SISTEMAS DE COORDENADAS

 las coordenadas log-polares (o coordenadas polares logarítmicas ) son un sistema de coordenadas en dos dimensiones, donde un punto se identifica mediante dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo . Las coordenadas log-polares están estrechamente conectadas a las coordenadas polares , que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional . En áreas como el análisis armónico y complejo , las coordenadas log-polares son más canónicas que las polares.

Definición y transformaciones de coordenadas [ editar ]

Las coordenadas log-polares en el plano consisten en un par de números reales (ρ, θ), donde ρ es el logaritmo de la distancia entre un punto dado y el origen y θ es el ángulo entre una línea de referencia (el eje x ) y la línea a través del origen y el punto. La coordenada angular es la misma que para las coordenadas polares, mientras que la coordenada radial se transforma de acuerdo con la regla

$${\ displaystyle r = e ^ {\ rho}.}

dónde $${\ displaystyle r}Es la distancia al origen. Las fórmulas para la transformación de coordenadas cartesianas a coordenadaslog-polares están dadas por

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ rho = \ log {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \\ theta = \ arctan y / x {\ hbox {if}} x > 0. \ end {cases}}}

y las fórmulas para la transformación de coordenadas log-polares a cartesianas son

$${\ displaystyle {\ begin {cases} x = e ^ {\ rho} \ cos \ theta, \\ y = e ^ {\ rho} \ sin \ theta. \ end {cases}}}

Al usar números complejos ( x ,  y ) =  x  +  iy , la última transformación se puede escribir como

$${\ displaystyle x + iy = e ^ {\ rho + i \ theta}}

Es decir, la función exponencial compleja. De esto se deduce que las ecuaciones básicas en el análisis armónico y complejo tendrán la misma forma simple que en las coordenadas cartesianas. Este no es el caso de las coordenadas polares.

Algunas ecuaciones importantes en coordenadas log-polares [ editar ]

Ecuación de Laplace [ editar ]

La ecuación de Laplace en dos dimensiones está dada por

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ {2}}} = 0 }

En coordenadas cartesianas. Escribir la misma ecuación en coordenadas polares da la ecuación más complicada

$${\ displaystyle r {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial ^ {2} u } {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}

o equivalente

$${\ displaystyle \ left (r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) ^ {2} u + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ theta ^ {2}} } = 0}

Sin embargo, desde la relación $${\ displaystyle r = e ^ {\ rho}} resulta que $${\ displaystyle r {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ rho}}} así que la ecuación de Laplace en coordenadas log-polares,

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ rho ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}

Tiene la misma expresión simple que en las coordenadas cartesianas. Esto es cierto para todos los sistemas de coordenadas donde la transformación a coordenadas cartesianas se da mediante un mapeo conforme . Por lo tanto, cuando se considera la ecuación de Laplace para una parte del plano con simetría rotacional, por ejemplo, un disco circular, las coordenadas log-polares son la elección natural.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann [ editar ]

Una situación similar surge al considerar las funciones analíticas . Una función analítica.$${\ displaystyle f (x, y) = u (x, y) + iv (x, y)} escrito en coordenadas cartesianas satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} = {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{parcial u} {\ parcial y}} = - {\ frac {\ partial v} {\ partial x}}}

Si la función en cambio se expresa en forma polar $${\ displaystyle f (re ^ {i \ theta}) = Re ^ {i \ Phi}}, las ecuaciones de Cauchy-Riemann toman la forma más complicada

$${\ displaystyle r {\ frac {\ partial \ log R} {\ partial r}} = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ theta}}, \ \ \ \ \ \ {\ frac {\ partial \ log R} {\ partial \ theta}} = - r {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial r}},}

Al igual que en el caso de la ecuación de Laplace, la forma simple de las coordenadas cartesianas se recupera cambiando las coordenadas polares en coordenadas log-polares (deje $${\ displaystyle P = \ log R}):

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial \ rho}} = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ theta}}, \ \ \ \ \ \ {\ frac {\ partial P} {\ partial \ theta}} = - {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ rho}}}

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann también se pueden escribir en una sola ecuación como

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} + i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \ derecha) f (x + iy) = 0}

Expresando $${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}}} y $${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y}}} en términos de $${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}} y $${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}} Esta ecuación se puede escribir en la forma equivalente.

