DIAGRAMAS

FEYNMAN DIAGRAMA

Monte Carlo [ editar ]

La integral de ruta define un algoritmo probabilístico para generar una configuración de campo escalar euclidiana. Elija al azar las partes reales e imaginarias de cada modo de Fourier en wavenumber k para que sea una variable aleatoria gaussiana con varianza 1/k ² . Esto genera una configuración φ _C ( k ) al azar, y la transformada de Fourier da φ _C ( x ) . Para campos escalares reales, el algoritmo debe generar solo uno de cada par φ ( k ), φ (- k ) , y hacer que el segundo sea el complejo conjugado del primero.

Para encontrar cualquier función de correlación, genere un campo una y otra vez mediante este procedimiento y encuentre el promedio estadístico:

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ right \ rangle = \ lim _ {| C | \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {C} \ phi _ {C} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {C} (x_ {n})} {| C |}}}

donde | C | es el número de configuraciones, y la suma es el producto de los valores de campo en cada configuración. La función de correlación euclidiana es la misma que la función de correlación en estadística o mecánica estadística. Las funciones de correlación mecánica cuántica son una continuación analítica de las funciones de correlación euclídeas.

Para los campos libres con una acción cuadrática, la distribución de probabilidad es un Gaussiano de alta dimensión, y el promedio estadístico viene dado por una fórmula explícita. Pero el método de Monte Carlotambién funciona bien para las teorías de campo de interacción bosónica donde no hay una forma cerrada para las funciones de correlación.

Propagador escalar [ editar ]

Cada modo se distribuye de forma independiente gaussiana. La expectativa de los modos de campo es fácil de calcular:

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {k} \ phi _ {k '} \ right \ rangle = 0 \,}

para k ≠ k ′ , desde entonces las dos variables aleatorias gaussianas son independientes y ambas tienen media cero.

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {k} \ phi _ {k} \ right \ rangle = {\ frac {V} {k ^ {2}}}}

en el volumen finito V , cuando los dos valores de k coinciden, ya que esta es la varianza de los gaussianos. En el límite de volumen infinito,

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k) \ phi (k ') \ right \ rangle = \ delta (k-k') {\ frac {1} {k ^ {2}}}}

Estrictamente hablando, esto es una aproximación: el propagador de celosía es:

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k) \ phi (k ') \ right \ rangle = \ delta (k-k') {\ frac {1} {2 {\ big (} d- \ cos (k_ {1}) + \ cos (k_ {2}) \ cdots + \ cos (k_ {d}) {\ big)}}}}

Pero cerca de k = 0 , para las fluctuaciones de campo largas en comparación con el espaciado de la red, las dos formas coinciden.

Es importante enfatizar que las funciones delta contienen factores de 2 π , de modo que cancelan los factores 2 πen la medida para k integrales.

$${\ displaystyle \ delta (k) = (2 \ pi) ^ {d} \ delta _ {D} (k_ {1}) \ delta _ {D} (k_ {2}) \ cdots \ delta _ {D} (k_ {d}) \,}

donde δ _D ( k ) es la función delta de Dirac unidimensional ordinaria. Esta convención para funciones delta no es universal: algunos autores mantienen explícitos los factores de 2 π en las funciones delta (y en la integración k ).

Ecuación de movimiento [ editar ]

La forma del propagador se puede encontrar más fácilmente usando la ecuación de movimiento para el campo. Desde el lagrangiano, la ecuación de movimiento es:

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ parcial ^ {\ mu} \ phi = 0 \,}

y en un valor de expectativa, esto dice:

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ parcial ^ {\ mu} \ left \ langle \ phi (x) \ phi (y) \ right \ rangle = 0}

Donde los derivados actúan sobre x , y la identidad es verdadera en todas partes, excepto cuando x e ycoinciden, y el orden del operador es importante. La forma de la singularidad puede entenderse a partir de las relaciones de conmutación canónicas como una función delta. Definición del propagador de Feynman(euclidiano) Δ como la transformada de Fourier de la función de dos puntos ordenada por el tiempo (la que proviene de la integral de trayectoria):

$${\ displaystyle \ parcial ^ {2} \ Delta (x) = i \ delta (x) \,}

Así que eso:

$${\ displaystyle \ Delta (k) = {\ frac {i} {k ^ {2}}}}

Si las ecuaciones de movimiento son lineales, el propagador siempre será el recíproco de la matriz de forma cuadrática que define el Lagrangiano libre, ya que esto da las ecuaciones de movimiento. Esto también es fácil de ver directamente desde la integral de trayectoria. El factor de i desaparece en la teoría euclidiana.

Wick teorema [ editar ]

Artículo principal: El teorema de la mecha.

Debido a que cada modo de campo es un gaussiano independiente, los valores de expectativa para el producto de muchos modos de campo obedecen al teorema de Wick :

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ cdots \ phi (k_ {n}) \ right \ rangle}

es cero a menos que los modos de campo coincidan en pares. Esto significa que es cero para un número impar de φ , y por un número par de φ , es igual a una contribución de cada par por separado, con una función delta.

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ cdots \ phi (k_ {2n}) \ right \ rangle = \ sum \ prod _ {i, j} {\ frac {\ delta \ left (k_ {i} -k_ {j} \ right)} {k_ {i} ^ {2}}}}

donde la suma está sobre cada partición de los modos de campo en pares, y el producto está sobre los pares. Por ejemplo,

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4}) \ right \ rangle = {\ frac {\ delta (k_ {1} -k_ {2})} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {3} -k_ {4})} {k_ {3} ^ {2} }} + {\ frac {\ delta (k_ {1} -k_ {3})} {k_ {3} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ {2} -k_ {4})} {k_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {\ delta (k_ {1} -k_ {4})} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ delta (k_ { 2} -k_ {3})} {k_ {2} ^ {2}}}}

Una interpretación del teorema de Wick es que cada inserción de campo se puede considerar como una línea colgante, y el valor de expectativa se calcula al vincular las líneas en pares, poniendo un factor de función delta que garantiza que el impulso de cada pareja en el par sea Igual, y dividiendo por el propagador.

