GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

afín Grassmannian . En uno es la variedad de todos los subespacios afines k- dimensionales de R ⁿ (descrito en esta página), mientras que en el otro, el afín Grassmannian es un cociente de un anillo de grupo basado en la serie formal de Laurent.

Definición formal [ editar ]

Dada una dimensión finita espacio vectorial V y un número entero no negativo k , entonces Graff _k ( V ) es el espacio topológico de todos afín k subespacios -dimensional de V .

Tiene una proyección natural p : Graff _k ( V ) → Gr _k ( V ), el Grassmanniano de todos los subespacios de k-dimensiones lineales de V definiendo p ( U ) como la traducción de U a un subespacio a través del origen. Esta proyección es una fibración, y si V recibe un producto interno, la fibra que contiene U puede identificarse con$${\ displaystyle p (U) ^ {\ perp}}, el complemento ortogonal a p ( U ). Las fibras son, por lo tanto, espacios vectoriales, y la proyección pes un haz vectorial sobre Grassmannian , que define la estructura múltiple en Graff _k ( V ).

Como espacio homogéneo , el afín Grassmanniano de un espacio vectorial n- dimensional V puede identificarse con

$${\ displaystyle \ mathrm {Graff} _ {k} (V) \ simeq {\ frac {E (n)} {E (k) \ times O (nk)}}}

donde E ( n ) es el grupo euclidiano de R ⁿ y O ( m ) es el grupo ortogonal en R ^m . De ello se deduce que la dimensión está dada por

$${\ displaystyle \ dim \ left [\ mathrm {Graff} _ {k} (V) \ right] = (nk) (k + 1) \ ,.}

(Esta relación es más fácil de deducir a partir de la identificación de la siguiente sección, como la diferencia entre el número de coeficientes, ( n - k ) ( n +1) y la dimensión del grupo lineal que actúa sobre las ecuaciones, ( n - k ) ^2. )

Relación con Grassmannian ordinaria [ editar ]

Sea ( x ₁ , ..., x _n ) las coordenadas lineales habituales en R ⁿ . Entonces R ⁿ se incrusta en R ^n +1 como el hiperplano afín x _n +1  = 1. Los subespacios afines k- dimensionales de R ⁿ están en una correspondencia uno a uno con los subespacios lineales tridimensionales ( k + 1 ) de R ^n +1 que están en posición general con respecto al plano x _n +1  = 1. De hecho, a ksubespacio afín tridimensional de R ⁿ es el lugar de las soluciones de un sistema de rangos n  -  k de ecuaciones afines

{\ displaystyle {\ begin {alineado} a_ {11} x_ {1} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} \\ & \ vdots & \\ a_ {nk , 1} x_ {1} + \ cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1}. \ End {alineado}}}

Estos determinan un sistema de rangos n - k de ecuaciones lineales en R ^n +1

{\ displaystyle {\ begin {alineado} a_ {11} x_ {1} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} x_ {n + 1} \\ & \ vdots & \\ a_ {nk, 1} x_ {1} + \ cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1} x_ {n + 1}. \ end {alineado}} }

cuya solución es un  plano ( k + 1) que, cuando se interseca con x _n +1  = 1, es el plano k original .

Debido a esta identificación, Graff ( k , n ) es un conjunto abierto de Zariski en Gr ( k  + 1,  n  + 1).

El espacio proyectivo juega un papel central en la geometría algebraica . El objetivo de este artículo es definir la noción en términos de geometría algebraica abstractay describir algunos usos básicos del espacio proyectivo.

Ideales polinómicas homogéneas [ editar ]

Sea k un campo algebraicamente cerrado , y V sea ​​un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . El álgebra simétrica del espacio vectorial dual V * se llama el anillo polinomial en V y se denota por k [ V ]. Es un álgebra clasificada naturalmente por el grado de polinomios.

El Nullstellensatz proyectivo establece que, para cualquier ideal homogéneo I que no contenga todos los polinomios de cierto grado (denominado ideal irrelevante ), el lugar común cero de todos los polinomios en I (o Nullstelle ) es no trivial (es decir, común locus cero contiene más que el único elemento {0}), y, más precisamente, el ideal de polinomios que se desvanecen en ese locus coincide con el radical del ideal I .

Esta última afirmación se resume mejor mediante la fórmula: para cualquier ideal relevante I ,

$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} ({\ mathcal {V}} (I)) = {\ sqrt {I}}.}

En particular, los máximos ideales pertinentes, homogéneos de k [ V ] son uno-a-uno con líneas a través del origen de V .

Construcción de esquemas projectivized [ editar ]

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k . El esquema de más de k definido por Proj ( k [ V ]) se llama projectivization de V . El proyectiva n -espacio en k es la projectivization del espacio vectorial$${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {n + 1}}.

La definición de la gavilla se realiza sobre la base de conjuntos abiertos de conjuntos abiertos principales  D ( P ), donde P varía sobre el conjunto de polinomios homogéneos, estableciendo las secciones

$${\ displaystyle \ Gamma (D (P), {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} (V)})}

ser el anillo $${\ displaystyle (k [V] _ {P}) _ {0}}, El componente de grado cero del anillo obtenido por la localización en P . Por lo tanto, sus elementos son las funciones racionales con numerador homogéneo y cierta potencia de P como denominador, con el mismo grado que el numerador.

