GEOMETRÍA CLÁSICA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

esfera de Bloch es una representación geométrica del espacio de estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles ( qubit ), que lleva el nombre del físico Félix Bloch . ^[1]

La mecánica cuántica está formulada matemáticamente en el espacio de Hilbert o en el espacio de Hilbert proyectivo . El espacio de estados puros de un sistema cuántico viene dado por los subespacios unidimensionales del espacio de Hilbert correspondiente (o los "puntos" del espacio de Hilbert proyectivo). Para un espacio de Hilbert bidimensional, esto es simplemente la compleja línea proyectiva ℂℙ ¹ . Esta es la esfera de Bloch.

La esfera de Bloch es una unidad de 2 esferas , con puntos antípodas correspondientes a un par de vectores de estado ortogonales entre sí. Los polos norte y sur de la esfera de Bloch se escogen típicamente para corresponder a los vectores de base estándar$${\ displaystyle | 0 \ rangle} y $${\ displaystyle | 1 \ rangle}, Respectivamente, que a su vez podría corresponder, por ejemplo, a la vuelta -up y girar -down estados de un electrón. Sin embargo, esta elección es arbitraria. Los puntos en la superficie de la esfera corresponden a los estados puros del sistema, mientras que los puntos interiores corresponden a los estados mixtos . ^[2] [3] La esfera de Bloch puede generalizarse a un sistema cuántico de n niveles, pero la visualización es menos útil.

Por razones históricas, en la óptica, la esfera de Bloch también se conoce como la esfera de Poincaré y representa específicamente diferentes tipos de polarizaciones . Existen seis tipos comunes de polarización y se llaman vectores de Jones . De hecho, Henri Poincaré fue el primero en sugerir el uso de este tipo de representación geométrica a finales del siglo XIX, ^[4] como una representación tridimensional de los parámetrosde Stokes .

La métrica natural en la esfera de Bloch es la métrica de estudio de Fubini . El mapeo de la unidad de 3 esferas en el espacio de estado bidimensional ℂ ² a la esfera de Bloch es la fibración de Hopf , con cada rayo de espinores mapeando a un punto en la esfera de Bloch.

Definición [ editar ]

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro. $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores de base $${\ displaystyle | 0 \ rangle} y $${\ displaystyle | 1 \ rangle}, donde el coeficiente o cantidad de cada vector base es un número complejo . Dado que solo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores de base tiene algún significado físico, podemos tomar el coeficiente de$${\ displaystyle | 0 \ rangle} Ser real y no negativo.

También sabemos por la mecánica cuántica que la probabilidad total del sistema debe ser uno: $${\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}, o equivalente $${\ displaystyle || \ psi \ rangle || ^ {2} = 1}. Dada esta restricción, podemos escribir$${\ displaystyle | \ psi \ rangle} utilizando la siguiente representación:

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, e ^ {i \ phi} \ sin \ left (\ theta / 2 \ right) | 1 \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) \, \ sin \ left (\ theta / 2 \ right ) | 1 \ rangle}, dónde $${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi} y {\ displaystyle 0 \ leq \ phi <2 font="" pi="">.

Excepto en el caso donde $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} es uno de los vectores cet $${\ displaystyle | 0 \ rangle} o $${\ displaystyle | 1 \ rangle}, la representación es única. Los parametros$${\ displaystyle \ theta \,}y $${\ displaystyle \ phi \,}, reinterpretado en coordenadas esféricas como respectivamente la colatitud con respecto al eje z y la longitud con respecto al eje x , especifique un punto

$${\ displaystyle {\ vec {a}} = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) = (u, v, w)}

en la esfera unidad en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}.

Para estados mixtos , se considera el operador de densidad . Cualquier operador de densidad bidimensional ρpuede expandirse utilizando la identidad I y las matrices de Pauli hermitianas y sin trazados $${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}:

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} \ left (I + {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ right) = {\ frac {1} {2} } {\ begin {pmatrix} 1 + w & u-iv \\ u + iv & 1-w \ end {pmatrix}}},

dónde $${\ displaystyle {\ vec {a}} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}Se llama el vector de Bloch del sistema.

Es este vector el que indica el punto dentro de la esfera que corresponde a un estado mixto dado. Específicamente, como una característica básica del vector de Pauli , los valores propios de ρ son$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (1 \ pm | {\ vec {a}} | \ right)}. Los operadores de densidad deben ser positivos semidefinidos, por lo que concluimos que$${\ displaystyle | {\ vec {a}} | \ leq 1}. Para estados puros, entonces debemos tener

$${\ displaystyle \ mathrm {tr} (\ rho ^ {2}) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ | {\ vec {a}} | ^ {2} \ right) = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad | {\ vec {a}} | = 1 ~,}

De acuerdo con lo anterior.

