ECUACIONES

 Negro-Scholes-Merton modelo es un modelo matemático para la dinámica de un mercado financiero que contienen derivados instrumentos de inversión. A partir de la ecuación diferencial parcial en el modelo, conocida como la ecuación de Black-Scholes , se puede deducir la fórmula de Black-Scholes , que ofrece una estimación teórica del precio de las opciones de estilo europeo y muestra que la opción tiene un valor único.precio independientemente del riesgo de la seguridad y su rendimiento esperado (en lugar de reemplazar el rendimiento esperado de la seguridad con la tasa neutral de riesgo). La fórmula condujo a un auge en el comercio de opciones y otorgó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones en todo el mundo. ^[2] Es ampliamente utilizado, aunque a menudo con ajustes y correcciones, por los participantes del mercado de opciones. ^[3] : 751

Basados ​​en trabajos desarrollados previamente por investigadores de mercado y profesionales, como Louis Bachelier , Sheen Kassouf y Ed Thorp, entre otros, Fischer Black y Myron Scholes demostraron a fines de la década de 1960 que una revisión dinámica de una cartera elimina el retorno esperado de la seguridad, por lo tanto inventando el argumento neutral de riesgo . ^[4] [5] En 1970, después de que intentaron aplicar la fórmula a los mercados e incurrieron en pérdidas financieras debido a la falta de administración de riesgos en sus operaciones, decidieron enfocarse en su área de dominio, el entorno académico. ^[6]Después de tres años de esfuerzos, la fórmula nombrada en honor a ellos por hacerla pública, se publicó finalmente en 1973 en un artículo titulado "El precio de las opciones y los pasivos corporativos", en el Journal of Political Economy . ^{[7] [8] [9]} Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que amplía la comprensión matemática del modelo de fijación de precios de las opciones y acuñó el término " modelo de valoración de opciones de Black-Scholes ". Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1997 por su trabajo, y el comité citó su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un avance que separa la opción del riesgo de la seguridad subyacente. ^[10]Aunque no era elegible para el premio debido a su muerte en 1995, Black fue mencionado como colaborador por la Academia Sueca. ^[11]

La idea clave detrás del modelo es cubrir la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de la manera correcta y, como consecuencia, para eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina " cobertura deltacontinuamente revisada " y es la base de estrategias de cobertura más complicadas, como las que realizan los bancos de inversión y los fondos de cobertura .

Las suposiciones del modelo se han relajado y generalizado en muchas direcciones, lo que lleva a una gran cantidad de modelos que se utilizan actualmente en la valoración de derivados y la gestión de riesgos. Son las ideas del modelo, como se ejemplifica en la fórmula Black-Scholes , las que los participantes del mercado utilizan con frecuencia, a diferencia de los precios reales. Estos puntos de vista incluyen límites sin arbitraje y precios sin riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes , una ecuación diferencial parcial que rige el precio de la opción, permite la determinación de precios utilizando métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.

La fórmula de Black-Scholes tiene un solo parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad promedio futura del activo subyacente, aunque se puede encontrar en el precio de otras opciones. Dado que el valor de la opción (ya sea poner o llamar) está aumentando en este parámetro, se puede invertir para producir una " superficie de volatilidad " que luego se usa para calibrar otros modelos, por ejemplo, para derivados OTC .

El mundo de Black-Scholes [ editar ]

El modelo de Black-Scholes asume que el mercado consiste en al menos un activo de riesgo, generalmente llamado acciones, y un activo sin riesgo, generalmente llamado mercado de dinero, efectivo o bonos.

Ahora hacemos suposiciones sobre los activos (que explican sus nombres):

• (tasa sin riesgo) La tasa de rendimiento del activo sin riesgo es constante y, por lo tanto, se denomina tasa de interés libre de riesgo .
• (caminata aleatoria) El retorno de registro instantáneo del precio de las acciones es una caminata aleatoriainfinitesimal con deriva; más precisamente, es un movimiento Browniano geométrico , y asumiremos que su tendencia y volatilidad son constantes (si varían en el tiempo, podemos deducir una fórmula Black-Scholes adecuadamente modificada de manera bastante simple, siempre que la volatilidad no sea aleatoria) .
• La acción no paga un dividendo . ^{[Notas 1]}

Suposiciones en el mercado:

• No hay oportunidad de arbitraje (es decir, no hay manera de obtener una ganancia sin riesgo).
• Es posible pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de efectivo a una tasa sin riesgo.
• Es posible comprar y vender cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de las acciones (esto incluye ventas en corto ).
• Las transacciones anteriores no incurren en ninguna tarifa o costo (es decir, mercado sin fricción ).

