EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 TEOREMAS FÍSICA

Ilustración del teorema de Steiner:
El eje de rotación 1 pasa por el centro de masas del cuerpo de masa ${\displaystyle m}$.
El eje de rotación 2 está desplazado la distancia d.
${\displaystyle I_2=I_1+m{d}^2}$

El teorema del eje paralelo, también conocido como teorema de Huygens–Steiner, o simplemente como teorema de Steiner,^[1] (nombrado así en referencia a Christiaan Huygens y Jakob Steiner), puede utilizarse para determinar el momento de inercia o segundo momento de área de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje, a partir del momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase a través del centro de masas del objeto, de la masa del objeto y de la distancia medida perpendicularmente entre ambos ejes.

Enunciado

Momentos de inercia

Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión:

${\displaystyle I_{z,P}=I_{z,G}+m{r}^2}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle I_{z,P}}$	Momento de inercia del cuerpo según el eje que no pasa a través de su centro de masas
${\displaystyle I_{z,G}}$	Momento de inercia del cuerpo según un eje que pasa a través de su centro de masas
${\displaystyle m}$	Masa del objeto
${\displaystyle r}$	Distancia perpendicular entre los dos ejes

El resultado anterior puede extenderse al cálculo completo del tensor de inercia. Dado una base vectorial B, el tensor de inercia según esa base respecto al centro de masas y respecto a un punto diferente del centro de masas están relacionados por la relación:

${\displaystyle {\mathbf{I}}_O={\mathbf{I}}_G+m(\Vert \mathit{O}\mathit{G}{\Vert }^2\mathbf{U}-\mathbf{O}\mathbf{G}\otimes \mathbf{O}\mathbf{G})}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mathit{O}\mathit{G}}$	Vector con origen en O y extremo en G
${\displaystyle \mathbf{U}}$	Matriz identidad

Segundo momento de área

La regla puede ser aplicada con la regla de extensión y el teorema de los ejes perpendiculares para encontrar momentos de inercia de una variedad de formas.

Regla de los ejes paralelos para el momento de inercia

La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar). Para una región plana "D":

${\displaystyle I_z=I_x+A{r}^2,}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle I_z}$	Momento de inercia planar de D relativo al eje paralelo
${\displaystyle I_x}$	Momento de inercia planar de D relativa a su centroide
${\displaystyle A}$	Área de una región plana D
${\displaystyle r}$	Distancia del nuevo eje z al centroide de la región plana D

Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija. Con la misma forma que tiene densidad uniforme.

Tensor de inercia

En mecánica clásica, el teorema de Steiner (también como teorema de Huygens-Steiner) puede ser generalizado para calcular un nuevo tensor de inercia J_ij a partir de un tensor de inercia sobre el centro de masas I_ij cuando el punto pivotante es un desplazamiento a del centro de masas:

${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m(\Vert \mathit{a}{\Vert }^2{\delta }_{ij}-a_i{a}_j)}$

Donde

${\displaystyle \mathit{a}=a_1\hat{\mathit{x}}+a_2\hat{\mathit{y}}+a_3\hat{\mathit{z}}}$

Es el vector desplazamiento del centro de masas al nuevo eje, y

${\displaystyle {\delta }_{ij}}$

Es la función delta de Kronecker.

Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando i = j), desplazamientos perpendiculares al eje de rotación resultan en la versión simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner.

