GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

geometría diferencial proyectiva es el estudio de la geometría diferencial , desde el punto de vista de las propiedades de los objetos matemáticos, tales como funciones , difeomorfismos y submanifolds , que son invariantes en las transformaciones del grupo proyectivo . Esta es una mezcla de los enfoques de la geometría riemanniana del estudio de las invariancias y del programa de Erlangen de caracterizar geometrías de acuerdo con sus simetrías de grupo.

El área fue muy estudiada por matemáticos de alrededor de 1890 por una generación (por JG Darboux , George Henri Halphen , Ernest Julius Wilczynski , E. Bompiani , G. Fubini , Eduard Čech , entre otros), sin que surgiera una teoría integral de invariantes diferenciales . Élie Cartan formuló la idea de una conexión proyectiva general , como parte de su método para mover marcos ; en términos abstractos, este es el nivel de generalidad en el cual el programa de Erlangen se puede reconciliar con la geometría diferencial, mientras que también desarrolla la parte más antigua de la teoría (para ellínea proyectiva ), es decir, el derivado de Schwarz , el invariante diferencial proyectivo más simple. ^[1]

El trabajo adicional a partir de la década de 1930 en adelante fue realizado por J. Kanitani , Shiing-Shen Chern , AP Norden , G. Bol , SP Finikov y GF Laptev . Incluso los resultados básicos sobre la oscilación de curvas , un tema manifiestamente proyectivo-invariante, carecen de una teoría exhaustiva. Las ideas de la geometría diferencial proyectiva se repiten en las matemáticas y sus aplicaciones, pero las formulaciones dadas todavía están enraizadas en el lenguaje de principios del siglo XX.

La proyección 3D es cualquier método de mapeo de puntos tridimensionales a un plano bidimensional. Como la mayoría de los métodos actuales para mostrar datos gráficos se basan en medios bidimensionales planares (información de píxeles de varios planos de bits ), el uso de este tipo de proyección está muy extendido, especialmente en gráficos por computadora, ingeniería y dibujo .

La proyección gráfica es un protocolo, utilizado en el dibujo técnico , mediante el cual una imagen de un objeto tridimensionalse proyecta sobre una superficie plana sin la ayuda de un cálculo numérico.

Descripción general [ editar ]

Varios tipos de proyección gráfica en comparación.

Varias proyecciones y cómo se producen.

La proyección se logra mediante el uso de "proyectores" imaginarios. La imagen mental proyectada se convierte en la visión del técnico de la imagen terminada y deseada. Al seguir el protocolo, el técnico puede producir la imagen prevista en una superficie plana como el papel de dibujo. Los protocolos proporcionan un procedimiento de imagen uniforme entre personas capacitadas en gráficos técnicos (dibujo mecánico, diseño asistido por computadora, etc.).

Hay dos categorías de proyección gráfica, cada una con su propio protocolo:

• proyección paralela
• proyección en perspectiva

• 

  Proyección multivista(elevación)
 
• 

  Proyección axonométrica ( isométrica )
 
• 

  Proyección oblicua(militar)
• 

  Proyección oblicua(gabinete)
 
• 

  Perspectiva de un punto
 
• 

  Perspectiva de dos puntos
• 

  Perspectiva de tres puntos

Proyección paralela [ editar ]

Artículo principal: Proyección paralela.

La proyección paralela corresponde a una proyección en perspectiva con un punto de vista hipotético; es decir, uno donde la cámara se encuentra a una distancia infinita del objeto y tiene una distancia focal infinita, o "zoom".

En la proyección paralela, las líneas de visión desde el objeto hasta el plano de proyección son paralelas entre sí. Por lo tanto, las líneas que son paralelas en el espacio tridimensional permanecen paralelas en la imagen proyectada bidimensional. La proyección paralela también corresponde a una proyección en perspectiva con una distancia focalinfinita (la distancia desde la lente de la cámara y el punto focal ), o " zoom ".