Como consecuencia, la superficie de la esfera de Bloch representa todos los estados puros de un sistema cuántico bidimensional, mientras que el interior corresponde a todos los estados mixtos.

Representación de u, v, w [ editar ]

El vector de Bloch $${\ displaystyle {\ vec {a}} = (u, v, w)} Se puede representar en la siguiente base, con referencia al operador de densidad $${\ displaystyle \ rho}: ^[5]

$${\ displaystyle u = \ rho _ {10} + \ rho _ {01} = 2 {\ textrm {Re}} (\ rho _ {01})}

$${\ displaystyle v = i (\ rho _ {01} - \ rho _ {10}) = 2 {\ textrm {Im}} (\ rho _ {10})}

$${\ displaystyle w = \ rho _ {00} - \ rho _ {11}}

dónde

{\ displaystyle \ rho = {\ begin {pmatrix} \ rho _ {00} & \ rho _ {01} \\\ rho _ {10} & \ rho _ {11} \ end {pmatrix}}.

Esta base se utiliza a menudo en la teoría del láser , donde$${\ displaystyle w}Se conoce como la inversión poblacional . ^[6]

Estados puros [ editar ]

Considere un sistema mecánico cuántico de n niveles. Este sistema está descrito por un espacio de Hilbert n-dimensional H _n . El espacio de estado puro es, por definición, el conjunto de rayos 1-dimensionales de H _n . 

Teorema . Sea U ( n ) el grupo de Lie de matrices unitarias de tamaño n . Entonces el espacio de estado puro de H _n puede identificarse con el espacio de coset compacto

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n) / (\ operatorname {U} (n-1) \ times \ operatorname {U} (1)).}

Para probar este hecho, tenga en cuenta que hay una acción de grupo natural de U ( n ) en el conjunto de estados de H _n . Esta acción es continua y transitiva en los estados puros. Para cualquier estado$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, el grupo de isotropía de$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, (definido como el conjunto de elementos $${\ displaystyle g} de U ( n ) tal que$${\ displaystyle g | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle}) es isomorfo al grupo de productos

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n-1) \ times \ operatorname {U} (1).}

En términos de álgebra lineal, esto se puede justificar de la siguiente manera. Alguna$${\ displaystyle g}de U ( n ) que deja$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}invariante debe tener $${\ displaystyle | \ psi \ rangle}como un eigenvector . Dado que el valor propio correspondiente debe ser un número complejo de módulo 1, esto da el factor U (1) del grupo de isotropía. La otra parte del grupo de isotropía está parametrizada por las matrices unitarias en el complemento ortogonal de$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, que es isomorfo a U ( n - 1). A partir de esto, la afirmación del teorema se deduce de los hechos básicos sobre las acciones de grupo transitivas de los grupos compactos.

El hecho importante a tener en cuenta es que el grupo unitario actúa de manera transitoria en estados puros.

Ahora la dimensión (real) de U ( n ) es n ² . Esto es fácil de ver ya que el mapa exponencial

$${\ displaystyle A \ mapsto e ^ {iA}}

es un homeomorfismo local desde el espacio de matrices complejas autoadjuntas a U ( n ). El espacio de matrices complejas autoadjuntas tiene dimensión real n ² .

Corolario . La dimensión real del espacio de estado puro de H _n es 2 n - 2.

De hecho,

$${\ displaystyle n ^ {2} - ((n-1) ^ {2} +1) = 2n-2. \ quad}

Apliquemos esto para considerar la dimensión real de un registro cuántico m qubit. El espacio correspondiente de Hilbert tiene dimensión 2 ^m .

Corolario . La dimensión real del espacio de estado puro de un registro cuántico m - qubit es 2 ^m +1 - 2.

Operadores de densidad [ editar ]

Las formulaciones de la mecánica cuántica en términos de estados puros son adecuadas para sistemas aislados; en general, los sistemas mecánicos cuánticos deben describirse en términos de operadores de densidad . La esfera de Bloch parametriza no solo estados puros sino estados mixtos para sistemas de 2 niveles. El operador de densidad que describe el estado mixto de un sistema cuántico de 2 niveles (qubit) corresponde a un punto dentro de la esfera de Bloch con las siguientes coordenadas:

$${\ displaystyle (\ Sigma p_ {i} x_ {i}, \ Sigma p_ {i} y_ {i}, \ Sigma p_ {i} z_ {i}),}

dónde $${\ displaystyle p_ {i}} es la probabilidad de los estados individuales dentro del conjunto y $${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}}son las coordenadas de los estados individuales (en la superficie de la esfera de Bloch). El conjunto de todos los puntos dentro y dentro de la esfera de Bloch se conoce como la bola de Bloch.

