SISTEMAS DE COORDENADAS

TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ - CONTINUACIÓN

Transformación de velocidades [ editar ]

Más información: diferencial de una función y fórmula de adición de velocidad.

La transformación de las velocidades proporciona la definición Además velocidad relativista ⊕ , el orden de vectores se elige para reflejar el orden de la adición de velocidades; primero v (la velocidad de F ′ en relación con F) luego u ′ (la velocidad de X en relación con F ′) para obtener u = v ⊕ u ′ (la velocidad de X en relación con F).

Definiendo las velocidades de coordenadas y el factor de Lorentz por

$${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ ,, \ quad \ mathbf {u} '= {\ frac {d \ mathbf {r}'} {dt '}} \, \ quad \ gamma _ {\ mathbf {v}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ dfrac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}}}}

tomando los diferenciales en las coordenadas y el tiempo de las transformaciones del vector, luego dividiendo las ecuaciones, lleva a

$${\ displaystyle \ mathbf {u} '= {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}}}} \ left [{ \ frac {\ mathbf {u}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}}}} - \ mathbf {v} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1}} \ left (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {v} \ right]}

Las velocidades u y u ′ son la velocidad de algún objeto masivo. También pueden ser para un tercer marco inercial (digamos F ′ ′), en cuyo caso deben ser constantes . Indique cualquiera de las entidades por X. Luego X se mueve con la velocidad u con relación a F, o equivalente con la velocidad u ′ con relación a F ′, a su vez, F ′ se mueve con la velocidad v con relación a F. Las transformaciones inversas se pueden obtener de una manera similar, o como con las coordenadas de posición intercambia u y u ′ , y cambia v a - v .

La transformación de la velocidad es útil en la aberración estelar , el experimento de Fizeau y el efecto Doppler relativista .

Las transformaciones de Lorentz de la aceleración se pueden obtener de manera similar tomando diferenciales en los vectores de velocidad y dividiéndolos por el diferencial de tiempo.

Transformación de otras cantidades [ editar ]

En general, dadas cuatro cantidades A y Z = ( Z _x , Z _y , Z _z ) y sus contrapartes reforzadas con Lorentz A ′ y Z ′ = ( Z ′ _x , Z ′ _y , Z ′ _z ) , una relación de formar

$${\ displaystyle A ^ {2} - \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {Z} = {A '} ^ {2} - \ mathbf {Z}' \ cdot \ mathbf {Z} '}

implica que las cantidades se transforman bajo transformaciones de Lorentz similares a la transformación de coordenadas del espacio-tiempo;

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A '& = \ gamma \ left (A - {\ frac {v \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {Z}} {c}} \ right) \ ,, \\ \ mathbf {Z} '& = \ mathbf {Z} + (\ gamma -1) (\ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - {\ frac {\ gamma Av \ mathbf { n}} {c}} \,. \ end {alineado}}}

La descomposición de Z (y Z ′ ) en componentes perpendiculares y paralelos a v es exactamente la misma que para el vector de posición, al igual que el proceso de obtención de las transformaciones inversas (intercambio ( A , Z ) y ( A ′, Z ′) para cambiar las cantidades observadas e invertir la dirección del movimiento relativo mediante la sustitución n ↦ - n ).

Las cantidades ( A , Z ) forman en conjunto un vector de cuatro , donde A es el "componente temporal", y Z el "componente espacial". Ejemplos de A y Z son los siguientes:

Cuatro vectores	UNA	Z
Posicionar cuatro vectores	Tiempo (multiplicado por c ), ct	Posicionar vector , r
Cuatro impulso	Energía (dividida por c ), E / c	Impulso , p
Vector de cuatro ondas	frecuencia angular (dividida por c ), ω / c	vector de onda , k
Cuatro vueltas	(Sin nombre), s t	Girar , s
Cuatro corriente	Densidad de carga (multiplicada por c ),ρc	Densidad de corriente ,j
Cuatro potenciales electromagnéticos	Potencial eléctrico (dividido por c ), φ / c	Potencial magnético , A