Momentos gaussianos superiores - completando el teorema de Wick [ editar ]

Queda un punto sutil antes de que se demuestre el teorema de Wick: ¿y si más de dos de los phis tienen el mismo impulso? Si es un número impar, la integral es cero; Los valores negativos se cancelan con los valores positivos. Pero si el número es par, la integral es positiva. La demostración anterior asumió que el phis solo coincidiría en pares.

Pero el teorema es correcto, incluso cuando arbitrariamente muchos de los φ son iguales, y esto es una notable característica de integración de Gauss:

$${\ displaystyle I = \ int e ^ {- ax ^ {2} / 2} dx = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {a}}}}

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {n}} {\ parcial a ^ {n}}} I = \ int {\ frac {x ^ {2n}} {2 ^ {n}}} e ^ {- ax ^ {2} / 2} dx = {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ ldots \ cdot (2n-1)} {2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ ldots \; \; \; \; \ ; \ cdot 2 \; \; \; \; \; \;}} {\ sqrt {2 \ pi}} \, a ^ {- {\ frac {2n + 1} {2}}}}

Dividiendo por yo ,

$${\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2n} \ right \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int x ^ {2n} e ^ {- ax ^ {2} / 2}} {\ displaystyle \ int e ^ {-ax ^ {2} / 2}}} = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ ldots \ cdot (2n-1) {\ frac {1} {a ^ {n}}}}

$${\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {1} {a}}}

Si el teorema de Wick fuera correcto, los momentos más altos serían dados por todos los emparejamientos posibles de una lista de 2 n diferentes x :

$${\ displaystyle \ left \ langle x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ cdots x_ {2n} \ right \ rangle}

donde las x son todas la misma variable, el índice es solo para hacer un seguimiento de la cantidad de formas de emparejarlas. La primera x puede emparejarse con 2 n - 1 más, dejando 2 n - 2 . La siguiente x no apareada se puede emparejar con 2 n - 3 x diferentes dejando 2 n - 4 , y así sucesivamente. Esto significa que el teorema de Wick, no corregido, dice que el valor esperado de x ^2 n debe ser:

$${\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2n} \ right \ rangle = (2n-1) \ cdot (2n-3) \ ldots \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 1 \ left \ langle x ^ {2} \ derecha \ rangle ^ {n}}

Y esta es, de hecho, la respuesta correcta. Así que el teorema de Wick sostiene que no importa cuántos de los momentos de las variables internas coincidan.

Interacción [ editar ]

Las interacciones están representadas por contribuciones de orden superior, ya que las contribuciones cuadráticas son siempre gaussianas. La interacción más simple es la auto-interacción cuártica, con una acción:

$${\ displaystyle S = \ int \ partial ^ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ lambda} {4!}} \ phi ^ {4}.}

La razón del factor combinatorio 4! será claro pronto Escribir la acción en términos de los modos de Fourier de celosía (o continuo):

$${\ displaystyle S = \ int _ {k} k ^ {2} \ left | \ phi (k) \ right | ^ {2} + \ int _ {k_ {1} k_ {2} k_ {3} k_ { 4}} \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4}) \ delta (k_ {1} + k_ {2} + k_ { 3} + k_ {4}) = S_ {F} + X.}

Donde S _F es la acción libre, cuyas funciones de correlación están dadas por el teorema de Wick. El exponencial de S en la integral de trayectoria puede expandirse en potencias de λ , dando una serie de correcciones a la acción libre.

$${\ displaystyle e ^ {- S} = e ^ {- S_ {F}} \ left (1 + X + {\ frac {1} {2!}} XX + {\ frac {1} {3!}} XXX + \ cdots \ right)}

La ruta integral para la acción interactiva es, entonces, una serie de correcciones de poder para la acción libre. El término representado por X debe considerarse como cuatro semilíneas, una para cada factor de φ ( k ) . Las medias líneas se unen en un vértice, lo que contribuye a una función delta que garantiza que la suma de los momentos sean iguales.

Para calcular una función de correlación en la teoría de la interacción, hay una contribución de los términos Xahora. Por ejemplo, la integral de ruta para el correlador de cuatro campos:

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4}) \ right \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \ phi (k_ {1}) \ phi (k_ {2}) \ phi (k_ {3}) \ phi (k_ {4}) D \ phi} {Z}}}

que en el campo libre solo era distinto de cero cuando los momentos k eran iguales en pares, ahora es distinto de cero para todos los valores de k . El momento de las inserciones φ ( k _i ) ahora puede coincidir con el momento de las X s en la expansión. Las inserciones también deben considerarse líneas medias, cuatro en este caso, que tienen un impulso k , pero que no está integrado.

La contribución de orden más bajo proviene del primer término no trivial e ^- S _F X en la expansión de Taylor de la acción. El teorema de Wick requiere que el momento en las X medias líneas, los factores de φ ( k ) en X , debe coincidir con el momento de las medias líneas externas en pares. La nueva contribución es igual a:

$${\ displaystyle \ lambda {\ frac {1} {k_ {1} ^ {2}}} {\ frac {1} {k_ {2} ^ {2}}} {\ frac {1} {k_ {3} ^ {2}}} {\ frac {1} {k_ {4} ^ {2}}} \ ,.}

Los 4! Dentro de X se cancela porque hay exactamente 4! formas de hacer coincidir las líneas medias en X con las líneas medias externas. Cada una de estas formas diferentes de emparejar las medias líneas juntas en pares contribuye exactamente una vez, independientemente de los valores de k _1,2,3,4 , según el teorema de Wick.