La situación es más clara en una forma lineal que no desaparece φ. La restricción de la estructura de la gavilla al conjunto abierto D (φ) se identifica canónicamente ^[1] con la especificación del esquema afín ( k [ker φ]). Dado que la D ( φ ) formar una cubierta abierta de X los esquemas proyectivas pueden ser considerados como el obtenido por el encolado a través de projectivization de esquemas afines isomorfos.

Se puede observar que el anillo de secciones globales de este esquema es un campo, lo que implica que el esquema no es afín. Cualquiera de los dos conjuntos abiertos se intersecan de forma no trivial: es decir, el esquema es irreducible . Cuando el campo k está algebraicamente cerrado ,$${\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}Es de hecho una variedad abstracta , que además está completa. cf. Glosario de la teoría de esquemas

Divisores y poleas de torsión [ editar ]

De hecho, el Proj functor ofrece más que un simple esquema: una gavilla en módulos graduados sobre la estructura de la gavilla se define en el proceso. Los componentes homogéneos de esta gavilla graduada se denotan$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (i)}, las gavillas retorcidas de serre . Todas estas gavillas son en realidad paquetes de líneas . Por la correspondencia entre los divisores de Cartier y los haces de líneas, la primera gavilla de torsión$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1)} Es equivalente a divisores de hiperplano.

Dado que el anillo de polinomios es un dominio de factorización único , cualquier ideal principal de altura 1 es el principal , lo que muestra que cualquier divisor de Weil es linealmente equivalente a cierta potencia de un divisor de hiperplano. Esta consideración demuestra que el grupo Picard de un espacio proyectivo está libre de rango 1. Eso es$${\ displaystyle \ mathrm {Pic} \ \ mathbf {P} _ {\ mathbf {k}} ^ {n} = \ mathbb {Z}}, y el isomorfismo está dado por el grado de divisores.

Clasificación de paquetes de vectores [ editar ]

Las poleas invertibles , o haces de líneas , en el espacio proyectivo $${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}, \,}Para k un campo , son exactamente las gavillas retorcidas. $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (m), \ m \ in \ mathbb {Z},}por lo que el grupo de Picard$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}} es isomorfo a $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}. El isomorfismo es dado por la primera clase de Chern .

El espacio de las secciones locales en un conjunto abierto. $${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {P} (V)} del paquete de linea $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (k)}es el espacio de homogénea grado k funciones regulares sobre el cono en V asociado a U . En particular, el espacio de las secciones globales.

$${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbb {P}, {\ mathcal {O}} (m))}

se desvanece si m <0 i=""> , y consiste en constantes en k para m = 0 y en polinomios homogéneos de grado m para m> 0 . (Por eso tiene dimensión$${\ displaystyle {\ binom {m + n} {m}} = {\ binom {m + n} {n}}}).

El teorema de Birkhoff-Grothendieck establece que en la línea proyectiva, cualquier conjunto de vectores se divide de forma única como una suma directa de los paquetes de líneas.

Paquetes de líneas importantes [ editar ]

El paquete tautológico , que aparece, por ejemplo, como el divisor excepcional de la explosión de un punto lisoes la gavilla.$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- 1)}. El paquete canónico

$${\ displaystyle {\ mathcal {K}} (\ mathbb {P} _ {k} ^ {n}), \,} es $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- (n + 1))}.

Este hecho se deriva de una declaración geométrica fundamental sobre los espacios proyectivos: la secuencia de Euler .

La negatividad del paquete de líneas canónicas hace que los espacios proyectivos sean ejemplos principales de las variedades Fano , de manera equivalente, su paquete de líneas anticanónicas es amplio (de hecho, muy amplio). Su índice ( cf. variedades Fano ) está dado por$${\ displaystyle \ mathrm {Ind} (\ mathbb {P} ^ {n}) = n + 1}Y, por un teorema de Kobayashi-Ochiai, los espacios proyectivos se caracterizan entre las variedades Fano por la propiedad.

$${\ displaystyle \ mathrm {Ind} (X) = \ mathrm {dim} X + 1}.

Morfismos a esquemas proyectivas [ editar ]

Como los espacios afines se pueden incrustar en espacios proyectivos, todas las variedades afines también se pueden incrustar en espacios proyectivos.

Cualquier elección de un sistema finito de secciones globales que no desaparecen de forma simultánea de un paquete de líneas generado globalmente define un morfismo en un espacio proyectivo. Un conjunto de líneas cuya base se puede incrustar en un espacio proyectivo mediante un morfismo de este tipo se denomina muy amplio .

El conjunto de simetrías del espacio proyectivo. $${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbf {k}} ^ {n}} Es el grupo de automorfismos lineales proyectivizados. $${\ displaystyle \ mathrm {PGL} _ {n + 1} (\ mathbf {k})}. La elección de un morfismo para un espacio proyectivo.$${\ displaystyle j: X \ to \ mathbf {P} ^ {n}} modulo la acción de este grupo es, de hecho, equivalente a la elección de una generación a nivel mundial n -dimensional sistema lineal de divisores en una línea paquete en X . La elección de una incrustación proyectivo de X , modulotransformaciones proyectivas es igualmente equivalente a la elección de una muy amplia línea paquete en X .

