GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

plano de Cayley (o plano proyectivo octoniónico ) P ² ( O ) es un plano proyectivo sobre los octoniones . ^[1] Fue descubierto en 1933 por Ruth Moufang , y lleva el nombre de Arthur Cayley (por su artículo de 1845 que describe los octoniones).

Más precisamente, hay dos objetos llamados planos de Cayley, a saber, el plano de Cayley real y el complejo. El plano de Cayley real es el espacio simétrico F ₄ / Spin (9), donde F ₄ es una forma compacta de un grupo de Lie excepcional y Spin (9) es el grupo de spin del espacio euclidiano de nueve dimensiones (realizado en F ₄ ). Admite una descomposición celular en tres celdas, de dimensiones 0, 8 y 16. ^[2]

El plano complejo de Cayley es un espacio homogéneo bajo una forma no compacta (tipo contiguo) del grupo E ₆ por un subgrupo parabólico P ₁ . Es la órbita cerrada en la proyectivización de la representación mínima de E ₆ . El avión Cayley complejo consta de dos F ₄ -orbits: la órbita cerrada es un cociente de F ₄ por un subgrupo parabólico, la órbita abierto es el plano real Cayley.

En el plano de Cayley, las líneas y los puntos pueden definirse de manera natural para que se convierta en un espacio proyectivo bidimensional , es decir, un plano proyectivo . Es un plano no desarguesiano , donde el teorema de Desargues no se sostiene.

métrica de Cayley-Klein es una métrica en el complemento de un cuadriculado fijo en un espacio proyectivo que se define utilizando una relación cruzada . La construcción se originó con el ensayo de Arthur Cayley "Sobre la teoría de la distancia" ^[1], donde él llama el cuadrático absoluto . La construcción fue desarrollada con mayor detalle por Felix Klein en documentos en 1871 y 1873, y libros y documentos posteriores. ^[2] Las métricas de Cayley-Klein son una idea unificadora en geometría ya que el método se usa para proporcionar métricas en geometría hiperbólica , geometría elíptica, y la geometría euclidiana . El campo de la geometría no euclidiana se basa en gran medida en la base proporcionada por las métricas de Cayley-Klein.

La distancia métrica entre dos puntos dentro del absoluto es el logaritmo de la relación cruzada formada por estos dos puntos y las dos intersecciones de su línea con el absoluto.

Fundaciones [ editar ]

El álgebra de tiros de Karl von Staudt (1847) es un enfoque de la geometría que es independiente de la métrica . La idea era utilizar la relación de conjugados armónicos proyectivos y relaciones cruzadas como fundamental para la medida en una línea. ^[3] Otra idea importante fue la fórmula de Laguerre por Edmond Laguerre (1853), quien mostró que el ángulo euclidiano entre dos líneas se puede expresar como el logaritmo de una relación cruzada. ^[4] Finalmente, Cayley (1859) formuló relaciones para expresar la distancia en términos de una métrica proyectiva, y las relacionó con las cuádricas o cónicas generales.Sirviendo como el absoluto de la geometría. ^[5] [6] Klein (1871, 1873) eliminó los últimos remanentes de conceptos métricos del trabajo de von Staudt y los combinó con la teoría de Cayley, con el fin de basar la nueva métrica de Cayley en el logaritmo y la relación cruzada como un número generado por el Arreglo geométrico de cuatro puntos. ^[7] Este procedimiento es necesario para evitar una definición circular de distancia si la relación cruzada es simplemente una relación doble de distancias previamente definidas. ^[8] En particular, mostró que las geometrías no euclidianas pueden basarse en la métrica de Cayley-Klein. ^[9]

La geometría de Cayley-Klein es el estudio del grupo de movimientos que dejan invariante la métrica de Cayley-Klein . Depende de la selección de un cuádrico o cónico que se convierta en el absoluto del espacio. Este grupo se obtiene como las colinciones para las cuales el absoluto es estable . De hecho, la relación cruzada es invariante en cualquier colinción, y el absoluto estable habilita la comparación métrica, que será la igualdad. Por ejemplo, el círculo unitario es el absoluto del modelo de disco de Poincaré y el modelo de Beltrami-Klein en geometría hiperbólica . Del mismo modo, la línea real.Es el absoluto del modelo de semiplano de Poincaré .