Diagramas de Feynman [ editar ]

La expansión de la acción en potencias de X da una serie de términos con un número cada vez mayor de X s. La contribución del término con exactamente n X s se denomina orden n .

Los términos de orden n tiene:

1. 4 n medias líneas internas, que son los factores de φ ( k ) de las X s. Todos estos terminan en un vértice, y están integrados sobre todos los k posibles .
2. semilíneas externas, que provienen de las inserciones φ ( k ) en la integral.

Por el teorema de Wick, cada par de medias líneas debe emparejarse para formar una línea , y esta línea da un factor de

$${\ displaystyle {\ frac {\ delta (k_ {1} + k_ {2})} {k_ {1} ^ {2}}}}

lo que multiplica la aportación. Esto significa que las dos medias líneas que forman una línea se ven obligadas a tener un momento igual y opuesto. La línea en sí debe estar etiquetada con una flecha, dibujada paralela a la línea, y etiquetada por el impulso en la línea k . La media línea en el extremo de la cola de la flecha lleva el impulso k , mientras que la media línea en la cabecera lleva el impulso - k . Si una de las dos medias líneas es externa, esto mata la integral sobre la k interna , ya que obliga a la k interna a ser igual a la k externa . Si ambos son internos, la integral sobre k permanece.

Los diagramas que se forman al vincular las líneas medias en las X con las líneas medias externas, que representan inserciones, son los diagramas de Feynman de esta teoría. Cada línea lleva un factor de 1/k ² , el propagador, y va de vértice a vértice, o termina en una inserción. Si es interno, está integrado sobre. En cada vértice, el total de k entrante es igual al total de k saliente .

¡La cantidad de formas de hacer un diagrama al unir líneas medias en líneas casi cancela completamente los factores factoriales que provienen de la serie de Taylor del exponencial y del 4! en cada vértice.

Orden de bucle [ editar ]

Un diagrama de bosque es uno donde todas las líneas internas tienen un momento que está completamente determinado por las líneas externas y la condición de que el momento entrante y saliente sean iguales en cada vértice. La contribución de estos diagramas es un producto de propagadores, sin ninguna integración. Un diagrama de árbol es un diagrama de bosque conectado.

Un ejemplo de un diagrama de árbol es en la que cada uno de cuatro líneas externas terminar con una X . Otra es cuando tres líneas externas terminan en una X , y la línea media restante se une con otra X , y las líneas medias restantes de esta X se desvían hacia las líneas externas. Todos estos también son diagramas de bosque (ya que cada árbol es un bosque); Un ejemplo de un bosque que no es un árbol es cuando ocho líneas externas terminan en dos X s.

Es fácil verificar que en todos estos casos, el momento en todas las líneas internas está determinado por el momento externo y la condición de conservación del impulso en cada vértice.

Un diagrama que no es un diagrama de bosque se denomina diagrama de bucle , y un ejemplo es aquel en el que dos líneas de una X se unen a líneas externas, mientras que las dos líneas restantes se unen entre sí. Las dos líneas unidas entre sí pueden tener cualquier impulso, ya que ambas entran y salen del mismo vértice. Un ejemplo más complicado es uno en el que dos X se unen entre sí haciendo coincidir las patas una con la otra. Este diagrama no tiene líneas externas en absoluto.

Los diagramas de bucle de razón se denominan diagramas de bucle porque el número de integrales k que quedan sin determinar por la conservación del momento es igual al número de bucles cerrados independientes en el diagrama, donde los bucles independientes se cuentan como en la teoría de la homología . La homología es de valor real (en realidad R ^d valorada), el valor asociado a cada línea es el impulso. El operador del límite lleva cada línea a la suma de los vértices finales con un signo positivo en la cabeza y un signo negativo en la cola. La condición de que se conserva el impulso es exactamente la condición de que el límite del gráfico ponderado de valor k sea ​​cero.

Un conjunto de valores k válidos se puede redefinir arbitrariamente siempre que haya un bucle cerrado. Un bucle cerrado es una ruta cíclica de vértices adyacentes que nunca vuelve a visitar el mismo vértice. Se puede pensar en dicho ciclo como el límite de una hipotética de 2 celdas. Los k -labellings de un gráfico que conservan el momento (es decir, que tiene cero límite) hasta redefiniciones de k (es decir, hasta límites de 2 celdas) definen la primera homología de un gráfico. El número de momentos independientes que no se determinan es entonces igual al número de bucles de homología independientes. Para muchos gráficos, esto es igual al número de bucles contados de la manera más intuitiva.

Factores de simetría [ editar ]

El número de formas para formar un diagrama de Feynman dado uniendo líneas de media es grande, y según el teorema de Wick, cada forma de emparejar las líneas medias contribuye por igual. A menudo, esto cancela completamente los factoriales en el denominador de cada término, pero la cancelación a veces es incompleta.

El denominador no cancelado se llama factor de simetría del diagrama. La contribución de cada diagrama a la función de correlación debe dividirse por su factor de simetría.

Por ejemplo, considere el diagrama de Feynman formado a partir de dos líneas externas unidas a una X , y las dos medias líneas restantes en la X se unen entre sí. Hay 4 × 3 formas de unir las medias líneas externas a la X , y luego solo hay una forma de unir las dos líneas restantes entre sí. La X viene dividida por 4! = 4 × 3 × 2 , pero el número de formas de vincular las X líneas para hacer el diagrama es solo de 4 × 3, por lo que la contribución de este diagrama se divide entre dos.

Para otro ejemplo, considere el diagrama formado por la unión de todas las medias líneas de una X a todas las medias líneas de otro X . Este diagrama se denomina burbuja de vacío , porque no se enlaza con ninguna línea externa. ¡Hay 4! formas de formar este diagrama, pero el denominador incluye un 2! (De la expansión de la exponencial, hay dos X s) y dos factores de 4 !. La contribución se multiplica por 4!/2 × 4! × 4!=  1/48 .

