dirección oponerse a la dirección de la aceleración de la gravedad . El tiempo se denota con t . La superficie libre está ubicada en z = η ( x , y , t ) , y la parte inferior de la región del fluido está en z = - h ( x ,y ) .

Las condiciones de contorno de superficie libre para las ondas de gravedad de superficie , que utilizan una descripción de flujo potencial , consisten en una condición de límite cinemática y dinámica . ^[47] La condición de límite cinemático asegura que el componente normal de la velocidad de flujo del fluido ,$${\ displaystyle {\ bf {u}} = [\ partial \ Phi / \ partial x ~~~ \ partial \ Phi / \ partial y ~~~ \ partial \ Phi / \ partial z] ^ {\ mathrm {T} }}en notación matricial, en la superficie libre es igual al componente de velocidad normal del movimiento de superficie libre z = η ( x , y , t ) :

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial x}} \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x} } + {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ qquad {\ text {at}} z = \ eta (x, y, t).}

( C )

La condición de frontera dinámica indica que, sin efectos de tensión superficial , la presión atmosférica justo por encima de la superficie libre es igual a la presión del fluido justo por debajo de la superficie. Para un flujo potencial inestable, esto significa que la ecuación de Bernoulli debe aplicarse en la superficie libre. En caso de una presión atmosférica constante, la condición de frontera dinámica se convierte en:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} + {\ tfrac {1} {2}} \, \ left | \ mathbf {u} \ right | ^ {2} + g \, \ eta = 0 \ qquad {\ text {at}} z = \ eta (x, y, t),}

( D )

donde la presión atmosférica constante se ha tomado igual a cero, sin pérdida de generalidad .

Ambas condiciones de contorno contienen el potencial Φ así como la elevación de la superficie η . Una condición de frontera (dinámica) en términos de solo el potencial Φ se puede construir tomando la derivada material de la condición de frontera dinámica y utilizando la condición de frontera cinemática: ^{[46] [47] [48]}

${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$

${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$

$${\ displaystyle {\ color {Gris} {\ Rightarrow \ quad}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial t ^ {2}}} + g \, {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (| \ mathbf {u} | ^ {2} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} \, \ mathbf {u} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left (| \ mathbf {u} | ^ {2} \ right) = 0 \ qquad {\ text {at}} z = \ eta ( x, y, t).}

( E )

En la parte inferior de la capa de fluido, la impermeabilidad requiere que el componente normal de la velocidad de flujo desaparezca: ^[46]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial n}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ partial h} {\ partial x}} \ right ) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial h} {\ partial y}} \ right) ^ {2}}}} \, \ left \ {{\ frac {\ partial \ Phi} {\ parcial z}} + {\ frac {\ parcial h} {\ parcial x}} \, {\ fractura \ \ parcial \ Phi} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial h} {\ parcial y} } \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial y}} \ right \} = 0, \ qquad {\ text {at}} z = -h (x, y),}

( F )

donde h ( x , y ) es la profundidad de la cama debajo del dato z = 0 y n es el componente de coordenadas en la dirección normal a la cama .

Para ondas permanentes sobre un lecho horizontal, la profundidad media h es una constante y la condición de contorno en el lecho se convierte en:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} = 0 \ qquad {\ text {at}} z = -h.}

Serie de Taylor en las condiciones de contorno de superficie libre [ editar ]

Las condiciones de contorno de superficie libre (D) y (E) se aplican a la elevación de superficie libre aún desconocida z = η ( x , y , t ) . Se pueden transformar en condiciones de contorno en una elevación fija z = constante mediante el uso de expansiones de la serie de Taylor del campo de flujo alrededor de esa elevación. ^[46] Sin pérdida de generalidad, la elevación media de la superficie, alrededor de la cual se desarrollan las series de Taylor, se puede tomar en z = 0. Esto asegura que la expansión esté alrededor de una elevación en la proximidad de la elevación real de superficie libre. La convergencia de la serie de Taylor para el movimiento de onda constante de pequeña amplitud fue probada por Levi-Civita (1925) .