Las imágenes dibujadas en proyección paralela se basan en la técnica de la axonometría ("para medir a lo largo de los ejes"), como se describe en el teorema de Pohlke . En general, la imagen resultante es oblicua(los rayos no son perpendiculares al plano de la imagen); pero en casos especiales el resultado es ortográfico (los rayos son perpendiculares al plano de la imagen). La axonometría no debe confundirse con la proyección axonométrica , ya que en la literatura inglesa, esta última generalmente se refiere solo a una clase específica de ilustraciones (ver más abajo).

Proyección ortográfica [ editar ]

Artículo principal: Proyección ortográfica.

La proyección ortográfica se deriva de los principios de la geometría descriptiva y es una representación bidimensional de un objeto tridimensional. Es una proyección paralela (las líneas de proyección son paralelas tanto en la realidad como en el plano de proyección). Es el tipo de proyección de elección para los planos de trabajo .

Si la normal del plano de visualización (la dirección de la cámara) es paralela a uno de los ejes primarios (que es el eje x , y o z ), la transformación matemática es la siguiente: Proyectar el punto 3D.$${\ displaystyle a_ {x}}, $${\ displaystyle a_ {y}}, $${\ displaystyle a_ {z}} en el punto 2D $${\ displaystyle b_ {x}}, $${\ displaystyle b_ {y}}utilizando una proyección ortográfica paralela al eje y (donde positiva y representa la dirección hacia adelante - vista de perfil), se pueden usar las siguientes ecuaciones:

$${\ displaystyle b_ {x} = s_ {x} a_ {x} + c_ {x}}

$${\ displaystyle b_ {y} = s_ {z} a_ {z} + c_ {z}}

donde el vector s es un factor de escala arbitrario, y c es un desplazamiento arbitrario. Estas constantes son opcionales y se pueden usar para alinear correctamente la ventana gráfica. Usando la multiplicación de matrices, las ecuaciones se convierten en:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} b_ {x} \\ b_ {y} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} s_ {x} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_ {z} \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} a_ {x} \\ a_ {y} \\ a_ {z} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} c_ {x} \\ c_ {z} \ end {bmatrix}} .}

Si bien las imágenes proyectadas ortográficamente representan la naturaleza tridimensional del objeto proyectado, no representan el objeto tal como lo registraría fotográficamente o lo percibirá un espectador que lo observa directamente. En particular, las longitudes paralelas en todos los puntos en una imagen proyectada ortográficamente son de la misma escala independientemente de si están lejos o cerca del visor virtual. Como resultado, las longitudes no están acortadas como lo estarían en una proyección en perspectiva.

Proyección multivista [ editar ]

Artículo principal: Proyección multivista.

Símbolos utilizados para definir si una proyección multivista es Tercer ángulo (derecha) o Primer ángulo (izquierda).

Con las proyecciones de vista múltiple , se producen hasta seis imágenes (llamadas vistas primarias ) de un objeto, con cada plano de proyección paralelo a uno de los ejes de coordenadas del objeto. Las vistas se colocan entre sí según uno de los dos esquemas: proyección de primer ángulo o ángulo de tercer ángulo . En cada una de ellas, se puede pensar que las apariencias de las vistas se proyectan en planos que forman un cuadro de 6 lados alrededor del objeto. Aunque se pueden dibujar seis lados diferentes, generalmente tres vistas de un dibujo brindan suficiente información para hacer un objeto 3D. Estas vistas se conocen como vista frontal , vista superior y vista final.. También se utilizan los términos elevación , plano y sección .

Proyección axonométrica [ editar ]

Artículo principal: Proyección axonométrica.

Las tres vistas axonométricas.

Dentro de la proyección ortográfica hay una categoría auxiliar conocida como proyección ortográfica pictórica o axonométrica . Las proyecciones axonométricas muestran una imagen de un objeto como se ve desde una dirección de inclinación para revelar las tres direcciones (ejes) del espacio en una imagen. ^{[1] Los} dibujos axonométricos de instrumentos se utilizan a menudo para aproximar proyecciones de perspectiva gráficas, pero hay una distorsión concomitante en la aproximación. Debido a que las proyecciones pictóricas contienen esta distorsión de manera innata, en los dibujos de los instrumentos pictóricos se pueden tomar grandes libertades para lograr una economía de esfuerzo y el mejor efecto. ^{[ aclaración necesaria ]}

La proyección axonométrica se subdivide en tres categorías: proyección isométrica , proyección dimétrica y proyección trimétrica , dependiendo del ángulo exacto en el que la vista se desvía de la ortogonal. ^[2] [3] Una característica típica de las ilustraciones ortográficas es que un eje del espacio generalmente se muestra como vertical.

