EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 TEOREMAS DE LA FÍSICA

Joseph Bertrand

En mecánica clásica, el teorema de Bertrand establece que, entre los potenciales de fuerzas centrales con órbitas estables, solo hay dos tipos con la propiedad de que todas las órbitas que producen son cerradas. Estos dos son:

1. Una fuerza central de la inversa del cuadrado, tales como el potencial gravitatorio o electrostático:

   ${\displaystyle V(\mathbf{r})=\frac{-k}{r},}$

2. El potencial del oscilador armónico simple:

   ${\displaystyle V(\mathbf{r})=\frac{1}{2}k{r}^2.}$

El teorema fue descubierto por Joseph Bertrand (1822-1900).

El teorema de Huygens establece que la longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de oscilación O′ pasa a ser centro de suspensión (O), pues ambos puntos permutan entre sí sus papeles (puntos conjugados). El periodo del péndulo será el mismo en ambos casos.

Explicación

Figura 1. Péndulo físico..

En lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación y la distancia λ se denomina longitud reducida del péndulo, viniendo dada por

${\displaystyle \lambda =\frac{I_{\text{O}}}{mh}[1]}$

Si ahora hacemos pasar el eje de suspensión por el punto O′, de modo que sea paralelo al anterior eje de suspensión, el punto O′ pasa a ser el punto de suspensión, en tanto que el punto O pasa a ser el centro de oscilación. Ambos puntos han permutado entre sí sus papeles; por eso se dice que son puntos conjugados. Lo mismo podemos decir para los puntos Q y Q′.

Esta propiedad se aprovecha para la construcción del llamado péndulo reversible de Kater, instrumento que permite medir el valor de la aceleración gravitatoria con gran precisión.

Demostración del teorema

Es conveniente sustituir en la expresión [1] el valor del momento de inercia I_O del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ por el momento de inercia I_G del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de gravedad G del péndulo. Así, sirviéndonos del teorema de Steiner, y llamando K al radio de giro del cuerpo respecto a este último eje, podemos escribir

${\displaystyle I_{\text{O}}=I_{\text{G}}+m{h}^2=m{K}^2+m{h}^2=m(h^2+K^2)[2]}$

Combinando las expresiones [1] y [2], la longitud reducida del péndulo, respecto al eje de suspensión, puede expresarse en la forma

${\displaystyle \lambda =\frac{I_{\text{O}}}{mh}=\frac{I_{\text{G}}+m{h}^2}{mh}=\frac{m{K}^2+m{h}^2}{mh}=\frac{h^2+K^2}{h}=h+\frac{K^2}{h}[3]}$

Ahora, hagamos pasar el eje de suspensión por otro punto, situado sobre la recta OG y que se encuentre a una distancia h′ del c.d.g., G, de modo que el periodo de las oscilaciones sea el mismo que antes; esto equivale a decir que la longitud reducida del péndulo, respecto a este nuevo eje de suspensión, es la misma que anteriormente (λ=λ′). Podemos escribir

${\displaystyle \lambda =\frac{h^2+K^2}{h}=\frac{h^{\prime 2}+K^2}{h^{\prime }}=\frac{h^2-h^{\prime 2}}{h-h^{\prime }}=\frac{(h+h^{\prime })(h-h^{\prime })}{(h-h^{\prime })}[4]}$

donde hemos hecho uso de la siguiente propiedad de las proporciones ${\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a\pm c}{b\pm d}}$ y, por lo tanto,

${\displaystyle \lambda (h-h^{\prime })=(h+h^{\prime })(h-h^{\prime })[5]}$

ecuación que tiene dos soluciones:

1. Puede ser h = h′; i.e., se trata del punto Q, situado al otro lado del c.d.g. y a la misma distancia de éste que el punto O.
2. En el caso de que sea h ≠ h′, dividiendo por (h-h′) ambos miembros de la igualdad [5] y teniendo en cuenta [3], nos quedará:

${\displaystyle \lambda =h+h^{\prime }\Rightarrow h^{\prime }=\lambda -h=\frac{K^2}{h}\Rightarrow h{h}^{\prime }=K^2[6]}$

correspondiendo la distancia h′ a la posición del punto O′, conjugado del O, que se encuentra situado al otro lado del c.d.g. y de modo que la suma de distancias al mismo (h+h′) es la longitud reducida (λ) del péndulo.

El teorema de Kennelly, llamado así en homenaje a Arthur Edwin Kennelly, permite determinar la carga equivalente en estrella a una dada en triángulo y viceversa. El teorema también se le suele llamar de transformación estrella-triángulo (escrito Y-Δ) o transformación te-delta (escrito T-Δ).

Ecuaciones de transformación

En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones de transformación en función de las impedancias y de las admitancias.