Otro ejemplo es el diagrama de Feynman formado a partir de dos X s donde cada X se une a dos líneas externas, y las dos semilíneas restantes de cada X se unen entre sí. El número de formas de vincular una X a dos líneas externas es 4 × 3, y cualquiera de las dos X puede vincularse a cualquiera de los pares, lo que da un factor adicional de 2. Las dos semilíneas restantes en las dos X se pueden vincular a cada una otra de dos maneras, de modo que el número total de formas para formar el diagrama sea 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2 , mientras que el denominador es 4! × 4! × 2! . El factor de simetría total es 2, y la contribución de este diagrama se divide por 2.

El teorema del factor de simetría proporciona el factor de simetría para un diagrama general: la contribución de cada diagrama de Feynman debe dividirse por el orden de su grupo de automorfismos, el número de simetrías que tiene.

Un automorfismo de un gráfico de Feynman es una permutación M de las líneas y una permutación N de los vértices con las siguientes propiedades:

1. Si una línea l va del vértice v al vértice v ′ , entonces M ( l ) va de N ( v ) a N ( v ′ ) . Si la línea no está dirigida, como lo es para un campo escalar real, M ( l ) también puede ir de N ( v ′ ) a N ( v ) .
2. Si una línea l termina en una línea externa, M ( l ) termina en la misma línea externa.
3. Si hay diferentes tipos de líneas, M ( l ) debe conservar el tipo.

Este teorema tiene una interpretación en términos de trayectorias de partículas: cuando están presentes partículas idénticas, la integral sobre todas las partículas intermedias no debe contar dos veces los estados que difieren solo al intercambiar partículas idénticas.

Prueba: para probar este teorema, etiquete todas las líneas internas y externas de un diagrama con un nombre único. Luego, forme el diagrama vinculando una media línea con un nombre y luego con la otra media línea.

Ahora cuenta el número de formas para formar el diagrama nombrado. Cada permutación de las X s da un patrón diferente de enlace de nombres a líneas medias, ¡y esto es un factor de n ! . Cada permutación de las líneas medias en una sola X da un factor de 4 !. Por lo tanto, un diagrama con nombre se puede formar exactamente de la misma manera que el denominador de la expansión Feynman.

Pero el número de diagramas sin nombre es más pequeño que el número de diagramas nombrados por el orden del grupo de automorfismo de la gráfica.

Diagramas conectados: teorema de clúster vinculado [ editar ]

En términos generales, un diagrama de Feynman se llama conectado si todos los vértices y líneas de propagador están vinculados por una secuencia de vértices y propagadores del diagrama en sí. Si uno lo ve como un gráfico no dirigido , está conectado. La notable relevancia de tales diagramas en QFT se debe al hecho de que son suficientes para determinar la función de partición cuántica Z [ J ] . Más precisamente, los diagramas de Feynman conectados determinan

$${\ displaystyle iW [J] \ equiv \ ln Z [J].}

Para ver esto, hay que recordar que

$${\ displaystyle Z [J] \ propto \ sum _ {k} {D_ {k}}}

con D _k construido a partir de algunos (arbitraria) Diagrama de Feynman que se puede pensar a consistir en varios componentes conectados C _i . Si uno encuentra n _i (idénticas) copias de un componente C _i dentro del diagrama de Feynman, D _k tiene que incluir un factor de simetría n _i ! . Sin embargo, al final de cada contribución de un Feynman diagrama D _k a la función de partición tiene la forma genérica

$${\ displaystyle \ prod _ {i} {\ frac {C_ {i} ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}}}

donde i etiquetas Diagramas posible la (infinitamente) muchos Feynman conectado.

Un esquema para crear sucesivamente dichas contribuciones de la D _k a Z [ J ] se obtiene por

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {0!}} + {\ frac {C_ {1}} {1!}} + {\ frac {C_ {1} ^ {2}} {2!} } + \ cdots \ right) \ left (1 + C_ {2} + {\ frac {1} {2}} C_ {2} ^ {2} + \ cdots \ right) \ cdots}

y por lo tanto los rendimientos

$${\ displaystyle Z [J] \ propto \ prod _ {i} {\ sum _ {n_ {i} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {i} ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}}} = \ exp {\ sum _ {i} {C_ {i}}} \ propto \ exp {W [J]} \ ,.}

Para establecer la normalización Z ₀ = exp W [0] = 1, uno simplemente calcula todos los diagramas de vacíoconectados , es decir, los diagramas sin ninguna fuente J (a veces denominados tramos externos de un diagrama de Feynman).

Burbujas de vacío [ editar ]

Una consecuencia inmediata del teorema de clúster vinculado es que todas las burbujas de vacío, diagramas sin líneas externas, se cancelan al calcular las funciones de correlación. Una función de correlación está dada por una proporción de integrales de trayectoria:

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {n} (x_ {n}) \ right \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \ phi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {n} (x_ {n}) \, D \ phi} {\ displaystyle \ int e ^ {- S} \, D \ phi }} \ ,.}

La parte superior es la suma de todos los diagramas de Feynman, incluidos los diagramas desconectados que no se vinculan con líneas externas. En términos de los diagramas conectados, el numerador incluye las mismas contribuciones de las burbujas de vacío que el denominador:

$${\ displaystyle \ int e ^ {- S} \ phi _ {1} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {n} (x_ {n}) \, D \ phi = \ left (\ sum E_ { i} \ right) \ left (\ exp \ left (\ sum _ {i} C_ {i} \ right) \ right) \ ,.}

Donde la suma sobre los diagramas E incluye solo aquellos diagramas cuyos componentes conectados terminan en al menos una línea externa. Las burbujas de vacío son las mismas, independientemente de las líneas externas, y dan un factor multiplicativo general. El denominador es la suma de todas las burbujas de vacío, y la división elimina el segundo factor.

