Un diagrama de Euler ( / ɔɪ l ər / , OY -lər ) es una esquemáticas medios de representación de conjuntos y sus relaciones. Por lo general, implican formas superpuestas, y se pueden escalar, de manera que el área de la forma sea proporcional al número de elementos que contiene. Son particularmente útiles para explicar jerarquías complejas y definiciones que se superponen. A menudo se confunden con los diagramas de Venn . A diferencia de los diagramas de Venn, que muestran todas las relaciones posibles entre diferentes conjuntos, el diagrama de Euler muestra solo las relaciones relevantes.
El primer uso de "círculos eulerianos" se atribuye comúnmente al matemático suizo Leonhard Euler (1707–1783). En los Estados Unidos, los diagramas de Venn y Euler se incorporaron como parte de la instrucción en la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático de los años sesenta. Desde entonces, también han sido adoptados por otros campos curriculares, como la lectura [1] , así como por organizaciones y empresas.
Los diagramas de Euler consisten en formas cerradas simples en un plano bidimensional en el que cada uno representa un conjunto o categoría. Cómo o si estas formas se superponen demuestra las relaciones entre los conjuntos. Solo hay 3 relaciones posibles entre 2 conjuntos; Totalmente inclusivo, parcialmente inclusivo y exclusivo. Esto también se conoce como contención, superposición o ninguna o, especialmente en matemáticas, puede denominarse subconjunto , intersección y separación .
Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Las curvas cuyas zonas interiores no se intersecan representan conjuntos disjuntos . Dos curvas cuyas zonas interiores se intersecan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está contenida completamente dentro de la zona interior de otra representa un subconjunto de ella.
Los diagramas de Venn son una forma más restrictiva de los diagramas de Euler. Un diagrama de Venn debe contener todas las 2 n zonas lógicamente posibles de superposición entre sus n curvas, representando todas las combinaciones de inclusión / exclusión de sus conjuntos constituyentes. Las regiones que no forman parte del conjunto se indican con un color negro, en contraste con los diagramas de Euler, donde la pertenencia al conjunto se indica mediante la superposición y el color. Cuando el número de conjuntos crece más allá de 3, un diagrama de Venn se vuelve visualmente complejo, especialmente en comparación con el diagrama de Euler correspondiente. La diferencia entre los diagramas de Euler y Venn se puede ver en el siguiente ejemplo. Toma los tres sets:
Los diagramas de Euler y Venn de esos conjuntos son:
En un contexto lógico, uno puede usar la semántica de la teoría de modelos para interpretar los diagramas de Euler, dentro de un universo de discurso . En los ejemplos a continuación, el diagrama de Euler muestra que los conjuntos Animal y Mineral están separados debido a que las curvas correspondientes son diferentes, y también que el conjunto de Cuatro patas es un subconjunto del conjunto de Animales s. El diagrama de Venn, que usa las mismas categorías de Animal , Mineral y Cuatro patas , no encapsula estas relaciones. Tradicionalmente, el vacío de un conjunto en los diagramas de Venn se representa sombreando en la región. Los diagramas de Euler representan el vacío.Ya sea por sombreado o por la ausencia de una región.
A menudo se imponen un conjunto de condiciones de buena formación; Estas son restricciones topológicas o geométricas impuestas en la estructura del diagrama. Por ejemplo, la conexión de zonas podría ser obligatoria, o la concurrencia de curvas o puntos múltiples podría ser prohibida, al igual que la intersección tangencial de curvas. En el diagrama adyacente, los ejemplos de pequeños diagramas de Venn se transforman en diagramas de Euler mediante secuencias de transformaciones; Algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, este tipo de transformación de un diagrama de Venn con sombreado en un diagrama de Euler sin sombreado no siempre es posible. Hay ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no se pueden dibujar utilizando curvas cerradas simples sin la creación de zonas no deseadas, ya que tendrían que tener gráficos duales no planos.
En matemáticas [ editar ]
Historia [ editar ]
Como se muestra en la ilustración de la derecha, Sir William Hamilton en sus Lectures póstumamente sobre Metafísica y lógica (1858–60) afirma erróneamente que el uso original de los círculos para "sensualizar ... las abstracciones de la lógica" (p. 180) no fue Leonhard Paul Euler (1707–1783), sino Christian Weise (1642–1708) en su Nucleus Logicae Weisianae que apareció en 1712 póstumamente; sin embargo, este último libro fue escrito en realidad por Johann Christian Lange en lugar de Weise. [2] [3] Hace referencia a las Cartas de Euler a una princesa alemana [Partie ii., Lettre XXXV., Ed. Cournot. - ED.] [Nb 1]
En la ilustración de Hamilton, las cuatro proposiciones categóricas que pueden aparecer en un silogismo como lo simbolizan los dibujos A, E, I y O son: [4]
- A: El Afirmativo Universal , Ejemplo: "Todos los metales son elementos".
