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 TEOREMAS FÍSICA

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En teoría cuántica de campos y mecánica estadística, el teorema de Mermin-Wagner o teorema de Hohenberg–Mermin–Wagner establece que las simetrías continuas no pueden ser rotas espontáneamente a temperatura finita en sistemas con interacciones de corto alcance en dimensiones ${\displaystyle d⩽2}$. Esto es porque si ocurriera tal ruptura de simetría espontánea, entonces los bosones de Goldstone tendrían una función de correlación con una divergencia infrarroja.

La ausencia de ruptura instantánea en sistemas con ${\displaystyle d⩽2}$ fue probado por Pierre Hohenberg, N. David Mermin and Herbert Wagner en física estadística. Este teorema no se puede aplicar con simetrías discretas lo cual puede verse en el modelo de Ising en dos dimensiones.

Introducción

Considere el campo escalar libre ${\displaystyle \varphi }$ de masa m en dos dimensiones euclidianas. Su propagador es:

${\displaystyle G(x)=⟨\varphi (x)\varphi (0)⟩=\int \frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}\frac{e^{ik\cdot x}}{k^2+m^2}}$

Para m pequeña, G es una solución de la ecuación de Laplace:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{2}G=\delta (x)}$

Esto es porque el propagador es el recíproco de ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2}$ en el espacio k. Al usar la ley de Gauss, se define el campo análogo como ${\displaystyle E=\mathrm{\nabla }G}$. La divergencia del campo eléctrico es cero. En dos dimensiones, usando un anillo Gaussiano más grande:

${\displaystyle E=\frac{1}{2\pi r}}$

Tal que la función G tiene una divergencia logarítmica para r grande y pequeño. ${\displaystyle G(r)=\frac{1}{2\pi }\log (r)}$

La interpretación de la divergencia es que las fluctuaciones del campo no pueden estar centradas alrededor de la media. Si se inicia en un punto donde el campo tiene valor 1, la divergencia nos dice que se está yendo lejos, el campo está arbitrariamente lejos del valor de inicio. Esto hace un campo escalar sin masa en dos dimensiones un poco más difícil de definir matemáticamente. Esto pasa también en una dimensión, cuando el campo es escalar en una dimensión, sigue un camino azaroso en el tiempo. Un camino azaroso también se mueve arbitrariamente lejos de su punto de inicio, tal que un escalar en una o dos dimensiones no tiene un valor promedio bien definido.

Si el campo es un ángulo, ${\displaystyle \theta }$, como pasa en el modelo del sombrero Mexicano donde el campo complejo ${\displaystyle A=R{e}^{i\theta }}$ tiene un valor de expectación que es libre de caer en la dirección ${\displaystyle \theta }$, el ángulo ${\displaystyle \theta }$ será azaroso a distancias grandes. Este es el teorema de Mermin-Wagner: No hay ruptura instantánea de una simetría continua en dos dimensiones.

Transición de Kosterlitz–Thouless

Main article: Transición de Kosterlitz–Thouless

Otro ejemplo es el del modelo XY. El teorema de Mermin–Wagner previene cualquier ruptura de simetría instantánea de los modelos con simetría U(1). Sin embargo, no previene la existencia de cualquier transición de fase. De hecho el modelo tiene dos fases: una fase desordenada convencional a alta temperatura, y una a baja temperatura con orden de pseudo largo alcance.

Modelo de Heisenberg

Véase también: Interacción de canje#Hamiltoniano de Heisenberg

Consideremos el modelo de Heisenberg en d dimensiones, esto es, un sistema de spines con n componentes ${\displaystyle {\mathbf{S}}_i}$ de longitud unitaria ${\displaystyle |{\mathbf{S}}_i|=1}$, localizado en el sitio de una red cuadrada d dimensional, con acoplamiento cercano J. Así, el Hamiltoniano es

${\displaystyle H=-J\sum _{⟨i,j⟩}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j}$

El nombre de este modelo viene de su simetría rotacional. Consideremos el comportamiento a temperatura baja de este sistema y asumamos que existe un rompimiento instantáneo, esto es, una fase donde todos los spines apuntan en la misma dirección, a lo largo del eje x. Entonces la simetría rotacional ${\displaystyle O(n)}$ del sistema se rompe instantáneamente, o se reduce a la simetría ${\displaystyle O(n-1)}$ bajo rotaciones alrededor de esta dirección. Podemos parametrizar el campo en términos de fluctuaciones independientes ${\displaystyle {\sigma }_{\alpha }}$ alrededor de esta dirección como sigue

