ECUACIONES

La ecuación de Avrami describe cómo los sólidos se transforman de una fase (estado de la materia) a otra a temperatura constante. Puede describir específicamente la cinética de la cristalización , puede aplicarse en general a otros cambios de fase en los materiales, como las velocidades de reacción química, e incluso puede ser significativo en los análisis de sistemas ecológicos. ^[1]

La ecuación también se conoce como la ecuación de Johnson- Mehl -Avrami- Kolmogorov o JMAK. La ecuación fue derivada por primera vez por Kolmogorov en 1937 y popularizada por Melvin Avrami en una serie de artículos publicados en el Journal of Chemical Physics desde 1939 hasta 1941.

La transformación de una fase de otra por el crecimiento de núcleos que se forman aleatoriamente en la fase principal

Cinética de transformación [ editar ]

Diagrama de transformación isotérmica típica (arriba). La transformación se puede describir utilizando la ecuación de avrami como una gráfica de lnln (1 / (1-Y)) vs ln (t) produce una línea recta

Con frecuencia, se observa que las transformaciones siguen un perfil característico en forma de s, o sigmoidal, donde las tasas de transformación son bajas al principio y al final de la transformación pero rápidas entre ellas.

La baja velocidad inicial puede atribuirse al tiempo requerido para que se forme y comience a crecer un número significativo de núcleos de la nueva fase. Durante el período intermedio, la transformación es rápida a medida que los núcleos crecen en partículas y consumen la fase anterior, mientras que los núcleos continúan formándose en la fase principalrestante .

Una vez que la transformación se acerca a su finalización, queda poco material sin transformar para una mayor nucleación y la producción de nuevas partículas comienza a disminuir. Además, las partículas previamente formadas comienzan a tocarse entre sí, formando un límite donde el crecimiento se detiene.

Derivación [ editar ]

La derivación más simple de la ecuación de Avrami hace una serie de suposiciones y simplificaciones significativas: ^[5]

• La nucleación se produce de forma aleatoria y homogénea en toda la porción no transformada del material.
• La tasa de crecimiento no depende del grado de transformación.
• El crecimiento se produce al mismo ritmo en todas las direcciones.

Si estas condiciones se cumplen entonces una transformación de $${\ displaystyle \ alpha \, \!} dentro $${\ displaystyle \ beta \, \!} Se procederá por la nucleación de nuevas partículas a una velocidad. $${\ displaystyle {\ dot {N}} \, \!} por unidad de volumen que crece a un ritmo $${\ displaystyle {\ dot {G}} \, \!}en partículas esféricas y solo dejan de crecer cuando chocan unas con otras. Durante un intervalo de tiempo,{\ displaystyle 0 <\ tau , la nucleación y el crecimiento solo pueden tener lugar en material no transformado. Sin embargo, el problema se resuelve más fácilmente aplicando el concepto de un volumen extendido , el volumen de la nueva fase que se formaría si toda la muestra aún no estuviera transformada. Durante el intervalo de tiempo de τ a τ + dτ, el número de núcleos, N, que aparecen en una muestra del volumen V estará dado por:

$${\ displaystyle N = V {\ dot {N}} d \ tau \, \!} [1]

dónde $${\ displaystyle {\ dot {N}} \, \!}es uno de los dos parámetros de este modelo simple, es la constante de supresión, la tasa de nucleación por unidad de volumen. Dado que el crecimiento es isotrópico, constante y sin obstáculos por el material previamente transformado, cada núcleo crecerá en una esfera de radio$${\ displaystyle {\ dot {G}} (t- \ tau)} y así el volumen extendido de $${\ displaystyle \ beta} Debido a que los núcleos que aparecen en el intervalo de tiempo serán:

$${\ displaystyle dV _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {4 \ pi} {3}} {\ dot {G}} ^ {3} (t- \ tau) ^ {3} V {\ dot {N}} d \ tau \, \!}

dónde $${\ displaystyle {\ dot {G}} \, \!} es el segundo de los dos parámetros en este modelo simple, es la velocidad de crecimiento de un cristal, supuestamente constante. La integración de esta ecuación entre $${\ displaystyle \ tau = 0} y $${\ displaystyle \ tau = t} producirá el volumen extendido total que aparece en el intervalo de tiempo

$${\ displaystyle V _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {\ pi} {3}} V {\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} t ^ {4} \, \!}

Sólo una fracción de este volumen extendido es real; una parte del mismo se encuentra en material previamente transformado y es virtual. Dado que la nucleación se produce de forma aleatoria, la fracción del volumen extendido que se forma durante cada incremento de tiempo que es real será proporcional a la fracción de volumen de$${\ displaystyle \ alpha}. Así

$${\ displaystyle dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e} \ left (1 - {\ frac {V _ {\ beta}} {V}} \ right) \, \!}

reorganizado

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1-V _ {\ beta} / V}} dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e} \, \!}

y sobre la integración

$${\ displaystyle \ ln (1-Y) = - V _ {\ beta} ^ {e} / V \, \!}

donde Y es la fracción de volumen de $${\ displaystyle \ beta} ($${\ displaystyle V _ {\ beta} / V}).

