donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún campo , a menudo el campo de los números racionales . Para la mayoría de los autores, una ecuación algebraica es univariada , lo que significa que involucra solo una variable . Por otro lado, una ecuación polinomial puede involucrar varias variables, en cuyo caso se llama multivariable y el término ecuación polinomial generalmente se prefiere a la ecuación algebraica .
Por ejemplo,
Es una ecuación algebraica con coeficientes enteros y
Es una ecuación polinomial multivariable sobre los racionales.
Algunas, pero no todas, las ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica que se puede encontrar usando un número finito de operaciones que involucran solo esos mismos tipos de coeficientes (es decir, se pueden resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para el grado cinco o más solo se puede hacer para algunas ecuaciones, no para todas . Se ha dedicado una gran cantidad de investigación para calcular de manera eficiente aproximaciones precisas de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariada (ver algoritmo de búsqueda de raíces).) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinomiales multivariadas (ver Sistema de ecuaciones polinomiales ).
Historia [ editar ]
El estudio de las ecuaciones algebraicas es probablemente tan antiguo como las matemáticas: los matemáticos babilónicos , ya en el año 2000 aC, podían resolver algunos tipos de ecuaciones cuadráticas (que se muestran en las tabletas de arcilla del antiguo babilonio ).
Las ecuaciones algebraicas univariadas sobre los racionales (es decir, con coeficientes racionales ) tienen una historia muy larga. Los antiguos matemáticos querían las soluciones en forma de expresiones radicales , como para la solución positiva de . Los antiguos egipcios sabían cómo resolver ecuaciones de grado 2 de esta manera. El matemático indio Brahmagupta (597–668 dC) describió explícitamente la fórmula cuadrática en su tratado Brāhmasphuṭasiddhānta publicado en 628 dC, pero escrito en palabras en lugar de símbolos. En el siglo noveno, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi y otros matemáticos islámicos derivaron la fórmula cuadrática , la solución general de ecuaciones de grado 2, y reconocieron la importancia del discriminante . Durante el Renacimiento en 1545, Gerolamo Cardano publicó la solución de Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia a las ecuaciones de grado 3 y la de Lodovico Ferrari para ecuaciones de grado 4 . Finalmente, Niels Henrik Abel demostró, en 1824, que las ecuaciones de grado 5 y superior no tienen soluciones generales que usan radicales. La teoría de Galois , que lleva el nombre de Évariste Galois , mostró que algunas ecuaciones de al menos grado 5 ni siquiera tienen una solución idiosincrásica en radicales, y dieron criterios para decidir si una ecuación es de hecho solucionable utilizando radicales.
Las áreas de estudio [ editar ]
Las ecuaciones algebraicas son la base de varias áreas de las matemáticas modernas: la teoría de los números algebraicos es el estudio de ecuaciones algebraicas (univariadas) sobre los racionales (es decir, con coeficientes racionales ). Évariste Galois introdujo la teoría de Galois para especificar criterios para decidir si una ecuación algebraica se puede resolver en términos de radicales. En la teoría de campos , una extensión algebraica es una extensión tal que cada elemento es una raíz de una ecuación algebraica sobre el campo base. La teoría de los números trascendentales es el estudio de los números reales que no son soluciones a una ecuación algebraica sobre los racionales. Una ecuacion diofantinaes una ecuación polinomial (generalmente multivariable) con coeficientes de enteros para los cuales uno está interesado en las soluciones de enteros. La geometría algebraica es el estudio de las soluciones en un campo algebraicamente cerrado de ecuaciones polinomiales multivariadas.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones . En particular la ecuación es equivalente a . De ello se deduce que el estudio de ecuaciones algebraicas es equivalente al estudio de polinomios.
Una ecuación polinomial sobre los racionales siempre se puede convertir en una equivalente en la que los coeficientes son números enteros . Por ejemplo, multiplicando por 42 = 2 · 3 · 7 y agrupando sus términos en el primer miembro, la ecuación polinomial mencionada anteriormente se convierte en
no es una ecuación polinomial en las cuatro variables x , y , z y T sobre los números racionales. Sin embargo, es una ecuación polinómica en las tres variables x , y , y z sobre el campo de las funciones elementales en la variable T .