Para un objeto dado (p. Ej., Partícula, fluido, campo, material), si A o Z corresponden a propiedades específicas del objeto como su densidad de carga , densidad de masa , giro , etc., sus propiedades pueden fijarse en el marco de descanso de ese objeto Luego, las transformaciones de Lorentz dan las propiedades correspondientes en un cuadro que se mueve en relación con el objeto a una velocidad constante. Esto rompe algunas nociones dadas por sentado en la física no relativista. Por ejemplo, la energía E.de un objeto es un escalar en la mecánica no relativista, pero no en la mecánica relativista porque la energía cambia bajo las transformaciones de Lorentz; Su valor es diferente para varios marcos inerciales. En el marco de reposo de un objeto, tiene una energía de reposo y un momento cero. En un marco reforzado, su energía es diferente y parece tener un impulso. Del mismo modo, en la mecánica cuántica no relativista el espín de una partícula es un vector constante, pero en la mecánica cuántica relativista giran s depende de movimiento relativo. En el marco de reposo de la partícula, el pseudovector de espín puede fijarse para que sea su espín no relativista ordinario con una cantidad de tiempo cero igual a la de _{t t}Sin embargo, un observador potenciado percibirá un componente temporal distinto de cero y un giro alterado. ^[15]

No todas las cantidades son invariantes en la forma como se muestra arriba, por ejemplo orbital momento angular L no tiene una cantidad de tipo temporal, y tampoco lo hace el campo eléctrico E ni el campo magnético B . La definición de momento angular es L = r × p , y en un cuadro reforzado el momento angular alterado es L ′ = r ′ × p ′ . La aplicación de esta definición mediante las transformaciones de coordenadas y el momento conduce a la transformación del momento angular. Resulta que L transforma con otra cantidad de vectores N = (E / c ² ) r - t p relacionado con los refuerzos, consulte el momento angular relativista para más detalles. Para el caso de loscampos E y B , las transformaciones no se pueden obtener directamente usando el álgebra vectorial. La fuerza de Lorentz es la definición de estos campos, y en F es F = q ( E + v × B ), mientras que enF ′ es F ′ = q ( E ′ + v ′ ×B ′) . Un método para derivar las transformaciones del campo EM de una manera eficiente que también ilustra la unidad del campo electromagnético utiliza el álgebra tensorial, que se presenta a continuación .

Formulación matemática [ editar ]

Artículo principal: Grupo de Lorentz.

Más información: Matriz (matemáticas) , producto matricial , álgebra lineal y formalismos de rotación en tres dimensiones.

En todo caso, las letras mayúsculas en negrita en cursiva son matrices 4 × 4, mientras que las letras en negrita no en cursiva son matrices 3 × 3.

Grupo homogéneo de lorentz [ editar ]

Escribiendo las coordenadas en vectores de columna y la métrica de Minkowski η como una matriz cuadrada

{\ displaystyle X '= {\ begin {bmatrix} c \, t' \\ x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} \ ,, \ quad \ eta = {\ begin {bmatrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad X = {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}

el intervalo espacio-tiempo toma la forma (T denota transposición )

$${\ displaystyle X \ cdot X = X ^ {\ mathrm {T}} \ eta X = {X '} ^ {\ mathrm {T}} \ eta {X'}}

y es invariante bajo una transformación de Lorentz

$${\ displaystyle X '= \ Lambda X}

donde Λ es una matriz cuadrada que puede depender de parámetros.

El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz Λ en este artículo se denota$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}. Este conjunto, junto con la multiplicación de matrices, forma un grupo , en este contexto conocido como el grupo de Lorentz . Además, la expresión anterior X · X es una forma cuadrática de firma (3,1) en el espacio-tiempo, y el grupo de transformaciones que deja invariable esta forma cuadrática es el grupo ortogonal indefinido O (3,1), un grupo de Lie . En otras palabras, el grupo de Lorentz es O (3,1). Como se presenta en este artículo, los grupos de mentiras mencionados son grupos de mentiras matriciales . En este contexto, la operación de composición equivale a la multiplicación de matrices .