Las burbujas de vacío solo son útiles para determinar la Z misma, que a partir de la definición de la integral de trayectoria es igual a:

$${\ displaystyle Z = \ int e ^ {- S} D \ phi = e ^ {- HT} = e ^ {- \ rho V}}

donde ρ es la densidad de energía en el vacío. Cada burbuja de vacío contiene un factor de δ ( k ) que pone a cero el total de k en cada vértice, y cuando no hay líneas externas, esto contiene un factor de δ (0) , porque la conservación del impulso se aplica en exceso. En volumen finito, este factor se puede identificar como el volumen total de espacio-tiempo. Dividiendo por el volumen, la integral restante para la burbuja de vacío tiene una interpretación: es una contribución a la densidad de energía del vacío.

Fuentes [ editar ]

Las funciones de correlación son la suma de los diagramas de Feynman conectados, pero el formalismo trata a los diagramas conectados y desconectados de manera diferente. Las líneas internas terminan en vértices, mientras que las líneas externas pasan a las inserciones. La introducción de fuentes unifica el formalismo, al hacer nuevos vértices donde una línea puede terminar.

Las fuentes son campos externos, campos que contribuyen a la acción, pero no son variables dinámicas. Una fuente de campo escalar es otro campo escalar h que aporta un término al lagrangiano (Lorentz):

$${\ displaystyle \ int h (x) \ phi (x) \, d ^ {d} x = \ int h (k) \ phi (k) \, d ^ {d} k \,}

En la expansión de Feynman, esto contribuye a los términos H con una media línea que termina en un vértice. Las líneas en un diagrama de Feynman ahora pueden terminar en un vértice X , o en un vértice H , y solo una línea ingresa en un vértice H. La regla de Feynman para un vértice H es que una línea desde una H con momento k obtiene un factor de h ( k ) .

La suma de los diagramas conectados en presencia de fuentes incluye un término para cada diagrama conectado en ausencia de fuentes, excepto que ahora los diagramas pueden terminar en la fuente. Tradicionalmente, una fuente se representa con una pequeña "×" con una línea extendida, exactamente como una inserción.

$${\ displaystyle \ log {\ big (} Z [h] {\ big)} = \ sum _ {n, C} h (k_ ​​{1}) h (k_ ​​{2}) \ cdots h (k_ ​​{n} ) C (k_ {1}, \ cdots, k_ {n}) \,}

donde C ( k ₁ , ..., k _n ) es el diagrama conectado con n líneas externas que llevan el impulso como se indica. La suma está sobre todos los diagramas conectados, como antes.

El campo h no es dinámico, lo que significa que no hay una integral de ruta sobre h : h es solo un parámetro en el Lagrangiano, que varía de un punto a otro. La integral de trayectoria para el campo es:

$${\ displaystyle Z [h] = \ int e ^ {iS + i \ int h \ phi} \, D \ phi \,}

y es una función de los valores de h en cada punto. Una forma de interpretar esta expresión es que está tomando la transformada de Fourier en el espacio de campo. Si hay una densidad de probabilidad en R ⁿ , la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad es:

$${\ displaystyle \ int \ rho (y) e ^ {iky} \, d ^ {n} y = \ left \ langle e ^ {iky} \ right \ rangle = \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {n} e ^ {ih_ {i} y_ {i}} \ right \ rangle \,}

La transformada de Fourier es la expectativa de un exponencial oscilatorio. La integral de trayectoria en presencia de una fuente h ( x ) es:

$${\ displaystyle Z [h] = \ int e ^ {iS} e ^ {i \ int _ {x} h (x) \ phi (x)} \, D \ phi = \ left \ langle e ^ {ih \ phi} \ right \ rangle}

que, en una celosía, es el producto de un exponencial oscilatorio para cada valor de campo:

$${\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {x} e ^ {ih_ {x} \ phi _ {x}} \ right \ rangle}

La transformada de Fourier de una función delta es una constante, que da una expresión formal para una función delta:

$${\ displaystyle \ delta (xy) = \ int e ^ {ik (xy)} \, dk}

Esto le indica cómo se ve una función delta de campo en una integral de trayectoria. Para dos campos escalares φ y η ,

$${\ displaystyle \ delta (\ phi - \ eta) = \ int e ^ {ih (x) {\ big (} \ phi (x) - \ eta (x) {\ big)} \, d ^ {d} x} \, Dh \ ,,}

que se integra sobre la coordenada de la transformada de Fourier, sobre h . Esta expresión es útil para cambiar formalmente las coordenadas de campo en la integral de trayectoria, de la misma forma en que se usa una función delta para cambiar las coordenadas en una integral multidimensional ordinaria.

La función de partición ahora es una función del campo h , y la función de partición física es el valor cuando h es la función cero:

Las funciones de correlación son derivadas de la integral de trayectoria con respecto a la fuente:

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi (x) \ right \ rangle = {\ frac {1} {Z}} {\ frac {\ partial} {\ partial h (x)}} Z [h] = {\ frac {\ partial} {\ partial h (x)}} \ log {\ big (} Z [h] {\ big)} \ ,.

En el espacio euclidiano, las contribuciones de la fuente a la acción aún pueden aparecer con un factor de i , por lo que aún hacen una transformada de Fourier.

Spin 1/2 ; "fotones" y "fantasmas" [ editar ]

Spin 1/2 : integrales Grassmann [ editar ]

La integral de ruta de campo se puede extender al caso de Fermi, pero solo si se amplía la noción de integración. Una integral de Grassmann de un campo Fermi libre es un determinante de alta dimensión o Pfaffian , que define el nuevo tipo de integración gaussiana apropiada para los campos Fermi.

