plano proyectivo complejo , generalmente denominado P 2 ( C ), es el espacio proyectivo complejo bidimensional . Es una variedad compleja descrita por tres coordenadas complejas.
donde, sin embargo, se identifican los triples que se diferencian por un cambio de escala global:
Topologia [ editar ]
- 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....
La dimensión media 2 se explica por la clase de homología de la línea proyectiva compleja, o esfera de Riemann, que se encuentra en el plano. Los grupos de homotopía no trivial del plano proyectivo complejo son. El grupo fundamental es trivial y todos los demás grupos de homotopía superior son los de la esfera 5, es decir, la torsión.
Algebraic geometría [ editar ]
En la geometría biracional , una superficie racional compleja es cualquier superficie algebraica biracionalmente equivalente al plano proyectivo complejo. Se sabe que cualquier variedad racional no singular se obtiene del plano mediante una secuencia de transformaciones de voladura y sus inversos ('derribamiento') de curvas, que deben ser de un tipo muy particular. Como un caso especial, se obtiene un plano cuádrico no singular en P 3 del plano mediante la voladura de dos puntos a curvas y luego la línea descendente a través de estos dos puntos; la inversa de esta transformación se puede ver al tomar un punto P en la Q cuadrática, Soplando hacia arriba, y que se proyecta sobre un plano general de P 3 dibujando líneas a través de P .
Geometría diferencial [ editar ]
Como una variedad de Riemann, el plano proyectivo complejo es una variedad de 4 dimensiones cuya curvatura seccional es un cuarto de pinzamiento. Las normalizaciones rivales son para que la curvatura se pellizque entre 1/4 y 1; alternativamente, entre 1 y 4. Con respecto a la normalización anterior, la superficie incrustada definida por la línea proyectiva compleja tiene una curvatura Gaussiana 1. Con respecto a la normalización posterior, el plano proyectivo real incrustado tiene una curvatura Gaussiana 1.
En matemáticas , el espacio proyectivo complejo es el espacio proyectivo con respecto al campo de los números complejos . Por analogía, mientras que los puntos de un espacio proyectivo realetiquetan las líneas a través del origen de un espacio euclidiano real , los puntos de un espacio proyectivo complejo etiquetan las líneas complejas a través del origen de un espacio euclidiano complejo (vea a continuación una cuenta intuitiva) . Formalmente, un espacio proyectivo complejo es el espacio de líneas complejas a través del origen de un espacio vectorial complejo ( n +1) -dimensional . El espacio se denota como P (C n +1 ), P n ( C ) o CP n . Cuando n = 1 , el espacio proyectivo complejo CP 1 es la esfera de Riemann , y cuando n = 2 , CP 2 es el plano proyectivo complejo (ver más abajo para una discusión más elemental).
Von Staudt (1860) introdujo por primera vez el complejo espacio proyectivo como un ejemplo de lo que entonces se conocía como la "geometría de la posición", una idea originaria de Lazare Carnot , una especie de geometría sintética que también incluía otras geometrías proyectivas. Posteriormente, cerca del cambio de siglo, quedó claro para la escuela italiana de geometría algebraica que los complejos espacios proyectivos eran los dominios más naturales en los que considerar las soluciones de ecuaciones polinómicas : variedades algebraicas ( Grattan-Guinness 2005 , pp. 445). –446). En los tiempos modernos, tanto la topologíay la geometría del espacio proyectivo complejo se entiende bien y está estrechamente relacionada con la de la esfera . De hecho, en cierto sentido, la esfera (2 n +1) puede considerarse como una familia de círculos parametrizados por CP n : esta es la fibración de Hopf . Espacio proyectivo complejo lleva una ( Kähler ) métrica , llamada la métrica de Fubini-Study , en términos de los cuales es un espacio simétrico hermitiana de la fila 1.
El espacio proyectivo complejo tiene muchas aplicaciones tanto en matemáticas como en física cuántica . En la geometría algebraica , el espacio proyectivo complejo es el hogar de las variedades proyectivas , una clase de variedades algebraicas de buen comportamiento . En topología, el espacio proyectivo complejo desempeña un papel importante como espacio de clasificación para paquetes de líneas complejas: familias de líneas complejas parametrizadas por otro espacio. En este contexto, la unión infinita de espacios proyectivas ( límite directo ), denotado CP ∞ , es el espacio clasificador K (Z, 2) . En la física cuántica, la función de onda asociada a unEl estado puro de un sistema mecánico cuántico es una amplitud de probabilidad , lo que significa que tiene una norma unitaria y tiene una fase general no esencial: es decir, la función de onda de un estado puro es naturalmente un punto en el espacio proyectivo de Hilbert del espacio estatal.