Dadas las ecuaciones anteriores, esto puede reducirse a la forma más familiar de la ecuación de Avrami (JMAK) que da la fracción de material transformado después de un tiempo de mantenimiento a una temperatura dada

$${\ displaystyle Y = 1- \ exp [-K (t) ^ {n}] \, \!}    dónde    $${\ displaystyle K = \ pi {\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} / 3 \, \!}    y    $${\ displaystyle n = 4 \, \!}

Esto puede ser reescrito como:

$${\ displaystyle \ ln \, {(- \ ln {[1-Y (t)]})} = \ ln K + n \ ln t \, \!}

lo que permite la determinación de las constantes n y k a partir de una gráfica de lnln (1 / (1-Y)) vs ln (t). Si la transformación sigue la ecuación de Avrami, se obtiene una línea recta con gradiente n e intercepción en K.

Cristalita final (dominio) tamaño [ editar ]

La cristalización ha terminado en gran medida cuando $${\ displaystyle Y} alcanza valores cercanos a 1, que estarán en un tiempo de cristalización $${\ displaystyle t_ {X}} definido por $${\ displaystyle Kt_ {X} ^ {n} \ sim 1}, como entonces el término exponencial en la expresión anterior para $${\ displaystyle Y}será pequeño Así la cristalización lleva un tiempo de orden.

$${\ displaystyle t_ {X} \ sim {\ frac {1} {\ left ({\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} \ right) ^ {1/4}}}}

es decir, la cristalización lleva un tiempo que disminuye como uno sobre la potencia de un cuarto de la velocidad de nucleación por unidad de volumen, $${\ displaystyle {\ dot {N}}}, y uno sobre los tres cuartos de potencia de la velocidad de crecimiento $${\ displaystyle {\ dot {G}}}. Los cristalitos típicos crecen durante una fracción del tiempo de cristalización.$${\ displaystyle t_ {X}}, y así tener una dimensión lineal. $${\ displaystyle {\ dot {G}} t_ {X}}o

$${\ displaystyle {\ mbox {tamaño lineal cristalino}} \ sim {\ dot {G}} t_ {X} \ sim \ left ({\ frac {\ dot {G}} {\ dot {N}}} \ right ) ^ {1/4}}

es decir, la potencia de un cuarto de la relación entre la velocidad de crecimiento y la velocidad de nucleación por unidad de volumen. Por lo tanto, el tamaño de los cristales finales solo depende de esta relación, dentro de este modelo, y como deberíamos esperar, las tasas de crecimiento rápidas y las tasas de nucleación lentas dan como resultado cristales grandes. El volumen promedio de los cristalitos es de este tamaño lineal típico en cubos.

Todo esto asume un exponente de $${\ displaystyle n = 4 \, \!}que es apropiado para la nucleación uniforme (homogénea) en tres dimensiones. Las películas delgadas, por ejemplo, pueden ser efectivamente bidimensionales, en cuyo caso si la nucleación es nuevamente uniforme, el exponente$${\ displaystyle n = 3 \, \!}, En general, para la nucleación y crecimiento uniformes, $${\ displaystyle n = D + 1 \, \!}, para $${\ displaystyle D \, \!} La dimensionalidad del espacio en que se produce la cristalización.

Interpretación de las constantes de Avrami [ editar ]

Originalmente, se mantuvo que n tenía un valor entero entre 1 y 4 que reflejaba la naturaleza de la transformación en cuestión. En la derivación anterior, por ejemplo, se puede decir que el valor de 4 tiene contribuciones de tres dimensiones de crecimiento y una que representa una velocidad de nucleación constante. Existen derivaciones alternativas donde n tiene un valor diferente. ^[6]

Si los núcleos están preformados y, por lo tanto, todos están presentes desde el principio, la transformación solo se debe al crecimiento tridimensional de los núcleos y n tiene un valor de 3.