Las dos fórmulas fundamentales de la integración de Grassmann son:

$${\ displaystyle \ int e ^ {M_ {ij} {\ bar {\ psi}} ^ {i} \ psi ^ {j}} \, D {\ bar {\ psi}} \, D \ psi = \ mathrm {Det} (M) \ ,,}

donde M es una matriz arbitraria y ψ , ψ son variables de Grassmann independientes para cada índice i , y

$${\ displaystyle \ int e ^ {{\ frac {1} {2}} A_ {ij} \ psi ^ {i} \ psi ^ {j}} \, D \ psi = \ mathrm {Pfaff} (A) \ ,,}

donde A es una matriz antisimétrica, ψ es una colección de variables de Grassmann, y el 1/2 es evitar el doble recuento (desde ψ ⁱ Psi ^j = - ψ ^j ψ ⁱ ).

En notación matricial, donde ψ y η son vectores de fila con valores de Grassmann, η y ψ son vectores de columna con valores de Grassmann, y M es una matriz con valores reales:

$${\ displaystyle Z = \ int e ^ {{\ bar {\ psi}} M \ psi + {\ bar {\ eta}} \ psi + {\ bar {\ psi}} \ eta} \, D {\ bar {\ psi}} \, D \ psi = \ int e ^ {\ left ({\ bar {\ psi}} + {\ bar {\ eta}} M ^ {- 1} \ right) M \ left (\ psi + M ^ {- 1} \ eta \ right) - {\ bar {\ eta}} M ^ {- 1} \ eta} \, D {\ bar {\ psi}} \, D \ psi = \ mathrm {Det} (M) e ^ {- {\ bar {\ eta}} M ^ {- 1} \ eta} \ ,,}

donde la última igualdad es una consecuencia de la invariancia de la traducción de la integral de Grassmann. Las variables de Grassmann η son fuentes externas para ψ , y la diferenciación con respecto a η reduce los factores de ψ .

$${\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {\ psi}} \ psi \ right \ rangle = {\ frac {1} {Z}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} {\ frac { \ partial} {\ partial {\ bar {\ eta}}}} Z | _ {\ eta = {\ bar {\ eta}} = 0} = M ^ {- 1}}

De nuevo, en una notación matricial esquemática. El significado de la fórmula anterior es que la derivada con respecto al componente apropiado de η y η da el elemento de matriz de M- ¹ . Esto es exactamente análogo a la fórmula de integración de camino bosónico para una integral gaussiana de un campo bosónico complejo:

$${\ displaystyle \ int e ^ {\ phi ^ {*} M \ phi + h ^ {*} \ phi + \ phi ^ {*} h} \, D \ phi ^ {*} \, D \ phi = { \ frac {e ^ {h ^ {*} M ^ {- 1} h}} {\ mathrm {Det} (M)}}}

$${\ displaystyle \ left \ langle \ phi ^ {*} \ phi \ right \ rangle = {\ frac {1} {Z}} {\ frac {\ partial} {\ partial h}} {\ frac {\ partial} {\ parcial h ^ {*}}} Z | _ {h = h ^ {*} = 0} = M ^ {- 1} \ ,.}

De modo que el propagador es el inverso de la matriz en la parte cuadrática de la acción tanto en el caso de Bose como en el de Fermi.

Para los campos de Grassmann reales, para los fermiones de Majorana , la ruta integral de Pfaffian se multiplica por la forma cuadrática de origen y las fórmulas dan la raíz cuadrada del determinante, tal como lo hacen para los campos bosónicos reales. El propagador sigue siendo el inverso de la parte cuadrática.

El libre Dirac Lagrangian:

$${\ displaystyle \ int {\ bar {\ psi}} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi}

da formalmente las ecuaciones de movimiento y las relaciones de anticomutación del campo de Dirac, al igual que Klein Gordon Lagrangian en una integral de trayectoria ordinaria da las ecuaciones de movimiento y las relaciones de conmutación del campo escalar. Al utilizar la transformada de Fourier espacial del campo de Dirac como una nueva base para el álgebra de Grassmann, la parte cuadrática de la acción de Dirac se convierte en una inversión simple:

$${\ displaystyle S = \ int _ {k} {\ bar {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} k _ {\ mu} -m \ right) \ psi \ ,.}

El propagador es el inverso de la matriz M que une ψ ( k ) y ψ ( k ) , ya que los diferentes valores de k no se mezclan.

$${\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {\ psi}} (k ') \ psi (k) \ right \ rangle = \ delta (k + k') {\ frac {1} {\ gamma \ cdot km} } = \ delta (k + k ') {\ frac {\ gamma \ cdot k + m} {k ^ {2} -m ^ {2}}}}

El análogo del teorema de Wick coincide con ψ y ψ en pares:

${\displaystyle \left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}}$

donde S es el signo de la permutación que reordena la secuencia de ψ y ψ para poner las que están emparejadas para hacer que las funciones delta estén una al lado de la otra, con ψ justo antes de ψ . Como un par ψ , ψ es un elemento de conmutación del álgebra de Grassmann, no importa en qué orden están los pares. Si hay más de un ψ , ψ par tiene la misma k , la integral es cero, y es fácil verifique que la suma sobre los emparejamientos dé cero en este caso (siempre hay un número par de ellos). Este es el análogo de Grassmann de los momentos gaussianos superiores que completaron el teorema de la mecha bosónica anteriormente.

Las reglas para spin- 1/2 partículas de Dirac son los siguientes: El propagador es el inverso del operador de Dirac, las líneas tienen flechas al igual que para un campo escalar complejo, y el diagrama adquiere un factor general de -1 para cada cerrado Fermi lazo. Si hay un número impar de bucles Fermi, el diagrama cambia de signo. Históricamente, la regla de la −1 era muy difícil de descubrir para Feynman. Lo descubrió después de un largo proceso de prueba y error, ya que carecía de una teoría adecuada sobre la integración de Grassmann.

