EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 TEOREMAS FÍSICA

En electromagnetismo, el teorema de Poynting, desarrollado por John Henry Poynting y publicado en 1884, expresa la ley de conservación de la energía. Establece que la disminución de energía electromagnética en una región se debe a la disipación de potencia en forma de calor (por efecto Joule) y al flujo hacia el exterior del vector de Poynting.

Relaciona la derivada temporal de la densidad de energía electromagnética con el flujo de energía y el ritmo al que el campo realiza un trabajo. Puede plantearse mediante la fórmula local

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}=-\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}}$

donde:

• ${\displaystyle U}$ es la densidad de energía,
• ${\displaystyle \overrightarrow{S}}$ es el vector de Poynting,
• ${\displaystyle \overrightarrow{J}}$ la densidad de corriente y
• ${\displaystyle \overrightarrow{E}}$ el campo eléctrico.

Dado que el campo magnético no realiza trabajo la parte derecha de la ecuación incluye todo el trabajo realizado por el campo electromagnético.

De forma integral, se puede expresar como:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}=-\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}}$

${\displaystyle P_d+{\text{∯}}_A\overrightarrow{S}\cdot d\overrightarrow{A}=-\frac{d}{dt}{\iiint }_V\frac{1}{2}(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}+\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{B})dV=-\frac{dW}{dt}}$

siendo ${\displaystyle P_d={\iiint }_V\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{E}dV}$ y donde:

• ${\displaystyle P_d}$: potencia disipada por efecto Joule,
• ${\displaystyle W}$: energía electromagnética.

Demostración del teorema

La demostración del teorema es la siguiente:

Demostración

El trabajo realizado por las fuerzas viene dado por${\displaystyle W=\int \sum _i{\overrightarrow{F}}_i\cdot d\overrightarrow{l}=\int ({\overrightarrow{F}}_e+{\overrightarrow{F}}_m)\cdot d\overrightarrow{l}}$ Dado que la fuerza magnética no realiza trabajo sobre las cargas tenemos que ${\displaystyle W=\int d{\overrightarrow{F}}_e\cdot d\overrightarrow{l}=\int q\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}}$ El trabajo por unidad de tiempo y volumen será por tanto: ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{dW}{dV}\right)=\frac{d}{dt}\left(\int \frac{dq}{dV}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}\right)=\frac{d}{dt}\left(\int \rho \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}\right)=\rho \overrightarrow{E}\cdot \frac{d\overrightarrow{l}}{dt}=\overrightarrow{E}\cdot (\rho \overrightarrow{v})=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{j}}$ Aplicando la ecuación de Maxwell: ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{E}}{\mathrm{\partial }t}}$ Tenemos que ${\displaystyle \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{j}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B})-{ϵ}_0\overrightarrow{E}\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{E}}{\mathrm{\partial }t}}$ Aplicando la relación vectorial ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})=(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E})\cdot \overrightarrow{B}-\overrightarrow{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B})}$ Y la ecuación de Maxwell ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\mathrm{\partial }\overrightarrow{B}}{\mathrm{\partial }t}}$ Obtenemos finalmente que: ${\displaystyle -\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{J}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\left[\frac{{\overrightarrow{B}}^2}{{\mu }_{0}2}+\frac{{ϵ}_0{\overrightarrow{E}}^2}{2}\right]=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{S}+\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }t}}$

Datos Interesantes

Definición 2: El vector de Poynting se interpreta como la densidad de potencia instantánea medida en watts por metro cuadrado. La integración del vector de Poynting sobre la superficie cerrada proporciona la potencia total que atraviesa la superficie en un sentido hacia afuera.

Maxwell publicó sus resultados en el año 1865, resultados que constaban de 20 ecuaciones con 20 variables, que después él mismo las redujo a 13. Uno de los resultados de estas ecuaciones fue la demostración de la existencia de las ondas electromagnéticas. Además Poynting demostró que las ondas transmiten energía y esta se conserva, demostración para la cual utilizó las ecuaciones que publicó Maxwell.

Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs, en 1884 reformularon estas ecuaciones disminuyendo el número de estas a tan solo 4 ecuaciones con 4 variables. Estas nuevas ecuaciones son de tipo diferencial a diferencia de las de tipo integral que se estaban utilizando. Estas no solo concluyen la existencia de ondas electromagnéticas, sino que además generaron la demostración, por parte de Heaviside (en el mismo año que Poynting), de la conservación de la energía y la cantidad de movimiento propagada por dicha onda, de una manera mucho más intuitiva que las anteriores demostraciones. Otra consecuencia crucial en el desarrollo de la física moderna consiste en la observación de que estas ecuaciones no son invariantes a la transformación de coordenadas de Galileo, problema que soluciona Hendrik Antoon Lorentz, cuya resolución da origen a una nueva forma de percibir el universo, la cual fue estudiada por Albert Einstein.

El teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se debe fundamentalmente a Ronald Rivlin y establece una limitación importante a la ecuación constitutiva de un sólido deformable isótropo y objetivo.