De la invariancia del intervalo espacio-tiempo se sigue

$${\ displaystyle \ eta = \ Lambda ^ {\ mathrm {T}} \ eta \ Lambda}

y esta ecuación matricial contiene las condiciones generales de la transformación de Lorentz para garantizar la invariancia del intervalo espacio-tiempo. Tomar el determinante de la ecuación usando la regla del producto ^{[nb 4]}da inmediatamente

$${\ displaystyle [\ det (\ Lambda)] ^ {2} = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ det (\ Lambda) = \ pm 1}

Escribiendo la métrica de Minkowski como una matriz de bloques y la transformación de Lorentz en la forma más general,

{\ displaystyle \ eta = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {I} \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad \ Lambda = {\ begin {bmatrix} \ Gamma & - \ mathbf {a } ^ {\ mathrm {T}} \\ - \ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}} \ ,,}

la realización de las multiplicaciones de la matriz de bloques obtiene condiciones generales en Γ, a , b , M para asegurar la invarianza relativista. No se puede extraer directamente mucha información de todas las condiciones, sin embargo, uno de los resultados

$${\ displaystyle \ Gamma ^ {2} = 1 + \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {b}}

es útil; b ^T b ≥ 0 siempre por lo que se deduce que

$${\ displaystyle \ Gamma ^ {2} \ geq 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ Gamma \ leq -1 \ ,, \ quad \ Gamma \ geq 1}

La desigualdad negativa puede ser inesperada, porque Γ multiplica la coordenada de tiempo y esto tiene un efecto en la simetría de tiempo . Si la igualdad positiva se mantiene, entonces Γ es el factor de Lorentz.

El determinante y la desigualdad proporcionan cuatro formas de clasificar L orentz T ransformations ( en el presente documento LT s por razones de brevedad ). Cualquier TL en particular tiene solo un signo determinante y solo una desigualdad. Hay cuatro conjuntos que incluyen todos los pares posibles dados por las intersecciones(símbolo en forma de "n" que significa "y") de estos conjuntos de clasificación.

Intersección, ∩	LT anticrónicos (o no ortocrónicos) $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ downarrow} = \ {\ Lambda \,: \, \ Gamma \ leq -1 \}}	Orthochronous LT $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow} = \ {\ Lambda \,: \, \ Gamma \ geq 1 \}}
LT adecuados $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} = \ {\ Lambda \,: \, \ det (\ Lambda) = + 1 \}}	LT anticrinos apropiados $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ downarrow} = {\ mathcal {L}} _ {+} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ downarrow}}	LTs ortocrones adecuados $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow} = {\ mathcal {L}} _ {+} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow}}
LT inadecuados $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} = \ {\ Lambda \,: \, \ det (\ Lambda) = - 1 \}}	LT anticrones inadecuados $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow} = {\ mathcal {L}} _ {-} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ downarrow}}	LTs ortocrones inadecuados $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ uparrow} = {\ mathcal {L}} _ {-} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow}}

donde "+" y "-" indican el signo determinante, mientras que "↑" para ≥ y "↓" para ≤ denota las desigualdades.

El grupo completo de Lorentz se divide en la unión (símbolo en forma de "u" que significa "o") de cuatro conjuntos desunidos

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ uparrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ downarrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow}}

Un subgrupo de un grupo debe cerrarse bajo la misma operación del grupo (aquí, la multiplicación de matrices). En otras palabras, para dos Transformaciones de Lorentz Λ y L a partir de un conjunto particular, la Lorentz compuesto transformaciones Λ L y L Λ deben estar en el mismo conjunto que Λ y L . Este no siempre será el caso; se puede demostrar que la composición de cualquiera de las dos transformaciones de Lorentz siempre tiene el determinante positivo y la desigualdad positiva, una transformación ortocrónica adecuada. Los conjuntos$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow}}, $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+}}, $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow}}y $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {0} = {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow}}todos los subgrupos de formulario. Los otros conjuntos que involucran las propiedades impropias y / o anticronales (es decir,$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ downarrow}}, $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow}}, $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ uparrow}}) no forman subgrupos, porque la transformación compuesta siempre tiene un determinante positivo o desigualdad, mientras que las transformaciones separadas originales tendrán determinantes negativos y / o desigualdades.

