LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

anillo local de Gorenstein es un anillo local noetheriano R conmutativo con dimensión inyectiva finita como un módulo- R . Hay muchas condiciones equivalentes, algunas de ellas enumeradas a continuación, que a menudo dicen que un anillo de Gorenstein es auto-dual en algún sentido.

Los anillos de Gorenstein fueron introducidos por Grothendieck en su seminario de 1961 (publicado en ( Hartshorne 1967 )). El nombre proviene de una propiedad de dualidad de curvas planas singulares estudiada por Gorenstein  ( 1952 ) (a quien le gustaba afirmar que no entendía la definición de un anillo de Gorenstein ^{[ cita requerida ]} ). El caso de la dimensión cero había sido estudiado por Macaulay (1934) . Serre (1961) y Bass (1963) publicaron el concepto de anillos de Gorenstein.

Los anillos de Frobenius son análogos no conmutativos de los anillos de Gorenstein de dimensión cero. Los esquemas de Gorenstein son la versión geométrica de los anillos de Gorenstein.

Definiciones [ editar ]

Un anillo de Gorenstein es un anillo noetheriano conmutativo, de modo que cada localización en un ideal primordial es un anillo local de Gorenstein, como se define anteriormente. Un anillo de Gorenstein es en particular Cohen-Macaulay .

Una caracterización elemental es: un anillo local noetheriano R de dimensión cero (equivalentemente, con R de longitud finita como un módulo R ) es Gorenstein si y solo si Hom _R ( k , R ) tiene dimensión 1 como espacio de vector k , donde k es el campo residuo de R . De manera equivalente, R tiene un zócalo simple como un módulo R. ^[1] Más generalmente, un anillo local noetheriano R es Gorenstein si y solo si hay unsecuencia regular a ₁ , ..., a _n en el ideal máximo de R tal que el anillo cociente R / ( a ₁ , ..., a _n ) es Gorenstein de dimensión cero.

Por ejemplo, si R es un álgebra graduada conmutativa sobre un campo k tal que R tiene una dimensión finita como espacio k- vector, R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m , entonces R es Gorenstein si y solo si satisface la dualidad de Poincaré , lo que significa que la pieza graduada superior R _m tiene dimensión 1 y el producto R _a × R _m - a → R _mes una combinación perfecta para cadauna . ^[2]

Otra interpretación de la propiedad de Gorenstein como un tipo de dualidad, para anillos no necesariamente graduados, es: para un campo F , una F -algebra R conmutativa de dimensión finita como un espacio de vector F(por lo tanto, de la dimensión cero como un anillo) es Gorenstein si y solo si hay un mapa lineal F e : R → F tal que la forma bilineal simétrica ( x , y ): = e ( xy ) en R (como un espacio del vector F ) no se genera . ^[3]

Para un anillo local noetheriano conmutativo ( R , m , k ) de Krull dimensión n , los siguientes son equivalentes: ^[4]

• R tiene una dimensión inyectiva finita como un módulo R ;
• R tiene una dimensión inyectiva n como un módulo R ;
• El grupo ext $${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}por i ≠ n mientras$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;}
• $${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}para algunos i > n ;
• $${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}para todos i < n y$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;}
• R es un anillo de Gorenstein n- dimensional.

Un anillo R (no necesariamente conmutativo) se llama Gorenstein si R tiene una dimensión de inyección finita como un módulo R izquierdo y como un módulo R derecho . Si R es un anillo local, R se dice que es un anillo local Gorenstein.

Ejemplos [ editar ]

• Cada anillo de intersección completa local , en particular cada anillo local regular , es Gorenstein.
• El anillo R = k [ x , y , z ] / ( x ² , y ² , xz , yz , z ² - xy ) es un anillo de Gorenstein de 0 dimensiones que no es un anillo de intersección completa. Más detalladamente: una base para R como espacio k- vector está dada por:$${\ displaystyle \ {1, x, y, z, z ^ {2} \}.} R es Gorenstein porque el zócalo tiene dimensión 1 como un espacio de vector k , abarcado por z ² . Alternativamente, se puede observar que R satisface la dualidad de Poincaré cuando se ve como un anillo graduado con x , y , z , todos en el mismo grado. Finalmente. R no es una intersección completa porque tiene 3 generadores y un conjunto mínimo de 5 (no 3) relaciones.

• El anillo R = k [ x , y ] / ( x ² , y ² , xy ) es un anillo de Cohen-Macaulay de 0 dimensiones que no es un anillo de Gorenstein. Más detalladamente: una base para R como espacio k- vector está dada por:$${\ displaystyle \ {1, x, y \}.} R no es Gorenstein porque el zócalo tiene dimensión 2 (no 1) como un espacio de vector k , abarcado por x e y .