${\displaystyle \mathbf{S}=\left(\sqrt{1-\sum _{\alpha }{\sigma }_{\alpha }^2},\{{\sigma }_{\alpha }\}\right),\alpha =1,2,\dots ,n-1}$

con ${\displaystyle |{\sigma }_{\alpha }|\ll 1}$ y expandimos en serie de Taylor el Hamiltonano resultante. Tenemos

${\displaystyle {\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j=\sqrt{\left(1-\sum _{\alpha }{\sigma }_{i\alpha }^2\right)\left(1-\sum _{\alpha }{\sigma }_{j\alpha }^2\right)}+\sum _{\alpha }{\sigma }_{i\alpha }{\sigma }_{j\alpha }=1-\frac{1}{2}\sum _{\alpha }\left({\sigma }_{i\alpha }^2+{\sigma }_{j\alpha }^2\right)+\sum _{\alpha }{\sigma }_{i\alpha }{\sigma }_{j\alpha }+\mathcal{O}({\sigma }^4)=1-\frac{1}{2}\sum _{\alpha }({\sigma }_{i\alpha }-{\sigma }_{j\alpha }{)}^2+\dots }$

donde

${\displaystyle H=H_0+\frac{1}{2}J\sum _{⟨i,j⟩}\sum _{\alpha }({\sigma }_{i\alpha }-{\sigma }_{j\alpha }{)}^2+\dots }$

Ignorando la constante irrelevante ${\displaystyle H_0=-JNd}$ y pasando al límite continuo, dado que estamos interesados en la fase a baja temperatura donde las fluctuaciones onda larga dominan, tenemos

${\displaystyle H=\frac{1}{2}J\int d^{d}x\sum _{\alpha }(\mathrm{\nabla }{\sigma }_{\alpha }{)}^2+\dots }$

Las fluctuaciones del campo ${\displaystyle {\sigma }_{\alpha }}$ son llamadas ondas de spin y pueden reconocerse como bosones de Goldstone. Además ellos son n-1 en número y tienen masa cero ya que no hay término de masa en el Hamiltoniano.

Para saber si esta fase hipotética existe necesitamos verificar si nuestras asunciones son autoconsistentes, esto es si el valor de expectación de la magnetización, calculado en este marco, es finito como se asumió. Para este fin necesitamos calcular la corrección a primer orden de la magnetización debido a las fluctuaciones. Este es el procedimiento seguido en la derivación del criterio de Ginzburg.

El modelo es Gaussiano a primer orden y la función de correlación del espacio de momento es proporcional a ${\displaystyle 1/k^2}$. Así la función de correlación del espacio real para cada uno de estos modelos es

${\displaystyle ⟨{\sigma }_{\alpha }(r){\sigma }_{\alpha }(0)⟩=\frac{1}{\beta J}\underset{}{\overset{1/a}{\int }}\frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}}{k^2}}$

donde a es el espaciamiento de la red. La magnetización promedio es ${\displaystyle ⟨S_1⟩=1-\frac{1}{2}\sum _{\alpha }⟨\sigma {\alpha }^2⟩+\dots }$ y la corrección a primer orden puede calculare fácilmente

${\displaystyle \sum _{\alpha }⟨\sigma {\alpha }^2(0)⟩=(n-1)\frac{1}{\beta J}\underset{}{\overset{1/a}{\int }}\frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{k^2}}$

La integral anterior es proporcional a

${\displaystyle \underset{}{\overset{1/a}{\int }}{k}^{d-3}dk}$

y es finita para d>2, pero es logarítmicamente divergente para ${\displaystyle d⩽2}$. Sin embargo, esto es un artificio para la aproximación lineal. En un tratamiento más cuidadoso, la magnetización promedio es cero.

Concluímos que para ${\displaystyle d⩽2}$ nuestra suposición de que existe una fase de la magnetización instantánea es incorrecta para todo T>0, porque las fluctuaciones son suficientemente fuertes para destruir la ruptura de simetría instantánea. Este es el resultado general llamado teorema de Mermin–Wagner–Hohenberg:

No hay fase con ruptura instantánea de simetría continua para T>0, en ${\displaystyle d⩽2}$ dimensiones.

