colineación es de uno a uno y en un mapa (una bijección ) de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de manera que las imágenes de los puntos colinealessean en sí mismas colineales. Una colinción es, por lo tanto, un isomorfismo entre espacios proyectivos, o un automorfismo de un espacio proyectivo hacia sí mismo. Algunos autores restringen la definición de colinción al caso en que se trata de un automorfismo. [1] El conjunto de todas las colinciones de un espacio para formar un grupo , denominado grupo de colinción .
Definición [ editar ]
Simplemente, una colineación es un mapa de uno a uno de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de manera que las imágenes de los puntos colineales sean en sí mismas colineales. Uno puede formalizar esto usando varias formas de presentar un espacio proyectivo. Además, el caso de la línea proyectiva es especial y, por lo tanto, generalmente se trata de manera diferente.
Álgebra lineal [ editar ]
Para un espacio proyectivo definido en términos de álgebra lineal (como la proyectivización de un espacio vectorial), una colineación es un mapa entre los espacios proyectivos que preserva el orden con respecto a la inclusión de subespacios.
Formalmente, deje V un espacio vectorial sobre un campo K y W un espacio vectorial sobre un campo L . Considere la espacios proyectiva PG ( V ) y PG ( W ), que consiste en las líneas vectoriales de V y W . Llame a D( V ) y D ( W ) el conjunto de subespacios de V y W respectivamente. Una colinción de PG ( V ) a PG ( W ) es un mapa α:D ( V ) → D ( W ), de manera que:
- α es una bijección.
- A ⊆ B ⇔ α ( A ) ⊆ α ( B ) para todos los A , B en D ( V ). [2]
Axiomatically [ editar ]
Dado un espacio proyectivo definido axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P, líneas L y una relación de incidencia I que especifican qué puntos se encuentran en qué líneas, que satisfacen ciertos axiomas), una colinción entre espacios proyectivos así definida es una Función biyectiva f entre los conjuntos de puntos y una función biyectiva g entre los conjuntos de líneas, preservando la relación de incidencia. [3]
Cada espacio proyectivo de dimensión mayor o igual a tres es isomorfo a la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división , por lo que en estas dimensiones esta definición no es más general que la lineal-algebraica anterior, pero en la dimensión dos hay otras planos proyectivos, es decir, los planos no desarguesianos , y esta definición permite definir colinciones en dichos planos proyectivos.
Para la dimensión uno, el conjunto de puntos que se encuentran en una sola línea proyectiva define un espacio proyectivo, y la noción resultante de la colineación es cualquier bijección del conjunto.
Collineations de la línea proyectiva [ editar ]
Para un espacio proyectivo de dimensión uno (una línea proyectiva; la proyectivización de un espacio vectorial de dimensión dos), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva. Esto es diferente del comportamiento en las dimensiones más altas y, por lo tanto, uno da una definición más restrictiva, especificada de modo que se sostiene el teorema fundamental de la geometría proyectiva .
En esta definición, cuando V tiene dimensión dos, una colineación de PG ( V ) a PG ( W ) es un mapa α : D ( V ) → D ( W ) , tal que:
- El subespacio cero de V se asigna al subespacio cero de W .
- V se asigna a W .
- Hay un mapa semilineal no singular β de V a W tal que, para todo v en V ,
Este último requisito asegura que las colinciones sean todos mapas semilineales.
Tipos [ editar ]
Los principales ejemplos de colinciones son transformaciones lineales proyectivas (también conocidas como homografías ) y colinciones automorfas . Para los espacios proyectivos provenientes de un espacio lineal, el teorema fundamental de la geometría proyectiva establece que todas las colinciones son una combinación de éstas, como se describe a continuación.
Transformaciones lineales proyectivas [ editar ]
Las transformaciones lineales proyectivas (homografías) son colinciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales trazan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas trazan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son lineales proyectivas. transformaciones. PGL es en general un subgrupo adecuado del grupo de colineación.
Colineaciones automáticas [ editar ]
Una colinción automórfica es un mapa que, en coordenadas, es un automorfismo de campo aplicado a las coordenadas.