Transformaciones propias [ editar ]

El impulso de Lorentz es

$${\ displaystyle X '= B (\ mathbf {v}) X}

donde está la matriz de impulso

{\ displaystyle B (\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ gamma \ beta n_ {x} & - \ gamma \ beta n_ {y} & - \ gamma \ beta n_ {z} \\ - \ gamma \ beta n_ {x} & 1 + (\ gamma -1) n_ {x} ^ {2} & (\ gamma -1) n_ {x} n_ {y} & (\ gamma -1) n_ { x} n_ {z} \\ - \ gamma \ beta n_ {y} & (\ gamma -1) n_ {y} n_ {x} & 1 + (\ gamma -1) n_ {y} ^ {2} & (\ gamma -1) n_ {y} n_ {z} \\ - \ gamma \ beta n_ {z} & (\ gamma -1) n_ {z} n_ {x} & (\ gamma -1) n_ {z} n_ {y} & 1 + (\ gamma -1) n_ {z} ^ {2} \\\ end {bmatrix}} \ ,.}

Los impulsos a lo largo de las direcciones cartesianas se pueden obtener fácilmente, por ejemplo, el vector unitario en la dirección x tiene componentes n _x = 1 y n _y = n _z = 0 .

Las matrices hacen que una o más transformaciones sucesivas sean más fáciles de manejar, en lugar de iterar de forma remota las transformaciones para obtener el resultado de más de una transformación. Si un fotograma F ′ se refuerza con la velocidad u en relación con el fotograma F , y otro fotograma F ′ ′ se refuerza con la velocidad v con respecto a F ′ , los impulsos separados son

$${\ displaystyle X '' = B (\ mathbf {v}) X '\ ,, \ quad X' = B (\ mathbf {u}) X}

y la composición de los dos refuerzos conecta las coordenadas en F ′ ′ y F ,

$${\ displaystyle X '' = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) X \ ,.

Las transformaciones sucesivas actúan a la izquierda. Si u y v son colineales (paralelos o antiparalelos a lo largo de la misma línea de movimiento relativo), las matrices de refuerzo conmutan : B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) y esta transformación compuesta resulta ser otro impulso .

Si u y v no son colineales sino en direcciones diferentes, la situación es considerablemente más complicada. Los impulsos de Lorentz a lo largo de diferentes direcciones no conmutan: B ( v ) B ( u ) y B ( u ) B ( v ) no son iguales. Además, cada una de estas composiciones no es un solo impulso, sino que sigue siendo una transformación de Lorentz, ya que cada impulso aún conserva la invariancia del intervalo espacio-tiempo. Resulta que la composición de cualquiera de los dos impulsos de Lorentz es equivalente a un impulso seguido o precedido por una rotación en las coordenadas espaciales, en forma de R( ρ ) B ( w ) o B ( w ) R ( ρ ) . Los valores w y w son velocidades compuestas , mientras que ρ y ρ son parámetros de rotación (por ejemplo , variables de ángulo de eje , ángulos de Euler , etc.). La rotación en forma de matriz de bloque es simplemente

{\ displaystyle \ quad R ({\ boldsymbol {\ rho}}) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {R} ({\ boldsymbol {\ rho}}) \ end {bmatrix}} \, ,}

donde R ( ρ ) es una matriz de rotación 3d , que rota cualquier vector 3d en un sentido (transformación activa), o de manera equivalente el marco de coordenadas en el sentido opuesto (transformación pasiva). Es no fácil de conectar w y ρ (o W y ρ ) a los parámetros originales a impulsar u y v . En una composición de refuerzos, la matriz R se denomina rotación de Wigner y da lugar a la precesión de Thomas.. Estos artículos proporcionan las fórmulas explícitas para las matrices de transformación compuestas, incluidas las expresiones para w , ρ , w , ρ.

