EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 TEOREMAS FÍSICA

En mecánica de fluidos, el teorema de Taylor-Proudman (por G. I. Taylor y Joseph Proudman) enuncia que cuando un cuerpo sólido es movido lentamente dentro de un fluido que es rotado de forma constante con una gran velocidad angular ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, la velocidad del fluido será uniforme a lo largo de cualquier línea paralela al eje de rotación. ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ debe ser relativamente rápida comparada con el movimiento del cuerpo para hacer que la fuerza de Coriolis sea intensa comparada con los términos de aceleración.

Que esto es así puede verse considerando las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo constante, con viscosidad cero y una fuerza del cuerpo correspondiendo a la fuerza de Coriolis, que son:

${\displaystyle \rho (\mathbf{u}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{u}=\mathbf{F}-\mathrm{\nabla }p}$

donde ${\displaystyle \mathbf{u}}$ es la velocidad del fluido, ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del fluido, y ${\displaystyle p}$ la presión. Si ahora hacemos la asunción de que el término advectivo puede ser despreciado (razonable si el número Rossby es mucho menor que la unidad) las ecuaciones se transforman en:

${\displaystyle 2\rho \mathrm{\Omega }\times \mathbf{u}=\mathrm{\nabla }p}$

donde ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ es el vector de velocidad angular. Si se toma el rotor de esta ecuación, el resultado es el teorema de Taylor-Proudman:

${\displaystyle (\mathbf{\Omega }\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{u}=\mathbf{0}.}$

Para derivar esto, se necesitan las identidades vectoriales

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times (A\times B)=(A\cdot \mathrm{\nabla })B-(B\cdot \mathrm{\nabla })A+B(\mathrm{\nabla }\cdot A)-A(\mathrm{\nabla }\cdot B)}$

y

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }p)=0}$.

Nótese que ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\Omega }=0}$ también es necesaria.

La forma vectorial del teorema de Taylor–Proudman tal vez se entienda mejor expandiéndola en sus componentes respecto de los ejes coordenados:

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_x\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{u}}{\mathrm{\partial }x}=0}$

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_y\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{u}}{\mathrm{\partial }y}=0}$

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_z\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{u}}{\mathrm{\partial }z}=0}$

Ahora se eligen coordenadas en las cuales ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_x={\mathrm{\Omega }}_y=0}$ y entonces las ecuaciones se reducen a

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{u}}{\mathrm{\partial }z}=0,}$

si ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_z\ne 0}$. Nótese que la implicación es que las tres componentes del vector de velocidad son uniformes a lo largo de cualquier línea paralela al eje Z.

Teorema de Torricelli. En un recipiente abierto, la velocidad de salida del líquido por la salida es igual a la velocidad del objeto que se deja caer desde una altura h después de haber caído esta distancia h.

El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es la aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad.

La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio.

Matemáticamente la ecuación de Bernoulli se describe como:

${\displaystyle V_t=\sqrt{2\cdot g\cdot \left(h+\frac{v_0^2}{2\cdot g}\right)}}$

donde:

• ${\displaystyle V_t}$ es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio
• ${\displaystyle v_0}$ es la velocidad de aproximación o inicial.
• ${\displaystyle h}$ es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
• ${\displaystyle g}$ es la aceleración de la gravedad

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

${\displaystyle V_r=C_v\sqrt{2\cdot g\cdot h}}$

donde:

• ${\displaystyle V_r}$ es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio
• ${\displaystyle C_v}$ es el cociente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0,95 en el caso más desfavorable.

tomando ${\displaystyle C_v}$ =1

${\displaystyle V_r=\sqrt{2\cdot g\cdot h}}$

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es inversamente proporcional a la raíz cúbica de lo que dictamina que la fórmula ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.

