SISTEMAS DE COORDENADAS

marco de centro de momento (también marco de momento cero o marco COM ) de un sistema es el marco inercial único (hasta la velocidad pero no el origen) en el cual el momento total del sistema se desvanece. El centro de impulso de un sistema no es una ubicación (sino una colección de momentos / velocidades relativas). Por lo tanto, "centro de momento" significa " marco de centro de momento " y es una forma corta de esta frase. ^[1]

Un caso especial del marco centro de momento es el marco centro de masa : un marco inercial en el que el centro de masa (que es un punto físico) permanece en el origen. En todos los cuadros COM, el centro de masa está en reposo, pero no está necesariamente en el origen del sistema de coordenadas.

En la relatividad especial , el marco COM es necesariamente único solo cuando el sistema está aislado.

Propiedades [ editar ]

General [ editar ]

El centro del marco de momento se define como el marco de inercia en el cual la suma sobre el momento lineal de cada partícula se desvanece. Sea S el sistema de referencia del laboratorio y S 'el marco de referencia del centro de momento. Usando una transformación galileana , la velocidad de la partícula en S ′ es

$${\ displaystyle v '= v-V_ {c},}

dónde $${\ displaystyle V_ {c} = {\ frac {\ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}} {\ sum _ {i} m_ {i}}}}

Es la velocidad del centro de masa. El impulso total en el sistema de centro de impulso luego desaparece:

$${\ displaystyle \ sum _ {i} p '_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} v' _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} (v_ {i} -V_ {c}) = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {\ sum _ {j} m_ {j} v_ {j}} { \ sum _ {j} m_ {j}}} = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {j} m_ {j} v_ {j} = 0.}

Además, la energía total del sistema es la energía mínima vista desde todos los marcos de referencia inerciales .

La relatividad especial [ editar ]

En la relatividad , el marco COM existe para un sistema masivo aislado. Esta es una consecuencia del teoremade Noether . En el marco COM, la energía total del sistema es la energía en reposo , y esta cantidad (cuando se divide por el factor c ² , donde c es la velocidad de la luz ) da la masa en reposo ( masa invariable ) del sistema:

$${\ displaystyle m_ {0} = {\ frac {E_ {0}} {c ^ {2}}}.

La masa invariante del sistema se da en cualquier marco inercial por la relación invariante relativista

$${\ displaystyle m_ {0} {} ^ {2} = \ left ({\ frac {E} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {p} {c }} \ right) ^ {2},}

pero para el impulso cero, el término de impulso ( p / c ) ² desaparece y, por lo tanto, la energía total coincide con la energía en reposo.

Los sistemas que tienen energía no nula pero que no tienen masa en reposo (como los fotones que se mueven en una sola dirección, o equivalentes, las ondas electromagnéticas planas ) no tienen tramas COM, porque no hay una trama en la que tengan un momento neto nulo. Debido a la invariancia de la velocidad de la luz , tales sistemas sin masa deben viajar a la velocidad de la luz en cualquier fotograma, y ​​por lo tanto siempre deben poseer una magnitud de momento neta que sea igual a su energía dividida por la velocidad de la luz:

$${\ displaystyle p = {\ frac {E} {c}}.

Problema de dos cuerpos [ editar ]

A continuación se ofrece un ejemplo del uso de este cuadro: en una colisión de dos cuerpos, no necesariamente elástica (donde se conserva la energía cinética ). El marco COM se puede usar para encontrar el impulso de las partículas mucho más fácil que en un marco de laboratorio : el marco donde se realiza la medición o el cálculo. La situación se analiza utilizando las transformaciones galileanas y la conservación del momento (por general, en lugar de las energías cinéticas solas), para dos partículas de masa m ₁ y m ₂ , que se mueven a velocidades iniciales (antes de la colisión) u ₁ y u ₂respectivamente. Las transformaciones se aplican para tomar la velocidad del marco desde la velocidad de cada partícula desde el marco de laboratorio (cantidades no imprimadas) al marco COM (cantidades imprimadas): ^[1]

$${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V}, \ quad \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {2} - \ mathbf {V}}