Teniendo en cuenta estos supuestos, supongamos que existe una seguridad derivada que también se cotiza en este mercado. Especificamos que esta garantía tendrá una cierta recompensa en una fecha específica en el futuro, dependiendo de los valores tomados por el stock hasta esa fecha. Es un hecho sorprendente que el precio del derivado esté completamente determinado en el momento actual, aunque no sepamos qué camino tomará el precio de las acciones en el futuro. Para el caso especial de una opción europea de compra o venta, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta , que consiste en una posición larga en el stock y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá de la precio de la acción ". ^[12] Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que regía el precio de la opción. Su solución está dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en extensiones posteriores del modelo. Las versiones modernas representan las tasas de interés dinámicas (Merton, 1976), ^{[ cita requerida ]} costos de transacción e impuestos (Ingersoll, 1976), ^{[ cita requerida ]} y pago de dividendos. ^[13]

Notación [ editar ]

La notación utilizada en esta página se definirá de la siguiente manera:

$${\ displaystyle S (t)}, el precio del activo subyacente en el momento t .;

$${\ displaystyle V (S, t)}, el precio de la opción en función del activo subyacente, S en el momento, t;

$${\ displaystyle C (S, t)}, el precio de una opción de compra europea y $${\ displaystyle P (S, t)} el precio de una opción de venta europea;

$${\ displaystyle K}, el precio de ejercicio de la opción, también conocido como el precio de ejercicio;

$${\ displaystyle r}, la tasa de interés libre de riesgo anualizada , compuesta de manera continua También conocida como la fuerza de interés ;

$${\ displaystyle \ mu}, la tasa de deriva de$${\ displaystyle S}anualizado

$${\ displaystyle \ sigma}, la desviación estándar de los rendimientos de las acciones; esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso del precio de registro de la acción;

$${\ displaystyle t}, un tiempo en años; generalmente usamos: ahora$${\ displaystyle = 0}vencimiento $${\ displaystyle = T};

$${\ displaystyle \ Pi}, el valor de la cartera .

Usaremos $${\ displaystyle N (x)}para denotar la función de distribución acumulativa normal estándar ,

$${\ displaystyle N (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {- {\ frac {z ^ {2}} {2}}} \, dz}.

$${\ displaystyle N '(x)}denotará la función de densidad de probabilidad normal estándar ,

$${\ displaystyle N '(x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}

Ecuación de Black-Scholes [ editar ]

Artículo principal: Ecuación de Black-Scholes.

Movimientos brownianos geométricos simulados con parámetros de datos del mercado

Como se mencionó anteriormente, la ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial , que describe el precio de la opción a lo largo del tiempo. La ecuación es:

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial V} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ parcial ^ {2} V } {\ parcial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ parcial V} {\ parcial S}} - rV = 0}

La información financiera clave detrás de la ecuación es que uno puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de la manera correcta y, en consecuencia, "eliminando el riesgo". ^{[ cita requerida ]} Esta cobertura, a su vez, implica que solo hay un precio correcto para la opción, según lo devuelto por la fórmula de Black-Scholes (consulte la siguiente sección ).

Fórmula Black-Scholes [ editar ]

Una llamada europea valorada utilizando la ecuación de precios de Black-Scholes para variar el precio de los activos $${\ displaystyle S} y tiempo de expiración $${\ displaystyle T}. En este ejemplo particular, el precio de ejercicio se establece en 1.

La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de las opciones europeas de venta y llamada . Este precio es consistente con la ecuación de Black-Scholes como se muestra arriba ; Esto se sigue, ya que la fórmula se puede obtener resolviendo la ecuación para las condiciones de límite y terminal correspondientes.

El valor de una opción de compra para una acción subyacente que no paga dividendos en términos de los parámetros Black-Scholes es:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} C (S_ {t}, t) & = N (d_ {1}) S_ {t} -N (d_ {2}) PV (K) \\ d_ {1} & = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S_ {t}} {K}} \ right) + \ left (r + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) (Tt) \ right] \\ d_ {2} & = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {Tt}} \\ PV (K) & = Ke ^ {- r (Tt)} \ end {alineado}}}

El precio de una opción de venta correspondiente basada en la paridad de llamada de compra es:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} P (S_ {t}, t) & = Ke ^ {- r (Tt)} - ​​S_ {t} + C (S_ {t}, t) \\ & = N ( -d_ {2}) Ke ^ {- r (Tt)} - ​​N (-d_ {1}) S_ {t} \ end {alineado}} \,}

Para ambos, como arriba :

• $${\ displaystyle N (\ cdot)}Es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar.
• $${\ displaystyle Tt} Es el tiempo de madurez (expresado en años).
• $${\ displaystyle S_ {t}}es el precio al contado del activo subyacente
• $${\ displaystyle K} es el precio de ejercicio
• $${\ displaystyle r}es la tasa libre de riesgo ( tasa anual, expresada en términos de capitalización continua )
• $${\ displaystyle \ sigma}Es la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente.

Formulación alternativa [ editar ]

La introducción de algunas variables auxiliares permite simplificar y reformular la fórmula de una forma que suele ser más conveniente (este es un caso especial de la fórmula Black '76 ):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} C (F, \ tau) & = D \ left [N (d _ {+}) FN (d _ {-}) K \ right] \\ d _ {\ pm} & = { \ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {F} {K}} \ right) \ pm {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} \ tau \ right] \\ d _ {\ pm} & = d _ {\ mp} \ pm \ sigma {\ sqrt {\ tau}} \ end {alineado}}}

Las variables auxiliares son:

• $${\ displaystyle \ tau = Tt} es el tiempo de expiración (tiempo restante, tiempo hacia atrás)
• $${\ displaystyle D = e ^ {- r \ tau}}es el factor de descuento
• $${\ displaystyle F = e ^ {r \ tau} S = {\ frac {S} {D}}}es el precio a plazo del activo subyacente, y$${\ displaystyle S = DF}

con d ₊ = d ₁ y d _- = d ₂ para aclarar la notación.