Caudal descargado

El caudal o volumen del fluido que pasa por el orificio en un tiempo, ${\displaystyle Q}$, puede calcularse como el producto de ${\displaystyle S_c}$, el área real de la sección contraída, por ${\displaystyle V_r}$, la velocidad real media del fluido que pasa por esa sección, y por consiguiente se puede escribir la siguiente ecuación:

${\displaystyle Q=S_c\cdot V_r=(S\cdot C_c)C_v\sqrt{2\cdot g\cdot h}}$

${\displaystyle Q=C_d\cdot S\sqrt{2\cdot g\cdot h}}$

en donde

• ${\displaystyle S\sqrt{2\cdot g\cdot h}}$ representa la descarga ideal que habría ocurrido si no estuvieran presentes la fricción y la contracción.
• ${\displaystyle C_c}$ es el coeficiente de contracción de la vena fluida a la salida del orificio. Su significado radica en el cambio brusco de sentido que deben realizar las partículas de la pared interior próximas al orificio. Es la relación entre el área contraída ${\displaystyle S_c}$ y la del orificio ${\displaystyle S}$. Suele estar en torno a 0,65.
• ${\displaystyle C_d}$ es el coeficiente por el cual el valor ideal de descarga es multiplicado para obtener el valor real, y se conoce como coeficiente de descarga. Numéricamente es igual al producto de los otros dos coeficientes. ${\displaystyle C_d=C_c{C}_v}$

El coeficiente de descarga variará con la carga y el diámetro del orificio. Sus valores para el agua han sido determinados y tabulados por numerosos experimentadores. De forma orientativa se pueden tomar valores sobre 0,6. Así se puede apreciar la importancia del uso de estos coeficientes para obtener unos resultados de caudal aceptables.

Teorema de Varignon: cálculo del momento de un conjunto de fuerzas concurrentes en un punto

El teorema de Varignon^[1] es una proposición enunciada por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1687 en su tratado Nouvelle mécanique, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque sobre el análisis que sostenía Leibniz.

Enunciado y demostración

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

Su enunciado, según la terminología actual, vendría a ser:

Dadas varias fuerzas concurrentes en un punto, el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas, aplicada en el punto de concurrencia.

donde se entiende como fuerzas concurrentes aquellas cuyas rectas soporte (que pasan por el punto de aplicación y llevan la dirección de la fuerza) se cortan en un punto O.

NOTA: No es necesario que las fuerzas sean concurrentes para que se pueda aplicar el teorema de varignon, para el que sepa componer fuerzas paralelas y hallar de las mismas su módulo o intensidad, sentido y recta de acción.

Demostración

Se tienen ${\displaystyle n}$ fuerzas concurrentes, ${\displaystyle {\overrightarrow{F}}_1,{\overrightarrow{F}}_2,...,{\overrightarrow{F}}_n}$, aplicadas en los puntos ${\displaystyle A_1,A_2,...,A_n}$. El momento resultante respecto a un punto O es:

${\displaystyle {\overrightarrow{M}}_O=\sum _i{\overrightarrow{OA}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i}$

Ahora bien, por pasar cada recta soporte por el punto de concurrencia P se cumple para cada una:

${\displaystyle {\overrightarrow{PA}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i=\overrightarrow{0}}$

por ser vectores paralelos. Por tanto, para cada momento individual:

${\displaystyle {\overrightarrow{OA}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i=(\overrightarrow{OP}+{\overrightarrow{PA}}_i)\times {\overrightarrow{F}}_i=\overrightarrow{OP}\times {\overrightarrow{F}}_i}$

y para la resultante:

${\displaystyle {\overrightarrow{M}}_O=\sum _i\overline{OP}\times {\overrightarrow{F}}_i=\overrightarrow{OP}\times \left(\sum _i{\overrightarrow{F}}_i\right)=\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{F}}$

Por tanto, el procedimiento para hallar el momento resultante consiste en llevar todas las fuerzas al punto de concurrencia, hallar la resultante de todas las fuerzas y luego calcular su momento respecto al punto O.

Al aplicar este teorema a la estática se tiene que, dado que la resultante de las fuerzas debe anularse, la condición para que un sólido sometido a tres fuerzas esté en equilibrio es que exista un punto P tal que las rectas soporte pasen por él (teorema de las tres fuerzas). De esta forma se anulan simultáneamente la resultante de las fuerzas y la de los momentos. Si este punto no existe, el sólido no puede estar en equilibrio.