El resultado también puede extenderse a otras geometrías, como a las películas de Heisenberg con número arbitrario de capas, así como a otros sistemas de redes (modelo de Hubbard, modelo s-f). (Ver ref. [4])

Generalizaciones

Resultados mucho más fuertes que la ausencia de magnetización pueden ser probados, y la situación puede ser más general. En particular:

1. El Hamiltoniano puede ser invariante bajo la acción de un grupo de Lie arbitrario G compacto y conexo.

2. Interacciones de largo alcance pueden permitirse (si decaen suficientemente rápido).

En esta situación general, el teorema de Mermin–Wagner theorem admite la siguiente forma fuerte: Todos los estados de Gibbs (en un volumen infinito) asociados a este Hamiltoniano son invariantes bajo la acción de G.

Cuando se quita la suposición de que los grupos de Lie sean compactos, se tiene un resultado similar pero con la conclusión de que el volumen infinito de los estados de Gibbs no existe.

Finalmente, hay otras aplicaciones importantes de estas ideas y métodos, más notable es la prueba de que no pueden existir estados de Gibbs invariantes no traslacionales en sistemas de dos dimensiones. Un ejemplo típico es el de la ausencia de estados cristalinos en un sistema de discos duros (con posibles interacciones de atracción adicionales).

Se ha probado que las interacciones del tipo núcleo duro pueden llevar en general a violaciones del teorema de Mermin–Wagner.

Primera página del artículo de Emmy Noether «Invariante Variationsprobleme» (1918), donde demostró su teorema

El teorema de Noether es un resultado central en física teórica. Expresa que cualquier simetría diferenciable, proveniente de un sistema físico, tiene su correspondiente ley de conservación. El teorema se denomina así por la matemática Emmy Noether, que lo formuló en 1916.^[1] Además de permitir aplicaciones físicas prácticas, este teorema constituye una explicación de por qué existen leyes de conservación y magnitudes astronómicas físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal de un sistema físico.

Explicación

El teorema de Noether relaciona un par de ideas básicas de la física: (1) una es la invariancia de la forma que una ley física toma con respecto a cualquier transformación (generalizada) que preserve el sistema de coordenadas (aspectos espaciales y temporales tomados en consideración), y la otra es (2) la ley de conservación de una magnitud física.

Informalmente, el teorema de Noether se puede establecer como: A cada simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y viceversa. El enunciado formal del teorema deriva una expresión para la magnitud física que se conserva (y, por lo tanto, también la define) de la condición de invariancia solamente. Por ejemplo:

• la invariancia con respecto a la (dirección del eje de) rotación da la ley de conservación del momento angular.
• la invariancia de sistemas físicos con respecto a la traslación (dicho simplemente, las leyes de la física no varían con la localización en el espacio) da la ley de conservación del momento lineal.
• la invariancia con respecto a (la traslación en) el tiempo da la ley de conservación de la energía.

Al subir a la teoría cuántica de campos, la invariancia con respecto a la transformación general de gauge da la ley de la conservación de la carga eléctrica, etcétera. Así, el resultado es una contribución muy importante a la física en general, pues ayuda a proporcionar intuiciones de gran alcance en cualquier teoría general en física, con sólo analizar las diversas transformaciones que harían invariantes la forma de las leyes implicadas.

Rotaciones y momento angular

Cuando el lagrangiano de un sistema físico presenta simetría rotacional, es decir, existe un grupo de transformaciones isomorfo a un subgrupo unidimensional del grupo de rotaciones o grupo especial ortogonal, entonces existe una magnitud física conservada llamada momento angular que tiene un valor constante a lo largo de la evolución temporal. Es decir, dicha magnitud no cambia de valor a medida que el sistema evoluciona, razón por la cual dicha magnitud se llama constante del movimiento o magnitud conservada.

Traslaciones y momento lineal

Análogamente si el lagrangiano de un sistema físico es invariante bajo cierto grupo uniparamétrico de traslaciones entonces existe una componente del momento lineal paralela a dichas traslaciones que no varía con el tiempo, a medida que el sistema evoluciona. Es decir, a pesar de que el estado de movimiento de una partícula o el estado físico del sistema varíe, dicha magnitud física siempre mantiene el mismo valor, por complicada que sea la evolución del sistema.

Invariancia temporal y energía

De modo similar al caso anterior, la independencia del tiempo del lagrangiano, puede ser vista como una invariancia frente a "traslaciones temporales". En este caso la magnitud conservada es el Hamiltoniano o la integral de Jacobi-Painlevé. En un sistema natural si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo se tiene que la energía se conserva. Es decir, en cualquier evolución temporal del sistema la energía no cambia de valor.