Se utiliza la siguiente notación: la serie de Taylor de algún campo f ( x , y , z , t ) alrededor de z = 0 - y evaluada en z = η ( x , y , t ) - es: ^[49]

$${\ displaystyle f (x, y, \ eta, t) = \ left [f \ right] _ {0} + \ eta \, \ left [{\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ right ] _ {0} + {\ frac {1} {2}} \, \ eta ^ {2} \, \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}} } \ right] _ {0} + \ cdots}

con subíndice cero que significa evaluación en z = 0 , por ejemplo: [ f ] ₀ = f ( x , y , 0, t ) .

Aplicación de la expansión de Taylor a la condición de límite de superficie libre Ec. (E) en términos del potencial Φ da: ^[46] [49]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial t ^ {2}}} + g \, {\ frac {\ partial \ Phi} { \ parcial z}} \ derecha] _ {0} + \ eta \ izquierda [{\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial t ^ {2}}} + g \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ right) \ right] _ {0} + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (| \ mathbf {u} | ^ {2} \ right) \ right] _ {0} \\ & \ quad + {\ tfrac {1} {2}} \, \ eta ^ {2 } \ left [{\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial t ^ {2}} } + g \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ right) \ right] _ {0} + \ eta \ left [{\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t \, \ partial z}} \ left (| \ mathbf {u} | ^ {2} \ right) \ right] _ {0} + {\ biggl [} {\ tfrac {1} {2}} \, \ mathbf {u} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left (| \ mathbf {u} | ^ {2} \ right) {\ biggr]} _ {0} \\ & \ quad + \ cdots = 0, \ end {alineado}}}

( G )

mostrando los términos hasta el triple de productos de η , Φ y u , según se requiera para la construcción de la expansión de Stokes hasta el tercer orden O (( ka ) ³ ). Aquí, ka es la inclinación de la onda, con k un número de onda característico y una amplitud de onda característica para el problema en estudio. Se supone que los campos η , Φ y u son O ( ka ).

La condición de límite de superficie libre dinámica Eq. (D) se puede evaluar en términos de cantidades en z = 0como: ^[46] [49]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ left [{\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} + g \, \ eta \ right] _ {0} + \ eta \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial t \, \ partial z}} \ right] _ {0} + {\ biggl [} {\ tfrac {1} {2}} \, \ left | \ mathbf {u} \ right | ^ {2} {\ biggr]} _ {0} \\ & \ quad + {\ tfrac {1} {2}} \, \ eta ^ {2} \ left [{\ frac {\ parcial ^ {3} \ Phi} {\ parcial t \, \ parcial z ^ {2}}} \ derecha] _ {0} + \ eta \ izquierda [{\ frac {\ parcial} {\ parcial z} } \ left ({\ tfrac {1} {2}} \, \ left | \ mathbf {u} \ right | ^ {2} \ right) \ right] _ {0} + \ cdots = 0. \ end { alineado}}}

( H )

Las ventajas de estas expansiones de la serie de Taylor surgen completamente en combinación con un enfoque de la serie de perturbaciones, para ondas no lineales débiles ( ka ≪ 1) .

Enfoque de series de perturbación [ editar ]

Las series de perturbaciones son en términos de un pequeño parámetro de ordenación ε ≪ 1 , que posteriormente resulta proporcional (y del orden de) la pendiente de la onda ka , consulte la solución de la serie en esta sección . ^[50] Entonces, toma ε = ka :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ eta & = \ varepsilon \, \ eta _ {1} + \ varepsilon ^ {2} \, \ eta _ {2} + \ varepsilon ^ {3} \, \ eta _ {3} + \ cdots, \\ Phi & = \ varepsilon \, \ Phi _ {1} + \ varepsilon ^ {2} \, \ Phi _ {2} + \ varepsilon ^ {3} \, \ Phi _ {3} + \ cdots \ quad {\ text {y}} \\\ mathbf {u} & = \ varepsilon \, \ mathbf {u} _ {1} + \ varepsilon ^ {2} \, \ mathbf {u } _ {2} + \ varepsilon ^ {3} \, \ mathbf {u} _ {3} + \ cdots. \ End {alineado}}}

