OCEANOGRAFÍA FÍSICA

el principio variacional de Luke es una descripción variacional lagrangiana del movimiento de las ondas superficiales en un fluido con una superficie libre , bajo la acción de la gravedad . Este principio se nombra después de JC Lucas, que lo publicó en 1967. ^[1] Este principio variacional es para incompresibles y no viscosos flujos potenciales , y se utiliza para derivar modelos de onda aproximadas como la denominada ecuación de pendiente suave , ^[2] o utilizando el promedio de Lagrangian Enfoque para la propagación de ondas en medios no homogéneos. ^[3]

La formulación lagrangiana de Luke también se puede refundir en una formulación hamiltoniana en términos de la elevación de la superficie y el potencial de velocidad en la superficie libre. ^{[4] [5] [6]} Esto se usa a menudo cuando se modela la evolución de la densidad espectral de la superficie libre en un estado del mar , a veces llamada turbulencia de onda .

Tanto las formulaciones lagrangianas como hamiltonianas pueden extenderse para incluir efectos de tensión superficial , y al usar los potenciales de Clebsch para incluir vorticidad .

Lagrangiano de Lucas [ editar ]

De Lucas Lagrangian formulación es para no lineales ondas de gravedad superficial en an- incompresible , irrotacional y no viscoso - flujo potencial .

Los ingredientes relevantes, necesarios para describir este flujo, son:

• Φ ( x , z , t ) es el potencial de velocidad ,
• ρ es la densidad del fluido ,
• g es la aceleración por la gravedad de la tierra ,
• x es el vector de coordenadas horizontales con componentes x e y ,
• X e Y son las coordenadas horizontales,
• z es la coordenada vertical,
• t es el tiempo, y
• ∇ es la horizontal gradiente de operador, por lo ∇ Phi es la horizontal la velocidad del flujo que consta de ∂ Phi/ ∂ x y ∂ Phi / ∂ y ,
• V ( t ) es el dominio de fluido dependiente del tiempo con superficie libre.

El lagrangiano $${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}, según lo dado por Lucas, es:

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ {\ iiint _ {V (t)} \ rho \ left [{\ frac { \ partial \ Phi} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ left | {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ right | ^ {2} + {\ frac {1} { 2}} \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ right) ^ {2} + g \, z \ right] \; {\ text {d}} x \; {\ text {d}} y \; {\ text {d}} z \; \ right \} \; {\ text {d}} t.}

Desde el principio de Bernoulli , este lagrangiano puede verse como la integral de la presión del fluido en todo el dominio de fluido dependiente del tiempo V ( t ). Esto está de acuerdo con los principios variacionales para el flujo no viscoso sin una superficie libre, encontrado por Harry Bateman . ^[7]

La variación con respecto al potencial de velocidad Φ ( x , z , t ) y las superficies de movimiento libre como z = η ( x , t ) dan como resultado la ecuación de Laplace para el potencial en el interior del fluido y todas las condiciones de contorno requeridas : condiciones de contorno cinemático en todos los límites de fluidos y condiciones de límites dinámicos en superficies libres. ^[8] Esto también puede incluir mover las paredes del fabricante de ondas y el movimiento del barco.

Para el caso de un dominio sin límites horizontal con la superficie del fluido libre en z = η ( x , t ) y un lecho fijo en z = - h ( x ), el principio variacional de Luke da como resultado el Lagrangiano:

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - \, \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ iint \ left \ {\ int _ {- h ({\ boldsymbol {x}} )} ^ {\ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} \ rho \, \ left [{\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} + \, {\ frac {1} { 2}} \ left | {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ right | ^ {2} + \, {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ parcial z}} \ derecha) ^ {2} \ derecha] \; {\ text {d}} z \; + \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, g \, \ eta ^ {2} \ right \} \; {\ text {d}} {\ boldsymbol {x}} \; {\ text {d}} t.}

El término de nivel de cama proporcional a h ² en la energía potencial se ha descuidado, ya que es una constante y no contribuye a las variaciones. Abajo, el principio variacional de Luke se usa para llegar a las ecuaciones de flujo para ondas de gravedad de superficie no lineales en un flujo potencial.