Esbozo de demostración

Para un sistema con un número finito de grados de libertad y usando la representación en coordenadas supóngase que se tiene un grupo uniparamétrico G que transforma las coordenadas o variables dinámicas, dejando el lagrangiano invariante, en ese caso:

${\displaystyle {\varphi }_g(\mathcal{L})={\mathcal{L}}_{\alpha }(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})}$

Donde el grupo se ha parametrizado con el parámetro real ${\displaystyle G=\{g_{\alpha }|\alpha \in A\subset \mathbb{R}\}}$ entonces:

${\displaystyle 0=\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }\alpha }=\sum _i\left(\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }{q}_i}\frac{\mathrm{\partial }{q}_i}{\mathrm{\partial }\alpha }+\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{L}}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}\frac{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_i}{\mathrm{\partial }\alpha }\right)}$

Empleando las ecuaciones de Euler-Lagrange, el primer término puede reescribirse:

Por tanto, la última cantidad en forma de sumatorio es una constante del movimiento ya que su derivada temporal es cero. Los otros casos del teorema de Noether en esencia repiten los mismos pasos, expresando la derivada de la acción del grupo y construyendo una función que involucra a los momentos conjugados y elementos de un espacio vectorial isomorfo al álgebra de Lie del grupo de simetría.

Invariancia gauge y carga

En el contexto de la teoría cuántica de campos la existencia de una simetría gauge abstracta del lagrangiano que describe la interacción electromagnética implica que existe una magnitud conservada que puede identificarse con la carga eléctrica, dado que el grupo de simetría gauge del campo electromagnético es el grupo unitario U(1) la magnitud conservada es un escalar.

Análogamente, aunque ligeramente más complicado, es el caso de la interacción débil y la interacción fuerte, cuyos grupos de simetría gauge son SU(2) y SU(3), que no son conmutativos y llevan a la conservación de la carga de sabor y la carga de color.

Tratamiento formal en física clásica

Supóngase que se tiene un conjunto cerrado R de dimensión d y una variedad blanco o codominio ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ . Sea ${\displaystyle {\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}}$ el espacio de todas las funciones diferenciables de R a ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$. Para aclarar ideas particularicemos estas ideas en dos ámbitos diferentes:

• En mecánica clásica, R es un intervalo cerrado de ${\displaystyle \mathbb{R}}$ que representa el tiempo y la variedad blanco es el fibrado tangente del espacio de posiciones o espacio de configuración.
• En la teoría clásica de campos, R es una región del espacio-tiempo y la variedad blanco es el conjunto de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m campos escalares real-valorados, φ₁...,φ_m, entonces la variedad blanco podría ser ${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}({\mathbb{R}}^m)}$, dotada de la estructura topológica adecuada.

Para probar el teorema consideraremos el segundo de estos casos (el resultado para sistemas de partículas clásicas se puede probar particularizando la demostración esbozada aquí).

Paso 1: funcional de acción

Para ello, al estar tratando un sistema físico existirá un funcional de acción que describe el sistema. Matemáticamente este funcional resulta ser una aplicación del tipo:

${\displaystyle S:{\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}⟶\mathbb{R}}$,

Para conseguir la versión usual del teorema de Noether, se necesitan restricciones adicionales en la acción física. Se supone que ${\displaystyle S[{\varphi }^K]}$ es la integral sobre R del lagrangiano del sistema físico:

${\displaystyle \mathcal{L}({\varphi }^K,{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K,x)}$

Este lagrangiano depende de las variables del campo ${\displaystyle {\varphi }^K}$ (siendo K un conjunto de índices tensoriales o de otro tipo, según el tipo de campo), sus derivadas ${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K}$ y la posición en R. Es decir ${\displaystyle {\varphi }^K\in {\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}}$:

${\displaystyle S[\varphi ]\equiv {\int }_R\mathcal{L}({\varphi }^K(x),{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K(x),x)d^{n}x}$

Suponiendo dadas condiciones de contorno, que son básicamente una especificación del valor de ${\displaystyle {\varphi }^K}$ en el borde de R si es compacta, o un cierto límite en ${\displaystyle {\varphi }^K}$ cuando x se acerca a ∞, que permitirá hacer la integración por partes). Podemos denotar por ${\displaystyle {\mathcal{R}}_{\mathrm{\Gamma }}}$ el subconjunto de ${\displaystyle {\mathcal{C}}_{\mathrm{\Gamma }}}$ que consiste en las funciones ${\displaystyle {\varphi }^K}$ tales que todas las derivadas funcionales de S en ${\displaystyle {\varphi }^K}$ son cero y ${\displaystyle {\varphi }^K}$ satisface las condiciones de contorno dadas.