Dada paridad de llamada de llamada, que se expresa en estos términos como:

$${\ displaystyle CP = D (FK) = S-DK}

El precio de una opción de venta es:

$${\ displaystyle P (F, \ tau) = D \ left [N (-d _ {-}) KN (-d _ {+}) F \ right]}

Interpretación [ editar ]

La fórmula de Black-Scholes se puede interpretar de manera bastante práctica, con la sutileza principal de la interpretación de $${\ displaystyle N (d _ {\ pm})} (y un fortiori $${\ displaystyle d _ {\ pm}}) términos, particularmente $${\ displaystyle d _ {+}}y por qué hay dos términos diferentes. ^[14]

La fórmula se puede interpretar al descomponer primero una opción de compra en la diferencia de dos opciones binarias : una llamada de activo o nada menos una llamada de efectivo o nada (una llamada de activo o nada, una breve llamada de efectivo o nada llama). Una opción de compra intercambia efectivo por un activo al vencimiento, mientras que una llamada de activo o nada simplemente produce el activo (sin efectivo a cambio) y una llamada de efectivo o nada solo produce efectivo (sin activo a cambio). La fórmula de Black-Scholes es una diferencia de dos términos, y estos dos términos son iguales al valor de las opciones de llamadas binarias. Estas opciones binarias se intercambian con menos frecuencia que las opciones de llamada de vainilla, pero son más fáciles de analizar.

Así la fórmula:

$${\ displaystyle C = D \ left [N (d _ {+}) FN (d _ {-}) K \ right]}

se rompe como

$${\ displaystyle C = DN (d _ {+}) F-DN (d _ {-}) K},

dónde $${\ displaystyle DN (d _ {+}) F} es el valor presente de una llamada de activo o nada y $${\ displaystyle DN (d _ {-}) K}es el valor presente de una llamada de efectivo o nada. El factor D es para el descuento, porque la fecha de vencimiento es en el futuro, y al eliminarlo se cambia el valor presente al valor futuro (valor al vencimiento). Así$${\ displaystyle N (d _ {+}) ~ F} es el valor futuro de una llamada de activo o nada y $${\ displaystyle N (d _ {-}) ~ K}es el valor futuro de una llamada de efectivo o nada. En términos de riesgo neutral, estos son el valor esperado del activo y el valor esperado del efectivo en la medida de riesgo neutral.

La interpretación ingenua, y no del todo correcta, de estos términos es que $${\ displaystyle N (d _ {+}) F} Es la probabilidad de que la opción expire en el dinero. $${\ displaystyle N (d _ {+})}, veces el valor del subyacente al vencimiento F, mientras que$${\ displaystyle N (d _ {-}) K} Es la probabilidad de que la opción expire en el dinero. $${\ displaystyle N (d _ {-}),}veces el valor del efectivo al vencimiento K. Esto es obviamente incorrecto, ya que ambos binarios expiran en el dinero o ambos expiran del dinero (ya sea que el efectivo se intercambie por activo o no), pero las probabilidades$${\ displaystyle N (d _ {+})} y $${\ displaystyle N (d _ {-})}no son iguales De hecho,$${\ displaystyle d _ {\ pm}}se puede interpretar como medidas de acidez (en desviaciones estándar) y$${\ displaystyle N (d _ {\ pm})}como probabilidades de que expira ITM ( ciento moneyness ), en el respectivo numéraire , como se discute a continuación. En pocas palabras, la interpretación de la opción en efectivo,$${\ displaystyle N (d _ {-}) K}, es correcto, ya que el valor del efectivo es independiente de los movimientos del subyacente y, por lo tanto, puede interpretarse como un producto simple de "probabilidad por valor", mientras que $${\ displaystyle N (d _ {+}) F}es más complicado, ya que la probabilidad de vencimiento en el dinero y el valor del activo al vencimiento no son independientes. ^[14] Más precisamente, el valor del activo al vencimiento es variable en términos de efectivo, pero es constante en términos del activo en sí mismo (una cantidad fija del activo), y por lo tanto estas cantidades son independientes si se cambia el número del mismo. Activo en lugar de efectivo.

Si uno usa spot S en lugar de F hacia adelante , en$${\ displaystyle d _ {\ pm}} en vez de $${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}} termino hay $${\ displaystyle \ left (r \ pm {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau,}que se puede interpretar como un factor de deriva (en la medida de riesgo neutral para el número apropiado). El uso de d _- para moneyness en lugar de la moneyness estandarizada$${\ displaystyle m = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ ln \ left ({\ frac {F} {K}} \ right)} - En otras palabras, la razón de la $${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}}factor: se debe a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución log-normal ; es el mismo factor que en el lema de Itō aplicado al movimiento browniano geométrico . Además, otra forma de ver que la interpretación ingenua es incorrecta es que al reemplazar N ( d ₊ ) por N ( d _- ) en la fórmula, se obtiene un valor negativo para las opciones de compra fuera del dinero. ^[14] : 6

En detalle, los términos $${\ displaystyle N (d_ {1}), N (d_ {2})}son las probabilidades de que la opción caduque dentro del dinero bajo la medida de probabilidad de martingala exponencial equivalente (numéraire = stock) y la medida de probabilidad de martingale equivalente (numéraire = activo libre de riesgo), respectivamente. ^[14] La densidad de probabilidad neutral de riesgo para el precio de las acciones.$${\ displaystyle S_ {T} \ in (0, \ infty)} es

$${\ displaystyle p (S, T) = {\ frac {N ^ {\ prime} [d_ {2} (S_ {T})]} {S_ {T} \ sigma {\ sqrt {T}}}}}

dónde $${\ displaystyle d_ {2} = d_ {2} (K)} Se define como el anterior.