Una condición interesante ocurre cuando se produce una nucleación en sitios específicos (como límites de granoo impurezas) que se saturan rápidamente poco después de que comience la transformación. Inicialmente, la nucleación puede ser aleatoria y el crecimiento sin obstáculos lleva a valores altos para n (3,4). Una vez que los sitios de nucleación se consuman, la formación de nuevas partículas cesará.

Además, si la distribución de los sitios de nucleación no es aleatoria, entonces el crecimiento puede restringirse a 1 o 2 dimensiones. La saturación del sitio puede llevar a n valores de 1, 2 o 3 para los sitios de superficie, borde y punto, respectivamente. 

ecuación Belavkin , también conocida como la ecuación Belavkin-Schrödinger , ecuación de filtrado cuántica , ecuación maestra estocástico , es una ecuación diferencial estocástica cuántica que describe la dinámica de un sistema cuántico de someterse a observación en tiempo continuo. Fue derivado y en adelante estudiado por Viacheslav Belavkin en 1988.

Descripción general [ editar ]

A diferencia de la ecuación de Schrödinger , que describe la evolución determinista de la función de onda $${\ displaystyle \ psi (t)}de un sistema cerrado (sin interacción), la ecuación de Belavkin describe la evolución estocástica de una función de onda aleatoria $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)}de un sistema cuántico abierto interactuando con un observador:

$${\ displaystyle d \ psi = - \ left ({\ frac {1} {2}} L ^ {\ ast} L + {\ frac {i} {\ hbar}} H \ right) \ psi dt + L \ psi dy}

Aquí, $${\ displaystyle L} es un operador autoadjunto (o un vector de columnas de operadores) del sistema acoplado al campo externo, $${\ displaystyle H} es el hamiltoniano, $${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}} es la unidad imaginaria, $${\ displaystyle \ hbar} es la constante de Planck, y $${\ displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {t} dy (r)}es un proceso estocástico que representa el ruido de medición que es una martingala con incrementos independientes con respecto a la medida de probabilidad de entrada$${\ displaystyle P (0, d \ omega) = \ | \ psi (0, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}. Tenga en cuenta que este ruido tiene incrementos dependientes con respecto a la medida de probabilidad de salida$${\ displaystyle P (t, d \ omega) = \ | \ psi (t, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}Representando el proceso de innovación de salida (la observación). por$${\ displaystyle L = 0}, la ecuación se convierte en la ecuación de Schrödinger estándar .

El proceso estocástico. $${\ displaystyle y (t)}puede ser una mezcla de dos tipos básicos: el tipo Poisson (o salto )$${\ displaystyle y (t) \ simeq n (t) -t}, dónde $${\ displaystyle n (t)}es un proceso de Poisson correspondiente a la observación de conteo, y el tipo Brownian (o difusión )$${\ displaystyle y (t) \ simeq w (t)}, dónde $${\ displaystyle w (t)}Es el proceso estándar de Wiener correspondiente a la observación continua. Las ecuaciones del tipo de difusión se pueden derivar como el límite central de las ecuaciones del tipo de salto con la tasa esperada de los saltos aumentando hasta el infinito.

La funcion de onda aleatoria $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)} Se normaliza solo en el sentido cuadrático medio. $${\ displaystyle \ int \ | \ psi (t, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega) = \ | \ psi _ {0} \ | = 1}, pero en general $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)} no se puede normalizar para cada $${\ displaystyle \ omega}. La normalización de$${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)} para cada $${\ displaystyle \ omega}da el vector de estado posterior aleatorio $${\ displaystyle \ varphi (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) / \ | \ psi (t, \ omega) \ |}, cuya evolución se describe mediante la ecuación de Belavkin posterior, que no es lineal, porque los operadores $${\ displaystyle L} y $${\ displaystyle H} depender de $${\ displaystyle \ varphi}Debido a la normalización. El proceso estocástico.$${\ displaystyle y (t)} en la ecuación posterior tiene incrementos independientes con respecto a la medida de probabilidad de salida $${\ displaystyle P (t, d \ omega) = \ | \ psi (t, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}, pero no con respecto a la medida de entrada. Belavkin también derivó la ecuación lineal para el operador de densidad no normalizado$${\ displaystyle \ varrho (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) \ psi ^ {\ ast} (t, \ omega)} y la ecuación no lineal correspondiente para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado $${\ displaystyle \ rho (t, \ omega) = \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega)}. Para dos tipos de ruido de medición, esto da ocho ecuaciones diferenciales estocásticas cuánticas básicas. Las formas generales de las ecuaciones incluyen todos los tipos de ruido y sus representaciones en el espacio Fock . ^[4] [5]