Un morfismo a un espacio proyectivo. $${\ displaystyle j: X \ to \ mathbf {P} ^ {n}} define un paquete de líneas generado globalmente por $${\ displaystyle j ^ {*} {\ mathcal {O}} (1)} y un sistema lineal

$${\ displaystyle j ^ {*} (\ Gamma (\ mathbf {P} ^ {n}, {\ mathcal {O}} (1))) \ subconjunto \ Gamma (X, j ^ {*} {\ mathcal { O}} (1)).}

Si el rango del morfismo $${\ displaystyle j}no está contenido en un divisor de hiperplano, entonces el retroceso es una inyección y el sistema lineal de divisores

$${\ displaystyle j ^ {*} (\ Gamma (\ mathbf {P} ^ {n}, {\ mathcal {O}} (1)))}Es un sistema lineal de dimensión n .

Un ejemplo: las incrustaciones de Veronese [ editar ]

Las incrustaciones veronesas son incrustaciones. $${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} \ to \ mathbb {P} ^ {N}} para $${\ displaystyle N = {\ binom {n + d} {d}} - 1}

Consulte la respuesta en MathOverflow para ver una aplicación de la integración de Veronese en el cálculo de grupos de cohomología de hipersuperficies proyectivas suaves (divisores suaves).

Curvas en espacios proyectivos [ editar ]

Como variedades de Fano, los espacios proyectivos son variedades regidas . La teoría de intersección de curvas en el plano proyectivo arroja el teorema de Bézout .

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Un 4-arco (puntos rojos) en el plano proyectivo de orden 2 (plano Fano).

Un arco ( simple ) en geometría proyectiva finita es un conjunto de puntos que satisface, de manera intuitiva, una característica de figuras curvas en geometrías continuas . En términos generales, son conjuntos de puntos que están lejos de "como una línea" en un plano o lejos de "como un plano" en un espacio tridimensional. En esta configuración finita es típico para incluir el número de puntos en el conjunto en el nombre, por lo que estos arcos simples se llaman k - arcos . Una generalización importante del concepto k -arc, también conocido como arcos en la literatura, son los ( k, d ) -arcs.

k -arcs en un plano proyectivo [ editar ]

En un plano proyectivo finito π (no necesariamente desarguesiano ), un conjunto A de k ( k ≥ 3) puntos, de manera que no hay tres puntos de A son colineales (en una línea) se denomina k - arco . Si el plano π tiene un orden q, entonces k ≤ q + 2 , sin embargo, el valor máximo de k solo se puede alcanzar si q es par. ^[1] En un plano de orden q , a ( q + 1)-arc se llama un óvalo y, si q es par, un ( q + 2) -arc se llama un hiperoval .

Cada cónica en el plano proyectivo desarguesiano PG (2, q ), es decir, el conjunto de ceros de una ecuación cuadrática homogénea irreducible, es un óvalo. Un célebre resultado de Beniamino Segre indica que cuando qes impar, cada ( q + 1) -arc en PG (2, q ) es una cónica ( teorema de Segre ). Este es uno de los resultados pioneros en geometría finita .

Si q es par y A es un ( q + 1) -arc en π , entonces se puede mostrar a través de argumentos combinatorios que debe existir un punto único en π (llamado núcleo de A ) tal que la unión de A y esto el punto es un ( q + 2) -arc. Por lo tanto, cada óvalo se puede extender de forma única a un hiperoval en un plano proyectivo finito de orden par.

A k -arc que no puede ser extendido a un arco más grande se llama un arco completo . En los planos proyectivos Desarguesianos, PG (2, q ), no hay q -arc completo, por lo que todos pueden extenderse a los óvalos. ^[2]

k -arcs en un espacio proyectivo [ editar ]

En el finito espacio proyectivo PG ( n , q ) con n ≥ 3 , un conjunto A de k ≥ n + 1 puntos tales que no hay n + 1puntos se encuentran en un común hiperplano que se llama un (espacial) k - arco . Esta definición generaliza la definición de un k -arc en un plano (donde n = 2 ).

( k , d ) -arcs en un plano proyectivo [ editar ]

A ( k , d ): el arco ( k , d > 1 ) en un plano proyectivo finito π (no necesariamente desarguesiano ) es un conjunto, A de k puntos de π de tal manera que cada línea intersecta A en la mayoría de los puntos d , y allí es al menos una línea que interseca A en d puntos. A ( k , 2 ) -arc es un k -arc y puede denominarse simplemente un arco si el tamaño no es una preocupación.

El número de puntos k de a ( k , d ) -arc A en un plano proyectivo de orden q es a lo sumo qd + d - q . Cuando ocurre la igualdad, uno llama a A un arco máximo .

Los hiperovales son arcos máximos. Los arcos completos no necesitan ser arcos máximos.