Las proyecciones axonométricas también se conocen a veces como vistas auxiliares , a diferencia de las vistas primarias de las proyeccionesde vista múltiple .

Proyección isométrica [ editar ]

En los gráficos isométricos (para protocolos ver proyección isométrica ), la dirección de visualización es tal que los tres ejes del espacio aparecen igualmente acortados, y hay un ángulo común de 120 ° entre ellos. Como la distorsión causada por el acortamiento es uniforme, se conserva la proporcionalidad de todos los lados y longitudes, y los ejes comparten una escala común. Esto permite leer o tomar medidas directamente desde el dibujo.

Proyección Dimetric [ editar ]

En los gráficos dimétricos (para los protocolos ver proyección dimétrica ), la dirección de visualización es tal que dos de los tres ejes del espacio aparecen igualmente acortados, de los cuales la escala y los ángulos de presentación correspondientes se determinan de acuerdo con el ángulo de visualización; La escala de la tercera dirección (vertical) se determina por separado. Las aproximaciones son comunes en los dibujos dimétricos.

Proyección Trimétrica [ editar ]

En los gráficos trimétricos (para los protocolos, véase la proyección trimétrica ), la dirección de la visualización es tal que los tres ejes del espacio aparecen desorbitados de forma desigual. La escala a lo largo de cada uno de los tres ejes y los ángulos entre ellos se determinan por separado según lo dictado por el ángulo de visión. Las aproximaciones en los dibujos trimétricos son comunes.

Proyección oblicua [ editar ]

Artículo principal: Proyección oblicua.

Banco para macetasdibujado en una proyección de gabinete con un ángulo de 45 ° y una proporción de 2/3

Arco de piedra dibujado en perspectiva militar.

En las proyecciones oblicuas, los rayos de proyección paralelos no son perpendiculares al plano de visión como en la proyección ortográfica, sino que golpean el plano de proyección en un ángulo distinto de noventa grados. Tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua, las líneas paralelas en el espacio aparecen paralelas en la imagen proyectada. Debido a su simplicidad, la proyección oblicua se utiliza exclusivamente para fines pictóricos en lugar de para dibujos formales y de trabajo. En un dibujo pictórico oblicuo.Los ángulos mostrados entre los ejes, así como los factores de escorzo (escala) son arbitrarios. La distorsión creada de este modo generalmente se atenúa al alinear un plano del objeto fotografiado para que sea paralelo al plano de proyección, creando así una imagen de tamaño real y forma real del plano elegido. Tipos especiales de proyecciones oblicuas son:

Proyección Cavalier [ editar ]

En la proyección cavalier (a veces la perspectiva cavalier o el punto de vista alto ) un punto del objeto está representado por tres coordenadas, x , y y z . En el dibujo, está representado solo por dos coordenadas, x ″ e y ″. En el dibujo plano, dos ejes, x y z en la figura, son perpendiculares y la longitud de estos ejes se dibuja con una escala de 1: 1; es así similar a las proyecciones dimétricas , aunque no es una proyección axonométrica , como el tercer eje, aquí y, se dibuja en diagonal, formando un ángulo arbitrario con el eje x ″ , generalmente 30 o 45 °. La longitud del tercer eje no está escalada.

Proyección Cabinet [ editar ]

El término proyección de gabinete (a veces perspectiva de gabinete ) se deriva de su uso en ilustraciones de la industria del mueble. ^{[ cita requerida ]} Al igual que la perspectiva de caballeros, una cara del objeto proyectado es paralela al plano de visión, y el tercer eje se proyecta como un ángulo (normalmente 30 ° o 45 ° o arctan (2) = 63.4 °). A diferencia de la proyección cavalier, donde el tercer eje mantiene su longitud, con la proyección del gabinete, la longitud de las líneas de retroceso se reduce a la mitad.