Introducción [ editar ]
La noción de un plano proyectivo surge de la idea de perspección en geometría y arte: a veces es útil incluir en el plano euclidiano una línea adicional "imaginaria" que representa el horizonte que un artista, pintando el plano, podría ver. Siguiendo cada dirección desde el origen, hay un punto diferente en el horizonte, por lo que el horizonte puede considerarse como el conjunto de todas las direcciones desde el origen. El plano euclidiano, junto con su horizonte, se llama el plano proyectivo real , y el horizonte a veces se llama una línea en el infinito . Por la misma construcción, los espacios proyectivos se pueden considerar en dimensiones más altas. Por ejemplo, el espacio real proyectivo 3 es un espacio euclidiano junto con un plano en el infinito.eso representa el horizonte que vería un artista (que debe, necesariamente, vivir en cuatro dimensiones).
Estos espacios proyectivos reales pueden construirse de una manera un poco más rigurosa de la siguiente manera. Aquí, supongamos que R n +1denota el espacio de coordenadas real de n +1 dimensiones, y considerar el paisaje que se va a pintar como un hiperplano en este espacio. Supongamos que el ojo del artista es el origen en R n +1 . Luego, a lo largo de cada línea a través de su ojo, hay un punto del paisaje o un punto en su horizonte. Así, el espacio proyectivo real es el espacio de líneas a través del origen en R n +1 . Sin referencia a las coordenadas, este es el espacio de líneas a través del origen en un ( n+1) espacio vectorial real tridimensional .
Describir el complejo espacio proyectivo de una manera análoga requiere una generalización de la idea de vector, línea y dirección. Imagine que, en lugar de estar en un espacio euclidiano real, el artista está parado en un espacio euclidiano complejo C n +1 (que tiene una dimensión real 2 n +2) y el paisaje es un hiperplano complejo (de dimensión real 2 n). A diferencia del caso del espacio euclidiano real, en el caso complejo hay direcciones en las que el artista puede mirar que no ven el paisaje (porque no tiene una dimensión lo suficientemente alta). Sin embargo, en un espacio complejo, hay una "fase" adicional asociada con las direcciones a través de un punto, y al ajustar esta fase, el artista puede garantizar que normalmente ve el paisaje. El "horizonte" es entonces el espacio de direcciones, pero tal que dos direcciones se consideran "las mismas" si difieren solo por una fase. El espacio proyectivo complejo es entonces el paisaje ( C n ) con el horizonte unido "en el infinito". Al igual que en el caso real, el espacio proyectivo complejo es el espacio de direcciones a través del origen de C n +1, donde dos direcciones se consideran iguales si difieren por una fase.
Construcción [ editar ]
El espacio proyectivo complejo es una variedad compleja que puede ser descrita por n + 1 coordenadas complejas como
donde se identifican las tuplas que se diferencian por una reescala general:
Es decir, estas son coordenadas homogéneas en el sentido tradicional de la geometría proyectiva . El conjunto de puntos CP n está cubierto por los parches.. En U i , se puede definir un sistema de coordenadas por
Las transiciones de coordenadas entre dos gráficos diferentes U i y U j son funciones holomorfas (de hecho, son transformaciones lineales fraccionarias ). Así, CP n lleva la estructura de una variedad compleja de dimensión compleja n , y a fortiori la estructura de una variedad real diferenciable de dimensión real 2 n .
También se puede considerar CP n como un cociente de la unidad 2 n + 1 esfera en C n + 1 bajo la acción de U (1) :
- CP n = S 2 n +1 / U (1).
Esto se debe a que cada línea en C n +1 intersecta la esfera unitaria en un círculo . Primero proyectando a la esfera unitaria y luego identificando bajo la acción natural de U (1), se obtiene CP n . Para n = 1 esta construcción produce el paquete clásico de Hopf . Desde esta perspectiva, la estructura diferenciable en CP n es inducida desde la de S 2 n +1 , siendo el cociente de este último por un grupo compacto que actúa correctamente.
Topologia [ editar ]
La topología de CP n está determinada inductivamente por la siguiente descomposición celular . Sea H un hiperplano fijo a través del origen en C n +1 . Bajo el mapa de proyección C n +1 \ {0} → CP n , H entra en un subespacio que es homeomorfo a CP n −1 . El complemento de la imagen de H en CP n es homeomorfo a C n . Por lo tanto, CP n surge al adjuntar una célula 2 n a CPn −1 :
Alternativamente, si la celda 2 n se considera en su lugar como la bola unitaria abierta en C n , entonces el mapa adjunto es la fibración de Hopf del límite. Una descomposición celular inductiva análoga es verdadera para todos los espacios proyectivos; ver ( Besse 1978 ).