Ecuaciones de Kennelly
Transformación Δ-Y
En función de las impedancias En función de las admitancias ${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{AT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Y}}_{AT}={\overrightarrow{Y}}_{AB}+{\overrightarrow{Y}}_{AC}+\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AB}.{\overrightarrow{Y}}_{AC}}{{\overrightarrow{Y}}_{BC}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{BT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Y}}_{BT}={\overrightarrow{Y}}_{AB}+{\overrightarrow{Y}}_{BC}+\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AB}.{\overrightarrow{Y}}_{BC}}{{\overrightarrow{Y}}_{AC}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Y}}_{CT}={\overrightarrow{Y}}_{AC}+{\overrightarrow{Y}}_{BC}+\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AC}.{\overrightarrow{Y}}_{BC}}{{\overrightarrow{Y}}_{AB}}}$
Transformación Y-Δ
En función de las impedancias En función de las admitancias ${\displaystyle Z_{AB}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}}{{\overrightarrow{Z}}_{CT}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Y}}_{AB}=\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AT}.{\overrightarrow{Y}}_{BT}}{{\overrightarrow{Y}}_{AT}+{\overrightarrow{Y}}_{BT}+{\overrightarrow{Y}}_{CT}}}$ ${\displaystyle Z_{BC}={\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{AT}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Y}}_{BC}=\frac{{\overrightarrow{Y}}_{BT}.{\overrightarrow{Y}}_{CT}}{{\overrightarrow{Y}}_{AT}+{\overrightarrow{Y}}_{BT}+{\overrightarrow{Y}}_{CT}}}$ ${\displaystyle Z_{AC}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{BT}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow{Y}}_{AC}=\frac{{\overrightarrow{Y}}_{AT}.{\overrightarrow{Y}}_{CT}}{{\overrightarrow{Y}}_{AT}+{\overrightarrow{Y}}_{BT}+{\overrightarrow{Y}}_{CT}}}$

Demostración

A continuación se demuestra analíticamente las ecuaciones de Kennelly.

Circuito Triángulo a estrella

Figura 1. Equivalencia entre cargas en estrella (izquierda) y triángulo (derecha).

Supongamos conocidos los valores Z_AB, Z_BC y Z_AC de la carga en triángulo de la figura 1 y deseamos obtener los valores Z_AT, Z_BT y Z_CT de su equivalente en estrella. Para ello obtendremos en ambos circuitos las impedancias equivalentes respecto de los puntos A-B, B-C y A-C y las igualaremos puesto que son cargas equivalentes (observe que en la estrella quedan siempre dos impedancias en serie, mientras que en el triángulo quedan dos en serie con la tercera en paralelo):

${\displaystyle (1){\overrightarrow{Z}}_{A-B}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}}$

${\displaystyle (2){\overrightarrow{Z}}_{B-C}={\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BC}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}.{\overrightarrow{Z}}_{AB}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}}$

${\displaystyle (3){\overrightarrow{Z}}_{A-C}={\overrightarrow{Z}}_{AT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}}$

La ecuaciones de Kennelly se obtienen a partir de las anteriores del siguiente modo:

1. Sumando las ecuaciones (1) y (3) y restando el resultado de la (2)
2. Sumando las ecuaciones (1) y (2) y restando el resultado de la (3)
3. Sumando las ecuaciones (2) y (3) y restando el resultado de la (1)

Estrella a Triángulo

Supongamos ahora el caso opuesto, esto es, conocidos los valores Z_AT, Z_BT y Z_CT de la estrella de la figura 1, deseamos obtener los valores Z_AB, Z_BC y Z_AC de la carga en triángulo equivalente. Para ello se tomarán las ecuaciones de transformación Δ-Y, donde por simplificación de notación tomaremos

${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_T={\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}}$

quedando las ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{AT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}}$ ;

${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{BT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}}$ ;

${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{CT}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}}$

Realizando las tres multiplicaciones binarias posibles entre ellas, se obtiene

${\displaystyle \frac{({\overrightarrow{Z}}_{AB}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}={\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}}$

${\displaystyle \frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.({\overrightarrow{Z}}_{AC}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{BC}}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}={\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}$

${\displaystyle \frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}={\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}$

Y sumándolas

${\displaystyle \frac{({\overrightarrow{Z}}_{AB}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.({\overrightarrow{Z}}_{AC}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}=}$

${\displaystyle ={\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}$

Dividamos el primer miembro por el valor de ${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{AT}}$:

${\displaystyle \frac{\frac{({\overrightarrow{Z}}_{AB}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.({\overrightarrow{Z}}_{AC}{)}^2.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}.({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{({\overrightarrow{Z}}_T{)}^2}}{\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{AC}}{{\overrightarrow{Z}}_T}}=}$

${\displaystyle \frac{{\overrightarrow{Z}}_{AB}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}.{\overrightarrow{Z}}_{BC}+({\overrightarrow{Z}}_{BC}{)}^2}{{\overrightarrow{Z}}_T}=\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BC}({\overrightarrow{Z}}_{AB}+{\overrightarrow{Z}}_{AC}+{\overrightarrow{Z}}_{BC})}{{\overrightarrow{Z}}_T}={\overrightarrow{Z}}_{BC}}$

Y dividiendo el segundo miembro por ${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{AT}}$:

${\displaystyle =\frac{{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{AT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}+{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{AT}}={\overrightarrow{Z}}_{BT}+{\overrightarrow{Z}}_{CT}+\frac{{\overrightarrow{Z}}_{BT}.{\overrightarrow{Z}}_{CT}}{{\overrightarrow{Z}}_{AT}}}$

Igualando ambos resultados obtenemos una de las ecuaciones de transformación. Las otras dos pueden obtenerse del mismo modo dividiendo por ${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{BT}}$ y ${\displaystyle {\overrightarrow{Z}}_{CT}}$

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