- E: El Negativo Universal , Ejemplo: "Los metales no son sustancias compuestas".
- I: El Afirmativo Particular , Ejemplo: "Algunos metales son frágiles".
- O: El Negativo Particular , Ejemplo: "Algunos metales no son frágiles".
John Venn (1834–1923), en su Capítulo 11, Lógica simbólica, "Representación esquemática" de 1881 , comenta sobre la notable prevalencia del diagrama de Euler:
- "... de los primeros sesenta tratados lógicos, publicados durante el último siglo, más o menos, que fueron consultados para este fin: -algunos al azar, ya que eran los más accesibles: -que aparecían treinta y cuatro apelados en ayuda de Diagramas, casi todos estos hacen uso del Esquema Euleriano ". (Nota de pie de página 1 página 100)
Sin embargo, sostuvo, "la inaplicabilidad de este esquema para los propósitos de una lógica realmente general" (página 100) y en la página 101 observó que "encaja pero está mal incluso con las cuatro proposiciones de la lógica común a las que Normalmente se aplica ". Venn termina su capítulo con la observación ilustrada en los ejemplos a continuación: su uso se basa en la práctica y la intuición, no en una práctica algorítmica estricta :
- "De hecho ... esos diagramas no solo no encajan con el esquema ordinario de proposiciones que se emplean para ilustrar, sino que no parecen tener ningún esquema reconocido de proposiciones a los que se puedan asociar de manera consistente". (Pág. 124–125)
Finalmente, en su Capítulo XX, NOTAS HISTÓRICAS, Venn llega a una crítica crucial (en cursiva en la siguiente cita); observe en la ilustración de Hamilton que la O ( Negativo particular ) y I ( Afirmativo Particular ) simplemente se rotan:
- "Ahora llegamos a los conocidos círculos de Euler, que se describieron por primera vez en sus Cartas 102-105 de Lettres a une Princesse d'Allemagne . El punto débil de esto consiste en el hecho de que solo ilustran con rigor las relaciones reales de las clases. entre sí, en lugar del conocimiento imperfecto de estas relaciones que podemos poseer, o querer transmitir, por medio de la proposición. Por consiguiente, no encajarán con las proposiciones de la lógica común, sino que exigirán la constitución de un nuevo grupo de proposiciones elementales apropiadas ... Este defecto se debe haber notado desde el principio en el caso de lo afirmativo y negativo en particular, ya que el mismo diagrama se emplea comúnmente para representar a ambos, lo cual lo hace indistintamente bien ". (cursiva agregada: página 424)
(Sandifer 2003 informa que Euler también hace esas observaciones; Euler informa que su figura 45 (una intersección simple de dos círculos) tiene 4 interpretaciones diferentes). En cualquier caso, armado con estas observaciones y críticas, Venn demuestra (pp. 100-125) cómo derivó lo que se conoce como sus diagramas de Venn a partir de los "... diagramas de Euler pasados de moda". En particular da un ejemplo, que se muestra a la izquierda.
Para 1914, Louis Couturat (1868–1914) había etiquetado los términos como se muestran en el dibujo de la derecha. Además, también había etiquetado la región exterior (mostrada como a'b'c '). Explica sucintamente cómo usar el diagrama: uno debe tachar las regiones que van a desaparecer:
- "El método de VENN se traduce en diagramas geométricos que representan a todos los componentes, de modo que, para obtener el resultado, solo necesitamos eliminar (sombreando) aquellos que desaparecen con los datos del problema". (cursiva agregada p. 73)
Dadas las asignaciones de Venn, entonces, las áreas sin sombrear dentro de los círculos se pueden sumar para obtener la siguiente ecuación para el ejemplo de Venn:
- "No Y es Z y ALL X es Y: por lo tanto, No X es Z" tiene la ecuación x'yz '+ xyz' + x'y'z para el área sin sombrear dentro de los círculos (pero tenga en cuenta que esto no es del todo correcto; ver el siguiente párrafo).