Horst y Rolf Struve resumieron la extensión de la geometría de Cayley-Klein en 2004: ^[10]

Hay tres absolutos en la línea proyectiva real, siete en el plano proyectivo real y 18 en el espacio proyectivo real. Todos los espacios proyectivos no euclidianos clásicos como hiperbólicos, elípticos, galileanos y minkowskianos y sus duales se pueden definir de esta manera.

Los diagramas de Cayley-Klein Voronoi son diagramas afines con bisectrices de hiperplano lineales . ^[11]

Relación cruzada y distancia [ editar ]

Supongamos que Q es un cuadrático fijo en el espacio proyectivo que se convierte en el absoluto de esa geometría. Si p y q son 2 puntos, entonces la línea a través de a y b intersecta la cuadrática Q en otros dos puntos p y q . La distancia de Cayley-Klein d ( a , b ) de a a b es proporcional al logaritmo de la relación cruzada : ^[12]

$${\ displaystyle d (a, b) = C \ log {\ frac {| bp || qa |} {| ap || qb |}}}para alguna constante fija C .

Cuando C es real, representa la distancia hiperbólica de la geometría hiperbólica , cuando imaginario se relaciona con la geometría elíptica . El absoluto también puede expresarse en términos de cuadráticas o cónicasarbitrarias que tienen la forma en coordenadas homogéneas :

$${\ displaystyle \ Omega = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0, \ \ left (\ omega _ {\ alpha \ beta} = \ omega _ {\ beta \ alpha} \ right)}

(donde α, β = 1,2,3 se relaciona con el plano y α, β = 1,2,3,4 al espacio), por lo tanto: ^[13]

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} d & = C \ log {\ frac {\ Omega _ {xy} + {\ sqrt {\ Omega _ {xy} ^ {2} - \ Omega _ { xx} \ Omega _ {aa}}}} {\ Omega _ {xy} - {\ sqrt {\ Omega _ {xy} ^ {2} - \ Omega _ {xx} \ Omega _ {aa}}}}} \\ & = 2iC \ cdot \ operatorname {acos} {\ frac {\ Omega _ {xy}} {\ sqrt {\ Omega _ {xx} \ cdot \ Omega _ {yy}}}} \ end {alineado}} \\ hline {\ begin {matrix} \ Omega _ {xx} = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\\ Omega _ {yy} = \ suma \ omega _ {\ alpha \ beta} y _ {\ alpha} y _ {\ beta} = 0 \\\ Omega _ {xy} = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta} \ end {matrix}} \ end {matrix}}}

La distancia hiperbólica correspondiente es (con C = 1/2 para simplificación): ^[14]

$${\ displaystyle d = \ operatorname {acosh} {\ frac {\ Omega _ {xy}} {\ sqrt {\ Omega _ {xx} \ cdot \ Omega _ {yy}}}}}

o en geometría elíptica (con C = i / 2 para simplificación) ^[15]

$${\ displaystyle d = \ operatorname {acos} {\ frac {\ Omega _ {xy}} {\ sqrt {\ Omega _ {xx} \ cdot \ Omega _ {yy}}}}}

Formas normales de la absoluta [ editar ]

Cualquier cuadric (o superficie de segundo orden) con coeficientes reales de la forma.$${\ displaystyle \ Omega = \ sum \ omega _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0}puede transformarse en formas normales o canónicas en términos de sumas de cuadrados, mientras que la diferencia en el número de signos positivos y negativos no cambia bajo una transformación homogénea real del determinante by 0 por la ley de inercia de Sylvester , con la siguiente clasificación ( "parte cero" significa la ecuación real de la cuadrícula, pero no puntos reales): ^[16]

---

I. Superficies adecuadas de segundo orden .

1. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0}. Superficie de cero partes.

2. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}. Superficie ovalada .

a) Elipsoide

b) paraboloide elíptico

c) hiperboloide de dos hojas

3. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0}. Superficie del anillo.

a) hiperboloide de una hoja

b) paraboloide hiperbólico

II. Superficies cónicas de segundo orden .

1. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}. Cono de cero partes.

a) cono de cero partes

b) Cilindro de cero partes

2. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}. Cono ordinario.

un cono

b) Cilindro elíptico

c) Cilindro parabólico

d) Cilindro hiperbólico

III. Pares avión .

1. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0}. Conjugar pares de planos imaginarios.

a) Intercepción mutua de planos imaginarios.

b) Planos imaginarios paralelos.

2. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}. Parejas de planos reales.

a) Los planos de intersección mutua.

b) Planos paralelos.

c) Un plano es finito, el otro infinitamente distante, por lo tanto, no existe desde el punto de vista afín.

IV. Doble conteo de aviones .

1. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = 0}.

a) Plano finito de doble conteo.

b) Doble conteo del plano infinitamente distante, no existente en la geometría afín.

---

Las colinciones que dejan invariantes estas formas se pueden relacionar con transformaciones fraccionales lineales o transformaciones de Möbius . ^[17] Tales formas y sus transformaciones ahora se pueden aplicar a varios tipos de espacios, que se pueden unificar mediante el uso de un parámetro ε (donde ε = 0 para geometría euclidiana, ε = 1 para geometría elíptica, ε = -1 para geometría hiperbólica ), para que la ecuación en el plano se convierta en$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + {\ tfrac {1} {\ varepsilon}} x_ {3} ^ {2} = 0}^[18] y en el espacio$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + {\ tfrac {1} {\ varepsilon}} x_ {4} ^ {2} = 0}. ^[19] Por ejemplo, el absoluto para el plano euclidiano ahora puede representarse por$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 0, \ x_ {3} = 0}. ^[20]

El plano o espacio elíptico está relacionado con superficies de cero partes en coordenadas homogéneas: ^[21]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0 & \ Omega = x_ { 1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 0 \\ hline d = \ operatorname {acos} {\ frac { x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2}}}}} & d = \ operatorname {acos } {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} + x_ {4} y_ {4}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2}}}} \ end {array}}}

o utilizando coordenadas no homogéneas $${\ displaystyle \ left [{\ mathfrak {x}}, {\ mathfrak {y}}, \ dots, 1 \ right] = \ left [{\ tfrac {x_ {1}} {x_ {n}}}, {\ tfrac {x_ {2}} {x_ {n}}}, \ dots, {\ tfrac {x_ {n}} {x_ {n}}} \ right]}por el cual el absoluto se convierte en el círculo unitario imaginario o esfera unitaria: ^[22]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} + 1 = 0 & \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} + {\ mathfrak {z}} ^ {2} + 1 = 0 \\\ hline d = \ operatorname {acos} {\ frac {{\ mathfrak {x}} _ {1} {\ mathfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} +1} { {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} +1}} {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} +1}}}} & d = \ operatorname {acos} {\ frac {{\ mathfrak {x}} _ { 1} {\ mathfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} + {\ mathfrak {z}} _ {1} {\ mathfrak {z}} _ {2} +1} {{\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} + { \ mathfrak {z}} _ {1} ^ {2} +1}} {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} +1}}} \ end {array}}}

o expresando las coordenadas homogéneas en términos de la condición $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} = y_ {1} ^ {2} + \ dots + y_ {n} ^ {2} = 1}(Coordenadas de Weierstrass) la distancia se simplifica a: ^[23]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} d = \ operatorname {acos} \ left (x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} \ right) & d = \ operatorname {acos} \ left (x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} + x_ {4} y_ {4} \ right ) \ end {array}}}

El plano o espacio hiperbólico está relacionado con la superficie ovalada en coordenadas homogéneas: ^[24]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0 & \ Omega = x_ { 1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0 \\ hline d = \ operatorname {acosh} {\ frac { x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} - x_ {3} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} -y_ {3} ^ {2}}}}} & d = \ operatorname {acosh } {\ frac {x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} -x_ {4} y_ {4}} {{\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2}}} {\ sqrt {y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2}}}}} \ end {array}}}