La ecuación no lineal que describe la observación de la posición de una partícula libre, que es un caso especial de la ecuación de Belavkin posterior del tipo de difusión, también fue obtenida por Diosi ^[6] y apareció en los trabajos de Gisin, ^[7] Ghirardi, Pearle y Rimini, ^[8] aunque con una motivación o interpretación bastante diferente. Se postularon ecuaciones no lineales similares para los operadores de densidad posterior (aunque sin derivación) en la óptica cuántica y la teoría de las trayectorias cuánticas, ^[9], donde se denominan ecuaciones maestras estocásticas . El promedio de las ecuaciones para los operadores de densidad aleatoria.$${\ displaystyle \ rho (t, \ omega)} sobre todas las trayectorias aleatorias $${\ displaystyle \ omega}conduce a la ecuación de Lindblad , ^[10] que es determinista.

Las ecuaciones no lineales de Belavkin para los estados posteriores desempeñan el mismo papel que la ecuación de Stratonovich- Kushner en probabilidad clásica, mientras que las ecuaciones lineales corresponden a la ecuación de Zakai . ^[11] Las ecuaciones de Belavkin describen la decoherencia en tiempo continuo del estado inicialmente puro$${\ displaystyle \ rho (0) = \ psi _ {0} \ psi _ {0} ^ {\ ast}} en un estado posterior mixto $${\ displaystyle \ rho (t) = \ int \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega) P (t, d \ omega)}dando una descripción rigurosa de la dinámica del colapso de la función de onda debido a una observación o medición. ^{[12][13] [14]}

Medición sin demolición y filtrado cuántico [ editar ]

La no conmutatividad presenta un desafío importante para la interpretación probabilística de las ecuaciones diferenciales estocásticas cuánticas debido a la no existencia de expectativas condicionales para pares generales de observables cuánticos. Belavkin resolvió este problema descubriendo la relación de incertidumbre error-perturbación y formulando el principio de no demolición de la medición cuántica. ^[13] [15] En particular, si el proceso estocástico$${\ displaystyle dy (t)} corresponde al error $${\ displaystyle e (t) dt = dw} (ruido blanco en el caso difusivo) de una observación ruidosa $${\ displaystyle Y (t) = X (t) + e (t)} de operador $${\ displaystyle X (t) = \ lambda [L (t) + L ^ {\ ast} (t)]} con el coeficiente de precisión {\ displaystyle \ lambda> 0}, entonces la observación indirecta perturba la dinámica del sistema por una fuerza estocástica $${\ displaystyle f (t)}, llamada la fuerza de Langevin , que es otro ruido blanco de intensidad.$${\ displaystyle (\ hbar \ lambda) ^ {2}} Eso no conmuta con el error. $${\ displaystyle e (t)}. El resultado de tal perturbación es que el proceso de salida$${\ displaystyle Y (t)} es conmutativo $${\ displaystyle [Y (s), Y (t)] = 0}, y por lo tanto $${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} Y (r) dr} corresponde a una observación clásica, mientras que los operadores del sistema $${\ displaystyle X} satisfacer la condición de no demolición: todos los observables futuros deben conmutar con las observaciones pasadas (pero no con las observaciones futuras): $${\ displaystyle [X (s), Y (t)] = 0} para todos $${\ displaystyle s \ geq t} (pero no {\ displaystyle s ). Tenga en cuenta que la conmutación de$${\ displaystyle X (s)} con $${\ displaystyle Y (t)} y otro operador $${\ displaystyle Z (s)} con $${\ displaystyle Y (t)} no implica la acumulación de $${\ displaystyle X (s)} con $${\ displaystyle Z (s)}, por lo que el álgebra de futuros observables sigue siendo no conmutativo. La condición de no demolición es necesaria y suficiente para la existencia de expectativas condicionales.$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {X (s) \ mid Y (t) \}}, lo que hace posible el filtrado cuántico. ^[dieciséis]

Ecuaciones de estado posterior [ editar ]

