MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

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La fórmula cuadrática , que es la solución a la ecuación cuadrática. $${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0} dónde $${\ displaystyle a \ neq 0}. Aqui los simbolos$${\ displaystyle a, b, c} representar números arbitrarios, y $${\ displaystyle x} Es una variable que representa la solución de la ecuación.

Diagrama bidimensional (curva roja) de la ecuación algebraica $${\ displaystyle y = x ^ {2} -x-2}

El álgebra elemental abarca algunos de los conceptos básicos del álgebra , una de las principales ramas de las matemáticas . Normalmente se enseña a estudiantes de secundaria y se basa en su comprensión de la aritmética . Mientras que la aritmética se ocupa de números específicos, ^{[1] el} álgebra introduce cantidades sin valores fijos, conocidas como variables. ^[2] Este uso de variables implica un uso de notación algebraica y una comprensión de las reglas generales de los operadores introducidos en la aritmética. A diferencia del álgebra abstracta , el álgebra elemental no se ocupa de estructuras algebraicas fuera del ámbito deNúmeros reales y complejos .

El uso de variables para denotar cantidades permite que las relaciones generales entre cantidades se expresen de manera concisa y, por lo tanto, permite resolver una gama más amplia de problemas. Muchas relaciones cuantitativas en ciencia y matemáticas se expresan como ecuacionesalgebraicas .

Notación algebraica [ editar ]

Artículo principal: Notación matemática.

La notación algebraica describe las reglas y convenciones para escribir expresiones matemáticas , así como la terminología utilizada para hablar sobre partes de expresiones. Por ejemplo, la expresión$${\ displaystyle 3x ^ {2} -2xy + c} tiene los siguientes componentes:

1: Exponente (potencia), 2: Coeficiente , 3: término , 4: operador , 5: constante ,$${\ displaystyle x, y} : variables

Un coeficiente es un valor numérico, o letra que representa una constante numérica, que multiplica una variable (se omite el operador). Un término es un sumando o un sumando , un grupo de coeficientes, variables, constantes y exponentes que pueden estar separados de los otros términos por los operadores más y menos. ^{[3] Las} letras representan variables y constantes. Por convención, las letras al comienzo del alfabeto (por ejemplo,$${\ displaystyle a, b, c}) se utilizan normalmente para representar constantes , y aquellas hacia el final del alfabeto (por ejemplo,$${\ displaystyle x, y} y $${\ displaystyle z}) se utilizan para representar variables . ^[4] Por lo general, están escritos en cursiva. ^[5]

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas , ^[6] como la suma , resta , multiplicación , división y exponenciación . ^[7] y se aplican a variables y términos algebraicos. Los símbolos de multiplicación generalmente se omiten e implican cuando no hay espacio entre dos variables o términos, o cuando se usa un coeficiente . Por ejemplo,$${\ displaystyle 3 \ times x ^ {2}} esta escrito como $${\ displaystyle 3x ^ {2}}y $${\ displaystyle 2 \ times x \ times y} puede estar escrito $${\ displaystyle 2xy}. ^[8]

Generalmente los términos con la potencia más alta ( exponente ), se escriben a la izquierda, por ejemplo,$${\ displaystyle x ^ {2}}está escrito a la izquierda de $${\ displaystyle x}. Cuando un coeficiente es uno, generalmente se omite (por ejemplo,$${\ displaystyle 1x ^ {2}} está escrito $${\ displaystyle x ^ {2}}). ^[9] Del mismo modo, cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo,$${\ displaystyle 3x ^ {1}} está escrito $${\ displaystyle 3x}). ^[10]Cuando el exponente es cero, el resultado es siempre 1 (por ejemplo,$${\ displaystyle x ^ {0}} siempre se reescribe para $${\ displaystyle 1}). ^[11] Sin embargo$${\ displaystyle 0 ^ {0}}, al estar indefinido, no debe aparecer en una expresión, y se debe tener cuidado al simplificar expresiones en las que las variables pueden aparecer en exponentes.

Notación alternativa [ editar ]

Otros tipos de notación se utilizan en expresiones algebraicas cuando el formato requerido no está disponible, o no puede estar implícito, por ejemplo, donde solo están disponibles las letras y los símbolos. Por ejemplo, los exponentes se suelen formatear utilizando superíndices, por ejemplo,$${\ displaystyle x ^ {2}}. En texto plano , y en el lenguaje de marcado TeX , el símbolo de intercalación "^" representa exponentes, por lo que$${\ displaystyle x ^ {2}}Se escribe como "x ^ 2". ^[12] [13] En lenguajes de programación como Ada , ^[14] Fortran , ^[15] Perl , ^[16] Python ^[17] y Ruby , ^[18] se usa un doble asterisco, por lo que$${\ displaystyle x ^ {2}}Está escrito como "x ** 2". Muchos lenguajes de programación y calculadoras usan un solo asterisco para representar el símbolo de multiplicación, ^[19] y debe usarse explícitamente, por ejemplo,$${\ displaystyle 3x}está escrito "3 * x".