o utilizando coordenadas no homogéneas $${\ displaystyle \ left [{\ mathfrak {x}}, {\ mathfrak {y}}, \ dots, 1 \ right] = \ left [{\ tfrac {x_ {1}} {x_ {n}}}, {\ tfrac {x_ {2}} {x_ {n}}}, \ dots, {\ tfrac {x_ {n}} {x_ {n}}} \ right]}por el cual el absoluto se convierte en el círculo unitario o esfera unitaria: ^[25]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} -1 = 0 & \ Omega = {\ mathfrak {x}} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} ^ {2} + {\ mathfrak {z}} ^ {2} -1 = 0 \\ hline d = \ operatorname {acosh} {\ frac {{\ mathfrak {x}} _ {1} {\ mathfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} -1} { {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} -1}} {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} -1}}} & d = \ operatorname {acosh} {\ frac {{\ mathfrak {x}} _ { 1} {\ mathfrak {x}} _ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} {\ mathfrak {y}} _ {2} + {\ mathfrak {z}} _ {1} {\ mathfrak {z}} _ {2} -1} {{\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {1} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} + { \ mathfrak {z}} _ {1} ^ {2} -1}} {\ sqrt {{\ mathfrak {x}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {2} ^ {2} + {\ mathfrak {y}} _ {1} ^ {2} -1}}}} \ end {array}}}

o expresando las coordenadas homogéneas en términos de la condición $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots -x_ {n} ^ {2} = y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + \ puntos -y_ {n} ^ {2} = - 1}(Coordenadas de Weierstrass del modelo hiperboloide ) la distancia se simplifica a: ^[26]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} d = \ operatorname {acosh} \ left (x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3} \ right) & d = \ operatorname {acosh} \ left (x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} -x_ {4} y_ {4} \ right ) \ end {array}}}

La relatividad especial [ editar ]

Artículo principal: Historia de las transformaciones de Lorentz.

En sus conferencias sobre la historia de las matemáticas de 1919/20, publicadas póstumamente en 1926, Klein escribió: ^[27]

El caso $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0} en el mundo de cuatro dimensiones o $${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}(permanecer en tres dimensiones y utilizar coordenadas homogéneas ) ha ganado recientemente un significado especial a través de la teoría de la relatividad de la física.

Es decir, los absolutos. $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0} o $${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2} = 0} en geometría hiperbólica (como se discutió anteriormente), corresponden a los intervalos $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2} = 0} o $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}en el espacio-tiempo , y su transformación que deja el invariante absoluto puede relacionarse con las transformaciones de Lorentz . De manera similar, las ecuaciones del círculo unitario o esfera unitaria en geometría hiperbólica corresponden a velocidades físicas$${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = 1} o $${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} = 1}en relatividad, que están limitadas por la velocidad de la luz  c , de modo que para cualquier velocidad física v , la relación v / c se limita al interior de una esfera unitaria, y la superficie de la esfera forma el absoluto de Cayley para la geometría.

Klein señaló en 1910, ^[28] detalles adicionales sobre la relación entre la métrica de Cayley-Klein para el espacio hiperbólico y el espacio de relatividad especial de Minkowski ^[28] , así como en la edición de 1928 de sus conferencias sobre geometría no euclidiana. ^[29]

Affine CK-geometry [ editar ]

En 2008, Horst Martini y Margarita Spirova generalizaron el primero de los teoremas circulares de Clifford y otra geometría euclidiana utilizando una geometría afín asociada con el absoluto de Cayley:

Si el absoluto contiene una línea, entonces se obtiene una subfamilia de geometrías afines de Cayley-Klein . Si el absoluto consiste en una línea f y un punto F en f , entonces tenemos la geometría isotrópica . Un círculo isotrópico es un tacto cónica f en F . ^[30]

Utilizar coordenadas homogéneas ( x, y, z ). La línea f en el infinito es z = 0. Si F = (0,1,0), entonces una parábola con un diámetro paralelo al eje y es un círculo isotrópico.

Sean P = (1,0,0) y Q = (0,1,0) en el absoluto, por lo que f es como antes. Se considera que una hipérbola rectangular en el plano ( x, y ) pasa a través de P y Q en la línea en el infinito. Estas curvas son los círculos pseudo-euclidianos.