Soluciones [ editar ]
En cuanto a cualquier ecuación, las soluciones de una ecuación son los valores de las variables para las cuales la ecuación es verdadera. Para las ecuaciones algebraicas univariados éstos también se llaman raíces , aunque, hablando con propiedad, hay que decir las soluciones de la ecuación algebraica P = 0 son las raíces del polinomio P . Al resolver una ecuación, es importante especificar en qué conjunto se permiten las soluciones. Por ejemplo, para una ecuación sobre los racionales se pueden buscar soluciones en las que todas las variables sean enteros. En este caso la ecuación es una ecuación diofántica.. Uno también puede estar interesado solo en las soluciones reales. Sin embargo, para las ecuaciones algebraicas univariadas, el número de soluciones es finito, y todas las soluciones están contenidas en cualquier campo algebraicamente cerrado que contenga los coeficientes, por ejemplo, el campo de los números complejos en el caso de las ecuaciones sobre los racionales. De ello se deduce que, sin precisión, "raíz" y "solución" generalmente significan "solución en un campo algebraicamente cerrado".
ecuación de Riccati algebraica es un tipo de ecuación no lineal que surge en el contexto de problemas de control óptimo de horizonte infinito en tiempo continuo o tiempo discreto .
Una ecuación algebraica de Riccati típica es similar a una de las siguientes:
La ecuación de Riccati algebraica de tiempo continuo (CARE):
o la ecuación de Riccati algebraica de tiempo discreto (DARE):
X es la matriz simétrica n por n desconocida y A , B , Q , R son matrices de coeficientes reales conocidas .
Aunque, en general, esta ecuación puede tener muchas soluciones, generalmente se especifica que queremos obtener una solución estabilizadora única, si existe tal solución.
Origen del nombre [ editar ]
El nombre Riccati se da a estas ecuaciones debido a su relación con la ecuación diferencial de Riccati . De hecho, CARE se verifica mediante las soluciones invariantes en el tiempo de la ecuación diferencial de Riccati con valores matriciales asociados. En cuanto al DARE, se verifica mediante las soluciones invariantes en el tiempo de la ecuación de la diferencia de Riccati con valor de matriz (que es el análogo de la ecuación diferencial de Riccati en el contexto del tiempo discreto LQR).
Contexto de la ecuación de Riccati algebraica de tiempo discreto [ editar ]
En los problemas de control óptimo de horizonte infinito , uno se preocupa por el valor de alguna variable de interés arbitrariamente en el futuro, y debe elegir de manera óptima el valor de una variable controlada en este momento, sabiendo que también se comportará de manera óptima en todo momento en el futuro. Los valores actuales óptimos de las variables de control del problema en cualquier momento se pueden encontrar utilizando la solución de la ecuación de Riccati y las observaciones actuales sobre las variables de estado en evolución. Con múltiples variables de estado y múltiples variables de control, la ecuación de Riccati será una ecuación matricial .
La ecuación algebraica de Riccati determina la solución del problema del Regulador lineal-cuadrático invariante en el horizonte infinito (LQR), así como la del Problema del control lineal-cuadrático-gaussiano invariante en el horizonte infinito . Estos son dos de los problemas más fundamentales en la teoría del control .
Una especificación típica del problema de control cuadrático lineal de tiempo discreto es minimizar
sujeto a la ecuación de estado
donde y es un vector n × 1 de variables de estado, u es un vector k × 1 de variables de control, A es la matriz de transición de estado n × n , B es la matriz n × k de multiplicadores de control y Q ( n × n ) y R ( k × k ) son matrices de costos definidos positivos simétricos .