En este artículo, la representación del ángulo del eje se utiliza para ρ . La rotación es alrededor de un eje en la dirección de un vector unitario e , a través del ángulo θ (positivo en sentido antihorario, negativo en sentido horario, según la regla de la mano derecha ). El "vector de ángulo de eje"

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta \ mathbf {e}}

servirá como una abreviatura útil.

Las rotaciones espaciales solas son también las transformaciones de Lorentz que dejan el intervalo de espacio-tiempo invariante. Al igual que los refuerzos, las rotaciones sucesivas sobre diferentes ejes no se conmutan. A diferencia de los refuerzos, la composición de cualquiera de las dos rotaciones es equivalente a una sola rotación. Algunas otras similitudes y diferencias entre las matrices de impulso y rotación incluyen:

• inversos : B ( v ) ⁻¹ = B (- v ) (movimiento relativo en la dirección opuesta), y R ( θ ) ⁻¹ = R (- θ ) (rotación en el sentido opuesto sobre el mismo eje)
• transformación de identidad sin movimiento / rotación relativos: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• unidad determinante : det ( B ) = det ( R ) = +1 . Esta propiedad les hace transformaciones adecuadas.
• simetría matricial : B es simétrica (es igual a transposición ), mientras que R es no simétrica pero ortogonal(transposición es igual a inversa , R ^T = R ⁻¹ ).

La transformación de Lorentz apropiada más general Λ ( v , θ ) incluye un impulso y una rotación juntos, y es una matriz no simétrica. Como casos especiales, Λ ( 0 , θ ) = R ( θ ) y Λ ( v , 0 ) = B ( v ) . Una forma explícita de la transformación general de Lorentz es engorrosa de escribir y no se dará aquí. Sin embargo, a continuación se darán expresiones de forma cerrada para las matrices de transformación utilizando argumentos teóricos de grupo. Será más fácil utilizar la parametrización de la rapidez para los refuerzos, en cuyo caso se escribeΛ ( ζ , θ ) y B ( ζ ) .

El grupo de Lie SO ⁺ (3,1) [ editar ]

El conjunto de transformaciones.

$${\ displaystyle \ {B ({\ boldsymbol {\ zeta}}), R ({\ boldsymbol {\ theta}}), \ Lambda ({\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ boldsymbol {\ theta}}) \}}

con la multiplicación de matrices, ya que la operación de composición forma un grupo, denominado "grupo de Lorentz restringido", y es el grupo ortogonal especial indefinido SO ⁺ (3,1). (El signo más indica que conserva la orientación de la dimensión temporal).

Para simplificar, observe el impulso infinitesimal de Lorentz en la dirección x (el examen de un impulso en cualquier otra dirección, o la rotación de cualquier eje, sigue un procedimiento idéntico). El impulso infinitesimal es un pequeño impulso lejos de la identidad, obtenido por la expansión de Taylor de la matriz de impulso a primer orden aproximadamente ζ = 0 ,

$${\ displaystyle B_ {x} = I + \ zeta \ left. {\ frac {\ parcial B_ {x}} {\ partial \ zeta}} \ right | _ {\ zeta = 0} + \ cdots}

donde los términos de orden superior que no se muestran son despreciables porque ζ es pequeño, y B _x es simplemente la matriz de refuerzo en la dirección x . La derivada de la matriz es la matriz de derivadas (de las entradas, con respecto a la misma variable), y se entiende que las derivaciones se encuentran primero y luego se evalúan en ζ = 0 ,

$${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial B_ {x}} {\ partial \ zeta}} \ right | _ {\ zeta = 0} = - K_ {x} \ ,.}

Por ahora, K _x se define por este resultado (su significado se explicará en breve). En el límite de un número infinito de pasos infinitamente pequeños, se obtiene la transformación de impulso finito en forma de una matriz exponencial

$${\ displaystyle B_ {x} = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (I - {\ frac {\ zeta} {N}} K_ {x} \ right) ^ {N} = e ^ {- \ zeta K_ {x}}}

donde se ha utilizado la definición límite de la exponencial (ver también caracterizaciones de la función exponencial ). Más en general ^{[nb 5]}

$${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {\ zeta}) = e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K}} \ ,, \ quad R ({\ boldsymbol {\ theta}} ) = e ^ {{\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} \ ,.