El tratamiento de Martini y Spirova utiliza números duales para la geometría isotrópica y números de complejo dividido para la geometría pseudo-euclidiana. Estos números complejos generalizados se asocian con sus geometrías como lo hacen los números complejos ordinarios con la geometría euclidiana.

Historia [ editar ]

Cayley [ editar ]

La pregunta surgió recientemente en una conversación sobre si una tesis de 2 líneas podría merecer y obtener una beca. ... La definición proyectiva de longitud de Cayley es un caso claro si podemos interpretar "2 líneas" con una latitud razonable. ... Con Cayley, la importancia de la idea es obvia a primera vista.

Littlewood (1986 , pp. 39-40)

Arthur Cayley (1859) definió el "absoluto" en el que basó su métrica proyectiva como una ecuación general de una superficie de segundo grado en términos de coordenadas homogéneas : ^[1]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline (a, b, c) (x, y) ^ {2} = 0 & \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\ & \ left (\ alpha, \ beta = 1,2 \ right) \ end {array}}}

La distancia entre dos puntos viene dada por

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\ hline \ cos ^ {- 1} {\ frac {(a, b, c ) (x, y) \ left (x ', y' \ right)} {{\ sqrt {(a, b, c) (x, y) ^ {2}}} {\ sqrt {(a, b, c) (x ', y') ^ {2}}}}} & \ cos ^ {- 1} {\ frac {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}} { {\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta}}} {\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} y _ {\ alpha} y _ {\ beta}}} }} \\ & \ left [\ alpha, \ beta = 1,2 \ right] \ end {array}}}

En dos dimensiones

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline (a, b, c, f, g, h) (x, y , z) ^ {2} = 0 & \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0, \\ & \ left (\ alpha, \ beta = 1,2,3 \ right ) \ end {array}}}

con la distancia

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\ hline \ cos ^ {- 1} {\ frac {(a, \ dots) (x, y, z) \ left (x ', y', z '\ right)} {{\ sqrt {(a, \ dots) (x, y, z) ^ {2}}} {\ sqrt { (a, \ dots) (x ', y', z ') ^ {2}}}}} & \ cos ^ {- 1} {\ frac {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} y _ {\ beta}} {{\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta}}} {\ sqrt {\ sum a _ {\ alpha \ beta} y _ {\ alpha} y _ {\ beta}}}}}, \ \\ & \ left (\ alpha, \ beta = 1,2,3 \ right) \ end {array}}}

de los cuales discutió el caso especial. $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0} con la distancia

$${\ displaystyle \ cos ^ {- 1} {\ frac {xx '+ yy' + zz '} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2} + z ^ {\ prime 2}}}}}}

También aludió al caso. $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1} (esfera unidad).

Klein [ editar ]

Felix Klein (1871) reformuló las expresiones de Cayley de la siguiente manera: escribió el absoluto (al que llamó sección cónica fundamental) en términos de coordenadas homogéneas: ^[31]

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ text {original}} & {\ text {modern}} \\\ hline \ Omega = ax_ {1} ^ {2} + 2bx_ {1} x_ {2} + cx_ {2} ^ {2} = 0 & \ Omega = \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\ & \ left (\ alpha, \ beta = 1,2 \ right) \ end {array}}}

y formando los absolutos $${\ displaystyle \ Omega _ {xx}} y $${\ displaystyle \ Omega _ {yy}} para dos elementos, definió la distancia métrica entre ellos en términos de la relación cruzada:

${\displaystyle {\begin{matrix}c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \operatorname {arccos} {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}\\\hline {\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}{\text{original}}\\\Omega _{xx}=ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _{xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\\\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\text{modern}}\\\Omega _{xx}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{matrix}}\end{array}}\end{matrix}}}$