Cuando se aplican en las ecuaciones de flujo, deben ser válidas independientemente del valor particular de ε . Al igualar en potencias de ε , cada término proporcional a ε a cierta potencia tiene que ser igual a cero. Como ejemplo de cómo funciona el enfoque de la serie de perturbaciones, considere la condición de contorno no lineal (G) ; se convierte en: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno resultantes en z = 0 para las tres primeras órdenes son:

Primer orden:

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi _ {1}} {\ parcial t ^ {2}}} + g \, {\ frac {\ parcial \ Phi _ {1}} {\ parcial z}} = 0,}

( J1 )

Segundo orden:

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi _ {2}} {\ parcial t ^ {2}}} + g \, {\ frac {\ parcial \ Phi _ {2}} {\ parcial z}} = - \ eta _ {1} \, {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {1}} {\ partial t ^ {2}}} + g \, {\ frac {\ partial \ Phi _ {1}} {\ partial z}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (| \ mathbf {u} _ {1} | ^ {2} \ derecha),}

( J2 )

Tercer orden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)-\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right).\end{aligned}}}$

( J3 )

De manera similar, a partir de la condición de límite dinámico (H) , las condiciones en z = 0 en las órdenes 1, 2 y 3 se convierten en:

Primer orden:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {1}} {\ partial t}} + g \, \ eta _ {1} = 0,}

( K1 )

Segundo orden:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {2}} {\ partial t}} + g \, \ eta _ {2} = - \ eta _ {1} \, {\ frac {\ partial ^ { 2} \ Phi _ {1}} {\ partial t \, \ partial z}} - {\ tfrac {1} {2}} \, \ left | \ mathbf {u} _ {1} \ right | ^ { 2}

( K2 )

Tercer orden:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial \ Phi _ {3}} {\ partial t}} + g \, \ eta _ {3} = & - \ eta _ {1} \, { \ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi _ {2}} {\ parcial t \, \ parcial z}} - \ eta _ {2} \, {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi _ { 1}} {\ partial t \, \ partial z}} - \ mathbf {u} _ {1} \ cdot \ mathbf {u} _ {2} \\ & - {\ tfrac {1} {2}} \ , \ eta _ {1} ^ {2} \, {\ frac {\ partial ^ {3} \ Phi _ {1}} {\ partial t \, \ partial z ^ {2}}} - \ eta _ { 1} \, {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \, \ left | \ mathbf {u} _ {1} \ right | ^ {2 } \ derecha). \ fin {alineado}}}

( K3 )

Para las ecuaciones lineales (A) , (B) y (F), la técnica de perturbación produce una serie de ecuaciones independientes de las soluciones de perturbación en otros órdenes:

{\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {rcl} \ mathbf {u} _ {j} & = & {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi _ {j}, \\ [1ex] \ nabla ^ {2} \ Phi _ {j} & = & 0, \\ [1ex] \ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {j}} {\ partial n}} & = & 0 \ quad {\ text {at} } z = -h, \ end {array}} \ right \} \ qquad {\ text {para todas las órdenes}} j \ in \ mathbb {N} ^ {+}.}

( L )

Las ecuaciones de perturbación anteriores se pueden resolver de forma secuencial, es decir, comenzando con el primer orden, luego continuando con el segundo orden, el tercer orden, etc.