Demostración

Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesianas la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

${\displaystyle I_{z,cm}=\int (x^2+y^2)\text{d}m}$

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:

${\displaystyle I_z=\int ((x-r{)}^2+y^2)\text{d}m}$

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

${\displaystyle I_z=\int (x^2+y^2)\text{d}m+r^2\int \text{d}m-2r\int x\text{d}m}$

El primer término es I_cm, el segundo término queda como mr², y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

${\displaystyle I_z=I_{cm}+m{r}^2}$

Generalización

Para los momentos de tercer orden ${\displaystyle J_{ijk}}$ se tiene la expresión:

${\displaystyle J_{ijk}=J_{ijk}^{(CM)}+A{d}_i{d}_j{d}_j+\frac{1}{2}\sum {ϵ}_{ijk}{I}_{ij}^{(CM)}{d}_k}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle J_{ijk}^{(CM)}}$	Momentos de tercer orden respecto al centro de masa
${\displaystyle I_{ij}^{(CM)}}$	Momentos de segundo orden respecto al centro de masa
${\displaystyle {ϵ}_{ijk}}$	Símbolo de Levi-Civita

Si para el cálculo anterior se usan ejes paralelos a los ejes principales de inercia, se tiene: ${\displaystyle J_{ijk}=J_{ijk}^{(CM)}+A{d}_i{d}_j{d}_j.}$ ||left}}

Aplicaciones

Ingeniería Estructural y Civil

Cálculo de secciones compuestas: Permite determinar el momento de inercia de vigas con formas complejas (como vigas en I, T o L) dividiéndolas en rectángulos más simples. Resistencia de materiales: Se utiliza para analizar la rigidez y la resistencia a la flexión de estructuras, ya que el momento de inercia define cómo se distribuye la masa respecto al eje de carga.

Ingeniería Mecánica y Diseño de Maquinaria

Dinámica de rotación: Es esencial para calcular la inercia de componentes que no giran sobre su propio centro, como engranajes excéntricos, bielas o volantes de inercia. Simplificación de cálculos: Dado que los momentos de inercia respecto al centroide suelen estar tabulados, el teorema evita realizar integrales complejas para cada nuevo eje de rotación.

Robótica y Aeroespacial

Sistemas multicuerpo: En robótica, ayuda a calcular el tensor de inercia de los eslabones de un brazo robótico cuando estos rotan alrededor de sus articulaciones, las cuales raramente coinciden con el centro de masa del eslabón. Estabilidad de satélites: Se emplea para ajustar el equilibrio y la rotación de naves espaciales mediante la reubicación de masas o el análisis de componentes móviles.

Aplicaciones en Física Experimental

Péndulos compuestos: Se aplica para hallar el periodo de oscilación de objetos que oscilan desde un punto que no es su centro de gravedad. Determinación de constantes: Se usa en laboratorios para medir la constante recuperadora de muelles o el radio de giro de sólidos con geometrías irregulares. Nota importante: Para que el teorema sea válido, el eje de referencia debe ser paralelo al eje que pasa por el centro de masas.

Edgar Buckingham

El teorema Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades pertenecientes a las magnitudes fundamentales como longitud, masa o tiempo, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales.

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida, aunque la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no proporciona información sobre cuáles son más adecuados. Por lo tanto, hay una ambivalencia en cuáles son estos nuevos parámetros Π.

Además de la construcción de los parámetros adimensionales, este teorema afirma que cualquier ley física es independiente del sistema de unidades en las que se exprese.

Historia

Aunque nombrado por Edgar Buckingham, el teorema Π fue demostrado por segunda vez por el matemático francés J. Bertrand^[1] en 1878. Bertrand consideró solo casos especiales de problemas de electrodinámica y conducción de calor, pero su artículo contiene en términos claros todas las ideas básicas de la moderna prueba del teorema y una indicación de su utilidad para el modelado de fenómenos físicos. La técnica de usar el teorema ("el método de las dimensiones") llegó a ser ampliamente conocida debido a las obras de Rayleigh (la primera aplicación del teorema Π en el caso general^[2] a la dependencia de la caída de presión en una tubería regida por parámetros probablemente se remonta a 1892,^[3] y una prueba heurística con el uso de expansión de la serie, a 1894^[4]).

La generalización formal del teorema Π para el caso de muchas cantidades arbitrarias fue probado por primera vez por Aimé Vaschy en 1892,^[5] y luego en 1911 —al parecer de forma independiente— tanto por A. Federman^[6] y D. Riabouchinsky,^[7] y de nuevo en 1914 por Buckingham.^[8] Fue el artículo de Buckingham el que introdujo el uso del símbolo "Π_i" para las variables adimensionales (o parámetros), y es la causa del nombre del teorema.