Derivación de las ecuaciones de flujo resultantes del principio variacional de Luke [ editar ]

La variación $${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = 0}en el lagrangiano con respecto a las variaciones en el potencial de velocidad Φ ( x , z , t ), así como con respecto a la elevación de la superficie η ( x , t ), tienen que ser cero. Consideramos ambas variaciones posteriormente.

Variación con respecto al potencial de velocidad [ editar ]

Considere una pequeña variación δΦ en el potencial de velocidad Φ . ^[8] Entonces la variación resultante en el Lagrangiano es:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ delta _ {\ Phi} {\ mathcal {L}} \, & = \, {\ mathcal {L}} (\ Phi + \ delta \ Phi, \ eta) \, - \, {\ mathcal {L}} (\ Phi, \ eta) \\ & = \, - \, \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ iint \ left \ {\ int _ {- h ({\ boldsymbol {x}})} ^ {\ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} \ rho \, \ left ({\ frac {\ partial (\ delta \ Phi)} {\ partial t}} + \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ delta \ Phi) + \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ parcial z}} \, {\ frac {\ partial (\ delta \ Phi)} {\ partial z}} \, \ right) \; {\ text {d}} z \, \ right \} \; {\ text {d}} {\ boldsymbol {x}} \; {\ text {d}} t. \ end {alineado}}}

Usando la regla integral de Leibniz , esto se convierte, en caso de densidad constante ρ : ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,=\,&-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;{\text{d}}z\;+\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \;{\text{d}}z\,\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)\;{\text{d}}z\,\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\&-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=-h({\boldsymbol {x}})}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\=\,&0.\end{aligned}}}$

La primera integral en el lado derecho se integra a los límites, en x y t , del dominio de integración y es cero ya que las variaciones δΦ se toman para ser cero en estos límites. Para variaciones varphi que son cero en la superficie libre y la cama, los segundos restos integrales, que sólo es cero para arbitraria δΦ en el interior de fluido si hay la ecuación de Laplace se tiene:

{\ displaystyle \ Delta \ Phi \, = \, 0 \ qquad {\ text {for}} - h ({\ boldsymbol {x}}) \, <\, z \, <\, \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t),}

con Δ = ∇ · ∇ + ∂ ² / ∂ z ² el operador Laplace .

Si variaciones δΦ se consideran que son solamente no cero en la superficie libre, sólo el tercer restos integrales, que dan lugar a la condición cinemática frontera de superficie libre:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \, + \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \, - \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \, = \, 0. \ qquad {\ text {at}} z \, = \, \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t) .}

De manera similar, las variaciones δΦ solo no cero en la parte inferior z = - h dan como resultado la condición cinemática del lecho:

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} h \, + \, {\ fragment {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \, = \, 0 \ qquad {\ text {at}} z \, = \, - h ({\ boldsymbol {x}}).}

Variación con respecto a la elevación de la superficie [ editar ]

Considerando la variación del Lagrangiano con respecto a pequeños cambios, δη da:

$${\ displaystyle \ delta _ {\ eta} {\ mathcal {L}} \, = \, {\ mathcal {L}} (\ Phi, \ eta + \ delta \ eta) \, - \, {\ mathcal { L}} (\ Phi, \ eta) = \, - \, \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ iint \ left [\ rho \, \ delta \ eta \, \ left ( {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} + \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ right | ^ {2} \, + \, {\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ right) ^ {2} + \, g \, \ eta \ derecha) \, \ derecha] _ {z = \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} \; {\ text {d}} {\ boldsymbol {x}} \; {\ text {d} } t \, = \, 0.}

Esto tiene que ser cero para δη arbitrario , dando lugar a la condición de límite dinámico en la superficie libre:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} + \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ right | ^ {2} \, + \, {\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ right) ^ {2} + \, g \ , \ eta \, = \, 0 \ qquad {\ text {at}} z \, = \, \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t).}

Esta es la ecuación de Bernoulli para el flujo de potencial inestable, aplicado en la superficie libre, y con la presión por encima de la superficie libre como una constante, presión constante que se toma igual a cero por simplicidad.