Aplicación a las ondas periódicas progresivas de forma permanente [ editar ]

Animación de olas Stokes empinadas en aguas profundas, con una longitud de onda de aproximadamente el doble de la profundidad del agua, durante tres periodos de olas sucesivas . La altura de la ola es el 90% de la altura máxima de la ola. 
Descripción de la animación : Los puntos blancos son partículas fluidas, seguidas en el tiempo. En el caso mostrado aquí, la media euleriano horizontal velocidad debajo de la onda a través es cero. ^[51]

Las ondas de forma permanente se propagan con una velocidad de fase constante (o celeridad ), denotada como c. Si el movimiento de las olas constante está en la horizontal x -dirección, las cantidades de flujo η y u no son dependientes por separado en x y el tiempo t , pero son funciones de x - ct : ^[52]

$${\ displaystyle \ eta (x, t) = \ eta (x-ct) \ quad {\ text {y}} \ quad \ mathbf {u} (x, z, t) = \ mathbf {u} (x ct, z).}

Además, las ondas son periódicas, y porque también son de forma permanente, tanto en el espacio horizontal xcomo en el tiempo t , con una longitud de onda λ y un período τ respectivamente. Tenga en cuenta que Φ ( x , z , t ) en sí mismo no es necesario periódicamente debido a la posibilidad de una deriva constante (lineal) en x y / o t: ^[53]

$${\ displaystyle \ Phi (x, z, t) = \ beta x- \ gamma t + \ varphi (x-ct, z),}

con φ ( x , z , t ) - así como las derivadas ∂ Φ / ∂ t y ∂ Φ / ∂ x - siendo periódicas. Aquí β es la velocidad de flujo media por debajo del nivel mínimo , y γ se relaciona con el cabezal hidráulico como se observa en un marco de referencia que se mueve con la velocidad de fase c de la onda (por lo que el flujo se mantiene constante en este marco de referencia).

Para aplicar la expansión de Stokes a las ondas periódicas progresivas, es ventajoso describirlas a través de series de Fourier en función de la fase de onda θ ( x , t ): ^[45] [53]

$${\ displaystyle \ theta = kx- \ omega t = k \ left (x-ct \ right),}

Asumiendo ondas que se propagan en la dirección x . Aquí k = 2π / λ es el número de onda , ω = 2π / τ es la frecuencia angular y c = ω / k (= λ / τ ) es la velocidad de la fase .

Ahora, la elevación de superficie libre η ( x , t ) de una onda periódica se puede describir como la serie de Fourier: ^[11] [53]

$${\ displaystyle \ eta = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \, \ cos \, (n \ theta).}

De manera similar, la expresión correspondiente para el potencial de velocidad Φ ( x , z , t ) es: ^[53]

$${\ displaystyle \ Phi = \ beta x- \ gamma t + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} B_ {n} \, {\ biggl [} \ cosh \, \ left (nk \, (z + h) \ right) {\ biggr]} \, \ sin \, (n \ theta),}

satisfaciendo tanto la ecuación de Laplace ∇ ² Φ = 0 en el interior del fluido, como la condición de contorno ∂ Φ / ∂ z = 0 en el lecho z = - h .

Para un valor dado del número de onda k , los parámetros: A _n , B _n (con n = 1, 2, 3, ... ), c , β y γ aún no se han determinado. Todos ellos pueden ser expandidos como series de perturbaciones en ε . Fenton (1990)proporciona estos valores para la teoría de la onda de Stokes de quinto orden.

Para ondas periódicas progresivas, las derivadas con respecto a x y t de las funciones f ( θ , z ) de θ ( x , t ) se pueden expresar como derivadas con respecto a θ :

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} = + k \, {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ theta}} \ qquad {\ text {y}} \ qquad {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = - \ omega \, {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}}.