Para estados de dimensiones superiores, es difícil extender esto a estados mixtos. La descripción topológica se complica por el hecho de que el grupo unitario no actúa de manera transitiva en los operadores de densidad. Además, las órbitas son extremadamente diversas, como se desprende de la siguiente observación:

Teorema . Supongamos que A es un operador de densidad en un sistema mecánico cuántico de nivel n cuyos valores propios distintos son μ ₁ , ..., μ _k con multiplicidades n ₁ , ..., n _k . Luego, el grupo de operadores unitarios V , de manera que VAV * = A es isomorfo (como un grupo de Lie) para

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n_ {1}) \ times \ cdots \ times \ operatorname {U} (n_ {k}).}

En particular, la órbita de A es isomorfa a

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n) / (\ operatorname {U} (n_ {1}) \ times \ cdots \ times \ operatorname {U} (n_ {k})).}

Es posible generalizar la construcción de la bola de Bloch a dimensiones mayores que 2, pero la geometría de tal "cuerpo de Bloch" es más complicada que la de una bola. 

 conjunto de bloqueo es un conjunto de puntos en un plano proyectivo que cada línea interseca y que no contiene una línea completa. El concepto puede generalizarse de varias maneras. En lugar de hablar de puntos y líneas, se podrían tratar subespacios en ndimensiones y subespacios en dimensiones m , o incluso más generalmente, objetos de tipo 1 y objetos de tipo 2 cuando algún concepto de intersección tiene sentido para estos objetos. Una segunda forma de generalizar sería pasar a configuraciones más abstractas que la geometría proyectiva. Uno puede definir un conjunto de bloqueo de un hipergráfico como un conjunto que se encuentra con todos los bordes del hipergráfico.

Definición [ editar ]

En un plano proyectivo finito π de orden n , un conjunto de bloqueo es un conjunto de puntos de π que cada línea intersecta y que no contiene ninguna línea completamente. Bajo esta definición, si B es un conjunto de bloqueo, entonces el conjunto complementario de puntos, π \ B también es un conjunto de bloqueo. Un conjunto de bloqueo B es mínimo si la eliminación de cualquier punto de B deja un conjunto que no es un conjunto de bloqueo. Un conjunto de bloqueo de menor tamaño se llama comité . Cada comité es un conjunto de bloqueo mínimo, pero no todos los conjuntos de bloqueo mínimo son comités. Los conjuntos de bloqueo existen en todos los planos proyectivos, excepto en el plano proyectivo más pequeño de orden 2, el plano Fano.. ^[1]

A veces es útil eliminar la condición de que un conjunto de bloqueo no contenga una línea. Bajo esta definición extendida, y desde entonces, en un plano proyectivo que se reúnen cada par de líneas, cada línea sería un conjunto de bloqueo. Los conjuntos de bloqueo que contenían líneas se llamarían conjuntos de bloqueo trivial .

Ejemplos [ editar ]

En cualquier plano proyectivo de orden n (cada línea contiene n + 1 puntos), los puntos en las líneas que forman un triángulo sin los vértices del triángulo (3 ( n - 1) puntos) forman un conjunto de bloqueo mínimo (si n = 2 este conjunto de bloqueo es trivial) que en general no es un comité.

Otra construcción general en un plano proyectivo arbitrario de orden n es tomar todos excepto un punto, digamos P , en una línea dada y luego un punto en cada una de las otras líneas a través de P , asegurándose de que estos puntos no sean todos colineales (esto la última condición no se puede cumplir si n = 2.) Esto produce un conjunto de bloqueo mínimo de tamaño 2 n .

Un triángulo proyectivo β del lado m en PG (2, q ) consta de 3 ( m - 1) puntos, m en cada lado de un triángulo, de manera que los vértices A , B y C del triángulo están en β, y se cumple la siguiente condición: si el punto P en la línea AB y el punto Q en la línea BC están ambos en β, entonces el punto de intersección de PQ y AC está en β.