Específicamente, $${\ displaystyle N (d_ {2})} es la probabilidad de que la llamada se ejerza siempre y cuando uno asuma que la deriva del activo es la tasa libre de riesgo. $${\ displaystyle N (d_ {1})}Sin embargo, no se presta a una simple interpretación de probabilidad. $${\ displaystyle SN (d_ {1})}se interpreta correctamente como el valor presente, utilizando la tasa de interés libre de riesgo, del precio esperado del activo al vencimiento, dado que el precio del activo al vencimiento está por encima del precio de ejercicio. ^[15] Para una discusión relacionada, y representación gráfica, vea la sección "Interpretación" en el método de Datar-Mathews para la valoración de la opción real .

La medida de probabilidad de martingala equivalente también se denomina medida de probabilidad neutral al riesgo . Tenga en cuenta que ambas de estas son probabilidades en un sentido teórico de la medida , y ninguna de estas es la probabilidad real de caducar en el dinero bajo la medida de probabilidad real . Para calcular la probabilidad bajo la medida de probabilidad real ("física"), se requiere información adicional: el término de deriva en la medida física, o de manera equivalente, el precio de mercado del riesgo .

Derivaciones [ editar ]

Ver también: precios de martingala.

Una derivación estándar para resolver el PDE de Black-Scholes se proporciona en el artículo Ecuación de Black-Scholes .

La fórmula de Feynman-Kac dice que la solución a este tipo de PDE, cuando se descuenta adecuadamente, es en realidad una martingala . Por lo tanto, el precio de la opción es el valor esperado del pago descontado de la opción. Calcular el precio de la opción a través de esta expectativa es el enfoque de neutralidad del riesgo y se puede hacer sin el conocimiento de las PDE. ^[14] Tenga en cuenta que la expectativa del pago de la opción no se realiza bajo la medida de probabilidad del mundo real , sino una medida artificial neutral al riesgo , que difiere de la medida del mundo real. Para la lógica subyacente, consulte la sección "Valoración neutral de riesgo" en Racionalización de preciosasí como la sección "Precios de derivados: el mundo Q " en finanzas matemáticas ; Para más detalles, una vez más, ver Hull. ^{[16] : 307–309}

Los griegos [ editar ]

" Los griegos " miden la sensibilidad del valor de un derivado o una cartera a los cambios en los valores de los parámetros mientras mantienen los otros parámetros fijos. Son derivados parciales del precio con respecto a los valores de los parámetros. Un griego, "gamma" (así como otros no listados aquí) es un derivado parcial de otro griego, "delta" en este caso.

Los griegos son importantes no solo en la teoría matemática de las finanzas, sino también para aquellos que comercian activamente. Las instituciones financieras normalmente establecerán (límite) valores límite para cada uno de los griegos que sus comerciantes no deben exceder. Delta es el griego más importante, ya que esto generalmente conlleva el mayor riesgo. Muchos operadores cambiarán a cero su delta al final del día si están especulando y siguiendo un enfoque de cobertura delta-neutral como lo define Black-Scholes.

Los griegos de Black-Scholes se dan en forma cerrada a continuación. Se pueden obtener por diferenciación de la fórmula Black-Scholes. ^[17]

		Llamadas	Pone
Delta	$${\ displaystyle {\ frac {\ partial C} {\ partial S}}}	$${\ displaystyle N (d_ {1}) \,}	$${\ displaystyle -N (-d_ {1}) = N (d_ {1}) - 1 \,}
Gama	$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} C} {\ parcial S ^ {2}}}}	$${\ displaystyle {\ frac {N '(d_ {1})} {S \ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \,}
Vega	$${\ displaystyle {\ frac {\ partial C} {\ partial \ sigma}}}	$${\ displaystyle SN '(d_ {1}) {\ sqrt {Tt}} \,}
Theta	$${\ displaystyle {\ frac {\ partial C} {\ partial t}}}	$${\ displaystyle - {\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {Tt}}}} - rKe ^ {- r (Tt)} N (d_ {2}) \,}	$${\ displaystyle - {\ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {Tt}}}} + rKe ^ {- r (Tt)} N (-d_ {2}) \, }
Rho	$${\ displaystyle {\ frac {\ partial C} {\ partial r}}}	$${\ displaystyle K (Tt) e ^ {- r (Tt)} N (d_ {2}) \,}	$${\ displaystyle -K (Tt) e ^ {- r (Tt)} N (-d_ {2}) \,}

Tenga en cuenta que a partir de las fórmulas, está claro que la gama es el mismo valor para las llamadas y las llamadas y también lo es la vega el mismo valor para las llamadas y las opciones de venta. Esto se puede ver directamente desde la paridad put-call , ya que la diferencia entre un put y un call es un forward, que es lineal en S e independiente de σ (por lo tanto, un forward tiene cero gamma y cero vega). N 'es la función de densidad de probabilidad normal estándar.