El punto importante para las ondas no lineales, en contraste con la teoría lineal de ondas de Airy , es que la velocidad de fase c también depende de la amplitud de onda a , además de su dependencia de la longitud de onda λ = 2π / ky la profundidad media h . La negligencia de la dependencia de c en la amplitud de onda resulta en la aparición de términos seculares , en las contribuciones de orden superior a la solución de la serie de perturbaciones. Stokes (1847) ya aplicó la corrección no lineal requerida a la velocidad de fase c para evitar el comportamiento secular. Un enfoque general para hacerlo ahora se conoce comoMétodo de Lindstedt – Poincaré. Dado que el número de onda k se proporciona y por lo tanto se fija, el comportamiento no lineal de la velocidad de fase c = ω / k se tiene en cuenta al expandir también la frecuencia angular ω en una serie de perturbaciones: ^[9]

$${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} + \ varepsilon \, \ omega _ {1} + \ varepsilon ^ {2} \, \ omega _ {2} + \ cdots.}

Aquí ω ₀ se relacionará con el número de onda k a través de la relación de dispersión lineal . Sin embargo derivadas respecto al tiempo, a través de ∂ f / ∂ t = - omega ∂ f / ∂ theta , ahora también dar contribuciones - que contiene omega ₁ , omega ₂ , etc. - a las ecuaciones que rigen en órdenes superiores de la serie de perturbación. Sintonizando ω ₁ , ω ₂ , etc., se puede prevenir el comportamiento secular. Para las ondas de gravedad de superficie, se encuentra que ω ₁ = 0y la primera contribución no nula a la relación de dispersión proviene de ω ₂(ver, por ejemplo, la subsección " Relación de dispersión de tercer orden " más arriba). ^[9]

Las dos definiciones de Stokes sobre la celeridad de las olas. [ editar ]

Para las ondas de superficie no lineales, en general, existe ambigüedad al dividir el movimiento total en una parte de onda y una parte media . Como consecuencia, hay cierta libertad para elegir la velocidad de fase (celeridad) de la onda. Stokes (1847) identificó dos definiciones lógicas de velocidad de fase, conocidas como primera y segunda definición de velocidad de onda de Stokes: ^{[6] [11] [54]}

1. La primera definición de Stokes de celeridad de onda tiene, para un movimiento de onda puro, el valor medio de la velocidad de flujo horizontal de Euler Ū _E en cualquier ubicación por debajo del nivel mínimoigual a cero. Debido a la irrotacionalidad del flujo potencial, junto con el lecho marino horizontal y la periodicidad de la velocidad horizontal media, la velocidad horizontal media es una constante entre el nivel de la cama y el nivel mínimo. Así que en Stokes primera definición de la ola se considera desde un marco de referencia que se mueve con la velocidad horizontal media ® _E . Este es un enfoque ventajoso cuando la velocidad de flujo media de Euler Ū _E Se conoce, por ejemplo, a partir de mediciones.
2. La segunda definición de Stokes de celeridad de onda es para un marco de referencia donde el transporte de masa horizontal media del movimiento de onda es igual a cero. Esto es diferente de la primera definición debido al transporte de masa en la zona de salpicadura , es decir, entre el nivel del canal y la cresta, en la dirección de propagación de la onda. Este transporte de masa inducido por la onda es causado por la correlación positiva entre la elevación de la superficie y la velocidad horizontal. En el marco de referencia para la segunda definición de Stokes, el transporte de masa inducido por las olas se compensa con una resaca opuesta (por lo que Ū _E  <0 en="" font="" la="" las="" nbsp="" ondas="" para="" propagan="" que="" se="">x positiva-dirección). Esta es la definición lógica de ondas generadas en un canal de ondas en el laboratorio, o ondas que se mueven perpendiculares hacia una playa.

Como lo señaló Michael E. McIntyre, el transporte de masa horizontal medio será (casi) cero para un grupo de olas que se aproxima a aguas tranquilas, y también en aguas profundas el transporte de masas causado por las olas equilibrado por un transporte de masas opuesto en un retorno flujo (resaca). ^[55] Esto se debe al hecho de que, de lo contrario, se necesitará una gran fuerza media para acelerar el cuerpo de agua en el que se está propagando el grupo de ondas.