EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 TEOREMAS FÍSICA

El teorema de Fortescue o teorema de los componentes simétricas es uno de los teoremas más importantes en la ingeniería eléctrica. Se utiliza para simplificar el análisis de los sistemas de energía trifásicos no balanceados, pues permite escribir de forma general un sistema polifásico desbalanceado (con n fases) como la suma de n sistemas simétricos aplicando el principio de superposición, siempre y cuando las corrientes y tensiones del sistema se relacionen con impedancias lineales. De otro modo, el principio de superposición no es aplicable.

El teorema fue presentado por primera vez por Charles Legeyt Fortescue en un artículo presentado en 1918 titulado "Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks". El artículo fue adoptado en empresas del sector eléctrico usándose en el ajuste del sistema de protecciones y dimensionamiento de equipos.

Expandiendo un diagrama de una línea para mostrar la secuencia positiva, secuencia negativa e impedancias de secuencia cero de generadores y transformadores y otros dispositivos, en el análisis las condiciones de desbalanceo de la línea sencilla a tierra por una falla o fuga de corriente de corto circuito se simplifica considerablemente. La técnica también puede extenderse su uso para sistemas con mayor cantidad de fases.

Físicamente, en un sistema trifásico, un conjunto de corrientes positivas producen un campo rotatorio normal, un conjunto de corrientes negativas producen un campo con rotación opuesta y la secuencia cero produce un campo que oscila pero no gira. Desde que estos efectos pueden ser detectados físicamente, la herramienta matemática llegó a ser la base para el diseño de relevadores de protección, los cuales usan voltaje y corrientes de secuencia negativa como un indicador confiable de condiciones de falla. Dichos relevadores deben ser usados para activar los disyuntores o interruptores automáticos o seguir otros pasos para proteger sistemas eléctricos. La técnica analítica fue adoptada y mejorada por ingenieros de General Electric y Westinghouse y después de la Segunda Guerra Mundial, el método fue aceptado para el análisis de sistemas asimétricos.

Demostración

El estudio de máquinas eléctricas rotativas depende en gran parte del sistema de coordenadas elegido. Según donde se han elegido tres fasores cooplanares y congruentes en un punto, existen seis grados de libertad: la magnitud y ángulo para cada uno de ellos. Si se elige por ejemplo una condición que puede ser que la suma de los tres fasores sea nula, uno de estos está determinado por la suma de los otros dos, con lo que se han eliminado dos grados de libertad.

Para un sistema general de ${\displaystyle n}$ fasores coplanares y congruentes en un punto, por tanto, existirán ${\displaystyle 2\cdot n}$ grados de libertad. Es posible, por medio de una transformación escribir los ${\displaystyle n}$ vectores como ${\displaystyle n}$ sistemas con un punto en común.

Aplicación en sistemas trifásicos

Este teorema es usado de forma intensiva en el análisis de fallas en sistemas de potencia trifasicos y en el análisis de máquinas eléctricas trifasicas bajo condiciones no balanceadas.

El teorema de Fortescue establece que si se tiene un sistema trifasico cualquiera donde sus componentes simples sean ${\displaystyle I_a}$, ${\displaystyle I_b}$ e ${\displaystyle I_c}$, el sistema se puede representar de la siguiente manera así:

${\displaystyle I_a=I_a^0+I_a^{+}+I_a^{-}}$

${\displaystyle I_b=I_b^0+I_b^{+}+I_b^{-}}$

${\displaystyle I_c=I_c^0+I_c^{+}+I_c^{-}}$

donde ${\displaystyle I_a^0}$, ${\displaystyle I_b^0}$, ${\displaystyle I_c^0}$ constituyen un sistema en el cual ${\displaystyle I_a^0}$=${\displaystyle I_b^0}$=${\displaystyle I_c^0}$ (iguales en magnitud y en fase). ${\displaystyle I_a^{+}}$, ${\displaystyle I_b^{+}}$, ${\displaystyle I_c^{+}}$ constituyen un sistema de secuencia positivo, en el cual se cumple que ${\displaystyle I_b^{+}=a^2\cdot I_a^{+}}$ y ${\displaystyle I_c^{+}=a\cdot I_a^{+}}$.

De forma matemática el teorema se escribe como sigue;

Donde ${\displaystyle I_a}$, ${\displaystyle I_b}$ e ${\displaystyle I_c}$ representan el sistema desbalanceado que se quiere representar como uno equilibrado, ${\displaystyle I_a^{+}}$ se denomina sistema de secuencia positiva o directa, ${\displaystyle I_a^{-}}$ sistema de secuencia negativo inversa e ${\displaystyle I_a^0}$ sistema de secuencia cero u homopolar. El operador a representa el desfase 120°. Su valor es ${\displaystyle a=\frac{-1+j\sqrt{3}}{2}}$. Aunque el signo de este desfase será diferente en función de si operamos con senos o cosenos. Esto se debe a que el desfase entre seno y coseno es de 90°.

