EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 REOREMAS FÍSICA

^[1] Sea una aplicación continua f : ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \to \mathbb{R}}$. Si esta función tiene un punto periódico de período k, entonces tiene puntos periódicos de todos los períodos inferiores a k según el orden "<<" siguiente:

1 << 2 << 4 << 8 << ... << 2ⁿ·7 << 2ⁿ·5 << 2ⁿ·3 << ... << 2·7 << 2·5 << 2·3 << ... 9 << 7 << 5 << 3

Este teorema es óptimo, es decir, si m << k según el orden precedente, existen aplicaciones continuas con puntos periódicos de periodo m pero sin punto periódico de período k. En particular, una función que presenta un punto x periódico de orden tres, es decir tal que:

${\displaystyle f^3(x):=f\circ f\circ f(x)=x}$

donde ${\displaystyle \circ }$ es la composición de las funciones, entonces presentará puntos periódicos de cualquier orden:

${\displaystyle f^n(x):=f\circ f\circ \cdots \circ f(y)=y}$

Se dice que el periodo tres implica el caos, y esta propiedad es fundamental en la teoría del caos.
Este corolario recibe el nombre de Teorema de Li y Yorke, matemáticos que redescubrieron en Estados Unidos parte del teorema ruso, que había pasado totalmente inadvertido en Occidente.

El ejemplo fundamental es f(x)= a·x·(1 - x), con x en el intervalo [ 0; 1], y a en [0; 4]. Cuando a crece de 0 a 4, va apareciendo puntos periódicos de orden 2, luego 4, luego 8, 16, ... y finalmente 3.

En las abcisas está el parámetro a. El período 3 aparece para a algo mayor que 3,8, justo al salir de la zona caótica (en gris).

El teorema utiliza el que R es totalmente ordenado y unidimensional, no se aplica a los números complejos:
La función f :C →C definida por f(z) = e^2iπ/3·z es tal que todos los puntos del plano son periódicos de orden 3, pero de ningún otro orden (excepto 0 que es de orden 1) - f es una rotación de ángulo 120 grados o 2·π/3 radianes y no existe equivalentes de las rotaciones en una dimensión.

El teorema de Boucherot, ideado por Paul Boucherot, permite la resolución del cálculo total de potencias en circuitos de corriente alterna. De acuerdo con este teorema, las potencias activa y reactiva totales en un circuito, vienen dadas por la suma de las potencias activa y reactiva, respectivamente, de cada una de sus cargas. De forma analítica:

${\displaystyle P_T=\sum _{k=1}^n{P}_k}$

${\displaystyle Q_T=\sum _{k=1}^n{Q}_k}$

Seguidamente se demostrarán ambas igualdades para un receptor serie y para otro paralelo.

Receptor en serie

Figura 1: Receptor serie, a, y diagrama fasorial, b.

Sea el circuito serie de la figura 1a. Aplicando la ley de Ohm

${\displaystyle \overrightarrow{V}=\overrightarrow{I}(\overrightarrow{Z1}+\overrightarrow{Z2}+\overrightarrow{Z3})=}$

${\displaystyle =\overrightarrow{I}(R1+X1j+R2+X2j+R3+X3j)}$

Tomando la intensidad en el origen de fases (figura 1b),

${\displaystyle \overrightarrow{I}=I_{}\underset{\_}{/0}=I+0j=I}$

y sustituyendo

${\displaystyle \overrightarrow{V}=IR1+IR2+IR3+(IX1+IX2+IX3)j}$

Por otro lado, el valor de ${\displaystyle \overrightarrow{V}}$ puede expresarse como (ver figura 1b):

${\displaystyle \overrightarrow{V}=V\cos \varphi +(V\sin \varphi )j}$

Comparando ambas igualdades

${\displaystyle V\cos \varphi =IR1+IR2+IR3}$

${\displaystyle V\sin \varphi =IX1+IX2+IX3}$

Finalmente si multiplicamos ambas expresiones por I, se deduce

${\displaystyle P_T=P1+P2+P3}$

${\displaystyle Q_T=Q1+Q2+Q3}$

Receptor en paralelo

Figura 2: Receptor paralelo, a, y diagrama fasorial, b.