Enunciado del teorema

El teorema afirma que si ${\displaystyle \mathbf{C}}$ es el tensor de respuesta que relaciona el tensor gradiente de deformación F con el tensor tensión T de un material objetivo e isótropo, cuyo tensor gradiente de deformación es F entonces su tensor tensión viene dado por:

${\displaystyle T=\mathbf{C}(F)=\overline{\mathbf{C}}(F{F}^T)}$

Donde:

${\displaystyle \overline{\mathbf{C}}(E)={\beta }_0({\iota }_E)I+{\beta }_1({\iota }_E)E+{\beta }_2({\iota }_E)E^2}$

${\displaystyle {\mathbf{M}}_{\mathbf{3}}}$, conjunto de matrices de 3×3.
${\displaystyle {\mathbf{S}}_{\mathbf{3}}}$, conjunto de matrices 3×3 simétricas.
, conjunto de matrices 3×3 simétricas definidas positivas.
${\displaystyle {\iota }_E}$, conjunto de invariantes algebraicos (traza, invariante cuadrático y determinante), de la matriz E.

Teniendo en cuenta que la relación entre el tensor gradiente de deformación F, el tensor de Finger B = FF^T y el tensor deformación espacial (de Almansi) D_e es simplemente:

${\displaystyle B=F{F}^T=(I-2D_e{)}^{-1}}$

Donde I es la matriz identidad, puede verse cual es la forma más general posible de tensor respuesta o ecuación constitutiva de un material isótropo:

${\displaystyle T={\beta }_0({\iota }_B)I+{\beta }_1({\iota }_B)(I-2D_e{)}^{-1}+{\beta }_2({\iota }_B)(I-2D_e{)}^{-2}}$

Sólidos elásticos lineales e isótropos

Para el caso de sólidos elásticos lineales se puede demostrar rigurosamente a partir del teorema de Rivlin-Ericksen que el tensor tensión T y el tensor deformación D están relacionados por:

${\displaystyle T=\mathbf{C}(I+2D)=\lambda \mathrm{t}\mathrm{r}(D)I+2\mu D}$

Donde λ y μ reciben los nombres de primer y segundo coeficientes de Lamé, y son constantes elásticas específicas de cada material. Es decir, un sólido elástico lineal tiene:

${\displaystyle {\beta }_0({\iota }_D)=\lambda \mathrm{t}\mathrm{r}(D)-\mu ;{\beta }_1({\iota }_D)=\mu ;{\beta }_2({\iota }_E)=0}$ ;\qquad \beta _{1}(\iota _{D})=\mu ;\qquad \beta _{2}(\iota _{E})=0\,}

Esta ley constitutiva es funcionalmente idéntica a la de un material de Saint-Venant–Kirchhoff.

Para otros usos de este término, véase Saint-Venant (desambiguación).

Se conoce como teorema de Saint-Venant a la afirmación:

La sección simplemente conexa con resistencia a la torsión mecánica máxima es un círculo.[1]

El teorema honra la memoria del matemático y mecánico francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797 – 1886).

Conceptos previos

Descripción de una barra de sección cuadrada sometida a esfuerzos de torsión

En mecánica de sólidos deformables, es habitual utilizar el modelo de viga o barra, donde una dimensión es mucho mayor que las otras dos. Así, es posible calcular en función de la coordenada X, relacionando las cargas mecánicas con propiedades del material y la sección perpendicular a dicha dirección preferente.

Cuanto mayor sea la sección, menores serán las deformaciones ante una carga dada. Sin embargo, no importa sólo el valor absoluto del área geométrica, sino también su distribución (momento de inercia). De esa forma se acuña el concepto ingenieril de rigidez. Así, un problema típico del cálculo de estructuras busca calcular la forma y posición de una sección que minimice el área (y por tanto el material empleado) al soportar unos determinados esfuerzos.

El teorema de Saint-Venant enuncia la configuración óptima para una viga maciza (sin huecos), que soporta esfuerzos de torsión.

Descripción formal

Dado un dominio simplemente conexo D en un plano con área A, radio ${\displaystyle \rho }$ y siendo ${\displaystyle \sigma }$ el área de su mayor círculo inscrito, podemos definir la rigidez torsional P de D mediante;

${\displaystyle P=4\underset{f}{sup}\frac{{\left(\int \underset{D}{\int }fdxdy\right)}^2}{\int \underset{D}{\int }{f}_x^2+f_y^{2}dxdy}}$.

Donde el supremo se toma mediante cálculo variacional sobre todas las posibles funciones diferenciables que tienen como contorno D. La existencia de dicho supremo se puede demostrar como consecuencia de la desigualdad de Poincaré.

Saint-Venant^[2] conjeturó en 1856 que de todos los dominios posibles D de igual área A, el círculo era el que tenía una mayor rigidez torsional, es decir:

${\displaystyle P\le P_{\text{circle}}\le \frac{A^2}{2\pi }}$.

Una prueba rigurosa de dicha desigualdad no se obtuvo hasta 1948 por parte de Pólya.^[3] Otra demostración de este teorema fue dada por Davenport.^[4] La prueba más general y la estimación

fue dada por Makai.^[