Una tríada proyectiva δ del lado m es un conjunto de 3 m - 2 puntos, m de los cuales se encuentran en cada una de las tres líneas concurrentes, de manera que el punto de concurrencia C está en δ y se cumple la siguiente condición: Si un punto P en una de las líneas y un punto Q en otra línea están en δ, entonces el punto de intersección de PQ con la tercera línea está en δ.

Teorema : En PG (2, q ) con q impar, existe un triángulo proyectivo de lado ( q + 3) / 2 que es un conjunto de bloqueo de tamaño 3 ( q + 1) / 2. ^[2]

Usando coordenadas homogéneas , que los vértices del triángulo sean A = (1,0,0), B = (0,1,0) y C = (0,0,1). Los puntos, además de los vértices, en el lado AB tienen coordenadas de la forma (- c , 1, 0), los de BCtienen coordenadas (0,1, a ) y los de AC tienen coordenadas (1,0, b ) donde a , b y c son elementos del campo finito GF ( q ). Tres puntos, uno en cada uno de estos lados, son colineales si y solo si a = bc. Al elegir todos los puntos donde a , b y c son cuadrados distintos de cero de GF ( q ), se cumple la condición en la definición de un triángulo proyectivo.

Teorema : En PG (2, q ) con q incluso, existe una tríada proyectiva de lado ( q + 2) / 2 que es un conjunto de bloqueo de tamaño (3 q + 2) / 2. ^[3]

La construcción es similar a la anterior, pero como el campo tiene la característica 2 , los cuadrados y los no cuadrados deben reemplazarse por elementos de traza absoluta 0 y traza absoluta 1. Específicamente, sea C= (0,0,1). Los puntos en la línea X = 0 tienen coordenadas de la forma (0,1, a ), y aquellos en la línea Y = 0 tienen coordenadas de la forma (1,0, b ). Los puntos de la línea X = Y tienen coordenadas que se pueden escribir como (1,1, c ). Tres puntos, uno de cada una de estas líneas, son colineales si y solo si a = b + c. Al seleccionar todos los puntos en estas líneas donde a , b y c son los elementos de campo con traza absoluta 0, se cumple la condición en la definición de una tríada proyectiva.

Tamaño [ editar ]

Uno busca típicamente pequeños conjuntos de bloqueo. El tamaño mínimo de un conjunto de bloqueo de$${\ displaystyle H} se llama $${\ displaystyle \ tau (H)}.

En el plano proyectivo Desarguesiano de orden q , PG (2, q ), el tamaño de un conjunto de bloqueo B está limitado: ^[4]

$${\ displaystyle q + {\ sqrt {q}} + 1 \ leq | B | \ leq q ^ {2} - {\ sqrt {q}}.}

Cuando q es un cuadrado, el límite inferior se logra mediante cualquier subplano Baer y el límite superior proviene del complemento de un subplano Baer.

Se puede probar un resultado más general, ^[5]

Cualquier conjunto de bloqueo en un plano proyectivo π de orden n tiene al menos$${\ displaystyle n + {\ sqrt {n}} + 1}puntos. Además, si se cumple este límite inferior, entonces n es necesariamente un cuadrado y el conjunto de bloqueo consiste en los puntos en algún subplano Baer de π.

Un límite superior para el tamaño de un conjunto de bloqueo mínimo tiene el mismo sabor, ^[6]

Cualquier conjunto de bloqueo mínimo en un plano proyectivo π de orden n tiene como máximo$${\ displaystyle n {\ sqrt {n}} + 1}puntos. Además, si se alcanza este límite superior, entonces n es necesariamente un cuadrado y el conjunto de bloqueo consiste en los puntos de algunos unitales incrustados en π.

Cuando n no es un cuadrado, se puede decir menos acerca de los conjuntos de bloqueo no trivial de tamaño más pequeño. Un resultado bien conocido debido a Aart Blokhuis es: ^[7]

Teorema : Un conjunto de bloqueo no trivial en PG (2, p ), p a prime, tiene un tamaño de al menos 3 ( p + 1) / 2.

En estos planos existe un triángulo proyectivo que cumple este límite.