Introducción

Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función f tal que:

(a)${\displaystyle f(A_1,A_2,\dots ,A_n)=0}$

en donde A_i  son las n  variables o magnitudes físicas relevantes, y se expresan en términos de k  unidades físicas fundamentales, de número máximo tres: longitud, masa, tiempo. Entonces la anterior ecuación se puede reescribir como:

${\displaystyle \tilde{f}({\mathrm{\Pi }}_1,{\mathrm{\Pi }}_2,\dots ,{\mathrm{\Pi }}_{n-k})=0}$

en donde ${\displaystyle {\mathrm{\Pi }}_i}$ son los parámetros adimensionales construidos de n − k  ecuaciones de la forma:

${\displaystyle {\mathrm{\Pi }}_i=A_1^{m_1}{A}_2^{m_2}\cdots A_n^{m_n}}$

en donde los exponentes m_i  son números enteros. El número de términos adimensionales construidos n - k es igual a la nulidad de la matriz dimensional en donde k es el rango de la matriz.

La notación de π_i como parámetros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su artículo de 1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante, la autoría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quien lo enunció en 1892.

Ejemplo

Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinámica o fuerza aerodinámica F_a sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geométrica, en función de su tamaño o dimensión característica d, la densidad del fluido ρ, la viscosidad η del mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberían explicar por sí mismas la resistencia aerodinámica se tiene relación matemática del tipo:^[9]

(2)${\displaystyle f(F_a,\rho ,\eta ,v,d)=0}$

Puesto que tenemos 5 variables relevantes ${\displaystyle n=5}$. Estas cinco variables no son dimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en términos de masa, tiempo y longitud que:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}[F_a]={\text{MLT}}^{-2}\\ [\rho ]={\text{ML}}^{-3}\\ [\eta ]={\text{ML}}^{-1}{\text{T}}^{-1}\\ [v]={\text{LT}}^{-1}\\ [d]=\text{L}\end{array}}$

en este caso se tiene por tanto ${\displaystyle k=3}$ ya que todas las magnitudes son reducibles a sólo 3 magnitudes dimensionales independientes. Esto implica que existen ${\displaystyle n-k=2}$ combinaciones adimensionales tales que la relación (2) se puede reducir a la forma:

(3a)${\displaystyle \tilde{f}({\mathrm{\Pi }}_1,{\mathrm{\Pi }}_2)=0}$

Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como "básicas" y se forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos adimensionales. En este caso se toman como básicas por ejemplo ρ, v y d (aunque podría haberse hecho otra elección). Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes productos sean adimensionales:

(4)${\displaystyle \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Pi }}_1={\rho }^a{v}^b{d}^c{F}_a\\ {\mathrm{\Pi }}_2={\rho }^{\overline{a}}{v}^{\overline{b}}{d}^{\overline{c}}\eta \end{array}}$

La condición de adimensionalidad para ${\displaystyle {\mathrm{\Pi }}_1}$ lleva a que por ejemplo:

(5)${\displaystyle {\text{M}}^0{\text{L}}^0{\text{T}}^0=({\text{ML}}^{-3}{)}^a({\text{LT}}^{-1}{)}^b{\text{L}}^c({\text{MLT}}^{-2}{)}^1={\text{M}}^{a+1}{\text{L}}^{-3a+b+c+1}{\text{T}}^{-b-2}}$

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

(6)${\displaystyle \{\begin{array}{l}a+1=0\\ -3a+b+c+1=0\\ -b-2=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2\\ c=-2\end{array}}$

Análogamente para el parámetro ${\displaystyle {\mathrm{\Pi }}_2}$, se llega a que: ${\displaystyle \overline{a}=-1,\overline{b}=-1,\overline{c}=-1}$ y por tanto la relación buscada es:

(3b)${\displaystyle \tilde{f}\left(\frac{F_a}{\rho v^2{d}^2},\frac{\eta }{\rho vd}\right)=0}$

Si se asumen cierta condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la función anterior, podrá usarse el teorema de la función implícita para escribir las relaciones:

(7a)${\displaystyle \tilde{f}({\mathrm{\Pi }}_1,{\mathrm{\Pi }}_2)=0\Rightarrow {\mathrm{\Pi }}_1=\mathrm{\Phi }({\mathrm{\Pi }}_2)\Rightarrow \frac{F_a}{\rho v^2{d}^2}=\mathrm{\Phi }\left(\frac{\eta }{\rho vd}\right)\Rightarrow F_a=\rho v^2{d}^2\mathrm{\Phi }\left(\frac{\eta }{\rho vd}\right)}$

Esta última ecuación dice es consistente con la expresión común para la resistencia aerodinámica:

(7b)${\displaystyle F_a=\frac{1}{2}{C}_a\rho v^2{S}_{ef}}$

Donde, ${\displaystyle S_{ef}\propto d^2}$ y ${\displaystyle C_a=\mathrm{\Phi }(Re)}$ es una función del número de Reynolds que precisamente es proporcional al parámetro ${\displaystyle {\mathrm{\Pi }}_2^{-1}}$. Obviamente el teorema no es capaz de darnos todos los factores de proporcionalidad requeridos, ni la forma funcional exacta de algunas partes de la fórmula, pero simplifica mucho el conjunto de expresiones a partir de la cual tenemos que buscar los datos.

Uso práctico

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:

1. Contar el número de variables dimensionales n.
2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) k
3. Determinar el número de grupos adimensionales. Número de ${\displaystyle r=n-k}$.
4. Hacer que cada número ${\displaystyle {\mathrm{\Pi }}_i}$ dependa de n - k variables fijas y que cada uno dependa además de una de las k variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido, una geométrica y otra cinemática).
5. El número ${\displaystyle \mathrm{\Pi }}$ que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.
6. El modelo debe tener sus números adimensionales iguales a los del prototipo para asegurar similitud.
7. Se determina la dependencia del número adimensional requerido experimentalmente.

Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1874 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.

Primer teorema de Castigliano

Sea un cuerpo elástico ${\displaystyle K\in {\mathbb{R}}^3}$ sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P₁,...,P_n aplicados sobre los puntos del sólido A₁,...,A_n y llamamos ${\displaystyle U({\delta }_1,...,{\delta }_n)}$ a la energía potencial elástica o potencial interno donde ${\displaystyle {\delta }_i}$ es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto A_i en la dirección de la fuerza P_i. Entonces la fuerza ejercida P_i en el punto A_i viene dada por:

(1)${\displaystyle P_i=\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{\delta }_i}}$

Segundo teorema de Castigliano

Sea un cuerpo elástico-lineal e isótropo ${\displaystyle K\in {\mathbb{R}}^3}$ sobre el que actúan un conjunto de fuerzas ${\displaystyle P_1,P_2,...,P_n}$ aplicadas sobre los puntos del sólido ${\displaystyle i=\{1,2,...,n\}}$ y llamamos ${\displaystyle U(P_1,P_2,...,P_n)}$ a la energía potencial elástica o potencial interno. Entonces el desplazamiento o giro ${\displaystyle {\delta }_i}$ proyectado sobre la dirección de ${\displaystyle P_i}$ viene dada por:

${\displaystyle {\delta }_i=\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{P}_i}}$

Este teorema puede particularizarse a numerosos casos prácticos de forma algo más concreta, por ejemplo en la teoría de vigas Euler-Bernoulli se emplea la forma:

(2)${\displaystyle {\delta }_i=\frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{P}_i}={\int }_L\left(\frac{N_x}{EA}\frac{\mathrm{\partial }{N}_x}{\mathrm{\partial }{P}_i}+\frac{M_y}{E{I}_y}\frac{\mathrm{\partial }{M}_y}{\mathrm{\partial }{P}_i}+\frac{M_z}{E{I}_z}\frac{\mathrm{\partial }{M}_z}{\mathrm{\partial }{P}_i}\right)\text{d}s}$

donde:

${\displaystyle N_x(s),M_y(s),M_z(s)}$ representan los esfuerzos de sección (axial y flectores) a lo largo del eje baricéntrico de la viga.