Propiedades [ editar ]

• Un anillo local noetheriano es Gorenstein si y solo si su terminación es Gorenstein. ^[5]

• El módulo canónica de un Gorenstein local de anillo R es isomorfo a R . En términos geométricos, se deduce que el complejo de dualización estándar de un esquema de Gorenstein X sobre un campo es simplemente un conjunto de líneas (visto como un complejo en grados -dim ( X )); este paquete línea se llama el haz canónicade X . Usando el paquete canónico, la dualidad de Serre toma la misma forma para los esquemas de Gorenstein que en el caso liso .

En el contexto de los anillos graduados R , el módulo canónico de un anillo Gorenstein R es isomorfo a R con algún cambio de grado. ^[6]

• Para un anillo local de Gorenstein ( R , m , k ) de dimensión n , la dualidad local de Grothendieck toma la siguiente forma. ^[7] Sea E ( k ) el casco inyectivo del campo de residuos k como un módulo- R . Entonces, para cualquier tipo finito R -módulo M y número entero i , la cohomología local de grupo$${\ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M)} es dual para $${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R)} en el sentido de que:

$${\ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M) \ cong \ operatorname {Hom} _ {R} (\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R), E (k)) .}

• Stanley demostró que para un álgebra graduada conmutada finamente generada R sobre un campo k tal que R es un dominio integral , la propiedad Gorenstein depende solo de la propiedad Cohen-Macaulay junto con la serie de Hilbert

$${\ displaystyle f (t) = \ sum \ nolimits _ {j} \ dim _ {k} (R_ {j}) t ^ {j}.}

A saber, un dominio graduado R es Gorenstein si y solo si es Cohen-Macaulay y la serie de Hilbert es simétrica en el sentido de que

$${\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right) = (- 1) ^ {n} t ^ {s} f (t)}

para algún entero s , donde n es la dimensión de R . ^[8]

• Sea ( R , m , k ) un anillo local noetheriano de incrustación en código c , lo que significa que c = dim _k ( m / m ² ) - dim ( R ). En términos geométricos, esto es válido para un anillo local de un subsquema de codimension c en un esquema regular. Para c como máximo 2, Serre demostró que R es Gorenstein si y solo si es una intersección completa . ^[9] También hay un teorema de estructura para los anillos Gorenstein de codimension 3 en términos de los Pfaffiansde una matriz sesgada-simétrica, por Buchsbaum y Eisenbud .

 anillo artiniano (a veces un anillo de Artin ) es un anillo que satisface la condición de cadena descendente en los ideales ; es decir, no hay una secuencia descendente infinita de ideales. Los anillos artinianos llevan el nombre de Emil Artin , quien descubrió por primera vez que la condición de cadena descendente para los ideales generaliza a la vez los anillos finitos y los anillos que son espacios vectoriales dedimensiones finitas sobre los campos . La definición de anillos artinianos se puede reformular intercambiando la condición de la cadena descendente con una noción equivalente: la condición mínima .

Se deja un anillo a Artinian si satisface la condición de cadena descendente en los ideales de la izquierda, a la derecha de Artinian si satisface la condición de la cadena descendente en los ideales de la derecha, y a Artinian o Artinian de dos caras si se trata de Artinian a la izquierda y a la derecha. Para los anillos conmutativos, las definiciones izquierda y derecha coinciden, pero en general son distintas entre sí.

El teorema de Artin-Wedderburn caracteriza a todos los anillos artinianos simples como el anillo de matricessobre un anillo de división . Esto implica que se deja un simple anillo Artinian si y solo si es correcto Artinian.

La misma definición y terminología se puede aplicar a los módulos , con ideales reemplazados por submódulos.

Aunque la condición de la cadena descendente parece dual a la condición de la cadena ascendente , en los anillos es de hecho la condición más fuerte. Específicamente, una consecuencia del teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki es que un anillo Artinian izquierdo (resp. Derecha) es automáticamente un anillo Noetherian izquierdo (resp. Derecha) . Esto no es cierto para los módulos generales; es decir, un módulo Artinian no necesita ser un módulo Noetherian .

Ejemplos [ editar ]

• Un dominio integral es artiniano si y solo si es un campo.
• Un anillo con finamente muchos, digamos a la izquierda, los ideales se queda Artinian. En particular, un anillo finito (por ejemplo,$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}) Es Artinian izquierda y derecha.
• Sea k un campo. Entonces$${\ displaystyle k [t] / (t ^ {n})}es artiniano por cada entero positivo n .
• Similar, $${\ displaystyle k [x, y] / (x ^ {2}, y ^ {3}, xy ^ {2}) = k \ oplus k \ cdot x \ oplus k \ cdot y \ oplus k \ cdot xy \ oplus k \ cdot y ^ {2}} Es un anillo artiniano con ideal máximo. $${\ displaystyle (x, y)}
• Si I es un ideal distinto de cero de un dominio A de Dedekind , entonces$${\ displaystyle A / I}Es un anillo artiniano principal . ^[1]
• Para cada $${\ displaystyle n \ geq 1}, el anillo de matriz completa $${\ displaystyle M_ {n} (R)}sobre un Artinian izquierdo (resp. noetherian izquierdo) el anillo R se deja Artinian (resp. Noetherian izquierdo). ^[2]

El anillo de los enteros. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}} Es un anillo noetheriano pero no es artiniano.