Proyección militar [ editar ]

Una variante de proyección oblicua se llama proyección militar . En este caso, las secciones horizontales se dibujan isométricamente para que los planos del piso no se distorsionen y las verticales se dibujen en ángulo. La proyección militar se da por rotación en el plano xy y una traslación vertical en una cantidad z . ^[4]

Limitaciones de proyección paralela [ editar ]

Ver también: objeto imposible.

Un ejemplo de las limitaciones de la proyección isométrica. La diferencia de altura entre las bolas rojas y azules no se puede determinar localmente.

Las escaleras de Penroserepresentan una escalera que parece ascender (en sentido contrario a las agujas del reloj) o descender (en el sentido de las agujas del reloj) pero forma un bucle continuo.

Los objetos dibujados con proyección paralela no aparecen más grandes o más pequeños a medida que se extienden más cerca o lejos del espectador. Si bien es ventajoso para los dibujos arquitectónicos , donde las medidas deben tomarse directamente de la imagen, el resultado es una distorsión percibida, ya que, a diferencia de la proyección en perspectiva , no es así como funcionan normalmente nuestros ojos o la fotografía. También puede resultar fácilmente en situaciones en las que la profundidad y la altitud son difíciles de medir, como se muestra en la ilustración de la derecha.

En este dibujo isométrico, la esfera azul es dos unidades más alta que la roja. Sin embargo, esta diferencia en la elevación no es aparente si uno cubre la mitad derecha de la imagen, ya que las casillas (que sirven como pistas que sugieren altura) se ocultan.

Esta ambigüedad visual ha sido explotada en op art , así como en dibujos de "objetos imposibles". La cascada deMC Escher (1961), aunque no usa estrictamente la proyección paralela, es un ejemplo bien conocido, en el que un canal de agua parece viajar sin ayuda a lo largo de un camino descendente, solo para luego caer de manera paradójica una vez más a medida que regresa a su fuente. Así, el agua parece desobedecer la ley de conservación de la energía . Un ejemplo extremo se muestra en la película Inception , donde, por un truco de perspectiva forzada, una escalera inmóvil cambia su conectividad.

Proyección de perspectiva [ editar ]

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Consulte también: Perspectiva (gráfica) , Matriz de transformación y Matriz de cámara.

Perspectiva de un sólido geométrico utilizando dos puntos de fuga. En este caso, el mapa del sólido (proyección ortogonal) se dibuja debajo de la perspectiva, como si se doblara el plano del suelo.

Proyección axonométrica de un esquema que muestra los elementos relevantes de una perspectiva de plano de imagen vertical . El punto de reposo (PS) está ubicado en el plano de tierra π , y el punto de vista (PV) está justo encima de él. PP es su proyección en el plano de la imagen α . LO y LT son el horizonte y las líneas de fondo ( linea d'orizzonte y linea di terra ). La negrita líneas s y q se encuentran en π , e interceptar α en Ts y Tq respectivamente. Las líneas paralelas a través de PV (en rojo) de intercepción LO en los puntos de fuga Fs y Fq: Así se puede sacar la proyecciones s ' y q' , y por tanto también su intersección R ' en R .

La proyección en perspectiva es una proyección lineal en la que se proyectan objetos tridimensionales en un plano de imagen . Esto tiene el efecto de que los objetos distantes aparecen más pequeños que los objetos más cercanos.

También significa que las líneas que son paralelas en la naturaleza (es decir, se encuentran en el punto en el infinito) parecen intersecarse en la imagen proyectada, por ejemplo, si los ferrocarriles se representan con proyección en perspectiva, parecen converger hacia un solo punto, llamado Punto de fuga . Las lentes fotográficas y el ojo humano funcionan de la misma manera, por lo que la proyección en perspectiva parece más realista. ^{[5] La}proyección en perspectiva generalmente se clasifica en unaperspectiva de un punto , dos puntos y tres puntos , dependiendo de la orientación del plano de proyección hacia los ejes del objeto representado. ^[6]

Los métodos de proyección gráfica se basan en la dualidad entre líneas y puntos, donde dos líneas rectas determinan un punto, mientras que dos puntos determinan una línea recta. La proyección ortogonal del punto del ojo sobre el plano de la imagen se denomina punto de fuga principal (PP en el esquema de la izquierda, del término italiano punto principale , acuñado durante el renacimiento). ^[7]

Dos puntos relevantes de una línea son:

• su intersección con el plano de la imagen, y
• su punto de fuga, que se encuentra en la intersección entre la línea paralela desde el punto del ojo y el plano de la imagen.