Formulación hamiltoniano [ editar ]

La estructura hamiltoniana de las ondas de gravedad de la superficie en un flujo potencial fue descubierta por Vladimir E. Zakharov en 1968 y redescubierta independientemente por Bert Broer y John Miles : ^{[4] [5] [6]}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho \, {\ fractura \ \ \ \ \ \ \ Propina} {\ parcial t}} \, & = \, + \, {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}} } {\ delta \ varphi}}, \\\ rho \, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \, & = \, - \, {\ frac {\ delta {\ mathcal {H }}} {\ delta \ eta}}, \ end {alineado}}}

donde la elevación de la superficie η y el potencial de la superficie φ , que es el potencial Φ en la superficie libre z = η ( x , t ), son las variables canónicas . El hamiltoniano$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ varphi, \ eta)}Es la suma de la energía cinética y potencialdel fluido:

$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} \, = \, \ iint \ left \ {\ int _ {- h ({\ boldsymbol {x}})} ^ {\ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, \ left [\ left | {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \ right | ^ {2} \, + \, \ left ( {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ right) ^ {2} \ right] \, {\ text {d}} z \, + \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, g \, \ eta ^ {2} \ right \} \; {\ text {d}} {\ boldsymbol {x}}.}

La restricción adicional es que el flujo en el dominio de fluidos debe satisfacer la ecuación de Laplace con la condición de límite apropiada en la parte inferior z = - h ( x ) y que el potencial en la superficie libre z = η es igual a φ :$${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {H}} / \ delta \ Phi \, = \, 0.}

Relación con la formulación de Lagrange [ editar ]

La formulación hamiltoniana se puede derivar de la descripción lagrangiana de Luke utilizando la regla integral de Leibniz sobre la integral de ∂ Φ / ∂ t : ^[6]

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {H} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ iint \ left \ {\ varphi ({\ boldsymbol {x}}, t) \, {\ frac {\ partial \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} {\ partial t}} \, - \, H (\ varphi, \ eta; {\ boldsymbol {x}}, t ) \ right \} \; {\ text {d}} {\ boldsymbol {x}} \; {\ text {d}} t,}

con $${\ displaystyle \ varphi ({\ boldsymbol {x}}, t) = \ Phi ({\ boldsymbol {x}}, \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t), t)} el valor del potencial de velocidad en la superficie libre, y $${\ displaystyle H (\ varphi, \ eta; {\ boldsymbol {x}}, t)} La densidad hamiltoniana, suma de la densidad de energía cinética y potencial, y relacionada con el hamiltoniano como:

$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ varphi, \ eta) \, = \, \ iint H (\ varphi, \ eta; {\ boldsymbol {x}}, t) \; {\ text {d} } {\ boldsymbol {x}}.}

La densidad hamiltoniana se escribe en términos del potencial de superficie utilizando la tercera identidad de Green en la energía cinética: ^[9]

$${\ displaystyle H \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, {\ sqrt {1 \, + \, \ left | {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ right | ^ {2}}} \; \; \ varphi \, {\ bigl (} D (\ eta) \; \ varphi {\ bigr)} \, + \, {\ frac {1} {2}} \ , \ rho \, g \, \ eta ^ {2},}

donde D ( η ) φ es igual a la derivada normal de ∂ Φ / ∂ n en la superficie libre. Debido a la linealidad de la ecuación de Laplace - válido en el interior de fluido y en función de la condición de contorno en la cama z = - h y la superficie libre z = η - la derivada normal ∂ Phi / ∂ n es un lineal en función del potencial de superficie φ , pero depende no lineal de la elevación de superficie η . Esto se expresa por el Dirichlet-a-Neumann operadorD ( η ), actuando linealmente de φ .