La regla se deduce de la observación de que el número de líneas de Fermi en un vértice es siempre igual. Cada término en el lagrangiano debe ser siempre bosónico. Un bucle de Fermi se cuenta siguiendo las líneas fermiónicas hasta que uno vuelve al punto de inicio y luego elimina esas líneas del diagrama. La repetición de este proceso eventualmente borra todas las líneas fermiónicas: este es el algoritmo de Euler para hacer una gráfica de dos colores, que funciona siempre que cada vértice tenga un grado uniforme. Tenga en cuenta que el número de pasos en el algoritmo de Euler solo es igual al número de ciclos independientes de homología fermiónica en el caso especial común de que todos los términos en lagrangiano son exactamente cuadráticos en los campos de Fermi, de modo que cada vértice tiene exactamente dos líneas fermiónicas. Cuando hay interacciones de cuatro Fermi (como en la teoría efectiva de Fermi delinteracciones nucleares débiles ) hay más k -intales que los bucles de Fermi. En este caso, la regla de conteo debe aplicar el algoritmo de Euler emparejando las líneas de Fermi en cada vértice en pares que juntos forman un factor bosónico del término en el Lagrangiano, y al ingresar un vértice por una línea, el algoritmo siempre debe abandonar con la linea compañera.

Para aclarar y probar la regla, considere un diagrama de Feynman formado a partir de vértices, términos en el Lagrangiano, con campos Fermion. El término completo es bosónico, es un elemento de conmutación del álgebra de Grassmann, por lo que el orden en que aparecen los vértices no es importante. Las líneas de Fermi están vinculadas en bucles, y al atravesar el bucle, uno puede reordenar los términos de vértice uno tras otro a medida que avanza sin ningún costo de signo. La excepción es cuando regresa al punto de inicio, y la línea media final debe unirse con la línea media primera no vinculada. Esto requiere una permutación para mover el último ψ para ir por delante de la primera ψ , y esto da la señal.

Esta regla es el único efecto visible del principio de exclusión en líneas internas. Cuando hay líneas externas, las amplitudes son antisimétricas cuando se intercambian dos inserciones de Fermi para partículas idénticas. Esto es automático en el formalismo de origen, porque las fuentes de los campos de Fermi son en sí mismas valoradas por Grassmann.

Spin 1: fotones [ editar ]

El propagador ingenuo para los fotones es infinito, ya que el Lagrangiano para el campo A es:

$${\ displaystyle S = \ int {\ tfrac {1} {4}} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} = \ int - {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ parcial ^ {\ mu} A _ {\ nu} \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ parcial ^ {\ mu} A _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} A ^ {\ nu} \Correcto)\,.}

La forma cuadrática que define el propagador no es invertible. La razón es la invariancia gauge del campo; Agregar un gradiente a A no cambia la física.

Para solucionar este problema, uno necesita arreglar un medidor. La forma más conveniente es exigir que la divergencia de A sea ​​alguna función f , cuyo valor es aleatorio de un punto a otro. No hace daño integrarse sobre los valores de f , ya que solo determina la elección del calibre. Este procedimiento inserta el siguiente factor en la integral de trayectoria para A :

$${\ displaystyle \ int \ delta \ left (\ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} -f \ right) e ^ {- {\ frac {f ^ {2}} {2}}} \, Df \ ,.}

El primer factor, la función delta, corrige el indicador. El segundo factor suma sobre diferentes valores de f que son fijaciones de calibre desiguales. Esto es simplemente

$${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {\ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} \ right) ^ {2}} {2}}} \ ,.}

La contribución adicional de la fijación de la medida cancela la segunda mitad del Lagrangian libre, lo que le da al Feynman Lagrangian:

$${\ displaystyle S = \ int \ parcial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu}}

que es como cuatro campos escalares libres independientes, una para cada componente de una . El propagador de Feynman es:

$${\ displaystyle \ left \ langle A _ {\ mu} (k) A _ {\ nu} (k ') \ right \ rangle = \ delta \ left (k + k' \ right) {\ frac {g _ {\ mu \ nu}} {k ^ {2}}}.}

La única diferencia es que el signo de un propagador es incorrecto en el caso de Lorentz: el componente temporal tiene un propagador de signo opuesto. Esto significa que estos estados de partículas tienen una norma negativa, no son estados físicos. En el caso de los fotones, es fácil mostrar mediante métodos de diagrama que estos estados no son físicos; su contribución se cancela con los fotones longitudinales para dejar solo dos contribuciones de polarización de fotones físicos para cualquier valor de k .

Si el promedio de más de f se realiza con un coeficiente diferente de 1/2 , los dos términos no se anulan por completo. Esto da un Lagrangiano covariante con un coeficiente$${\ displaystyle \ lambda}, lo que no afecta a nada:

$${\ displaystyle S = \ int {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ lambda \ left (\ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ derecha) ^ {2} \ derecha)}

y el propagador covariante para QED es:

$${\ displaystyle \ left \ langle A _ {\ mu} (k) A _ {\ nu} (k ') \ right \ rangle = \ delta \ left (k + k' \ right) {\ frac {g _ {\ mu \ nu} - \ lambda {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu}} {k ^ {2}}}} {k ^ {2}}}.}

Spin 1: fantasmas no abelianos [ editar ]

Para encontrar las reglas de Feynman para los campos de medición no abelianos, el procedimiento que realiza la fijación de la calibración debe corregirse cuidadosamente para tener en cuenta un cambio de variables en la integral de trayectoria.