Topología de conjuntos de puntos [ editar ]
El espacio proyectivo complejo es compacto y conectado , siendo el cociente de un espacio compacto y conectado.
Grupos de homotopía [ editar ]
Del haz de fibras.
o más sugestivamente
CP n está simplemente conectado . Además, por la secuencia de homotopía exacta larga , el segundo grupo de homotopía es π 2 ( CP n ) ≅ Z , y todos los grupos de homotopía superiores están de acuerdo con los de S 2 n + 1: π k ( CP n ) ≅ π k ( S 2 n +1 ) para todos k > 2.
Homología [ editar ]
En general, la topología algebraica de CP n se basa en que el rango de los grupos de homología es cero en las dimensiones impares; también H 2 i ( CP n , Z ) es cíclico infinito para i = 0 a n . Por lo tanto, los números de Betticorren
- 1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...
Es decir, 0 en las dimensiones impares, 1 en las dimensiones pares hasta 2n. La característica de Euler de CP nes, por lo tanto, n + 1. Por la dualidad de Poincaré, lo mismo se aplica a los rangos de los grupos de cohomología . En el caso de la cohomología, se puede ir más lejos e identificar la estructura de anillo graduada , para el producto de taza ; El generador de H 2 ( CP n , Z ) es la clase asociada a un hiperplano , y este es un generador de anillo, por lo que el anillo es isomorfo con
- Z [ T ] / ( T n +1 ),
con T un generador de grado dos. Esto implica también que el número de Hodge h i , i = 1 y todos los demás son cero. Ver ( Besse 1978 ).
K- teoría [ editar ]
![K _ {{\ mathbf {C}}} ^ {*} ({\ mathbf {CP}} ^ {n}) = K _ {{\ mathbf {C}}} ^ {0} ({\ mathbf {CP}} ^ {n}) = {\ mathbf {Z}} [H] / (H-1) ^ {{n + 1}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ca98c43c631c39e0e1568588ee297c5439322f)
dónde Denota el paquete de líneas triviales. A partir de esto, se pueden calcular las clases de Chern y los números característicos .
Clasificando el espacio [ editar ]
Hay un espacio CP ∞ que, en cierto sentido, es el límite inductivo de CP n como n → ∞. Es BU (1) , el espacio de clasificación de U (1) , en el sentido de la teoría de la homotopía , y así clasifica los paquetes de líneas complejas ; de manera equivalente da cuenta de la primera clase de Chern . Ver, por ejemplo, ( Bott & Tu 1982 ) y ( Milnor & Stasheff 1974 ). El espacio CP ∞ también es el mismo que el grupo unitivo proyectivo de dimensión infinita; Ver ese artículo para propiedades adicionales y discusión.
Geometría diferencial [ editar ]
La métrica natural en CP n es la métrica de estudio de Fubini , y su grupo de isometría holomórfica es el grupo unitario proyectivo PU ( n +1), donde el estabilizador de un punto es
La simetría geodésica en un punto p es la transformación unitaria que corrige p y es la identidad negativa en el complemento ortogonal de la línea representada por p .
Geodesica [ editar ]
A través de dos puntos p , q , en el espacio proyectivo complejo, se pasa una línea compleja única (un CP 1 ). Un gran círculo de esta línea compleja que contiene p y q es una geodésica para la métrica de estudio de Fubini. En particular, todas las geodésicas están cerradas (son círculos) y todas tienen la misma longitud. (Esto siempre es así para los espacios Riemannian globalmente simétricos de rango 1.)
El lugar de corte de cualquier punto p es igual a un hiperplano CP n −1 . Este es también el conjunto de puntos fijos de la simetría geodésica en p (menos p en sí). Ver ( Besse 1978 ).
Curvatura seccional pellizcos [ editar ]
Tiene una curvatura seccional que varía de 1/4 a 1, y es el colector más redondo que no es una esfera (o está cubierto por una esfera): según el teorema de la esfera pinzada de 1/4 , cualquier colector Riemanniano completo y simplemente conectado con una curvatura estrictamente Entre 1/4 y 1 es difeomorfo a la esfera. El espacio proyectivo complejo muestra que 1/4 es nítido. A la inversa, si la variedad Riemanniana simplemente conectada tiene curvaturas seccionales en el intervalo cerrado [1 / 4,1], entonces es difeomórfica a la esfera, o isométrica al espacio proyectivo complejo, el espacio proyectivo cuaterniónico , o bien el plano de Cayley F 4 / Spin (9); ver ( Brendle-Schoen 2008 ).