La densidad hamiltoniana también se puede escribir como: ^[6]

$${\ displaystyle H \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, \ varphi \, {\ Bigl [} w \, \ left (1 \, + \, \ left | { \ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ right | ^ {2} \ right) - \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \, \ varphi {\ Bigr] } \, + \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, g \, \ eta ^ {2},}

con w ( x , t ) = ∂ Φ / ∂ z la velocidad vertical en la superficie libre z = η . También w es una función lineal del potencial de superficie φ a través de la ecuación de Laplace, pero w depende no linealmente de la elevación de la superficie η : ^[9]

$${\ displaystyle w \, = \, W (\ eta) \, \ varphi,}

con W lineal operativo en φ , pero ser no lineal en η . Como resultado, el Hamiltoniano es una función cuadrática del potencial de superficie φ . También la parte de energía potencial del Hamiltoniano es cuadrática. La fuente de no linealidad en las ondas de gravedad de superficie es a través de la energía cinética que depende no lineal de la forma de superficie libre η . ^[9]

Además, ∇ φ no debe confundirse con la velocidad horizontal Φ Φ en la superficie libre:

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi \, = \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi {\ bigl (} {\ boldsymbol {x}}, \ eta ({\ boldsymbol {x} }, t), t {\ bigr)} \, = \, \ left [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi \, + \, {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ , {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ right] _ {z = \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} \, = \, {\ Bigl [} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi {\ Bigr]} _ {z = \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} \, + \, w \, {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta.}

Tomando las variaciones del lagrangiano $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {H}} Con respecto a las variables canónicas. $${\ displaystyle \ varphi ({\ boldsymbol {x}}, t)} y $${\ displaystyle \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t)} da:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho \, {\ fractura \ \ \ \ \ \ \ Propina} {\ parcial t}} \, & = \, + \, {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}} } {\ delta \ varphi}}, \\\ rho \, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \, & = \, - \, {\ frac {\ delta {\ mathcal {H }}} {\ delta \ eta}}, \ end {alineado}}}

proporcionan en el interior de fluido Φ satisface la ecuación de Laplace, Delta Φ = 0, así como la condición de frontera inferior a z = - h y phi = φ en la superficie libre.

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Simulación de la penetración de la onda, que involucra difracción y refracción, en Tedious Creek, Maryland, utilizando CGWAVE (que resuelve la ecuación de pendiente suave).

En dinámica de fluidos , la ecuación de pendiente suave describe los efectos combinados de la difracción y la refracción para las ondas de agua que se propagan por batimetría y debido a los límites laterales, como los diques y las costas . Es un modelo aproximado, que deriva su nombre de su desarrollo original para la propagación de las olas en las suaves pendientes del fondo marino. La ecuación de pendiente suave se usa a menudo en ingeniería costera para calcular los cambios de campo de onda cerca de puertos y costas .

La ecuación de pendiente suave modela la propagación y la transformación de las ondas de agua, ya que viajan a través de aguas de diferente profundidad e interactúan con los límites laterales, como acantilados , playas , barreras marinas y rompeolas. Como resultado, describe las variaciones en la amplitud de onda , o la altura de ondaequivalente . Desde la amplitud de la onda, también se puede calcular la amplitud de las oscilaciones de velocidad de flujo debajo de la superficie del agua. Estas cantidades, la amplitud de la onda y la amplitud de la velocidad del flujo, se pueden usar posteriormente para determinar los efectos de la onda en las estructuras costeras y marinas, los barcos y otros objetos flotantes, el transporte de sedimentos y el resultado.Cambios geomorfológicos del lecho marino y la costa, campos de flujo medio y transferencia de masa de materiales disueltos y flotantes. La mayoría de las veces, la ecuación de pendiente suave se resuelve por computadora utilizando métodos de análisis numérico .