El principal punto de fuga es el punto de fuga de todas las líneas horizontales perpendiculares al plano de la imagen. Los puntos de fuga de todas las líneas horizontales se encuentran en la línea del horizonte . Si, como suele ser el caso, el plano de la imagen es vertical, todas las líneas verticales se dibujan verticalmente y no tienen un punto de fuga finito en el plano de la imagen. Se pueden contemplar varios métodos gráficos para proyectar escenas geométricas. Por ejemplo, las líneas trazadas desde el punto del ojo a 45 ° hasta el plano de la imagen se intersecan con este último a lo largo de un círculo cuyo radio es la distancia del punto del ojo desde el plano, por lo que el trazado del círculo ayuda a la construcción de todos los puntos de fuga de 45 ° líneas; en particular, la intersección de ese círculo con la línea del horizonte consiste en dos puntos de distancia. Son útiles para dibujar pisos de tablero de ajedrez que, a su vez, sirven para ubicar la base de objetos en la escena. En la perspectiva de un sólido geométrico a la derecha, después de elegir el punto de fuga principal, que determina la línea del horizonte, el punto de fuga de 45 ° en el lado izquierdo del dibujo completa la caracterización del punto de vista (igualmente distante). Se dibujan dos líneas de la proyección ortogonal de cada vértice, una a 45 ° y otra a 90 ° del plano de la imagen. Después de cruzar la línea de tierra, esas líneas van hacia el punto de distancia (para 45 °) o el punto principal (para 90 °). Su nueva intersección localiza la proyección del mapa. Las alturas naturales se miden sobre la línea del suelo y luego se proyectan de la misma manera hasta que se encuentran con la vertical del mapa.

Mientras que la proyección ortográfica ignora la perspectiva para permitir mediciones precisas, la proyección en perspectiva muestra los objetos distantes como más pequeños para proporcionar realismo adicional.

Fórmula matemática [ editar ]

La proyección en perspectiva requiere una definición más complicada en comparación con las proyecciones ortográficas. Una ayuda conceptual para comprender la mecánica de esta proyección es imaginar la proyección 2D como si los objetos se estuvieran viendo a través de un visor de cámara. La posición, la orientación y el campo de visión de la cámara controlan el comportamiento de la transformación de proyección. Las siguientes variables están definidas para describir esta transformación:

• $${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {x, y, z}}- la posición 3D de un punto A que se va a proyectar.
• $${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {x, y, z}}- La posición 3D de un punto C que representa la cámara.
• $${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z}}- La orientación de la cámara (representada por los ángulos de Tait-Bryan ).
• $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x, y, z}}- la posición de la superficie de la pantalla en relación con el orificio C de la cámara. ^[8] La mayoría de las convenciones utilizan valores z positivos (el plano que está delante del orificio), sin embargo, los valores z negativos son físicamente más correctos, pero la imagen se invertirá tanto Horizontal y verticalmente.

Lo que resulta en:

• $${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x, y}} - La proyección 2D de $${\ displaystyle \ mathbf {a}.}

Cuando $${\ displaystyle \ mathbf {c} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle,} y $${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle,} el vector 3D $${\ displaystyle \ langle 1,2,0 \ rangle} Se proyecta al vector 2D. $${\ displaystyle \ langle 1,2 \ rangle}.