Para que exista componente de secuencia homopolar el sistema tiene que ser desequilibrado (suma de los componentes del sistema no nula).

En mecánica cuántica, el teorema de Hellmann–Feynman relaciona la derivada de la energía total de un sistema con respecto a un parámetro con el valor esperado de la derivada del hamiltoniano con respecto al mismo parámetro. Su aplicación más común es el cálculo de fuerzas en moléculas, donde los parámetros son las posiciones de los núcleos, en lo que se conoce como mecánica molecular: una vez se resuelve la ecuación de Schrödinger, todas las fuerzas se pueden calcular usando conceptos de electromagnetismo clásico.

El teorema ha sido probado independientemente por muchos autores, incluyendo a Paul Güttinger (1932),^[1] Wolfgang Pauli (1933),^[2] Hans Hellmann (1937)^[3] y Richard Feynman (1939).^[4]

El teorema es el siguiente:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }\lambda }=\int {\psi }^{\ast }(\lambda )\frac{\mathrm{\partial }{\hat{H}}_{\lambda }}{\mathrm{\partial }\lambda }\psi (\lambda )d\tau ,}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }\lambda }=\frac{⟨\psi |\frac{\mathrm{\partial }{\hat{H}}_{\lambda }}{\mathrm{\partial }\lambda }|\psi ⟩}{⟨\psi |\psi ⟩}}$

donde:

• ${\displaystyle {\hat{H}}_{\lambda }}$ es un operador hamiltoniano que depende de un parámetro continuo ${\displaystyle \lambda }$,
• ${\displaystyle \psi (\lambda )}$ es una función de ondas, función propia del hamiltoniano, que depende implícitamente de ${\displaystyle \lambda }$,
• ${\displaystyle E}$ es la energía del sistema, valor propio de la función de ondas,
• ${\displaystyle d\tau }$ implica una integración sobre todo el dominio de la función de ondas.

Demostración

La demostración del teorema de Hellmann-Feynman requiere que la Función de onda sea una autofunción del Hamiltoniano a considerar; sin embargo, también es posible demostrar de forma más general que el teorema se cumple para funciones de onda no propias que son estacionarias (con derivada parcial igual a cero) para todas las variables relevantes (como las rotaciones orbitales). La función de onda de Hartree-Fock es un ejemplo importante de una autofunción aproximada que satisface igualmente al teorema de Hellman-Feynmann. Un ejemplo notable de cuando no es aplicable el teorema es, por ejemplo, la teoría de perturbación de Møller-Plesset de orden finito, la cual es no variacional. ^[5]

La demostración emplea una identidad de las funciones de onda normalizadas que muestra que las derivadas del sobrelapamiento de la función de onda consigo misma deben ser cero. Usando la notación de Dirac estas dos condiciones se representan como

${\displaystyle {\hat{H}}_{\lambda }|{\psi }_{\lambda }⟩=E_{\lambda }|{\psi }_{\lambda }⟩}$

${\displaystyle ⟨{\psi }_{\lambda }|{\psi }_{\lambda }⟩=1\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda }⟨{\psi }_{\lambda }|{\psi }_{\lambda }⟩=0}$

La demostración se realiza mediante la aplicación de la regla del producto de la derivada al valor esperado del Hamiltoniano como función de ${\displaystyle \lambda }$:

El Teorema de Kirkwood-Frohlich considera las moléculas como dipolos permanentes sumergidos en un medio con una constante dieléctrica de alta frecuencia ${\displaystyle {\epsilon }_{\mathrm{\infty }}}$. El momento dipolar de cada dipolo es afectado por el valor de la polarización debido a la reacción con el cambio en la fase gas.

Se toman regiones esféricas en las que se alojan las moléculas y por medio de un tratamiento de mecánica estadística se estudian los detalles y el material no incluido en las esferas se considera como un continuo. El momento dipolar está dado en fase gaseosa por:

${\displaystyle \frac{9kT(\epsilon -{\epsilon }_0)(2\epsilon +{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})}{4\pi N\epsilon ({\epsilon }_{\mathrm{\infty }}+2{)}^2}=g{\mu }^2}$

Donde ${\displaystyle \epsilon }$ es la constante dieléctrica del volumen, N es la densidad dipolar, y g es el factor de correlación de Kirkwood.

En estudios realizados se determinaron valores entre tres y cuatro para la constante dieléctrica del agua en proteínas haciendo notorio que éstas son vistas como material puro con una constante dieléctrica baja.