donde V es la velocidad de la trama COM. Dado que V es la velocidad del COM, es decir, la derivada temporal de la ubicación COM R (posición del centro de masa del sistema): ^[2]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {R}} {{\ rm {d}} t}} & = {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} t}} \ left ({\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1 } + m_ {2}}} \\ & = \ mathbf {V} \\\ end {alineado}}}

así que en el origen de la trama COM, R = 0 , esto implica

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

Se pueden obtener los mismos resultados aplicando la conservación del momento en el marco del laboratorio, donde los momentos son p ₁ y p ₂ :

$${\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {p} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac { m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

y en el marco COM, donde se afirma definitivamente que el momento total de las partículas, p ₁ 'y p ₂ ', se desvanece:

$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} + \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime } + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

El uso de la ecuación de marco COM para resolver para V devuelve la ecuación de marco de laboratorio anterior, demostrando que se puede usar cualquier marco (incluido el marco COM) para calcular el momento de las partículas. Se ha establecido que la velocidad del marco COM puede eliminarse del cálculo utilizando el marco anterior, por lo que el momento de las partículas en el marco COM puede expresarse en términos de las cantidades en el marco del laboratorio (es decir, los valores iniciales dados). ):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} & = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} \\ & = m_ {1 } \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V} \ right) = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2} \ right) \\ & = - m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} \\\ end {alineado}}}

note que la velocidad relativa en el marco de laboratorio de la partícula 1 a 2 es

$${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2}}

y la masa reducida de 2 cuerpos es

$${\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

por lo que los momentos de las partículas se reducen de forma compacta a

$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = \ mu \ Delta \ mathbf {u}}

Este es un cálculo sustancialmente más simple de los momentos de ambas partículas; la masa reducida y la velocidad relativa se pueden calcular a partir de las velocidades iniciales en el marco del laboratorio y las masas, y el impulso de una partícula es simplemente el negativo de la otra. El cálculo se puede repetir para las velocidades finales v ₁ y v ₂ en lugar de las velocidades iniciales u ₁ y u ₂ , ya que después de la colisión las velocidades aún satisfacen las ecuaciones anteriores: ^[3]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {R}} {{\ rm {d}} t}} & = {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} t}} \ left ({\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2}} {m_ {1 } + m_ {2}}} \\ & = \ mathbf {V} \\\ end {alineado}}}

así que en el origen de la trama COM, R = 0 , esto implica después de la colisión

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} ^ {\ prime} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

En el marco del laboratorio, la conservación del momento dice completamente:

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) \ mathbf {V}}

Esta ecuación no implica que

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} = m_ {1} \ mathbf {V}, \ quad m_ {2} \ mathbf { u} _ {2} = m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} = m_ {2} \ mathbf {V}}

en cambio, simplemente indica que la masa total M multiplicada por la velocidad del centro de masa V es el momento total P del sistema:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {P} & = \ mathbf {p} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2} \\ & = (m_ {1} + m_ {2}) \ mathbf {V} \\ & = M \ mathbf {V} \ end {alineado}}}

Se obtiene un análisis similar al anterior.

$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = \ mu \ Delta \ mathbf {v} = \ mu \ Delta \ mathbf {u}}

donde la velocidad relativa final en el marco de laboratorio de la partícula 1 a 2 es

$${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2} = \ Delta \ mathbf {u}.}

Coordenadas cónicos son un tridimensional ortogonal sistema de coordenadas que consiste en esferas concéntricas (descrito por su radio r ) y por dos familias de conos perpendiculares, alineados a lo largo de la z - y x -axes, respectivamente.

Coordinar las superficies de las coordenadas cónicas. Las constantes B y C fueron escogidos como 1 y 2, respectivamente. La esfera roja representa r = 2 , el cono elíptico azul alineado con el eje z vertical representa μ = cosh (1) y el cono elíptico amarillo alineado con el eje x (verde) corresponde a ν ² = 2/3 . Las tres superficies se intersecan en el punto P (que se muestra como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (1.26, -0.78, 1.34). Los conos elípticos intersectan la esfera en curvas en forma de taco.