Contando la observación [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle n (t)}Ser un proceso de Poisson con incrementos hacia adelante.$${\ displaystyle dn (t) = 0} casi en todas partes y $${\ displaystyle dn (t) = 1} de lo contrario y teniendo la propiedad $${\ displaystyle (dn) ^ {2} = dn}. El número esperado de eventos es$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {n (t) \} = \ nu t}, dónde $${\ displaystyle \ nu}Es la tasa esperada de saltos. Luego sustituyendo$${\ displaystyle m (t) = {\ frac {n (t) - \ nu t} {\ sqrt {\ nu}}}} para el proceso estocástico $${\ displaystyle y (t)} da la ecuación de Belavkin lineal para la función de onda aleatoria no normalizada $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)}sometiéndose a observación de conteo. Sustituyendo$${\ displaystyle L = {\ sqrt {\ nu}} (CI)}, dónde $${\ displaystyle C} es el operador de colapso, y $${\ displaystyle H = E + i \ hbar {\ frac {\ nu} {2}} (CC ^ {\ ast})}, dónde $${\ displaystyle E} es el operador de energía, esta ecuación se puede escribir en la siguiente forma

$${\ displaystyle d \ psi = - \ left ({\ frac {\ nu} {2}} (C ^ {\ ast} CI) + {\ frac {i} {\ hbar}} E \ right) \ psi dt + (CI) \ psi dn}

Función de onda normalizada $${\ displaystyle \ varphi (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) / \ | \ psi (t, \ omega) \ |}se denomina vector de estado posterior , cuya evolución se describe mediante la siguiente ecuación no lineal

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {\ nu} {2}} (C ^ {\ ast} C- \ | C \ varphi \ | ^ {2}) + {\ frac {i} {\ hbar}} E \ right) \ varphi dt + \ left ({\ frac {C} {\ | C \ varphi \ |}} - I \ right) \ varphi d {\ tilde {n}}}

dónde $${\ displaystyle {\ tilde {n}} (t)} tiene expectativa $${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {{\ tilde {n}} (t) \} = \ nu \ | C \ varphi \ | ^ {2} t}. La ecuación posterior se puede escribir en la forma estándar.

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {1} {2}} {\ tilde {L}} ^ {\ ast} {\ tilde {L}} + {\ frac {i} {\ hbar }} {\ tilde {H}} \ right) \ varphi dt + {\ tilde {L}} \ varphi d {\ tilde {m}}}

con $${\ displaystyle {\ tilde {L}} = {\ sqrt {\ nu}} (C- \ | C \ varphi \ |)}, $${\ displaystyle {\ tilde {H}} = E + i \ hbar {\ frac {\ nu} {2}} (CC ^ {\ ast}) \ | C \ varphi \ |}y $${\ displaystyle {\ tilde {m}} (t) = {\ frac {{\ tilde {n}} (t) - \ nu \ | C \ varphi \ | ^ {2} t} {{\ sqrt {\ nu}} \ | C \ varphi \ |}}}. Las ecuaciones correspondientes para el operador de densidad aleatoria no normalizado.$${\ displaystyle \ varrho (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) \ psi ^ {\ ast} (t, \ omega)} y para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado $${\ displaystyle \ rho (t, \ omega) = \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega)} son como sigue

{\ displaystyle {\ begin {alineado} d \ varrho & = - [G \ varrho + \ varrho G ^ {\ ast} - \ nu \ varrho] dt + [C \ varrho C ^ {\ ast} - \ varrho] dn \\ d \ rho & = - [G \ rho + \ rho G ^ {\ ast} - \ nu \ rho \ mathrm {Tr} \ left \ {C \ rho C ^ {\ ast} \ right \}] dt + \ left ({\ frac {C \ rho C ^ {\ ast}} {\ mathrm {Tr} \ left \ {C \ rho C ^ {\ ast} \ right \}}} - \ rho \ right) d { \ tilde {n}} \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle G = {\ frac {\ nu} {2}} C ^ {\ ast} C + {\ frac {i} {\ hbar}} E}. Tenga en cuenta que la última ecuación es no lineal.

Observación continua [ editar ]

Proceso estocástico $${\ displaystyle m (t)}, definida en la sección anterior, tiene incrementos de avance. $${\ displaystyle (dm) ^ {2} = \ nu ^ {- 1/2} dm + dt}, que tienden a $${\ displaystyle dt} como $${\ displaystyle \ nu \ to \ infty}. Por lo tanto,$${\ displaystyle m (t)}se convierte en el proceso de Wiener estándar con respecto a la medida de probabilidad de entrada. Sustituyendo$${\ displaystyle w (t)} para $${\ displaystyle y (t)} da la ecuación de Belavkin lineal para la función de onda aleatoria no normalizada $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)}en continua observación. El proceso de salida$${\ displaystyle {\ tilde {m}} (t)} Se convierte en el proceso de innovación de difusión. $${\ displaystyle {\ tilde {w}} (t)} con incrementos $${\ displaystyle d {\ tilde {w}} (t, \ omega) = dw (t, \ omega) -2 \ mathrm {Re} \ langle \ varphi (t, \ omega) \ mid L \ varphi (t, \ omega) \ rangle dt}. La ecuación de Belavkin no lineal del tipo de difusión para el vector de estado posterior$${\ displaystyle \ varphi (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) / \ | \ psi (t, \ omega) \ |} es