Conceptos [ editar ]

Variables [ editar ]

Ejemplo de variables que muestran la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia. Para cualquier círculo , su circunferencia. $${\ displaystyle c}, dividido por su diámetro $${\ displaystyle d}, es igual a la constante pi ,$${\ displaystyle \ pi} (aproximadamente 3,14).

Artículo principal: Variable (matemáticas)

El álgebra elemental se basa en y extiende la aritmética ^[20] al introducir letras llamadas variables para representar números generales (no especificados). Esto es útil por varias razones.

1. Las variables pueden representar números cuyos valores aún no se conocen . Por ejemplo, si la temperatura del día actual, C, es 20 grados más alta que la del día anterior, P, entonces el problema se puede describir algebraicamente como$${\ displaystyle C = P + 20}. ^[21]
2. Las variables permiten describir problemas generales , ^[22]sin especificar los valores de las cantidades involucradas. Por ejemplo, se puede afirmar específicamente que 5 minutos es equivalente a$${\ displaystyle 60 \ times 5 = 300}segundos. Una descripción más general (algebraica) puede indicar que el número de segundos,$${\ displaystyle s = 60 \ times m}, donde m es el número de minutos.
3. Las variables permiten describir relaciones matemáticas entre cantidades que pueden variar. ^[23] Por ejemplo, la relación entre la circunferencia, c y el diámetro, d , de un círculo se describe por$${\ displaystyle \ pi = c / d}.
4. Las variables permiten describir algunas propiedades matemáticas. Por ejemplo, una propiedad básica de la suma es la conmutación que establece que el orden de los números que se suman no importa. La conmutatividad se expresa algebraicamente como$${\ displaystyle (a + b) = (b + a)}. ^[24]

Evaluando expresiones [ editar ]

Artículo principal: Expresión (Matemáticas).

Las expresiones algebraicas pueden evaluarse y simplificarse, en función de las propiedades básicas de las operaciones aritméticas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación ). Por ejemplo,

• Los términos agregados se simplifican utilizando coeficientes. Por ejemplo,$${\ displaystyle x + x + x} se puede simplificar como $${\ displaystyle 3x} (donde 3 es un coeficiente numérico).
• Los términos multiplicados se simplifican utilizando exponentes. Por ejemplo,$${\ displaystyle x \ times x \ times x} se representa como $${\ displaystyle x ^ {3}}
• Los términos semejantes se suman, ^[25] por ejemplo,$${\ displaystyle 2x ^ {2} + 3ab-x ^ {2} + ab} esta escrito como $${\ displaystyle x ^ {2} + 4ab}, porque los términos que contienen $${\ displaystyle x ^ {2}} se suman, y, los términos que contienen $${\ displaystyle ab} se suman juntos.
• Los corchetes se pueden "multiplicar" utilizando la propiedad distributiva . Por ejemplo,$${\ displaystyle x (2x + 3)} Se puede escribir como $${\ displaystyle (x \ times 2x) + (x \ times 3)} que se puede escribir como $${\ displaystyle 2x ^ {2} + 3x}
• Las expresiones pueden ser factorizadas. Por ejemplo,$${\ displaystyle 6x ^ {5} + 3x ^ {2}}, dividiendo ambos términos por $${\ displaystyle 3x ^ {2}} Se puede escribir como $${\ displaystyle 3x ^ {2} (2x ^ {3} +1)}

Ecuaciones [ editar ]

Animación que ilustra la regla de Pitágoras para un triángulo rectángulo, que muestra la relación algebraica entre la hipotenusa del triángulo y los otros dos lados.

Artículo principal: Ecuación

Una ecuación indica que dos expresiones son iguales usando el símbolo de igualdad, $${\ displaystyle =}(el signo igual ). ^[26] Una de las ecuaciones más conocidos describe la ley de Pitágoras relativa de la longitud de los lados de un ángulo recto triángulo: ^[27]

$${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}

Esta ecuación establece que $${\ displaystyle c ^ {2}}, que representa el cuadrado de la longitud del lado que es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), es igual a la suma (suma) de los cuadrados de los otros dos lados cuyas longitudes están representadas por $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b}.

Una ecuación es la afirmación de que dos expresiones tienen el mismo valor y son iguales. Algunas ecuaciones son verdaderas para todos los valores de las variables involucradas (como$${\ displaystyle a + b = b + a}); tales ecuaciones se llaman identidades . Las ecuaciones condicionales son verdaderas solo para algunos valores de las variables involucradas, por ejemplo,$${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 8} es cierto solo para $${\ displaystyle x = 3} y $${\ displaystyle x = -3}. Los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera son las soluciones de la ecuación y se pueden encontrar a través de la resolución de ecuaciones .