${\displaystyle A,I_y,I_z}$ representan el área y los segundos momentos de área de la sección transversal de la viga.

${\displaystyle E}$ es el módulo de Young del material de la viga.

Demostración

Sea un cuerpo elástico-lineal e isótropo ${\displaystyle K\in {\mathbb{R}}^3}$ sobre el que actúan un conjunto de fuerzas ${\displaystyle P_1,P_2,...,P_n}$ aplicadas sobre los puntos del sólido ${\displaystyle i=\{1,2,...,n\}}$, generando una energía de deformación ${\displaystyle U}$ que es función de las cargas. Debido al comportamiento descrito, es válido el principio de superposición. Cuando las cargas se aplican al cuerpo, se van incrementando cuasiestáticamente desde cero hasta sus valores finales, generando los desplazamientos proporcionales. Si una vez terminado el proceso aplicamos a la carga i-ésima un incremento infinitesimal, la energía de deformación se incrementará igualmente según la expresión:

(3)${\displaystyle \mathrm{d}U={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{P}_i}}\mathrm{d}{P}_i}$

Donde ${\displaystyle \mathrm{\partial }U/\mathrm{\partial }{P}_i}$ es la tasa de cambio de ${\displaystyle U}$ con respecto a ${\displaystyle P_i}$ (debe ser una derivada parcial, ya que ${\displaystyle U}$ es función de todas las cargas). La energía de deformación final es:

(4)${\displaystyle U+\mathrm{d}U=U+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{P}_i}}\mathrm{d}{P}_i}$

Debido al principio de superposición, la energía de deformación total debe ser independiente del proceso seguido en la aplicación de las cargas. Estudiaremos por tanto el caso en el orden inverso. Así, aplicamos primero la carga ${\displaystyle \mathrm{d}{P}_i}$, lo que, como en un caso general la energía de deformación vale ${\displaystyle P\delta /2}$ (ya que la carga se aplica gradualmente), produce una igual a:

(5)${\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}{P}_i\mathrm{d}{\delta }_i}{2}}}$

Cuando se aplica el resto de cargas, éstas producirán una energía de deformación de igual valor al caso anterior, esto es, ${\displaystyle U}$. Sin embargo, como durante este proceso hemos tenido a la carga ${\displaystyle \mathrm{d}{P}_i}$ moviéndose una distancia ${\displaystyle {\delta }_i}$, tendremos que sumarle su trabajo, que por haber estado ${\displaystyle \mathrm{d}{P}_i}$ actuando siempre a tal valor, es de valor ${\displaystyle \mathrm{d}{P}_i{\delta }_i}$. Luego la energía total de deformación será la suma de todas éstas:

(6)${\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{d}{P}_i\mathrm{d}{\delta }_i}{2}}+U+\mathrm{d}{P}_i{\delta }_i}$

Y como dijimos, debido al principio de superposición, (6) debe ser igual a (3). Si además despreciamos los infinitésimos de segundo orden, por ser a su vez infinitesimalmente más pequeños que el resto de términos, obtenemos, despejando el desplazamiento i-ésimo el segundo teorema de Castigliano:

${\displaystyle U+{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{P}_i}}\mathrm{d}{P}_i={\displaystyle \frac{\mathrm{d}{P}_i\mathrm{d}{\delta }_i}{2}}+U+\mathrm{d}{P}_i{\delta }_i\Rightarrow {\delta }_i={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }U}{\mathrm{\partial }{P}_i}}}$