En Venn, el 0º término, x'y'z ', es decir, el fondo que rodea los círculos, no aparece. En ninguna parte se discute o etiqueta, pero Couturat corrige esto en su dibujo. La ecuación correcta debe incluir esta área sin sombreado que se muestra en negrita:
- "No Y es Z y ALL X es Y: por lo tanto, No X es Z" tiene la ecuación x'yz '+ xyz' + x'y'z + x'y'z ' .
En el uso moderno, el diagrama de Venn incluye una "caja" que rodea todos los círculos; Esto se llama el universo del discurso o el dominio del discurso .
Couturat ahora observa que, de manera algorítmica directa (formal, sistemática), uno no puede derivar ecuaciones booleanas reducidas, ni muestra cómo llegar a la conclusión "No X es Z". Couturat concluyó que el proceso "tiene ... graves inconvenientes como método para resolver problemas lógicos":
- "No muestra cómo se exhiben los datos mediante la cancelación de ciertos constituyentes, ni muestra cómo combinar los constituyentes restantes para obtener las consecuencias buscadas. En resumen, solo sirve para mostrar un solo paso en el argumento, a saber, el ecuación del problema; no prescinde de los pasos anteriores, es decir, "el lanzamiento del problema en una ecuación" y la transformación de las premisas, ni de los pasos posteriores, es decir, las combinaciones que conducen a las diversas consecuencias. es de muy poca utilidad, ya que los constituyentes pueden representarse con símbolos algebraicos tanto como con regiones planas, y son mucho más fáciles de tratar en esta forma ". (p. 75)
Así, el asunto descansaría hasta 1952, cuando Maurice Karnaugh (1924–) se adaptaría y expandiría un método propuesto por Edward W. Veitch ; este trabajo se basaría en el método de la tabla de verdad definido con precisión en la tesis doctoral de Emil Post de 1921 "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" y la aplicación de la lógica proposicional para cambiar la lógica de (entre otros) Claude Shannon , George Stibitz , y Alan Turing . [nb 2]Por ejemplo, en el capítulo "Álgebra booleana" Hill y Peterson (1968, 1964) presentan las secciones 4.5ff "Establecer la teoría como ejemplo de álgebra booleana" y en ella presentan el diagrama de Venn con sombreado y todo. Dan ejemplos de diagramas de Venn para resolver problemas de circuitos de conmutación de ejemplo, pero terminan con esta declaración:
-
- "Para más de tres variables, la forma ilustrativa básica del diagrama de Venn es inadecuada. Sin embargo, las extensiones son posibles, sin embargo, la más conveniente es el mapa de Karnaugh, que se analizará en el Capítulo 6". (p. 64)
En el Capítulo 6, sección 6.4, "Representación del mapa de Karnaugh de funciones booleanas", comienzan con:
-
- "El mapa de Karnaugh 1 [ 1 Karnaugh 1953] es una de las herramientas más poderosas en el repertorio del diseñador lógico ... Un mapa de Karnaugh puede considerarse como una forma pictórica de una tabla de verdad o como una extensión de Venn. diagrama." (pp. 103-104)
La historia del desarrollo de Karnaugh de su método de "gráfico" o "mapa" es oscura. Karnaugh en su referencia de 1953 Veitch 1951, Veitch hizo referencia a Claude E. Shannon 1938 (esencialmente la tesis de Shannon's Master en MIT ) y Shannon, a su vez, hizo referencia, entre otros autores de textos lógicos, Couturat 1914. En el método de Veitch, las variables están ordenadas en un rectángulo o cuadrado como se describe en el mapa de Karnaugh , Karnaugh en su método cambió el orden de las variables para corresponder a lo que se conoce como (los vértices de) un hipercubo .