En la práctica, algunas sensibilidades se suelen citar en términos reducidos, para coincidir con la escala de cambios probables en los parámetros. Por ejemplo, a menudo se informa rho dividido por 10,000 (cambio de tasa de 1 punto base), vega por 100 (cambio de punto de 1 vol) y theta por 365 o 252 (decaimiento de 1 día basado en días calendario o días de negociación por año).

(Vega no es una letra en el alfabeto griego; el nombre surge de leer la letra griega ν (nu) como una V).

Extensiones del modelo [ editar ]

El modelo anterior puede extenderse a tasas y volatilidades variables (pero deterministas). El modelo también se puede utilizar para valorar las opciones europeas sobre instrumentos que pagan dividendos. En este caso, las soluciones de forma cerrada están disponibles si el dividendo es una proporción conocida del precio de las acciones. Las opciones estadounidenses y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realistas que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar, y existe una variedad de técnicas de solución disponibles (por ejemplo, celosías y cuadrículas ).

Instrumentos que pagan dividendos de rendimiento continuos [ editar ]

Para las opciones sobre índices, es razonable hacer el supuesto simplificador de que los dividendos se pagan continuamente y que el monto del dividendo es proporcional al nivel del índice.

El pago de dividendos pagado durante el período de tiempo $${\ displaystyle [t, t + dt]} luego se modela como

$${\ displaystyle qS_ {t} \, dt}

por alguna constante $${\ displaystyle q}(El rendimiento del dividendo ).

Bajo esta formulación, se puede demostrar que el precio libre de arbitraje que implica el modelo Black-Scholes es

$${\ displaystyle C (S_ {t}, t) = e ^ {- r (Tt)} [FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})] \,}

y

$${\ displaystyle P (S_ {t}, t) = e ^ {- r (Tt)} [KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})] \,}

donde ahora

$${\ displaystyle F = S_ {t} e ^ {(rq) (Tt)} \,}

Es el precio forward modificado que se produce en los términos. $${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}}:

$${\ displaystyle d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S_ {t}} {K}} \ right) + (r-q + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}) (Tt) \ right]}

y

$${\ displaystyle d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {Tt}} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {Tt}}}} \ left [\ ln \ left ({ \ frac {S_ {t}} {K}} \ right) + (rq - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}) (Tt) \ right]}. ^[18]

Instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos [ editar ]

También es posible ampliar el marco Black-Scholes a las opciones de instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto es útil cuando la opción se encuentra en una sola acción.

Un modelo típico es suponer que una proporción $${\ displaystyle \ delta} El precio de las acciones se paga en tiempos predeterminados. $${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, \ ldots}. El precio de la acción se modela como

$${\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta) ^ {n (t)} e ^ {ut + \ sigma W_ {t}}}

dónde $${\ displaystyle n (t)} Es el número de dividendos que se han pagado por tiempo. $${\ displaystyle t}.

El precio de una opción de compra en tal acción es nuevamente

$${\ displaystyle C (S_ {0}, T) = e ^ {- rT} [FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})] \,}

donde ahora

$${\ displaystyle F = S_ {0} (1- \ delta) ^ {n (T)} e ^ {rT} \,}

Es el precio a plazo de la acción de pago de dividendos.

Opciones americanas [ editar ]

El problema de encontrar el precio de una opción estadounidense está relacionado con el problema de detención óptima de encontrar el tiempo para ejecutar la opción. Dado que la opción estadounidense se puede ejercer en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, la ecuación de Black-Scholes se convierte en una desigualdad de la forma

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial V} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} S ^ {2} {\ frac {\ parcial ^ {2} V } {\ partial S ^ {2}}} + rS {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} - rV \ leq 0}^[19]

Con las condiciones de terminal y (libres) de contorno: $${\ displaystyle V (S, T) = H (S)} y $${\ displaystyle V (S, t) \ geq H (S)} dónde $${\ displaystyle H (S)}Denota el pago al precio de las acciones. $${\ displaystyle S}.

En general, esta desigualdad no tiene una solución de forma cerrada, aunque una llamada estadounidense sin dividendos es igual a una llamada europea y el método Roll-Geske-Whaley proporciona una solución para una llamada estadounidense con un dividendo; ^[20] [21] véase también la aproximación de Black .

Barone-Adesi y Whaley ^[22] es una fórmula de aproximación adicional. Aquí, la ecuación diferencial estocástica (que es válida para el valor de cualquier derivado) se divide en dos componentes: el valor de la opción europea y la prima por ejercicio anticipado. Con algunos supuestos, se obtiene una ecuación cuadrática que aproxima la solución para esta última. Esta solución implica encontrar el valor crítico ,$${\ displaystyle s *}, de tal manera que uno sea indiferente entre el ejercicio temprano y el mantenimiento hasta la madurez. ^[23] [24]