Definiciones básicas [ editar ]

Las coordenadas cónicas $${\ displaystyle (r, \ mu, \ nu)} están definidos por

$${\ displaystyle x = {\ frac {r \ mu \ nu} {bc}}}

$${\ displaystyle y = {\ frac {r} {b}} {\ sqrt {\ frac {\ left (\ mu ^ {2} -b ^ {2} \ right) \ left (\ nu ^ {2} - b ^ {2} \ right)} {\ left (b ^ {2} -c ^ {2} \ right)}}}}

$${\ displaystyle z = {\ frac {r} {c}} {\ sqrt {\ frac {\ left (\ mu ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ left (\ nu ^ {2} - c ^ {2} \ derecha)} {\ izquierda (c ^ {2} -b ^ {2} \ derecha)}}}}

Con las siguientes limitaciones en las coordenadas.

{\ displaystyle \ nu ^ {2}

Las superficies de la constante r son esferas de ese radio centradas en el origen

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2},}

mientras que las superficies de constante $${\ displaystyle \ mu} y $${\ displaystyle \ nu} son conos mutuamente perpendiculares

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {\ mu ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {\ mu ^ {2} + b ^ {2}}} + { \ frac {z ^ {2}} {\ mu ^ {2} -c ^ {2}}} = 0}

y

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {\ nu ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {\ nu ^ {2} -b ^ {2}}} + { \ frac {z ^ {2}} {\ nu ^ {2} + c ^ {2}}} = 0.}

En este sistema de coordenadas, tanto la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz son separables.

Factores de escala [ editar ]

El factor de escala para el radio r es uno ( h _r = 1 ), como en las coordenadas esféricas . Los factores de escala para las dos coordenadas cónicas son

$${\ displaystyle h _ {\ mu} = r {\ sqrt {\ frac {\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2}} {\ left (b ^ {2} - \ mu ^ {2} \ right) \ left (\ mu ^ {2} -c ^ {2} \ right)}}}}

y

$${\ displaystyle h _ {\ nu} = r {\ sqrt {\ frac {\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2}} {\ left (b ^ {2} - \ nu ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} - \ nu ^ {2} \ right)}}}.}

Coordenadas cónicas del cono de luz [ editar ]

Se ha derivado un conjunto alternativo de coordenadas cónicas (no ortogonales) ^[1]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ xi & = r \ cos (\ phi \ sin \ theta) \\\ psi & = r \ sin (\ phi \ sin \ theta) \\\ zeta & = \ theta, \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle \ {r, \ theta, \ phi \}}Son coordenadas polares esféricas . Las correspondientes relaciones inversas son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {\ xi ^ {2} + \ psi ^ {2}}} \\\ phi & = {\ frac {1} {\ sin \ zeta}} \ arctan ({\ frac {\ psi} {\ xi}}) \\\ theta & = \ zeta. \ end {alineado}}}

La distancia euclidiana infinitesimal entre dos puntos en estas coordenadas.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ds ^ {2} & = d \ xi ^ {2} + d \ psi ^ {2} + (\ xi ^ {2} + \ psi ^ {2}) (1+ \ arctan ({\ frac {\ psi} {\ xi}}) ^ {2} \ cot \ zeta ^ {2}) d \ zeta ^ {2} \\ & + 2 \ psi \ arctan ({\ frac { \ psi} {\ xi}}) \ cot \ zeta d \ xi d \ zeta -2 \ xi \ arctan ({\ frac {\ psi} {\ xi}}) \ cot \ zeta d \ psi d \ zeta. \ end {alineado}}}

$${\ displaystyle \ xi} y $${\ displaystyle \ psi} Son coordenadas ortogonales en la superficie del cono dadas por $${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {\ pi} {4}}}. Si la ruta entre dos puntos cualquiera está restringida a esta superficie, entonces la distancia geodésica entre dos puntos

$${\ displaystyle \ {\ xi _ {1}, \ psi _ {1}, \ zeta _ {1} = {\ frac {\ pi} {4}} \}} y $${\ displaystyle \ {\ xi _ {2}, \ psi _ {2}, \ zeta _ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} \}} es

$${\ displaystyle s_ {12} ^ {2} = (\ xi _ {1} - \ xi _ {2}) ^ {2} + (\ psi _ {1} - \ psi _ {2}) ^ {2 }.}