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) f (e ^ {\ rho + i \ theta }) = 0}

La ecuación de Euler [ editar ]

Cuando se quiere resolver el problema de Dirichlet en un dominio con simetría rotacional, lo habitual es usar el método de separación de variables para las ecuaciones diferenciales parciales de la ecuación de Laplace en forma polar. Esto significa que escribes$${\ displaystyle u (r, \ theta) = R (r) \ Theta (\ theta)}. La ecuación de Laplace se separa en dos ecuaciones diferenciales ordinarias

$${\ displaystyle {\ begin {cases} \ Theta '' (\ theta) + \ nu ^ {2} \ Theta (\ theta) = 0 \\ r ^ {2} R '' (r) + rR '(r ) - \ nu ^ {2} R (r) = 0 \ end {cases}}}

dónde $${\ displaystyle \ nu}es una constante El primero de ellos tiene coeficientes constantes y se resuelve fácilmente. El segundo es un caso especial de la ecuación de Euler.

$${\ displaystyle r ^ {2} R '' (r) + crR '(r) + dR (r) = 0}

dónde $${\ displaystyle c, d}son constantes Esta ecuación suele ser resuelta por el ansatz.$${\ displaystyle R (r) = r ^ {\ lambda}}, pero a través del uso de radio log-polar, se puede cambiar en una ecuación con coeficientes constantes:

$${\ displaystyle P '' (\ rho) + (c-1) P '(\ rho) + dP (\ rho) = 0}

Al considerar la ecuación de Laplace, $${\ displaystyle c = 1} y $${\ displaystyle d = - \ nu ^ {2}} así que la ecuación para $${\ displaystyle r} toma la forma simple

$${\ displaystyle P '' (\ rho) - \ nu ^ {2} P (\ rho) = 0}

Al resolver el problema de Dirichlet en coordenadas cartesianas, estas son exactamente las ecuaciones para $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y}. Por lo tanto, una vez más, la elección natural para un dominio con simetría rotacional no son las coordenadas polares sino las logarolares.

Geometría discreta [ editar ]

Sistema de coordenadas discretas en un disco circular dado por coordenadas log-polares ( n  = 25)

Sistema de coordenadas discretas en un disco circular que puede expresarse fácilmente en coordenadas log-polares ( n  = 25)

Parte de un fractal de Mandelbrot que muestra el comportamiento en espiral.

Para resolver un PDE numéricamente en un dominio, se debe introducir un sistema de coordenadas discreto en este dominio. Si el dominio tiene simetría rotacional y desea una cuadrícula que consiste en rectángulos, las coordenadas polares son una mala elección, ya que en el centro del círculo da lugar a triángulos en lugar de rectángulos. Sin embargo, esto puede remediarse introduciendo coordenadas log-polares de la siguiente manera. Divide el plano en una cuadrícula de cuadrados con longitud de lado 2$${\ displaystyle \ pi}/ n , donde n es un entero positivo. Utilice la función exponencial compleja para crear una cuadrícula log-polar en el plano. El semiplano izquierdo se mapea en el disco de la unidad, con el número de radios igual a  n . Puede ser aún más ventajoso, en cambio, asignar las diagonales en estos cuadrados, lo que da un sistema de coordenadas discreto en el disco de la unidad que consiste en espirales, vea la figura a la derecha.

Operador de Dirichlet a Neumann [ editar ]

El último sistema de coordenadas es, por ejemplo, adecuado para tratar los problemas de Dirichlet y Neumann. Si el sistema de coordenadas discretas se interpreta como un gráfico no dirigido en el disco de la unidad, se puede considerar como un modelo para una red eléctrica. A cada segmento de línea en el gráfico se asocia una conductancia dada por una función$${\ displaystyle \ gamma}. La red eléctrica servirá como un modelo discreto para el problema de Dirichlet en el disco de la unidad, donde la ecuación de Laplace toma la forma de la ley de Kirchhoff. En los nodos en el límite del círculo, se define un potencial eléctrico (datos de Dirichlet), que induce una corriente eléctrica (datos de Neumann) a través de los nodos de límite. El operador lineal$${\ displaystyle \ Lambda _ {\ gamma}} De los datos de Dirichlet a los datos de Neumann se llama un operador de Dirichlet a Neumann , y depende de la topología y la conductancia de la red.

En el caso del disco continuo, se deduce que si la conductancia es homogénea, digamos $${\ displaystyle \ gamma = 1}en todas partes, entonces el operador de Dirichlet-a-Neumann satisface la siguiente ecuación

$${\ displaystyle \ Lambda _ {\ gamma} ^ {2} + {\ frac {\ partial ^ {2} \} {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}

Para obtener un buen modelo discreto del problema de Dirichlet, sería útil encontrar una gráfica en el disco de la unidad cuyo operador (discreto) de Dirichlet a Neumann tenga la misma propiedad. Aunque las coordenadas polares no nos dan ninguna respuesta, esto es aproximado / asimétrico, lo que nos proporciona la red rotacionalmente simétrica dada por las coordenadas log-polares. ^[1]

Análisis de imágenes [ editar ]

Ya a fines de la década de 1970, se dieron aplicaciones para el sistema de coordenadas de espiral discretas en el análisis de imágenes. Para representar una imagen en este sistema de coordenadas en lugar de en las coordenadas cartesianas, ofrece ventajas computacionales al girar o hacer zoom en una imagen. Además, los receptores de fotos en la retina en el ojo humano se distribuyen de una manera que tiene grandes similitudes con el sistema de coordenadas en espiral. ^[2] También se puede encontrar en el fractal de Mandelbrot (ver imagen a la derecha).

Las coordenadas log-polares también se pueden usar para construir métodos rápidos para la transformada de Radon y su inverso.