De lo contrario, para calcular $${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {x, y}} Primero definimos un vector $${\ displaystyle \ mathbf {d} _ {x, y, z}}como la posición del punto A con respecto a un sistema de coordenadas definido por la cámara, con origen en C y girado por$${\ displaystyle \ mathbf {\ theta}}Con respecto al sistema de coordenadas inicial. Esto se logra restando $${\ displaystyle \ mathbf {c}} desde $${\ displaystyle \ mathbf {a}} y luego aplicando una rotación por $${\ displaystyle - \ mathbf {\ theta}}al resultado. Esta transformación a menudo se denomina transformación de cámara y se puede expresar de la siguiente manera, expresando la rotación en términos de rotaciones sobre los ejes x, y y z (estos cálculos suponen que los ejes están ordenados como un sistema de ejes zurdos ) : ^[9] [10]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\mathbf {\theta } _{x})&\sin(\mathbf {\theta } _{x})\\0&-\sin(\mathbf {\theta } _{x})&\cos(\mathbf {\theta } _{x})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{y})&0&-\sin(\mathbf {\theta } _{y})\\0&1&0\\\sin(\mathbf {\theta } _{y})&0&\cos(\mathbf {\theta } _{y})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(\mathbf {\theta } _{z})&\sin(\mathbf {\theta } _{z})&0\\-\sin(\mathbf {\theta } _{z})&\cos(\mathbf {\theta } _{z})&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$

Esta representación corresponde a la rotación mediante tres ángulos de Euler (más adecuadamente, los ángulos de Tait-Bryan ), utilizando la convención xyz , que puede interpretarse como "girar sobre los ejes extrínsecos(ejes de la escena ) en el orden z , y , x (leyendo de derecha a izquierda) "o" gire sobre los ejes intrínsecos (ejes de la cámara ) en el orden x, y, z (leyendo de izquierda a derecha) ". Tenga en cuenta que si la cámara no se gira ($${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} _ {x, y, z} = \ langle 0,0,0 \ rangle}), luego las matrices se retiran (como identidades), y esto se reduce a simplemente un cambio: $${\ displaystyle \ mathbf {d} = \ mathbf {a} - \ mathbf {c}.}

Alternativamente, sin usar matrices (reemplazemos ( a _x  -  c _x ) con x y así sucesivamente, y abreviaremos cos  θ a cy sin  θ a s ):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {d} _ {x} & = c_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ {z} \ mathbf {x}) -s_ {y} \ mathbf {z} \\\ mathbf {d} _ {y} & = s_ {x} (c_ {y} \ mathbf {z} + s_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ { z} \ mathbf {x})) + c_ {x} (c_ {z} \ mathbf {y} -s_ {z} \ mathbf {x}) \\\ mathbf {d} _ {z} & = c_ { x} (c_ {y} \ mathbf {z} + s_ {y} (s_ {z} \ mathbf {y} + c_ {z} \ mathbf {x})) - s_ {x} (c_ {z} \ mathbf {y} -s_ {z} \ mathbf {x}) \ end {alineado}}}

Este punto transformado puede luego proyectarse en el plano 2D utilizando la fórmula (aquí, x / y se usa como plano de proyección; la literatura también puede usar x / z ): ^[11]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} _ {x} & = {\ frac {\ mathbf {e} _ {z}} {\ mathbf {d} _ {z}}} \ mathbf {d } _ {x} + \ mathbf {e} _ {x}, \\ [5pt] \ mathbf {b} _ {y} & = {\ frac {\ mathbf {e} _ {z}} {\ mathbf { d} _ {z}}} \ mathbf {d} _ {y} + \ mathbf {e} _ {y}. \ end {alineado}}}

O bien, en forma matricial utilizando coordenadas homogéneas , el sistema

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {f} _ {x} \\\ mathbf {f} _ {y} \\\ mathbf {f} _ {z} \\\ mathbf {f} _ {w } \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & {\ frac {\ mathbf {e} _ {x}} {\ mathbf {e} _ {z}}} & 0 \\ 0 & 1 & {\ frac {\ mathbf {e} _ {y}} {\ mathbf {e} _ {z}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {\ mathbf {e} _ {z}}} & 0 \ end { bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {d} _ {x} \\\ mathbf {d} _ {y} \\\ mathbf {d} _ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}}}

junto con un argumento que usa triángulos similares, conduce a la división por la coordenada homogénea, dando