Algebraic geometría [ editar ]
El espacio proyectivo complejo es un caso especial de un Grassmanniano , y es un espacio homogéneo para varios grupos de Lie . Es una variedad de Kähler que lleva la métrica de estudio de Fubini , que está esencialmente determinada por las propiedades de simetría. También juega un papel central en la geometría algebraica ; según el teorema de Chow , cualquier subcompartido complejo compacto de CP n es el lugar cero de un número finito de polinomios y, por lo tanto, es una variedad algebraica proyectiva . Ver ( Griffiths & Harris 1994)
Topología de Zariski [ editar ]
En geometría algebraica , el espacio proyectivo complejo puede equiparse con otra topología conocida como la topología de Zariski ( Hartshorne 1971 , §II.2). Sea S = C [ Z 0 , ..., Z n ] el anillo conmutativo de polinomios en las variables ( n +1) Z 0 , ..., Z n . Este anillo se clasifica según el grado total de cada polinomio:
Defina un subconjunto de CP n que se cerrará si es el conjunto de soluciones simultáneas de una colección de polinomios homogéneos. Al declarar que los complementos de los conjuntos cerrados están abiertos, esto define una topología (la topología de Zariski) en el CP n .
Estructura como esquema [ editar ]
Otra construcción de CP n (y su topología Zariski) es posible. Sea S + ⊂ S el ideal abarcado por los polinomios homogéneos de grado positivo:
Defina Proj S como el conjunto de todos los ideales primarios homogéneos en S que no contienen S + . Llame a un cerrado de Proj S abierto si tiene el formulario
para algún ideal yo en s . Los complementos de estos conjuntos cerrados definen una topología en Proj S . El anillo de S , por localización en un ideal primo , determina una gavilla de anillos locales en Proj S . El espacio Proj S , junto con su topología y gavilla de anillos locales, es un esquema . El subconjunto de puntos cerrados de Proj S es homeomorfo a CP n con su topología Zariski. Las secciones locales de la gavilla se identifican con las funciones racionales del grado cero total en CP n .
Paquetes de líneas [ editar ]
Todos los paquetes de líneas en espacios proyectivos complejos pueden obtenerse mediante la siguiente construcción. Una función f : C n +1 \ {0} → C se llama homogénea de grado k si
para todos λ ∈ C \ {0 } y z ∈ C n +1 \ {0 }. Más generalmente, esta definición tiene sentido en conos en C n +1 \ {0 }. Un conjunto V ⊂ C n +1 \ {0 } se llama cono si, siempre que v ∈ V , entonces λv ∈ V para todos λ ∈ C \ {0 }; es decir, un subconjunto es un cono si contiene la línea compleja a través de cada uno de sus puntos. Si U ⊂ CP nes un conjunto abierto (en la topología analítica o en la topología de Zariski ), sea V ⊂ C n +1 \ {0 } el cono sobre U : la preimagen de U debajo de la proyección C n +1 \ {0} → CP n . Por último, para cada entero k , deja O ( k ) ( U ) el conjunto de funciones que son homogéneas de grado k en V . Esto define una hoja de secciones de un determinado conjunto de líneas, denotado por O ( k ).
En el caso especial k = −1 , el paquete O (−1) se denomina paquete de líneas tautológicas . Se define de manera equivalente como el subbundle del producto
cuya fibra sobre L ∈ CP n es el conjunto
Estos paquetes de líneas también se pueden describir en el lenguaje de los divisores . Sea H = CP n −1 un hiperplano complejo dado en CP n . El espacio de las funciones meromorfas en el CP n con, como mucho, un polo simple a lo largo de H (y en ninguna otra parte) es un espacio unidimensional, denotado por O ( H ), y se denomina paquete de hiperplano . El paquete dual se denota O (- H ), y la potencia del tensor k th de O ( H ) se denota porO ( kH ). Esta es la gavilla generada por múltiplos holomórficas de una función meromorphic con un polo de orden k a lo largo de H . Resulta que
De hecho, si L ( z ) = 0 es una función de definición lineal para H , entonces L - k es una sección meromórfica de O ( k ), y localmente las otras secciones de O ( k ) son múltiplos de esta sección.
Desde H 1 ( CP n , Z ) = 0 , los haces de línea en CP n se clasifican hasta el isomorfismo por sus clases de Chern, que son números enteros: yacen en H 2 ( CP n , Z ) = Z . De hecho, las primeras clases de Chern de espacio proyectivo complejo se generan bajo la dualidad de Poincaré por la clase homología asociado a un hiperplano H . El paquete de líneas O ( kH ) tiene la clase k de Chern . Por lo tanto, cada paquete de líneas holomorfas en CPnes una potencia tensorial de O ( H ) u O (- H ). En otras palabras, el grupo Picard de CP n se genera como un grupo abeliano por la clase de hiperplano [ H ] ( Hartshorne 1977 ).
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