EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 TEOREMAS FÍSICA

El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema fundamental de la aerodinámica. Es el nombre del alemán Martin Wilhelm Kutta y el ruso Nikolái Zhukovski (o Joukowski) que empezaron a desarrollar sus ideas clave a principios del siglo XX. El teorema relaciona la fuerza de sustentación generada por un cilindro recto con la velocidad del fluido por el cilindro, la densidad del fluido, y la circulación. La circulación es la integral de línea de la velocidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al cilindro. Puede ser entendido como la cantidad total "hilado" del fluido alrededor del cilindro. En las descripciones del teorema Kutta-Joukowski el cilindro recto por lo general es limitado a un cilindro circular o un perfil alar.

El teorema se refiere al flujo bidimensional alrededor de un cilindro (o un cilindro de envergadura de ala infinito) y determina la sustentación generada por unidad de envergadura. Cuando se conoce la circulación ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$, la sustentación ${\displaystyle l}$ por unidad de envergadura del cilindro puede ser calculada en primera aproximación usando la ecuación siguiente:^[1]

${\displaystyle l=\rho V\mathrm{\Gamma }}$

donde ${\displaystyle \rho }$ es la densidad del fluido, ${\displaystyle V}$ es la velocidad del fluido a través del cilindro, y ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ es la circulación.

Kuethe y Schetzer declaran el teorema Kutta-Joukowski así:^[2]

La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre un cilindro recto de cualquier sección transversal tiene módulo ${\displaystyle \rho V\mathrm{\Gamma }}$ y dirección ortogonal a V.

Prueba formal del teorema se encuentra en los textos estándar.^[3] Sin embargo, como argumento de plausibilidad, considere una superficie sustentadora fina de cuerda ${\displaystyle c}$ y envergadura infinita, moviéndose a través del aire de densidad ${\displaystyle \rho }$. Deje el perfil alar ser inclinado al flujo de acercamiento a producir una velocidad de aire ${\displaystyle V}$ sobre un lado del perfil alar, y una velocidad de aire ${\displaystyle V+\mathrm{\Delta }V}$ del otro lado. La circulación es entonces

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }=(V+\mathrm{\Delta }V)c-(V)c=\mathrm{\Delta }Vc}$

La diferencia de presión ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P}$ entre los dos lados del perfil alar se puede encontrar mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli:

${\displaystyle \frac{\rho }{2}(V{)}^2+(P+\mathrm{\Delta }P)=\frac{\rho }{2}(V+\mathrm{\Delta }V{)}^2+P}$

${\displaystyle \frac{\rho }{2}(V{)}^2+\mathrm{\Delta }P=\frac{\rho }{2}(V^2+2\ast V\ast \mathrm{\Delta }V+\mathrm{\Delta }{V}^2)}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }P=\rho \ast V\ast \mathrm{\Delta }V}$ (ignorando ${\displaystyle \frac{\rho }{2}\mathrm{\Delta }{V}^2}$)

entonces la fuerza de sustentación por unidad de envergadura es

${\displaystyle l=\mathrm{\Delta }P\ast c=\rho \ast V\ast \mathrm{\Delta }V\ast c=\rho V\mathrm{\Gamma }}$

Una versión diferencial de este teorema se aplica sobre cada elemento de la placa y es la base de la teoría del perfil alar delgado.

En física, el teorema de Liouville es un resultado de la mecánica hamiltoniana sobre la evolución temporal de un sistema mecánico. Un conjunto de partículas con condiciones iniciales cercanas pueden representarse por la región conexa que ocupa en el espacio de fases. El teorema establece que dicha región mantendrá invariante su volumen a pesar de que se estirará y se encogerá a medida que cada partícula evolucione.

Introducción

Consideremos una región del espacio fásico que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria. Cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una región de forma diferente ubicada, además, en otra parte del espacio fásico. El teorema de Liouville afirma que a pesar de la traslación y el cambio de forma el «volumen» total de dicha región permanecerá invariante. Además debido a la continuidad de la evolución temporal si la región es conexa inicialmente seguirá siendo conexa todo el tiempo.

Casi todas las demostraciones usan el hecho de que la evolución temporal de una «nube» de puntos en el espacio fásico es de hecho una transformación canónica que cambiará la forma y posición de dicha nube, aunque mantendrá su volumen total.