Bjerksund y Stensland ^[25] proporcionan una aproximación basada en una estrategia de ejercicio correspondiente a un precio de activación. En este caso, si el precio del activo subyacente es mayor o igual que el precio de activación, es óptimo para el ejercicio, y el valor debe ser igual a$${\ displaystyle SX}de lo contrario, la opción "se reduce a: (i) una opción de llamada ascendente y europea ... y (ii) un reembolso que se recibe en la fecha de exclusión si la opción se elimina antes de la fecha de vencimiento". La fórmula se modifica fácilmente para la valoración de una opción put, utilizando la paridad put-call . Esta aproximación es computacionalmente barata y el método es rápido, con evidencia que indica que la aproximación puede ser más precisa en el precio de las opciones con fecha más larga que Barone-Adesi y Whaley. ^[26]

Opciones binarias [ editar ]

Al resolver la ecuación diferencial de Black-Scholes, con la condición de límite de la función Heaviside , terminamos con el precio de las opciones que pagan una unidad por encima de un precio de huelga predefinido y nada más abajo. ^[27]

De hecho, la fórmula Black-Scholes para el precio de una opción de compra de vainilla (o opción de venta) se puede interpretar al descomponer una opción de compra en una opción de llamada de activo o nada menos una opción de llamada de efectivo o nada, y de manera similar para una opción de venta: las opciones binarias son más fáciles de analizar y corresponden a los dos términos de la fórmula de Black-Scholes.

Llamada en efectivo o nada [ editar ]

Esto paga una unidad de efectivo si el lugar está por encima de la huelga al vencimiento. Su valor viene dado por

$${\ displaystyle C = e ^ {- r (Tt)} N (d_ {2}). \,}

Efectivo o nada puesto [ editar ]

Esto paga una unidad de efectivo si el lugar está por debajo de la huelga al vencimiento. Su valor viene dado por

$${\ displaystyle P = e ^ {- r (Tt)} N (-d_ {2}). \,}

Llamada de activo o nada [ editar ]

Esto paga una unidad de activo si el lugar está por encima de la huelga al vencimiento. Su valor viene dado por

$${\ displaystyle C = Se ^ {- q (Tt)} N (d_ {1}). \,}

Activo o nada puesto [ editar ]

Esto paga una unidad de activo si el lugar está por debajo de la huelga al vencimiento. Su valor viene dado por

$${\ displaystyle P = Se ^ {- q (Tt)} N (-d_ {1}),}

Divisas [ editar ]

Más información: Derivado del tipo de cambio.

Si indicamos con S el tipo de cambio FOR / DOM (es decir, 1 unidad de moneda extranjera vale S unidades de moneda nacional), podemos observar que pagar 1 unidad de la moneda nacional si el punto al vencimiento está por encima o por debajo de la huelga. es exactamente igual que un efectivo o nada, llame y ponga respectivamente. De manera similar, el pago de 1 unidad de la moneda extranjera si el punto al vencimiento está por encima o por debajo de la huelga es exactamente igual que un activo, o nada se llama y se pone, respectivamente. Por lo tanto, si ahora tomamos$${\ displaystyle r_ {FOR}}, la tasa de interés extranjera, $${\ displaystyle r_ {DOM}}, la tasa de interés interna, y el resto como arriba, obtenemos los siguientes resultados.

En el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR / put DOM) pagando una unidad de la moneda nacional que obtenemos como valor presente,

$${\ displaystyle C = e ^ {- r_ {DOM} T} N (d_ {2}) \,}

En el caso de una venta digital (esta es una venta para FOR / call DOM) pagando una unidad de la moneda nacional que obtenemos como valor presente,

$${\ displaystyle P = e ^ {- r_ {DOM} T} N (-d_ {2}) \,}

Mientras que en el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR / put DOM) pagando una unidad de la moneda extranjera, obtenemos el valor presente,

$${\ displaystyle C = Se ^ {- r_ {FOR} T} N (d_ {1}) \,}

y en el caso de un put digital (este es un put FOR / call DOM) pagando una unidad de la moneda extranjera que obtenemos como valor presente,

$${\ displaystyle P = Se ^ {- r_ {FOR} T} N (-d_ {1}) \,}

Sesgo [ editar ]

En el modelo estándar de Black-Scholes, uno puede interpretar la prima de la opción binaria en el mundo sin riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar en la unidad de dinero *, descontada al valor presente. El modelo Black-Scholes se basa en la simetría de la distribución e ignora el sesgo de la distribución del activo. Los creadores de mercado se ajustan a esa asimetría, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente$${\ displaystyle \ sigma} A través de todas las huelgas, incorporando una variable. $${\ displaystyle \ sigma (K)}donde la volatilidad depende del precio de ejercicio, incorporando así el sesgo de volatilidad en cuenta. El sesgo importa porque afecta al binario mucho más que las opciones regulares.