Historia [ editar ]

Los conjuntos de bloqueo se originaron ^[8] en el contexto de la teoría de juegos económicos en un artículo de 1956 de Moses Richardson. ^[9] Los jugadores se identificaron con puntos en un plano proyectivo finito y las coaliciones mínimas ganadoras eran líneas. Una coalición de bloqueo se definió como un conjunto de puntos que no contienen línea sino que intersectan cada línea. En 1958, JR Isbell ^[10] estudió estos juegos desde un punto de vista no geométrico. Jane W. DiPaola estudió las coaliciones de bloqueo mínimo en todos los planos proyectivos de orden.$${\ displaystyle \ leq 9}en 1969. ^[11]

En hypergraphs [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle H = (X, E)} ser un hipergrafo, para que $${\ displaystyle X} es un conjunto de elementos, y $${\ displaystyle E} es una colección de subconjuntos de $${\ displaystyle X}, llamados (hiper) aristas. Un conjunto de bloqueo de$${\ displaystyle H} es un subconjunto $${\ displaystyle S} de $${\ displaystyle X} que tiene intersección no vacía con cada hiperedge.

Los conjuntos de bloqueo a veces también se denominan " conjuntos de golpeo " o " cubiertas de vértices ". También se utiliza el término " transversal ", pero en algunos contextos una transversal de$${\ displaystyle H} es un subconjunto $${\ displaystyle T}de $${\ displaystyle X} que cumple con cada hyperedge en exactamente un punto.

Un " dos colores " de$${\ displaystyle H} es una partición $${\ displaystyle \ {C, D \}} de $${\ displaystyle X} en dos subconjuntos (clases de color) de manera que ningún borde sea monocromático, es decir, ningún borde está completamente contenido dentro de $${\ displaystyle C} o dentro de $${\ displaystyle D}. Ahora ambos$${\ displaystyle C} y $${\ displaystyle D} están bloqueando conjuntos.

Completa k-arcos [ editar ]

En un plano proyectivo, un k -arc completo es un conjunto de k puntos, no tres colineales , que no pueden extenderse a un arco más grande (por lo tanto, cada punto que no está en el arco está en una línea secante del arco, una reunión de líneas El arco en dos puntos.

Teorema : Sea K un completo k -arc en Π = PG (2, q ) con k < q + 2. El dual en Π del conjunto de líneas secantes de K es un conjunto de bloqueo, B , de tamaño k ( k - 1) / 2. ^[12]

Rédei bloqueando conjuntos [ editar ]

En cualquier plano proyectivo de orden q , para cualquier conjunto de bloqueo no trivial B (con b = | B |, el tamaño del conjunto de bloqueo) considere una línea que coincida con B en n puntos. Puesto que ninguna línea está contenido en B , tiene que ser un punto, P , en esta línea que no está en B . Las otras q líneas, aunque P,deben contener cada una al menos un punto de B para poder ser bloqueadas. Así,$${\ displaystyle b \ geq n + q.}Si para cierta línea la igualdad se mantiene en esta relación, el conjunto de bloqueo se llama un conjunto de bloqueo de tipo Rédei y la línea una línea de Rédei del conjunto de bloqueo (tenga en cuenta que n será el mayor número de puntos colineales en B ). ^[13] No todos los conjuntos de bloqueo son del tipo Rédei, pero muchos de los más pequeños lo son. Estos conjuntos llevan el nombre de László Rédei, cuya monografía sobre polinomios lacunarios sobre campos finitos fue influyente en el estudio de estos conjuntos. ^[14]

Conjuntos de bloqueo afines [ editar ]

Un conjunto de puntos en el espacio afín desarguesiano finito. $${\ displaystyle AG (n, q)}que intersecta cada hiperplano de forma no trivial, es decir, cada hiperplano incide en algún punto del conjunto, se denomina conjunto de bloqueo afín. Identificar el espacio con$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q} ^ {n}}mediante la fijación de un sistema de coordenadas. Luego se muestra fácilmente que el conjunto de puntos que se encuentran en los ejes de coordenadas forman un conjunto de bloqueo de tamaño$${\ displaystyle 1 + n (q-1)}. Jean Doyen conjeturó en una conferencia de Oberwolfach en 1976 que este es el tamaño más pequeño posible de un conjunto de bloqueo. Esto fue probado por RE Jamison en 1977, ^[15] e independientemente por AE Brouwer , A. Schrijver en 1978 ^[16] utilizando el llamado método polinomial . Jamison probó el siguiente resultado de cobertura general del cual el límite en los conjuntos de bloqueo afines sigue utilizando la dualidad:

Dejar $${\ displaystyle V} frijol $${\ displaystyle n} espacio vectorial dimensional sobre $${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}. Entonces el número de$${\ displaystyle k}los cosets tridimensionales requeridos para cubrir todos los vectores, excepto el vector cero, son al menos $${\ displaystyle q ^ {nk} -1 + k (q-1)}. Además, este límite es agudo.