Sea el circuito paralelo y su correspondiente diagrama fasorial, figuras 2a y 2b respectivamente. Las componentes activa y rectiva de la corriente total, ${\displaystyle I_a}$ e ${\displaystyle I_r}$, vienen dadas como suma de las componentes parciales de cada una de la corrientes que circulan por cada rama:

${\displaystyle I_a=I_{a1}+I_{a2}+I_{a3}}$

${\displaystyle I_r=I_{r1}+I_{r2}+I_{r3}}$

Sustituyendo por sus valores:

${\displaystyle I\cos \varphi =I_1\cos \varphi {}_1+I_2\cos \varphi {}_2+I_3\cos \varphi {}_3}$

${\displaystyle I\sin \varphi =I_1\sin \varphi {}_1+I_2\sin \varphi {}_2+I_3\sin \varphi {}_3}$

Y si estas expresiones se multiplican por V, se obtiene

${\displaystyle P_T=P1+P2+P3}$

${\displaystyle Q_T=Q1+Q2+Q3}$

Que es el mismo resultado que para un receptor serie. En ambos casos, generalizando

${\displaystyle P_T=\sum _{k=1}^n{P}_k}$

${\displaystyle Q_T=\sum _{k=1}^n{Q}_k}$

que es lo que se deseaba demostrar.

Potencia aparente total

Figura 3: Triángulo de potencias de una instalación con tres receptores, el 1 y el 2 inductivos y el 3 capacitivo.

Los dos puntos anteriores no implican que la potencia aparente total de un sistema se obtenga como suma de las potencias aparentes parciales:

${\displaystyle S_T\ne \sum _{k=1}^n{S}_k}$

Gráficamente, para efectuar el balance de potencias de una instalación, es necesario obtener el triángulo total de potencias como suma de los triángulos de potencia parciales de cada receptor. Si por ejemplo tuviéramos tres receptores, dos inductivos y uno capacitivo, su triángulo de potencias sería similar al mostrado en la figura 3, donde se deduce que

${\displaystyle S_T=\sqrt{P_T^2+Q_T^2}}$

El teorema de Tellegen es uno de los teoremas más poderosos usado en análisis de circuitos. Muchos de los teoremas de distribución de energía y de los principios del análisis de redes pueden derivarse de él. Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen.^[1] Básicamente, el teorema le da una relación simple a las magnitudes que satisfacen las leyes de Kirchhoff de la teoría de circuitos eléctricos.

El teorema de Tellegen se puede aplicar a una gran multitud de sistemas de redes. Las suposiciones básicas de los sistemas son la conservación del flujo de muchas cantidades (Ley de corriente de Kirchhoff, LCK) y el conjunto de potenciales en los nodos de una red (Ley de tensiones de Kirchhoff, LVK). El teorema de Tellegen nos brinda una herramienta útil en el análisis de sistemas complejos de redes como los circuitos eléctricos, redes metabólicas y biológicas, redes de ductos y redes de procesos químicos.

El teorema

Tiene una gran cantidad de aplicaciones, que van desde circuitos con elementos activos y pasivos, lineales y no lineales, y fuentes que varíen con el tiempo. La gran generalidad del teorema se deriva del hecho de que la única condición para aplicarse es que se cumpla con las dos leyes de Kirchhoff. Si se considera la convención de signo pasivo (la corriente se dirige del terminal positivo al negativo), siendo ${\displaystyle v_k(t)}$ e ${\displaystyle i_k(t)}$, las tensiones y corrientes instantáneas respectívamente, el teorema de Tellegen establece que:

${\displaystyle \sum _{k=1}^r{v}_k(t).i_k(t)=0}$

Dado que el producto de la tensión por la corriente instantánea representa la potencia instantánea, el teorema de Tellegen representa la conservación de la potencia en un circuito, es decir que la suma de las potencias suministradas por las fuentes equivale a las potencias absorbidas por las resistencias.