Una opción de llamada binaria es, en vencimientos prolongados, similar a una extensión de llamada ajustada usando dos opciones de vainilla. Uno puede modelar el valor de una opción binaria de efectivo o nada, C , al ataque K , como una extensión infinitamente estrecha, donde$${\ displaystyle C_ {v}}es una llamada europea de vainilla: ^[28] [29]

$${\ displaystyle C = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {C_ {v} (K- \ epsilon) -C_ {v} (K)} {\ epsilon}}}

Por lo tanto, el valor de una llamada binaria es el negativo del derivado del precio de una llamada de vainilla con respecto al precio de ejercicio:

$${\ displaystyle C = - {\ frac {dC_ {v}} {dK}}}

Cuando uno toma la volatilidad sesgo en cuenta, $${\ displaystyle \ sigma} es una función de $${\ displaystyle K}:

$${\ displaystyle C = - {\ frac {dC_ {v} (K, \ sigma (K))} {dK}} = - {\ frac {\ parcial C_ {v}} {\ parcial K}} - {\ frac {\ partial C_ {v}} {\ partial \ sigma}} {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial K}}}

El primer término es igual a la prima de la opción binaria que ignora el sesgo:

$${\ displaystyle - {\ frac {\ parcial C_ {v}} {\ parcial K}} = - {\ frac {\ parcial (SN (d_ {1}) - Ke ^ {- r (Tt)} N (d_ {2}))} {\ parcial K}} = e ^ {- r (Tt)} N (d_ {2}) = C _ {\ text {sin sesgo}}}

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial C_ {v}} {\ partial \ sigma}}}Es la vega de la llamada vainilla;$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial K}}}A veces se le llama "inclinación sesgada" o simplemente "sesgo". Si el sesgo suele ser negativo, el valor de una llamada binaria será mayor cuando se tenga en cuenta el sesgo.

$${\ displaystyle C = C _ {\ text {no skew}} - {\ text {Vega}} _ {v} \ cdot {\ text {Skew}}}

Relación con los griegos de las opciones de vainilla [ editar ]

Dado que una llamada binaria es un derivado matemático de una llamada vainilla con respecto a la huelga, el precio de una llamada binaria tiene la misma forma que el delta de una llamada vainilla, y el delta de una llamada binaria tiene la misma forma que la gamma Una llamada de vainilla.

Black-Scholes en la práctica [ editar ]

La suposición de normalidad del modelo Black-Scholes no capta movimientos extremos como los desplomes del mercado de valores .

Los supuestos del modelo Black-Scholes no son todos empíricamente válidos. El modelo se emplea ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero la aplicación adecuada requiere comprender sus limitaciones: seguir ciegamente el modelo expone al usuario a riesgos inesperados. ^[30] Entre las limitaciones más significativas están:

• la subestimación de movimientos extremos, lo que genera un riesgo de cola , que puede cubrirse con opciones fuera del dinero ;
• el supuesto de una negociación instantánea, sin costos, que produce un riesgo de liquidez , que es difícil de cubrir;
• el supuesto de un proceso estacionario, que genera un riesgo de volatilidad , que puede cubrirse con una cobertura de volatilidad;
• el supuesto de tiempo continuo y negociación continua, lo que genera un riesgo de brecha, que puede cubrirse con la cobertura Gamma.

En resumen, mientras que en el modelo Black-Scholes se pueden cubrir perfectamente las opciones simplemente con la cobertura de Delta , en la práctica hay muchas otras fuentes de riesgo.

Los resultados que utilizan el modelo Black-Scholes difieren de los precios del mundo real debido a la simplificación de los supuestos del modelo. Una limitación importante es que, en realidad, los precios de seguridad no siguen un proceso estacionario normal de registro estricto , ni se conoce el interés libre de riesgo (y no es constante en el tiempo). Se ha observado que la variación no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar los cambios de volatilidad. Las discrepancias de precios entre el modelo empírico y el modelo Black-Scholes se han observado durante mucho tiempo en opciones que están muy lejos del dinero , correspondientes a cambios extremos de precios; tales eventos serían muy raros si las devoluciones se distribuyeran de forma normal, pero se observan mucho más a menudo en la práctica.

Sin embargo, los precios de Black-Scholes son ampliamente utilizados en la práctica, ^{[3] : 751 [31]} porque es:

• fácil de calcular
• una aproximación útil, particularmente cuando se analiza la dirección en la que se mueven los precios al cruzar puntos críticos
• Una base robusta para modelos más refinados.
• reversible, como la salida original del modelo, el precio, puede usarse como entrada y una de las otras variables resueltas; la volatilidad implícita calculada de esta manera se usa a menudo para cotizar precios de opciones (es decir, como una convención de cotización ).

El primer punto es evidentemente útil. Los otros pueden ser discutidos más a fondo:

Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo a menudo son útiles para configurar coberturas en las proporciones correctas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente precisos, sirven como una primera aproximación a la cual se pueden hacer ajustes.

Base para modelos más refinados: el modelo Black-Scholes es robusto en el sentido de que puede ajustarse para hacer frente a algunas de sus fallas. En lugar de considerar constantes algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) , se los considera como variables y , por lo tanto, se agregan fuentes de riesgo. Esto se refleja en los griegos.(el cambio en el valor de la opción para un cambio en estos parámetros, o equivalentemente las derivadas parciales con respecto a estas variables), y la cobertura de estos griegos mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, especialmente el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se administran fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de estrés .

Modelado explícito: esta característica significa que, en lugar de suponer una volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, se puede usar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción a precios, duraciones y precios de ejercicio determinados. Resolviendo la volatilidad en un conjunto dado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita . En esta aplicación del modelo Black-Scholes, una transformación coordinada del dominio de precios al dominio de volatilidades obtenido. Por lo tanto, en lugar de citar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar entre huelgas, duraciones y frecuencias de cupones), los precios de las opciones pueden citarse en términos de volatilidad implícita, lo que lleva a la negociación de la volatilidad en los mercados de opciones.