Una primera forma de la ecuación de pendiente suave fue desarrollada por Eckart en 1952, y una versión mejorada, la ecuación de pendiente suave en su formulación clásica, fue derivada independientemente por Juri Berkhoff en 1972. ^{[1] [2] [3]} Posteriormente, se han propuesto muchas formas modificadas y extendidas, que incluyen los efectos de, por ejemplo , la interacción onda-corriente , la no linealidad de las olas , las pendientes más pronunciadas del lecho marino, la fricción de la cama y la ruptura de las olas . También se utilizan a menudo aproximaciones parabólicas a la ecuación de pendiente suave, con el fin de reducir el costo computacional.

En el caso de una profundidad constante, la ecuación de pendiente suave se reduce a la ecuación de Helmholtzpara la difracción de onda.

Formulación para el movimiento onda monocromática [ editar ]

Para ondas monocromáticas de acuerdo con la teoría lineal, con la elevación de superficie libre dada como$${\ displaystyle \ zeta (x, y, t) = \ Re \ left \ {\ eta (x, y) \, {\ text {e}} ^ {- i \ omega t} \ right \}}y las ondas que se propagan en una capa fluida de profundidad media de agua$${\ displaystyle h (x, y)}—La ecuación de pendiente suave es: ^[4]

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (c_ {p} \, c_ {g} \, \ nabla \ eta \ right) \, + \, k ^ {2} \, c_ {p} \, c_ {g } \, \ eta \, = \, 0,}

dónde:

• $${\ displaystyle \ eta (x, y)}Es la amplitud de valor complejo de la elevación de superficie libre.$${\ displaystyle \ zeta (x, y, t);}
• $${\ displaystyle (x, y)} es la posicion horizontal;
• $${\ displaystyle \ omega}es la frecuencia angular del movimiento de onda monocromático;
• $${\ displaystyle i}es la unidad imaginaria ;
• $${\ displaystyle \ Re \ {\ cdot \}}significa tomar la parte real de la cantidad entre llaves;
• $${\ displaystyle \ nabla}es el operador de gradiente horizontal ;
• $${\ displaystyle \ nabla \ cdot}es el operador de la divergencia ;
• $${\ displaystyle k}es el número de onda ;
• $${\ displaystyle c_ {p}}Es la velocidad de fase de las olas y
• $${\ displaystyle c_ {g}}Es la velocidad de grupo de las olas.

La fase y la velocidad de grupo dependen de la relación de dispersión , y se derivan de la teoría de ondas de Airycomo: ^[5]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ omega ^ {2} & = \, g \, k \, \ tanh \, (kh), \\ c_ {p} & = \, {\ frac {\ omega} {k}} \ quad {\ text {y}} \\ c_ {g} & = \, {\ frac {1} {2}} \, c_ {p} \, \ left [1 \, + \, kh \, {\ frac {1- \ tanh ^ {2} (kh)} {\ tanh \, (kh)}} \ right] \ end {alineado}}}

dónde

• $${\ displaystyle g}es la gravedad de la Tierra y
• $${\ displaystyle \ tanh}Es la tangente hiperbólica .

Para una frecuencia angular dada $${\ displaystyle \ omega}el número de waven $${\ displaystyle k} debe resolverse a partir de la ecuación de dispersión, que relaciona estas dos cantidades con la profundidad del agua $${\ displaystyle h}.

Transformación a una ecuación de Helmholtz no homogénea [ editar ]

A través de la transformación

$${\ displaystyle \ psi \, = \, \ eta \, {\ sqrt {c_ {p} \, c_ {g}}},}

La ecuación de pendiente suave se puede convertir en la forma de una ecuación de Helmholtz no homogénea : ^[4] [6]

$${\ displaystyle \ Delta \ psi \, + \, k_ {c} ^ {2} \, \ psi \, = \, 0 \ qquad {\ text {with}} \ qquad k_ {c} ^ {2} \ , = \, k ^ {2} \, - \, {\ frac {\ Delta \ left ({\ sqrt {c_ {p} \, c_ {g}}} \ right)} {\ sqrt {c_ {p } \, c_ {g}}}},}

dónde $${\ displaystyle \ Delta}Es el operador de Laplace .