Teorema fundamental de la geometría proyectiva [ editar ]
Si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo pappiano es al menos 2, entonces cada colinción es el producto de una homografía (una transformación lineal proyectiva) y una colinción automórfica. Más precisamente, el grupo de colinción es el grupo semilineal proyectivo , que es el producto semidirecto de homografías por colinciones automórficas.
En particular, las colinciones de PG (2, R ) son exactamente las homografías, ya que R no tiene automorfismos no triviales (es decir, Gal ( R / Q ) es trivial).
Supongamos que φ es un mapa semilineal no singular de V a W , con la dimensión de V al menos tres. Defina α : D ( V ) → D ( W ) diciendo que Z α = { φ ( z ) | z ∈ Z } para todas las Z en D ( V ). Como φ es semilineal, se comprueba fácilmente que este mapa está correctamente definido, y aún más, como φNo es singular, es biyectivo. Es obvio ahora que α es una colinción. Decimos que α es inducida por φ .
El teorema fundamental de la geometría proyectiva establece lo contrario:
Supongamos que V es un espacio vectorial sobre un campo K con una dimensión de al menos tres, W es un espacio vectorial sobre un campo L , y α es una colinción de PG ( V ) a PG ( W ). Esto implica que K y L son campos isomorfos, V y W tienen la misma dimensión, y hay un mapa semilineal φ tal que φ induce α .
Para n ≥ 3 , el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , PΓL - esto es PGL, torcido por automorfismos de campo ; Formalmente, el producto semidirecto PΓL ≅ PGL ⋊ Gal ( K / k ) , donde k es el campo prime para K .
Estructura lineal [ editar ]
Así, para K un campo primo ( o ), tenemos PGL = PΓL , pero para K no es un campo principal (comopara n ≥ 2 o), el grupo lineal proyectivo es, en general, un subgrupo propio del grupo de colineación, que se puede considerar como "transformaciones que preservan una estructura semi- lineal proyectiva ". En consecuencia, el grupo cociente P quotL / PGL ≅ Gal ( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente. Dado un espacio proyectivo sin una identificación como la proyectivización de un espacio lineal, no hay isomorfismo natural entre el grupo de colinción y PΓL, y la elección de una estructura lineal (realización como proyectivización de un espacio lineal) corresponde a una elección del subgrupo PGL
Historia [ editar ]
La idea de una línea se resumió en una relación ternaria determinada por la colinealidad (puntos que se encuentran en una sola línea). Según Wilhelm Blaschke [4] , fue August Möbius quien resumió por primera vez esta esencia de transformación geométrica:
- ¿Qué significan ahora nuestras transformaciones geométricas? Möbius descartó y contestó esta pregunta ya en su Cálculo Baricéntrico (1827). Allí no habló de transformaciones sino de permutaciones[Verwandtschaften], cuando dijo que dos elementos extraídos de un dominio estaban permutados cuando eran intercambiados por una ecuación arbitraria. En nuestro caso particular, las ecuaciones lineales entre coordenadas de puntos homogéneas, Möbius llamó una permutación [Verwandtschaft] de ambos espacios de puntos en particular una colinción . Este significado sería cambiado más tarde por Chasles a la homografía . La expresión de Möbius se comprende inmediatamente cuando seguimos a Möbius en los puntos de llamada.Colineal cuando se encuentran en la misma línea. La designación de Möbius se puede expresar diciendo que los puntos colineales se asignan mediante una permutación a puntos colineales o, en palabras simples, las líneas rectas se mantienen rectas.
Los matemáticos contemporáneos ven la geometría como una estructura de incidencia con un grupo de automorfismo que consiste en mapeos del espacio subyacente que preserva la incidencia . Tal mapeo permuta las líneas de la estructura de incidencia, y la noción de colinización persiste.
Como lo mencionaron Blaschke y Klein, Michel Chasles prefirió el término homografía a colinción . Una distinción entre los términos surgió cuando la distinción se aclaró entre el plano proyectivo real y la línea proyectiva compleja . Como no hay automorfismos de campo no trivial del campo de números reales , todas las colinciones son homografías en el plano proyectivo real. [5] Sin embargo, debido a la conjugación compleja de automorfismos de campo , no todas las colinciones de la línea proyectiva compleja son homografías. En aplicaciones como la visión por computadora donde el campo subyacente es el campo de número real,La homografía y la colineaciónse pueden utilizar indistintamente.