La volatilidad sonríe [ editar ]

Artículo principal: Volatilidad sonrisa.

Una de las características atractivas del modelo Black-Scholes es que los parámetros en el modelo distintos a la volatilidad (el tiempo hasta el vencimiento, la huelga, la tasa de interés libre de riesgo y el precio subyacente actual) son inequívocamente observables. En igualdad de condiciones, el valor teórico de una opción es una función de aumento monotónico de la volatilidad implícita.

Al calcular la volatilidad implícita para las opciones negociadas con diferentes huelgas y vencimientos, se puede probar el modelo Black-Scholes. Si se mantuviera el modelo Black-Scholes, la volatilidad implícita para una acción en particular sería la misma para todas las huelgas y vencimientos. En la práctica, la superficie de volatilidad (el gráfico 3D de la volatilidad implícita contra la huelga y la madurez) no es plana.

La forma típica de la curva de volatilidad implícita para un vencimiento determinado depende del instrumento subyacente. Las acciones tienden a tener curvas asimétricas: en comparación con at-the-money , la volatilidad implícita es sustancialmente más alta para las huelgas bajas y ligeramente más baja para las huelgas altas. Las monedas tienden a tener curvas más simétricas, con la volatilidad implícita más baja en el dinero y una mayor volatilidad en ambas alas. Las materias primas a menudo tienen el comportamiento inverso de las acciones, con una mayor volatilidad implícita para las huelgas más altas.

A pesar de la existencia de la sonrisa de volatilidad (y la violación de todas las otras suposiciones del modelo de Black-Scholes), la fórmula de Black-Scholes PDE y Black-Scholes todavía se utilizan ampliamente en la práctica. Un enfoque típico es considerar la superficie de volatilidad como un hecho sobre el mercado, y usar una volatilidad implícita en un modelo de valoración de Black-Scholes. Esto se ha descrito como usar "el número incorrecto en la fórmula incorrecta para obtener el precio correcto". ^[32]Este enfoque también da valores utilizables para los índices de cobertura (los griegos). Incluso cuando se usan modelos más avanzados, los operadores prefieren pensar en términos de volatilidad implícita de Black-Scholes, ya que les permite evaluar y comparar opciones de diferentes vencimientos, huelgas, etc. Para una discusión sobre los diversos enfoques alternativos desarrollados aquí, consulte Economía financiera § Desafíos y críticas .

Valorando las opciones de bonos [ editar ]

Black-Scholes no se puede aplicar directamente a los valores de renta fija debido a que está a la par . A medida que el bono alcanza su fecha de vencimiento, todos los precios involucrados con el bono se conocen, lo que disminuye su volatilidad, y el modelo simple de Black-Scholes no refleja este proceso. Se ha utilizado una gran cantidad de extensiones para Black-Scholes, comenzando con el modelo Black , para tratar este fenómeno. ^[33]Ver opción de Bono: Valoración .

Curva de tipos de interés [ editar ]

En la práctica, las tasas de interés no son constantes; varían según el tenor (frecuencia del cupón), lo que da una curva de tasa de interés que puede interpolarse para elegir una tasa adecuada para usar en la fórmula Black-Scholes. Otra consideración es que las tasas de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede hacer una contribución significativa al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente como la relación entre la tasa de interés y el precio de los bonos que está inversamente relacionada.

Tasa de stock corta [ editar ]

No es libre tomar una posición de stock corta . Del mismo modo, puede ser posible prestar una posición de stock larga por una pequeña tarifa. En cualquier caso, esto puede tratarse como un dividendo continuo a los efectos de una valoración de Black-Scholes, siempre que no haya una asimetría evidente entre el costo de endeudamiento del stock corto y los ingresos por préstamos a largo plazo. ^{[ cita requerida ]}

Críticas y comentarios [ editar ]

Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb argumentan que el modelo Black-Scholes simplemente modifica los modelos existentes ampliamente usados ​​en términos de "cobertura dinámica" prácticamente imposible en lugar de "riesgo", para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica convencional . ^[34] También afirman que Boness en 1964 ya había publicado una fórmula que es "en realidad idéntica" a la ecuación de precios de opción de compra de Black-Scholes. ^[35] Edward Thorp también afirma haber adivinado la fórmula Black-Scholes en 1967, pero se reservó la posibilidad de ganar dinero para sus inversores. ^[36] Emanuel Dermany Nassim Taleb también criticó la cobertura dinámica y declaró que varios investigadores habían presentado modelos similares antes que Black y Scholes. ^[37] En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo. ^[31] [38]

El matemático británico Ian Stewart publicó una crítica en la que sugirió que "la ecuación en sí misma no era el problema real" y declaró un posible papel como "un ingrediente en un rico guiso de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y regulación laxa" Debido a su abuso en la industria financiera. ^[39]

En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway , Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula Black-Scholes, aunque es el estándar para establecer el pasivo en dólares para las opciones, produce resultados extraños cuando se valora la variedad a largo plazo. ... La fórmula de Black-Scholes se ha acercado al estado de la escritura sagrada en finanzas ... Si la fórmula se aplica a periodos de tiempo prolongados, sin embargo, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, Black y Scholes seguramente entendieron este punto bien Pero sus devotos seguidores pueden estar ignorando las advertencias que los dos hombres agregaron cuando descubrieron la fórmula por primera vez ".