Ondas de propagación [ editar ]

En campos espacialmente coherentes de ondas de propagación, es útil dividir la amplitud compleja $${\ displaystyle \ eta (x, y)}en su amplitud y fase, ambos valorados reales : ^[7]

$${\ displaystyle \ eta (x, y) \, = \, a (x, y) \, {\ text {e}} ^ {i \, \ theta (x, y)},}

dónde

• $${\ displaystyle a = | \ eta | \,}es la amplitud o valor absoluto de$${\ displaystyle \ eta \,} y
• $${\ displaystyle \ theta = \ arg \ {\ eta \} \,}Es la fase de onda, que es el argumento de$${\ displaystyle \ eta. \,}

Esto transforma la ecuación de pendiente suave en el siguiente conjunto de ecuaciones (aparte de las ubicaciones para las que $${\ displaystyle \ nabla \ theta}es singular): ^[7]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial \ kappa _ {y}} {\ partial {x}}} \, - \, {\ frac {\ partial \ kappa _ {x}} {\ parcial {y}}} \, = \, 0 \ qquad & {\ text {with}} \ kappa _ {x} \, = \, {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial {x}}} {\ text {y}} \ kappa _ {y} \, = \, {\ frac {\ partial \ theta} {\ partial {y}}}, \\\ kappa ^ {2} \, = \, k ^ {2} \, + \, {\ frac {\ nabla \ cdot \ left (c_ {p} \, c_ {g} \, \ nabla a \ right)} {c_ {p} \, c_ {g} \, a}} \ qquad & {\ text {with}} \ kappa \, = \, {\ sqrt {\ kappa _ {x} ^ {2} \, + \, \ kappa _ {y} ^ {2 }}} \ quad {\ text {and}} \\\ nabla \ cdot \ left ({\ boldsymbol {v}} _ {g} \, E \ right) \, = \, 0 \ qquad & {\ text {con}} E \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, g \, a ^ {2} \ quad {\ text {y}} \ quad {\ boldsymbol {v }} _ {g} \, = \, c_ {g} \, {\ frac {\ boldsymbol {\ kappa}} {k}}, \ end {alineado}}}

dónde

• $${\ displaystyle E}es la densidad de energía de onda promedio por unidad de área horizontal (la suma de las densidades de energía cinética y potencial ),
• $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}} Es el vector wavenumber efectivo, con componentes. $${\ displaystyle (\ kappa _ {x}, \ kappa _ {y}), \,}
• $${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {g}}es el vector de velocidad de grupo efectivo ,
• $${\ displaystyle \ rho}es la densidad del fluido , y
• $${\ displaystyle g}Es la aceleración por la gravedad de la tierra .

La última ecuación muestra que la energía de onda se conserva en la ecuación de pendiente suave, y que la energía de onda $${\ displaystyle E} es transportado en el $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}}-dirección normal a las crestas de onda (en este caso de movimiento de onda puro sin corrientes medias). ^[7] La velocidad de grupo efectiva.$${\ displaystyle | {\ boldsymbol {v}} _ {g} |} es diferente de la velocidad de grupo $${\ displaystyle c_ {g}.}

La primera ecuación indica que la wavenumber efectiva $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}}Es irracional , una consecuencia directa del hecho de que es la derivada de la fase de onda.$${\ displaystyle \ theta}, un campo escalar . La segunda ecuación es la ecuación eikonal . Muestra los efectos de la difracción en el número de onda efectivo: solo para ondas más o menos progresivas, con$${\ displaystyle | \ nabla \ cdot (c_ {p} \, c_ {g} \, \ nabla a) | \ ll k ^ {2} \, c_ {p} \, c_ {g} \, a,} la división en amplitud $${\ displaystyle a} y fase $${\ displaystyle \ theta} conduce a campos coherentes y significativos de $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}}. De lo contrario, κ ² puede incluso volverse negativo. Cuando los efectos de difracción se descuidan totalmente, el número de onda efectivo κ es igual a$${\ displaystyle k}, y se puede usar la aproximación de la óptica geométrica para la refracción de onda . ^[7]

espectáculo

Detalles de la derivación de las ecuaciones anteriores.