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} _ {x} & = \ mathbf {f} _ {x} / \ mathbf {f} _ {w} \\\ mathbf {b} _ {y} & = \ mathbf {f} _ {y} / \ mathbf {f} _ {w} \ end {alineado}}}

La distancia del espectador desde la superficie de visualización, $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {z}}, se relaciona directamente con el campo de visión, donde $${\ displaystyle \ alpha = 2 \ cdot \ arctan (1 / \ mathbf {e} _ {z})}Es el ángulo visto. (Nota: esto supone que asigna los puntos (-1, -1) y (1,1) a las esquinas de su superficie de visualización)

Las ecuaciones anteriores también pueden reescribirse como:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} _ {x} & = (\ mathbf {d} _ {x} \ mathbf {s} _ {x}) / (\ mathbf {d} _ {z } \ mathbf {r} _ {x}) \ mathbf {r} _ {z}, \\ mathbf {b} _ {y} & = (\ mathbf {d} _ {y} \ mathbf {s} _ {y}) / (\ mathbf {d} _ {z} \ mathbf {r} _ {y}) \ mathbf {r} _ {z}. \ end {alineado}}}

En el cual $${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {x, y}} es el tamaño de la pantalla, $${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {x, y}}es el tamaño de la superficie de grabación ( CCD o película ),$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {z}}es la distancia desde la superficie de grabación hasta la pupila de entrada ( centro de la cámara ), y$${\ displaystyle \ mathbf {d} _ {z}} es la distancia, desde el punto 3D que se proyecta, hasta la pupila de entrada.

Las siguientes operaciones de recorte y escalamiento pueden ser necesarias para mapear el plano 2D en cualquier medio de visualización en particular.

Proyección de perspectiva Débil [ editar ]

Una proyección en perspectiva "débil" utiliza los mismos principios de una proyección ortográfica, pero requiere que se especifique el factor de escala, lo que garantiza que los objetos más cercanos aparezcan más grandes en la proyección, y viceversa. Puede verse como un híbrido entre una proyección ortográfica y una perspectiva, y puede describirse como una proyección en perspectiva con profundidades de puntos individuales.$${\ displaystyle Z_ {i}}reemplazado por una profundidad media constante $${\ displaystyle Z _ {\ text {ave}}}, ^[12] o simplemente como una proyección ortográfica más una escala. ^[13]

El modelo de perspectiva débil, por lo tanto, se aproxima a la proyección de perspectiva mientras utiliza un modelo más simple, similar a la perspectiva ortográfica pura (sin escala). Es una aproximación razonable cuando la profundidad del objeto a lo largo de la línea de visión es pequeña en comparación con la distancia desde la cámara, y el campo de visión es pequeño. Con estas condiciones, se puede suponer que todos los puntos en un objeto 3D están a la misma distancia$${\ displaystyle Z _ {\ text {ave}}} desde la cámara sin errores significativos en la proyección (en comparación con el modelo de perspectiva completa).

Ecuación

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & P_ {x} = {\ frac {X} {Z _ {\ text {ave}}}} \\ [5pt] & P_ {y} = {\ frac {Y} {Z_ { \ text {ave}}}} \ end {alineado}}}

asumiendo la distancia focal $$f = 1.

Diagrama [ editar ]

Para determinar qué pantalla x -coordinada corresponde a un punto en$${\ displaystyle A_ {x}, A_ {z}} multiplica las coordenadas del punto por:

$${\ displaystyle B_ {x} = A_ {x} {\ frac {B_ {z}} {A_ {z}}}}

dónde

$${\ displaystyle B_ {x}}es la coordenada x de la pantalla

$${\ displaystyle A_ {x}}es la coordenada x del modelo

$${\ displaystyle B_ {z}}es la distancia focal: la distancia axial desde el centro de la cámara al plano de la imagen

$${\ displaystyle A_ {z}} es la distancia del sujeto.

Debido a que la cámara está en 3D, lo mismo funciona para la pantalla y coordina, sustituyendo y por x en el diagrama y la ecuación anteriores.