Ejemplo: diagrama de Euler a Venn y mapa de Karnaugh [ editar ]
Este ejemplo muestra los diagramas de Euler y Venn y el mapa de Karnaugh que deriva y verifica la deducción "No X s son Z s". En la ilustración y tabla se utilizan los siguientes símbolos lógicos:
- 1 se puede leer como "verdadero", 0 como "falso"
- ~ para NOT y abreviado a 'al ilustrar los términos mínimos, por ejemplo, x' = definido NOT x,
- + para OR booleano (del álgebra booleana : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1)
- & (Y lógico) entre proposiciones; en el mintems AND se omite de una manera similar a la multiplicación aritmética: por ejemplo, x'y'z = definido ~ x & ~ y & z (del álgebra de Boolean: 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, donde * se muestra para mayor claridad)
- → (IMPLICACIÓN lógica): lea como SI ... ENTONCES ..., o "IMPLICA", P → Q = definido NO P O Q
Dada una conclusión propuesta, como "No X es una Z ", se puede probar si es una deducción correcta mediante el uso de una tabla de verdad . El método más fácil es poner la fórmula de inicio a la izquierda (abreviarla como P) y poner la deducción (posible) a la derecha (abreviarla como Q ) y conectar los dos con una implicación lógica,es decir, P → Q , lea como IF P THEN Q . Si la evaluación de la tabla de verdad produce todos los 1 bajo el signo de implicación (→, el llamado conectivo principal ), entonces P → QEs una tautología . Dado este hecho, uno puede "separar" la fórmula de la derecha (abreviada como Q ) de la manera descrita a continuación en la tabla de verdad.
Dado el ejemplo anterior, la fórmula de los diagramas de Euler y Venn es:
- "No Y s son Z s" y "Todas las X s son Y s": (~ (y & z) y (x → y)) = definido P
Y la deducción propuesta es:
- "No X s son Z s": (~ (x & z)) = definido Q
Así que ahora la fórmula a evaluar puede abreviarse a:
- (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)): P → Q
- IF ("No Y s son Z s" y "Todas las X s son Y s") ENTONCES ("No X s son Z s")
| Cuadrado # | Venn, región de Karnaugh | X | y | z | (~ | (y | Y | z) | Y | (X | → | y)) | → | (~ | (X | Y | z)) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | x'y'z ' | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | x'y'z | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
| 2 | x'yz | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 3 | x'yz | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
| 4 | xy'z ' | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| 5 | xy'z | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 6 | xyz ' | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| 7 | xyz | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
En este punto, la implicación anterior P → Q (es decir, ~ (y & z) & (x → y)) → ~ (x & z) todavía es una fórmula, y la deducción - el "desprendimiento" de Q fuera de P → Q - no ha ocurrido. Pero dada la demostración de que P→ Q es tautología, el escenario ahora está listo para el uso del procedimiento de modus ponens para "separar" Q: "No X s son Z s" y prescindir de los términos de la izquierda. [nb 3]
El modus ponens (o "la regla fundamental de inferencia" [5] ) a menudo se escribe de la siguiente manera: los dos términos de la izquierda, P → Q y P , se llaman premisas (por convención, vinculados por una coma), el símbolo ⊢ significa "cede" (en el sentido de deducción lógica), y el término a la derecha se llama la conclusión :
- P → Q , P ⊢ Q
Para que el modus ponens tenga éxito, ambas premisas P → Q y P deben ser verdaderas . Porque, como se demostró anteriormente, la premisa P → Q es una tautología, la "verdad" siempre es el caso, sin importar cómo se valoren x, y, z, pero la "verdad" solo será el caso de P en aquellas circunstancias en las que P evalúa como "verdadero" (por ejemplo, filas 0 O 1 O 2 O 6 : x'y'z '+ x'y'z + x'yz' + xyz '= x'y' + yz '). [nb 4]
- P → Q , P ⊢ Q
- es decir: (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)), (~ (y & z) y (x → y)) ⊢ (~ (x & z))
- es decir: SI "No Y s son Z s" y "Todas las X s son Y s" ENTONCES "No X s son Z s", "No Y s son Z s" y "Todas las X s son Y s" ⊢ "No X s son Z s "
Ahora uno es libre de "separar" la conclusión "No X s son Z s", tal vez para usarlo en una deducción posterior (o como un tema de conversación).
El uso de la implicación tautológica significa que existen otras posibles deducciones además de que "No X s son Z s"; el criterio para una deducción exitosa es que los 1s debajo del conectivo sub-principal a la derecha incluyentodos los 1s debajo del conectivo sub-major a la izquierda (el conectivo mayor es la implicación que resulta en la tautología). Por ejemplo, en la tabla de verdad, en el lado derecho de la implicación (→, el símbolo conectivo principal), la columna en negrita debajo del símbolo conectivo sub-mayor " ~ " tiene los 1 iguales que aparecen en negrita. columna encarada debajo del conectivo sub-mayor del lado izquierdo & (filas 0 , 1 , 2y 6 ), más dos más (filas 3 y 4 ).
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