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {1} {2}} {\ tilde {L}} ^ {\ ast} {\ tilde {L}} + {\ frac {i} {\ hbar }} {\ tilde {H}} \ right) \ varphi dt + {\ tilde {L}} \ varphi d {\ tilde {w}}}

con $${\ displaystyle {\ tilde {L}} = L- \ mathrm {Re} \ langle \ varphi \ mid L \ varphi \ rangle} y $${\ displaystyle {\ tilde {H}} = H + i \ hbar {\ frac {1} {2}} (LL ^ {\ ast}) \ mathrm {Re} \ langle \ varphi \ mid L \ varphi \ rangle }. Las ecuaciones correspondientes para el operador de densidad aleatoria no normalizado.$${\ displaystyle \ varrho (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) \ psi ^ {\ ast} (t, \ omega)} y para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado $${\ displaystyle \ rho (t, \ omega) = \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega)} son como sigue

{\ displaystyle {\ begin {alineado} d \ varrho & = - [K \ varrho + \ varrho K ^ {\ ast} -L \ varrho L ^ {\ ast}] dt + [L \ varrho + \ varrho L ^ { \ ast}] dw \\ d \ rho & = - [K \ rho + \ rho K ^ {\ ast} -L \ rho L ^ {\ ast}] dt + [L \ rho + \ rho L ^ {\ ast } - \ rho \ mathrm {Tr} \ left \ {(L + L ^ {\ ast}) \ rho \ right \}] d {\ tilde {w}} \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} L ^ {\ ast} L + {\ frac {i} {\ hbar}} H}. La segunda ecuación es no lineal debido a la normalización. Porque$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {dw (t) \} = 0}, tomando el promedio de estas ecuaciones estocásticas sobre todas las $${\ displaystyle \ omega}conduce a la ecuación de Lindblad

$${\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {dt}} = - [K \ rho + \ rho K ^ {\ ast}] + L \ rho L ^ {\ ast}}

Ejemplo: observación continua de la posición de una partícula libre [ editar ]

Considera una partícula de masa libre. $${\ displaystyle m}. La posición y el momento observable corresponden respectivamente a los operadores.$${\ displaystyle {\ hat {x}}} de multiplicación por $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle {\ hat {p}} = (\ hbar / i) d / dx}. Haciendo las siguientes sustituciones en la ecuación de Belavkin

$${\ displaystyle L = {\ hat {x}}, \ qquad H = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}}

La ecuación estocástica posterior se convierte en.

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {1} {2}} ({\ hat {x}} - \ langle {\ hat {x}} \ rangle) ^ {2} + {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} \ right) \ varphi dt + {\ Bigl (} {\ hat {x}} - \ langle { \ hat {x}} \ rangle {\ Bigr)} \ varphi [dy-2 \ langle {\ hat {x}} \ rangle dt]}

dónde $${\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle (t) = \ mathrm {Tr} \ left \ {{\ hat {x}} \ rho (t) \ right \}} es la expectativa posterior de $${\ displaystyle {\ hat {x}}}. Motivado por la teoría del colapso espontáneo en lugar de la teoría del filtrado, esta ecuación también fue obtenida por Diosi, ^[17] que muestra que el ruido de medición$${\ displaystyle dy-2 \ langle {\ hat {x}} \ rangle dt} es el incremento $${\ displaystyle d \ xi}de un proceso estándar de Wiener . Hay soluciones de forma cerrada para esta ecuación, ^[18] , así como ecuaciones para una partícula en un potencial lineal o cuadrático. ^{[1] [3] [19]}Para un estado inicial gaussiano$${\ displaystyle \ psi _ {0}}Estas soluciones corresponden al filtro lineal cuántico óptimo. ^{[15] Las}soluciones a la ecuación de Belavkin muestran que en el límite$${\ displaystyle t \ to \ infty}la función de onda tiene una dispersión finita, ^[20] por lo tanto, resuelve el efecto cuántico de Zeno .