Anti-homografía [ editar ]
La operación de tomar el conjugado complejo en el plano complejo equivale a una reflexión en la línea real . Con la notación z ∗ para el conjugado de z , una anti-homografía está dada por
Así, un anti-homografía es la composición de la conjugación con una homografía , y también lo es un ejemplo de una colinción que no es una homografía. Por ejemplo, geométricamente, el mapeo.asciende a inversión círculo . [6] Las transformaciones de la geometría inversa del plano se describen con frecuencia como la colección de todas las homografías y anti-homografías del plano complejo.
cuadrángulo completo es un sistema de objetos geométricos que consta de cuatro puntos en un plano , de los cuales no hay tres en una línea común, y de las seis líneas que conectan los seis pares de puntos. Dualmente , un cuadrilátero completo es un sistema de cuatro líneas, de las cuales tres no pasan por el mismo punto y los seis puntos de intersección de estas líneas. El cuadrángulo completo fue llamado tetrastigm por Lachlan (1893) , y el cuadrilátero completo fue llamado tetragrama ; esos términos son ocasionalmente todavía usados.
Diagonales [ editar ]
Las seis líneas de un cuadrángulo completo se juntan en pares para formar tres puntos adicionales llamados puntos diagonales del cuadrilátero. De manera similar, entre los seis puntos de un cuadrilátero completo hay tres pares de puntos que aún no están conectados por líneas; Los segmentos de línea que conectan estos pares se llaman diagonales . Debido al descubrimiento del plano de Fano , una geometría finita en la que los puntos diagonales de un cuadrángulo completo son colineales , algunos autores han aumentado los axiomas de la geometría proyectiva con el axioma de Fano de que los puntos diagonales no son colineales, [1] mientras que otros han sido menos restrictivos.
Propiedades proyectivas [ editar ]
Como sistemas de puntos y líneas en los que todos los puntos pertenecen al mismo número de líneas y todas las líneas contienen el mismo número de puntos, el cuadrángulo completo y el cuadrilátero completo forman configuraciones proyectivas ; en la notación de configuraciones proyectivas, el cuadrángulo completo se escribe como (4 3 6 2 ) y el cuadrilátero completo se escribe (6 2 4 3 ), donde los números en esta notación se refieren a los números de puntos, líneas por punto, líneas , y puntos por línea de la configuración. El dual proyectivo de un cuadrángulo completo es un cuadrilátero completo, y viceversa. Para dos cuadrantes completos, o dos cuadriláteros completos, hay un únicotransformación proyectivatomando una de las dos configuraciones en la otra. [2]
Karl von Staudt reformó los fundamentos matemáticos en 1847 con el cuadrángulo completo cuando notó que una "propiedad armónica" podía basarse en los concomitantes del cuadrilátero: cuando cada par de lados opuestos del cuadrángulo se intersecan en una línea, entonces las diagonales intersectan la línea en las posiciones armónicas proyectivas conjugadas . Los cuatro puntos de la línea que se derivan de los lados y las diagonales del cuadrángulo se denominan rango armónico . A través de la perspectividad y la proyectividad, la propiedad armónica es estable. Los desarrollos de la geometría moderna y el álgebra notan la influencia de von Staudt en Mario Pieri y Felix Klein .
Propiedades euclidianas [ editar ]
En el plano euclidiano , las cuatro líneas de un cuadrilátero completo no deben incluir ningún par de líneas paralelas, de modo que cada par de líneas tenga un punto de cruce.
Wells (1991) describe varias propiedades adicionales de cuadriláteros completos que involucran propiedades métricas del plano euclidiano , en lugar de ser puramente proyectivas. Los puntos medios de las diagonales son colineales y (según lo demostrado por Isaac Newton ) también son colineales con el centro de una cónica que es tangente a las cuatro líneas del cuadrilátero. Cualquiera de las tres líneas del cuadrilátero forman los lados de un triángulo; los ortocentros de los cuatro triángulos formados de esta manera se encuentran en una segunda línea, perpendicular al uno a través de los puntos medios. Los circunciclosDe estos mismos cuatro triángulos se unen en un punto. Además, los tres círculos que tienen las diagonales como diámetros pertenecen a un lápiz común de círculos [3] cuyo eje es la línea a través de los ortocentros.
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