El vector de ángulo de eje θ y el vector de rapidez ζ son seis variables continuas que conforman los parámetros del grupo (en esta representación particular), y los generadores del grupo son K = ( K _x , K _y , K _z ) y J = ( J _x , J _y , J _z ) , cada vector de matrices con las formas explícitas ^{[nb 6]}

${\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Todos estos se definen de forma análoga a K _x arriba, aunque los signos menos en los generadores de impulso son convencionales. Físicamente, los generadores del grupo de Lorentz corresponden a simetrías importantes en el espacio-tiempo: J son los generadores de rotación que corresponden al momento angular , y K son los generadores de refuerzo que corresponden al movimiento del sistema en el espacio-tiempo. La derivada de cualquier curva suave C ( t ) con C (0) = I en el grupo dependiendo de algún parámetro de grupo t con respecto a ese parámetro de grupo, evaluado ent = 0 , sirve como una definición de un generador de grupo Gcorrespondiente, y esto refleja una transformación infinitesimal lejos de la identidad. La curva suave siempre se puede tomar como exponencial, ya que siempre se correlacionará G de nuevo con el grupo a través det → exp ( tG ) para todo t ; esta curva producirá G nuevamente cuando se diferencie en t = 0 .

Expansión de las exponenciales en sus series de Taylor.

$${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {\ zeta}) = I- \ sinh \ zeta (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) + (\ cosh \ zeta -1) (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2}}

$${\ displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}) = I + \ sin \ theta (\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {J}) + (1- \ cos \ theta) (\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {J}) ^ {2} \ ,.}

que reproducen de forma compacta las matrices de aumento y rotación como se indica en la sección anterior.

Se ha dicho que la transformación de Lorentz propiamente dicha es un producto de un impulso y rotación. A nivel infinitesimal el producto.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ Lambda & = (I - {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + \ cdots) (I + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf { J} + \ cdots) \\ & = (I + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J} + \ cdots) (I - {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + \ cdots) \\ & = I - {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J} + \ cdots \ end {alineado}}}

es conmutativo porque solo se requieren términos lineales (productos como ( θ · J ) ( ζ · K ) y ( ζ · K ) ( θ · J )cuentan como términos de orden superior y son despreciables). Tomar el límite como antes conduce a la transformación finita en forma de exponencial

$${\ displaystyle \ Lambda ({\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ boldsymbol {\ theta}}) = e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}}.}

Lo contrario también es cierto, pero la descomposición de una transformación general finita de Lorentz en tales factores no es trivial. En particular,

$${\ displaystyle e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} \ neq e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K}} e ^ {{\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}},}

Porque los generadores no conmutan. Para una descripción de cómo encontrar los factores de una transformación general de Lorentz en términos de un impulso y una rotación en principio (esto generalmente no produce una expresión inteligible en términos de los generadores J y K ), vea Rotación de Wigner . Si, por otro lado, la descomposición se da en términos de los generadores, y uno quiere encontrar el producto en términos de los generadores, entonces se aplica la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .

El álgebra de Lie así que (3,1) [ editar ]

Los generadores de Lorentz se pueden sumar, o multiplicar por números reales, para obtener más generadores de Lorentz. En otras palabras, el conjunto de todos los generadores de Lorentz.

$${\ displaystyle V = \ {{\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J} \}}

Junto con las operaciones de adición de matriz ordinaria y multiplicación de una matriz por un número , forma un espacio vectorial sobre los números reales. ^{[nb 7]} Los generadores J _x , J _y , J _z , K _x , K _y , K _z forman un conjunto básico de V , y las componentes de los vectores de ángulo de eje y rapidez, θ _x , θ _y , θ _z , ζ _x , ζ _y , ζ _z , son las coordenadasDe un generador de Lorentz respecto a esta base. ^{[nb 8]}

Tres de las relaciones de conmutación de los generadores de Lorentz son

$${\ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = J_ {z} \ ,, \ quad [K_ {x}, K_ {y}] = - J_ {z} \ ,, \ quad [J_ {x }, K_ {y}] = K_ {z} \ ,,}

donde el corchete [ A , B ] = AB - BA se conoce como el conmutador , y las otras relaciones se pueden encontrar tomando permutaciones cíclicas de las componentes x, y, z (es decir, cambian x a y, yz, yz a x, repita).

Estas relaciones de conmutación y el espacio vectorial de los generadores cumplen la definición del álgebra de Lie. $${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1)}. En resumen, un álgebra de Lie se define como un espacio vectorial V sobre un campo de números, y con una operación binaria [,] (llamada corchete de Lie en este contexto) en los elementos del espacio vectorial, satisfaciendo los axiomas de bilinealidad , La alternatización , y la identidad jacobi . Aquí la operación [,] es el conmutador que satisface todos estos axiomas, el espacio vectorial es el conjunto de generadores V de Lorentz como se indicó anteriormente, y el campo es el conjunto de números reales.

Vinculación de la terminología utilizada en matemáticas y física: un generador de grupo es cualquier elemento del álgebra de Lie. Un parámetro de grupo es un componente de un vector de coordenadas que representa un elemento arbitrario del álgebra de Lie con respecto a alguna base. Una base, entonces, es un conjunto de generadores que son la base del álgebra de Lie en el sentido usual del espacio vectorial.

El mapa exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie,

$${\ displaystyle \ mathrm {exp} \,: \, {\ mathfrak {so}} (3,1) \ rightarrow \ mathrm {SO} (3,1),}

proporciona una correspondencia uno a uno entre vecindarios suficientemente pequeños del origen del álgebra de Lie y vecindarios del elemento de identidad del grupo Lie. En el caso del grupo de Lorentz, el mapa exponencial es solo la matriz exponencial . A nivel mundial, el mapa exponencial no es de uno a uno, pero en el caso del grupo de Lorentz, es sobreyectivo (sobre). Por lo tanto, cualquier elemento de grupo puede expresarse como un exponencial de un elemento del álgebra de Lie.

Transformaciones impropias [ editar ]

Las transformaciones de Lorentz también incluyen inversión de paridad.

{\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}

que niega todas las coordenadas espaciales solamente, y la inversión de tiempo

{\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}

lo que niega solo la coordenada de tiempo, porque estas transformaciones dejan el intervalo espacio-tiempo invariante. Aquí estoy la matriz de identidad 3d . Ambos son simétricos, son sus propios inversos (ver involución (matemáticas) ), y cada uno tiene un determinante -1. Esta última propiedad les hace transformaciones impropias.

Si Λ es una transformación adecuada orthochronous Lorentz, entonces T Λ es antichronous inadecuada, P Λ es impropio orthochronous, y TP Λ = PT Λ es antichronous adecuada.

Grupo de Lorentz no homogéneo [ editar ]

Otras dos simetrías del espacio-tiempo no se han tenido en cuenta. Para que el intervalo espacio-tiempo sea invariante, se puede demostrar ^[16] que es necesario y suficiente para que la transformación de coordenadas tenga la forma

$${\ displaystyle X '= \ Lambda X + C}

donde C es una columna constante que contiene traducciones en tiempo y espacio. Si C ≠ 0, esta es una transformación de Lorentz no homogénea o transformación de Poincaré . ^[17] [18] Si C = 0, esta es una transformación de Lorentz homogénea . Las transformaciones de Poincaré no se tratan más en este artículo.