Paso 2: funcional de acción

Ahora, suponga que tenemos una transformación infinitesimal sobre ${\displaystyle \mathcal{C}}$, dada por la derivada funcional, δ tal que:

${\displaystyle \delta {\int }_R{d}^{n}x\mathcal{L}={\int }_{\mathrm{\partial }R}d{S}_{\mu }{f}^{\mu }({\varphi }^K(x),\mathrm{\partial }{\varphi }^K,\mathrm{\partial }\mathrm{\partial }{\varphi }^K,...)}$

para todas las subvariedades compactas R. Entonces, decimos que δ es un generador de un grupo de Lie uniparamétrico. Ahora, para cualquier N, debido al teorema de Euler-Lagrange, tenemos:

${\displaystyle \delta {\int }_R{d}^{n}x\mathcal{L}={\int }_R{d}^{n}x\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\varphi }-{\mathrm{\partial }}_{\mu }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}\right)\delta {\varphi }^K+{\int }_{\mathrm{\partial }R}d{S}_{\mu }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}={\int }_{{\mathrm{\partial }}_R}d{S}_{\mu }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}}$.

Paso 3: Corriente conservada

Puesto que la última expresión es cierta para cualquier R, tenemos:

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{\mu }\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }^K)}-f^{\mu }\right)=0}$.

Se puede reconocer inmediatamente esto como la ecuación de continuidad para la corriente

${\displaystyle J^{\mu }\equiv \frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\varphi )}-f^{\mu }}$

que se llama la corriente de Noether asociada a la simetría. La ecuación de continuidad dice que si se integra esta corriente sobre una "rebanada" (hipersuperficie) de tipo espacio, se consigue una magnitud conservada llamada la carga de Noether (suponiendo, por supuesto, que si R es no compacto, las corrientes decaen suficientemente rápido en el infinito).

Tratamiento formal en física cuántica

En física cuántica la descripción de un sistema se realiza mediante el lagrangiano cuántico que es un funcional definido sobre el espacio de Hilbert relevante para el sistema. Cuando dicho lagrangiano es invariante respecto a un grupo uniparamétrico de aplicaciones unitarias de dicho espacio de Hilbert, entonces cada uno de los generadores ${\displaystyle {\hat{G}}_i}$ del álgebra de Lie de dicho grupo es un observable que es una constante del movimiento en el sentido de que:

${\displaystyle \frac{d{\hat{G}}_i}{dt}=\frac{\mathrm{\partial }{\hat{G}}_i}{\mathrm{\partial }t}+[{\hat{G}}_i,\hat{H}]=0}$

Podemos exponer una transformación que sea mezcla de diferentes campos:

${\displaystyle {\varphi }_{\alpha }(x)\to {\varphi }_{\alpha }^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-\dot{ı}ϵq_{\alpha \beta }}{\varphi }_{\beta };\delta {\varphi }_{\alpha }(x)=-\dot{ı}ϵq_{\alpha \beta }{\varphi }_{\beta }(x)}$ ;\qquad \delta \phi _{\alpha }(x)=-{\dot {\imath }}\epsilon q_{\alpha \beta }\phi _{\beta }(x)}

donde ${\displaystyle ϵ}$ es un parámetro infinitesimal y los ${\displaystyle q_{\alpha \beta }}$ están fijados.

Si ${\displaystyle \mathcal{L}}$ es invariante bajo la transformación, entonces ${\displaystyle \delta \mathcal{L}=ϵ{\mathrm{\partial }}_{\mu }{j}^{\mu }(x)=0,}$ donde

${\displaystyle j^{\mu }(x)=\frac{1}{ϵ}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\left({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }_{\alpha }\right)}\delta {\varphi }_{\alpha }(x)=-\dot{ı}\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\left({\mathrm{\partial }}_{\mu }{\varphi }_{\alpha }\right)}{q}_{\alpha \beta }{\varphi }_{\beta }.}$

Todo esto significa que la carga del sistema se conservará:

${\displaystyle \mathcal{Q}={\int }_{\chi }{j}^0(x)dx=-\dot{ı}{\int }_{\chi }\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }\left({\mathrm{\partial }}_0{\varphi }_{\alpha }\right)}{q}_{\alpha \beta }{\varphi }_{\beta }dx}$

La naturaleza física de la corriente ${\displaystyle j^{\mu }(x)}$ y de la carga ${\displaystyle \mathcal{Q}}$ vendrá dada por una forma específica de la transformación.