Derivación de la ecuación de pendiente suave [ editar ]

La ecuación de pendiente suave puede derivarse mediante el uso de varios métodos. Aquí, vamos a utilizar un enfoque variacional . ^[4] [8] Se supone que el fluido es inviscido e incompresible , y se supone que el flujo es irrotacional . Estos supuestos son válidos para las ondas de gravedad de la superficie, ya que los efectos de la vorticidad y la viscosidad solo son significativos en las capas límite de Stokes (para la parte oscilatoria del flujo). Debido a que el flujo es irracional, el movimiento de onda se puede describir utilizando la teoría del flujo potencial.

espectáculo

Detalles de la derivación de la ecuación de pendiente suave.

Las siguientes ecuaciones dependientes del tiempo dan la evolución de la elevación de superficie libre $${\ displaystyle \ zeta (x, y, t)}y potencial de superficie libre $${\ displaystyle \ phi (x, y, t):}^[4]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} g \, {\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial {t}}} & + \ nabla \ cdot \ left (c_ {p} \, c_ {g} \, \ nabla \ varphi \ right) + \ left (k ^ {2} \, c_ {p} \, c_ {g} \, - \, \ omega _ {0} ^ {2} \ right) \, \ varphi = 0, \\ {\ fraccion \ \ parcial \ varphi} {\ parcial {t}}} & + g \ zeta = 0, \ quad {\ text {con}} \ quad \ omega _ {0} ^ {2 } \, = \, g \, k \, \ tanh \, (kh). \ end {alineado}}}

A partir de las dos ecuaciones de evolución, una de las variables. $${\ displaystyle \ varphi} o $${\ displaystyle \ zeta}se puede eliminar, para obtener la forma dependiente del tiempo de la ecuación de pendiente suave: ^[4]

$${\ displaystyle - {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial {t ^ {2}}}} + \ nabla \ cdot \ left (c_ {p} \, c_ {g} \, \ nabla \ zeta \ right) + \ left (k ^ {2} \, c_ {p} \, c_ {g} \, - \, \ omega _ {0} ^ {2} \ right) \, \ zeta = 0,}

y la ecuación correspondiente para el potencial de superficie libre es idéntica, con $${\ displaystyle \ zeta} reemplazado por $${\ displaystyle \ varphi.} La ecuación de pendiente suave dependiente del tiempo se puede usar para modelar ondas en una banda estrecha de frecuencias alrededor de $${\ displaystyle \ omega _ {0}.}

Ondas monocromáticas [ editar ]

Considera ondas monocromáticas con amplitud compleja. $${\ displaystyle \ eta (x, y)} y frecuencia angular $${\ displaystyle \ omega:}

$${\ displaystyle \ zeta (x, y, t) \, = \, \ Re \ left \ {\ eta (x, y) \; {\ text {e}} ^ {- i \, \ omega \, t }\Correcto\},}

con $${\ displaystyle \ omega} y $${\ displaystyle \ omega _ {0}} elegidos iguales entre sí, $${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}.}Usando esto en la forma dependiente del tiempo de la ecuación de pendiente suave, recupera la ecuación clásica de pendiente suave para el movimiento de onda armónica en el tiempo: ^[4]

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (c_ {p} \, c_ {g} \, \ nabla \ eta \ right) \, + \, k ^ {2} \, c_ {p} \, c_ {g } \, \ eta \, = \, 0.}

Aplicabilidad y validez de la ecuación de pendiente suave [ editar ]

La ecuación de pendiente suave estándar, sin términos adicionales para la pendiente del lecho y la curvatura del lecho, proporciona resultados precisos para el campo de onda sobre pendientes del lecho que van desde 0 hasta aproximadamente 1/3. ^[11] Sin embargo, algunos aspectos sutiles, como la amplitud de las ondas reflejadas, pueden ser completamente erróneos, incluso para pendientes que van a cero. Esta curiosidad matemática tiene poca importancia práctica en general, ya que esta reflexión se hace cada vez más pequeña para pequeñas pendientes del fondo.