La inducción hacia atrás en el tiempo se puede usar para obtener la solución de control óptima en cada momento, [1]
con la matriz simétrica positiva de costo-para-llevar definida X evolucionando hacia atrás en el tiempo desde de acuerdo a
que se conoce como la ecuación de Riccati dinámica de tiempo discreto de este problema. La caracterización en estado estable de X , relevante para el problema de horizonte infinito en el que T va hasta el infinito, se puede encontrar iterando la ecuación dinámica repetidamente hasta que converja; entonces X se caracteriza por eliminar los subíndices de tiempo de la ecuación dinámica.
Solución [ editar ]
Por lo general, los solucionadores intentan encontrar la solución estabilizadora única, si existe tal solución. Una solución se está estabilizando si usarla para controlar el sistema LQR asociado hace que el sistema de circuito cerrado sea estable.
Para el CARE, el control es
y la matriz de transferencia de estado de bucle cerrado es
que es estable si y solo si todos sus valores propios tienen una parte real estrictamente negativa.
Para el DARE, el control es
y la matriz de transferencia de estado de bucle cerrado es
que es estable si y solo si todos sus valores propios están estrictamente dentro del círculo unitario del plano complejo.
Se puede obtener una solución a la ecuación de Riccati algebraica mediante factorizaciones matriciales o iterando en la ecuación de Riccati. Se puede obtener un tipo de iteración en el caso de tiempo discreto utilizando la ecuación de Riccati dinámica que surge en el problema del horizonte finito: en el último tipo de problema, cada iteración del valor de la matriz es relevante para la elección óptima en cada período que es una distancia finita en el tiempo desde un período de tiempo final, y si se itera infinitamente en el tiempo, converge a la matriz específica que es relevante para la elección óptima durante un período de tiempo infinito antes de un período final, es decir, para cuando Hay un horizonte infinito.
También es posible encontrar la solución encontrando la composición de un sistema más grande. Para el CARE, definimos la matriz hamiltoniana.
Ya que es hamiltoniano, si no tiene valores propios en el eje imaginario, entonces exactamente la mitad de sus valores propios tienen una parte real negativa. Si denotamos el matriz cuyas columnas forman una base del subespacio correspondiente, en notación de matriz de bloque, como
entonces
Es una solución de la ecuación de Riccati; además, los valores propios de son los valores propios de Con parte real negativa.
Ya que es simpléctico, si no tiene valores propios en el círculo unitario, entonces exactamente la mitad de sus valores propios están dentro del círculo unitario. Si denotamos el matriz cuyas columnas forman una base del subespacio correspondiente, en notación de matriz de bloque, como
entonces
Es una solución de la ecuación de Riccati; además, los valores propios de son los valores propios de Que están dentro del círculo unitario.
solución algebraica o solución en radicales es una expresión de forma cerrada , y más específicamente una expresión algebraica de forma cerrada , que es la solución de una ecuación algebraica en términos de los coeficientes, que se basa únicamente en la suma , resta , multiplicación , división , aumento a potencias enteras, y la extracción de raíces nth (raíces cuadradas, raíces cúbicas y otras raíces enteras).
El ejemplo más conocido es la solución.
Introducido en secundaria, de la ecuación cuadrática.
(donde un ≠ 0).
Existen soluciones algebraicas más complicadas para la ecuación cúbica general [1] y la ecuación cuártica . [2] El teorema de Abel-Ruffini [3] : 211 establece que la ecuación quíntica general carece de una solución algebraica, y esto implica directamente que la ecuación polinomial general de grado n , para n ≥ 5, no puede resolverse algebraicamente. Sin embargo, para n ≥ 5, algunas ecuaciones polinomiales tienen soluciones algebraicas; por ejemplo, la ecuación se puede resolver como Consulte la función de Quintic § Otros quintics solubles para varios otros ejemplos en el grado 5.
Évariste Galois introdujo un criterio que le permite a uno decidir qué ecuaciones se pueden resolver en radicales. Ver Extensión radical para la formulación precisa de su resultado.
Las soluciones algebraicas forman un subconjunto de expresiones de forma cerrada , porque las últimas permiten funciones trascendentales ( funciones no algebraicas) como la función exponencial, la función logarítmica y las funciones trigonométricas y sus inversos.
No hay comentarios:
Publicar un comentario