Otro tipo de ecuación es una desigualdad. Las desigualdades se utilizan para mostrar que un lado de la ecuación es mayor o menor que el otro. Los símbolos utilizados para esto son:{\ displaystyle a> b} dónde {\ displaystyle>} representa 'mayor que', y {\ displaystyle a  dónde {\ displaystyle <}representa 'menos que'. Al igual que las ecuaciones de igualdad estándar, los números se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir. La única excepción es que al multiplicar o dividir por un número negativo, el símbolo de desigualdad debe voltearse.

Propiedades de la igualdad [ editar ]

Por definición, la igualdad es una relación de equivalencia , lo que significa que tiene las propiedades (a) reflexivas (es decir,$${\ displaystyle b = b}), (b) simétrica (es decir, si$${\ displaystyle a = b} entonces $${\ displaystyle b = a}) (c) transitivo (es decir, si$${\ displaystyle a = b} y $${\ displaystyle b = c} entonces $${\ displaystyle a = c}). ^[28] También satisface la importante propiedad de que si dos símbolos se usan para cosas iguales, entonces un símbolo puede ser sustituido por el otro en cualquier declaración verdadera sobre la primera y la declaración seguirá siendo verdadera. Esto implica las siguientes propiedades:

• Si $${\ displaystyle a = b} y $${\ displaystyle c = d} entonces $${\ displaystyle a + c = b + d} y $${\ displaystyle ac = bd};
• Si $${\ displaystyle a = b} entonces $${\ displaystyle a + c = b + c};
• más en general, para cualquier función $${\ displaystyle f}, Si $${\ displaystyle a = b} entonces $${\ displaystyle f (a) = f (b)}.

Propiedades de la desigualdad [ editar ]

Las relaciones menos que {\ displaystyle <} y mayor que {\ displaystyle>}tener la propiedad de transitividad: ^[29]

• Si   {\ displaystyle a    y   {\ displaystyle b    entonces   {\ displaystyle a ;
• Si   {\ displaystyle a    y   {\ displaystyle c    entonces   {\ displaystyle a + c ; ^[30]
• Si   {\ displaystyle a    y   {\ displaystyle c> 0}   entonces   {\ displaystyle ac ;
• Si   {\ displaystyle a    y   {\ displaystyle c <0 font="">   entonces   {\ displaystyle bc .

Invirtiendo la iniquación, {\ displaystyle <} y {\ displaystyle>}se puede intercambiar, ^[31] por ejemplo:

• {\ displaystyle a  es equivalente a {\ displaystyle b> a}

Sustitución [ editar ]

Artículo principal: Sustitución (álgebra)

Ver también: Sustitución (lógica).

La sustitución es reemplazar los términos en una expresión para crear una nueva expresión. Sustituir 3 por a en la expresión a * 5 hace que una nueva expresión 3 * 5 tenga significado 15. Sustituir los términos de una declaración hace una nueva declaración. Cuando la declaración original es verdadera independientemente de los valores de los términos, la declaración creada por las sustituciones también es verdadera. Por lo tanto, las definiciones pueden hacerse en términos simbólicos e interpretarse a través de la sustitución: si$${\ displaystyle a ^ {2}: = a * a}, donde: = significa "se define como igual", sustituyendo 3 por $${\ displaystyle a} informa al lector de esta afirmación que $${\ displaystyle 3 ^ {2}}significa 3 * 3 = 9. A menudo no se sabe si la declaración es verdadera independientemente de los valores de los términos, y la sustitución le permite a uno derivar restricciones en los valores posibles, o mostrar las condiciones bajo las cuales se encuentra la declaración. Por ejemplo, si se toma la instrucción x + 1 = 0, si x se sustituye por 1, esto representa 1 + 1 = 2 = 0, lo cual es falso, lo que implica que si x + 1 = 0, entonces x no puede ser 1.

Si x e y son números enteros , racionales o números reales , entonces xy = 0 implica x = 0 o y = 0. Supongamos que abc = 0. Luego, sustituyendo a por x y bc por y , aprendemos a = 0 o bc = 0. Luego podemos sustituir de nuevo, dejando que x = b y y = c , para mostrar que si bc = 0 entonces b = 0 o c = 0. Por lo tanto, siabc = 0, entoncesa = 0 o ( b = 0 o c = 0), por lo tanto abc = 0 implica a = 0 o b = 0 o c = 0.

Considere si el hecho original se declaró como " ab = 0 implica a = 0 o b = 0". Luego, cuando decimos "supongamos que abc = 0", tenemos un conflicto de términos cuando sustituimos. Sin embargo, la lógica anterior sigue siendo válida para mostrar que si abc = 0 entonces a = 0 o b = 0 o c = 0 si en lugar de dejar a = a y b = bcsustituimos a por a y b por bc (y con bc = 0, sustituyendo b por a yc para b ). Esto muestra que sustituir los términos en una declaración no siempre es lo mismo que permitir que los términos de la declaración sean iguales a los términos sustituidos. En esta situación, está claro que si sustituimos una expresión de una a la de untérmino de la ecuación original, el de una sustituido no se refiere a la una de la cuenta de " ab = 0 implica una = 0 ó b = 0".