En el plano, se mantienen las mismas relaciones para distancias métricas, excepto que $${\ displaystyle \ Omega _ {xx}} y $${\ displaystyle \ Omega _ {yy}} Ahora están relacionados con tres coordenadas $${\ displaystyle x, y, z}cada. Como sección cónica fundamental discutió el caso especial.$${\ displaystyle \ Omega _ {xx} = z_ {1} z_ {2} -z_ {3} ^ {2} = 0}, que se relaciona con la geometría hiperbólica cuando es real, y con la geometría elíptica cuando es imaginario. ^[32] Las transformaciones que dejan invariante esta forma representan movimientos en el espacio respectivo no euclidiano. Alternativamente, usó la ecuación del círculo en la forma$${\ displaystyle \ Omega _ {xx} = x ^ {2} + y ^ {2} -4c ^ {2} = 0}, que se relaciona con la geometría hiperbólica cuando $${\ displaystyle c} es positivo (modelo Beltrami-Klein) o para geometría elíptica cuando $${\ displaystyle c}es negativo ^[33] En el espacio, discutió las superficies fundamentales de segundo grado, según las cuales las imaginarias se refieren a la geometría elíptica, la real y la rectilínea corresponden a un hiperboloide de una hoja sin relación con una de las tres geometrías principales, mientras que la real y la no -Los rectilíneos se refieren al espacio hiperbólico.

En su artículo de 1873, señaló la relación entre la métrica de Cayley y los grupos de transformación. ^[34] En particular, las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales, correspondientes a superficies de segundo grado, se pueden transformar en una suma de cuadrados, de los cuales la diferencia entre el número de signos positivos y negativos permanece igual (esto ahora se llama la ley de Sylvester de inercia ). Si el signo de todos los cuadrados es el mismo, la superficie es imaginaria con curvatura positiva. Si un signo difiere de los otros, la superficie se convierte en un elipsoide o hiperboloide de dos hojas con curvatura negativa.

En el primer volumen de sus conferencias sobre geometría no euclidiana en el semestre de invierno 1889/90 (publicado en 1892/1893), habló sobre el plano no euclidiano, usando estas expresiones para el absoluto: ^[35]

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0 \\\ left [\ alpha, \ beta = 1,2,3 \ right] \ end {matrix}} \ rightarrow {\ begin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} + 4k ^ {2} t ^ {2} = 0 & \ mathrm {(elíptica)} \\ x ^ {2 } + y ^ {2} -4k ^ {2} t ^ {2} = 0 & \ mathrm {(hiperbólico)} \ end {matriz}}}

y discutieron su invariancia con respecto a las colinciones y transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos.

En el segundo volumen que contiene las conferencias del semestre de verano de 1890 (publicado también en 1892/1893), Klein habló sobre el espacio no euclidiano con la métrica de Cayley ^[36]

$${\ displaystyle \ sum a _ {\ alpha \ beta} x _ {\ alpha} x _ {\ beta} = 0, \ \ left [\ alpha, \ beta = 1,2,3,4 \ right]}

y continuó mostrando que las variantes de esta forma cuadrática cuaternaria se pueden llevar a una de las siguientes cinco formas mediante transformaciones lineales reales ^[37]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} + z_ {4} ^ {2} & {\ text {( parte cero)}} \\ z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} & {\ text {(óvalo) }} \\ z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} -z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} & {\ text {(ring)}} \ \ -z_ {1} ^ {2} -z_ {2} ^ {2} -z_ {3} ^ {2} + z_ {4} ^ {2} \\ - z_ {1} ^ {2} -z_ {2} ^ {2} -z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} \ end {alineado}}}

La forma $${\ displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} + z_ {4} ^ {2} = 0}fue utilizado por Klein como el absoluto de Cayley de la geometría elíptica, ^[38]mientras que a la geometría hiperbólica él relató$${\ displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0} y alternativamente la ecuación de la esfera unitaria. $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0}. ^[39] Finalmente discutió su invariancia con respecto a las colineaciones y las transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos.

Robert Fricke y Klein resumieron todo esto en la introducción del primer volumen de conferencias sobre funciones automórficas en 1897, en las que usaron$${\ displaystyle e \ left (z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} \ right) -z_ {3} ^ {2} = 0} como lo absoluto en geometría plana, y $${\ displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0} tanto como $${\ displaystyle X ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} = 1}para el espacio hiperbólico. ^[40] Las conferencias de Klein sobre geometría no euclidiana se volvieron a publicar póstumamente como un volumen y fueron editadas significativamente por Walther Rosemann en 1928. ^[41] Un análisis histórico del trabajo de Klein sobre geometría no euclidiana fue dado por A'Campo y Papadopoulos (2014) .