Demostración directa

Una forma de probar que la evolución temporal es una transformación canónica, cosa relativamente sencilla, y a partir de ahí calcular directamente el determinante de dicho cambio de coordenadas, y probar que de hecho el determinante de dicha transformación es igual a 1, lo cual prueba la invariancia del volumen.

Demostración basada en la forma simpléctica

Otra forma de probar el teorema es tener en cuenta que la forma de volumen ${\displaystyle {\eta }_{\mathrm{\Gamma }}}$ del espacio fásico es el n-ésimo producto de la forma simpléctica, y que está de acuerdo con el teorema de Darboux se expresa como producto de pares de variables canónicamente conjugadas:

${\displaystyle {\eta }_{\mathrm{\Gamma }}=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigwedge }}\omega ={\omega }_1\wedge \cdots \wedge {\omega }_n=d{p}_1\wedge \cdots \wedge d{p}_n\wedge d{q}_1\wedge \cdots \wedge d{q}_n=d{P}_1\wedge \cdots \wedge d{P}_n\wedge d{Q}_1\wedge \cdots \wedge d{Q}_n}$

De donde se sigue que el determinante de la transformación es igual a 1 y, por tanto:

${\displaystyle \mathrm{\forall }V\subset \mathrm{\Gamma }:{\int }_V{d}^n\mathbf{q}{d}^n\mathbf{p}={\int }_{{\varphi }_{\tau }(V)}{d}^n\mathbf{Q}{d}^n\mathbf{P}}$ :\quad \int _{V}d^{n}\mathbf {q} d^{n}\mathbf {p} =\int _{\phi _{\tau }(V)}d^{n}\mathbf {Q} d^{n}\mathbf {P} }

Esta última expresión es esencialmente el enunciado del teorema de Liouville.

Ecuación de Liouville

El teorema de Liouville puede reescribirse en términos del corchete de Poisson. Esta forma alternativa, conocida como ecuación de Liouville, viene dada por:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}=-\{\rho ,H\}}$

o en términos del operador de Liouville, también llamado «Liouvilliano»:

${\displaystyle \hat{\mathbf{L}}=\sum _{i=1}^d\left[\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{p}_i}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{q}^i}-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{q}^i}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{p}_i}\right],}$

que lleva a la forma:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}+\hat{\mathbf{L}}\rho =0.}$

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica existe un resultado análogo al teorema de Liouville que describe la evolución de un estado mezcla. De hecho, se puede llegar a la versión mecano-cuántica de este resultado mediante la simple cuantización canónica. Aplicando ese procedimiento formal llegamos a al análogo cuántico del teorema de Liouville:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\rho =-\frac{i}{\hslash }[H,\rho ]}$

Donde ρ es la matriz densidad. Cuando se aplica el resultado al valor esperado de un observable, la correspondiente ecuación dada por el teorema de Ehrenfest toma la forma:

${\displaystyle \frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{i}{\hslash }⟨[H,A]⟩}$

Donde ${\displaystyle A}$ es un observable.

El teorema de Luttinger relaciona la densidad de partículas de un líquido de Fermi con el volumen de su superficie de Fermi.

En física de la materia condensada, el teorema de Luttinger^[1][2] es un resultado obtenido por J. M. Luttinger y J. C. Ward en 1960, y que tiene importantes aplicaciones en el campo del transporte de electrones. Surge frecuentemente en modelos teóricos de electrones correlacionados, como el de superconductores de alta temperatura o el del efecto fotoeléctrico, en el que se puede observar directamente una superficie de Fermi.

Definición

El teorema de Luttinger afirma que el volumen encerrado por la superficie de Fermi de un material es directamente proporcional a la densidad de partículas.

Mientras que el teorema es un resultado inmediato del principio de exclusión de Pauli en el caso de partículas no interaccionantes, sigue siendo cierto al tener en consideración interacciones entre partículas cuando se adopta la definició adecuada de superficie de Fermi y densidad de partículas. Específicamente, en el caso interaccionante, la superficie de Fermi debe definirse de acuerdo al criterio en que

${\displaystyle G(\omega =0,p)\to 0}$ or ${\displaystyle \mathrm{\infty },}$

donde ${\displaystyle G}$ es la función de Green de una partícula en términos de la frecuencia y el momento. En ese caso el teorema de Luttinger se puede reescribir en la forma^[3]

,

donde ${\displaystyle G}$ es la expresada anteriormente y ${\displaystyle d^{D}k}$ es el volumen diferencial del ${\displaystyle k}$-espacio en ${\displaystyle D}$dimensiones.