El factor de fijación del calibre tiene un determinante adicional al hacer estallar la función delta:

$${\ displaystyle \ delta \ left (\ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} -f \ right) e ^ {- {\ frac {f ^ {2}} {2}}} \ det M}

Para encontrar la forma del determinante, considere primero una integral bidimensional simple de una función fque depende solo de r , no del ángulo θ . Insertando una integral sobre θ :

$${\ displaystyle \ int f (r) \, dx \, dy = \ int f (r) \ int d \ theta \, \ delta (y) \ left | {\ frac {dy} {d \ theta}} \ derecha | \, dx \, dy}

El factor derivado garantiza que al hacer estallar la función delta en θ se elimine la integral. Intercambiando el orden de integración,

$${\ displaystyle \ int f (r) \, dx \, dy = \ int d \ theta \, \ int f (r) \ delta (y) \ left | {\ frac {dy} {d \ theta}} \ derecha | \, dx \, dy}

pero ahora la función delta se puede mostrar en y ,

$${\ displaystyle \ int f (r) \, dx \, dy = \ int d \ theta _ {0} \, \ int f (x) \ left | {\ frac {dy} {d \ theta}} \ right | \, dx \ ,.}

La integral sobre θ solo da un factor global de 2 π , mientras que la tasa de cambio de y con un cambio en θ es solo x , por lo que este ejercicio reproduce la fórmula estándar para la integración polar de una función radial:

$${\ displaystyle \ int f (r) \, dx \, dy = 2 \ pi \ int f (x) x \, dx}

En la integral de trayectoria para un campo de calibre no marabelino, la manipulación análoga es:

$${\ displaystyle \ int DA \ int \ delta {\ big (} F (A) {\ big)} \ det \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial G}} \ right) \, DGe ^ {iS} = \ int DG \ int \ delta {\ big (} F (A) {\ big)} \ det \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial G}} \ right) e ^ { es}\,}

El factor al frente es el volumen del grupo de indicadores, y contribuye con una constante, que se puede descartar. La integral restante es sobre la acción fija del manómetro.

$${\ displaystyle \ int \ det \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial G}} \ right) e ^ {iS_ {GF}} \, DA \,}

Para obtener un calibre covariante, la condición de fijación del calibre es la misma que en el caso Abelian:

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = f \ ,,}

Cuya variación bajo una transformación de calibre infinitesimal viene dada por:

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \, D _ {\ mu} \ alpha \ ,,}

donde α es el elemento de valor adjunto del álgebra de Lie en cada punto que realiza la transformación del indicador infinitesimal. Esto agrega el determinante de Faddeev Popov a la acción:

$${\ displaystyle \ det \ left (\ partial _ {\ mu} \, D _ {\ mu} \ right) \,}

que puede reescribirse como una integral de Grassmann introduciendo campos fantasma:

$${\ displaystyle \ int e ^ {{\ bar {\ eta}} \ partial _ {\ mu} \, D ^ {\ mu} \ eta} \, D {\ bar {\ eta}} \, D \ eta \,}

El determinante es independiente de f , por lo que la integral de trayectoria sobre f puede dar al propagador de Feynman (o un propagador covariante) eligiendo la medida para f como en el caso abeliano. La acción fija del indicador completo es la acción Yang Mills en el indicador Feynman con una acción fantasma adicional:

$${\ displaystyle S = \ int \ operatorname {Tr} \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} + f_ {jk} ^ {i} \ partial ^ { \ nu} A_ {i} ^ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {j} A _ {\ nu} ^ {k} + f_ {jr} ^ {i} f_ {kl} ^ {r} A_ {i } A_ {j} A ^ {k} A ^ {l} + \ operatorname {Tr} \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ eta}} \ partial ^ {\ mu} \ eta + {\ bar { \ eta}} A_ {j} \ eta \,}

Los diagramas se derivan de esta acción. El propagador para los campos spin-1 tiene la forma habitual de Feynman. Hay vértices de grado 3 con factores de momento cuyos acoplamientos son las constantes de estructura, y vértices de grado 4 cuyos acoplamientos son productos de constantes de estructura. Hay bucles fantasma adicionales, que cancelan los estados de tiempo y longitudinales en los bucles A.

En el caso abeliano, el determinante de los medidores covariantes no depende de A , por lo que los fantasmas no contribuyen a los diagramas conectados.

La representación de las partículas de la ruta [ editar ]

Los diagramas de Feynman fueron descubiertos originalmente por Feynman, por prueba y error, como una forma de representar la contribución a la matriz S de diferentes clases de trayectorias de partículas.

Representación de Schwinger [ editar ]

El propagador escalar euclidiano tiene una representación sugestiva:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {2} + m ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ tau \ left (p ^ {2} + m ^ {2} \ derecha)} \, d \ tau}

El significado de esta identidad (que es una integración elemental) se aclara mediante la transformación de Fourier en espacio real.

$${\ displaystyle \ Delta (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ tau e ^ {- m ^ {2} \ tau} {\ frac {1} {({4 \ pi \ tau} ) ^ {d / 2}}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {4 \ tau}}}

La contribución en cualquier valor de τ al propagador es un gaussiano de ancho √ τ . La función de propagación total de 0 a x es una suma ponderada de todos los tiempos correctos τ de un Gaussiano normalizado, la probabilidad de terminar en x después de un recorrido aleatorio del tiempo τ .

La representación integral de trayectoria para el propagador es entonces:

$${\ displaystyle \ Delta (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ tau \ int DX \, e ^ {- \ int \ limits _ {0} ^ {\ tau} \ left ({\ frac {{\ dot {x}} ^ {2}} {2}} + m ^ {2} \ right) d \ tau '}}

que es una reescritura integral de trayectoria de la representación de Schwinger .

La representación de Schwinger es útil para manifestar el aspecto de partícula del propagador y simetrizar los denominadores de los diagramas de bucle.