Módulos sobre anillos artinianos [ editar ]

Sea M un módulo izquierdo sobre un anillo Artinian izquierdo. Entonces, los siguientes son equivalentes ( teorema de Hopkins ): (i) M se genera finamente, (ii) M tiene una longitud finita (es decir, tiene una serie de composición ), (iii) M es Noetherian, (iv) M es Artiniano. ^[3]

Artinianos anillos conmutativos [ editar ]

Dejemos que A sea ​​un anillo noetheriano conmutativo con unidad. Entonces los siguientes son equivalentes.

• A es artiniano.
• A es un producto finito de anillos locales artinianos conmutativos. ^[4]
• A  / nil ( A ) es un anillo semisimple , donde nil ( A ) es el nilradical de A . ^{[ cita requerida ]}
• Cada módulo finamente generado sobre A tiene una longitud finita. (véase más arriba)
• A tiene Krull dimensión cero. ^[5] (En particular, el radical nilradical es el radical de Jacobson ya que los ideales primos son máximos).
• $${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A} Es finito y discreto.
• $${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}es discreto ^[6]

Sea k un campo y una k -algebra finita generada . Entonces, A es Artiniano si y solo si A se genera finitamente como k- módulo.

Un anillo local Artiniano está completo. Un cociente y localización de un anillo artiniano es artiniano.

Anillo artiniano simple [ editar ]

Un simple anillo artiniano A es un anillo de matriz sobre un anillo de división. De hecho, ^[7] dejo que ser un mínimo (distinto de cero) ideal justo de A . Entonces, desde$${\ displaystyle AI} es un ideal de dos caras, $${\ displaystyle AI = A}ya que A es simple. Así, podemos elegir$${\ displaystyle a_ {i} \ en A} así que eso $${\ displaystyle 1 \ en a_ {1} I + \ cdots + a_ {k} I}. Supongamos que k es mínimo con respecto a esa propiedad. Considere el mapa de los módulos A derechos:

$${\ displaystyle {\ begin {cases} I ^ {\ oplus k} \ to A, \\ (y_ {1}, \ dots, y_ {k}) \ mapsto a_ {1} y_ {1} + \ cdots + a_ {k} y_ {k} \ end {cases}}}

Es sobre plano. Si no es inyectivo, entonces, digamos,$${\ displaystyle a_ {1} y_ {1} = a_ {2} y_ {2} + \ cdots + a_ {k} y_ {k}} con distinto de cero $${\ displaystyle y_ {1}}. Entonces, por la minimalidad de I , tenemos:$${\ displaystyle y_ {1} A = I}. Sigue:

$${\ displaystyle a_ {1} I = a_ {1} y_ {1} A \ subconjunto a_ {2} I + \ cdots + a_ {k} I},

Lo que contradice la minimalidad de k . Por lo tanto,$${\ displaystyle I ^ {\ oplus k} \ simeq A} y por lo tanto $${\ displaystyle A \ simeq \ operatorname {End} _ {A} (A) \ simeq M_ {k} (\ operatorname {End} _ {A} (I))}.

anillo noetheriano es un anillo que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales izquierdo y derecho , lo que significa que no hay una secuencia ascendente infinita de ideales izquierda (o derecha); es decir, dada cualquier cadena de ideales de izquierda (o derecha),

$${\ displaystyle I_ {1} \ subseteq \ cdots \ subseteq I_ {k-1} \ subseteq I_ {k} \ subseteq I_ {k + 1} \ subseteq \ cdots,}

existe una n tal que:

$${\ displaystyle I_ {n} = I_ {n + 1} = \ cdots.}

Los anillos noetherianos llevan el nombre de Emmy Noether .

La noción de un anillo noetheriano es de importancia fundamental tanto en la teoría del anillo conmutativo como en el no conmutativo , debido al papel que desempeña en la simplificación de la estructura ideal de un anillo. Por ejemplo, el anillo de números enteros y el anillo polinomial sobre un campo son anillos noetherianos y, en consecuencia, teoremas tales como el teorema de Lasker-Noether , el teorema de intersección de Krull y el teorema de base de Hilbert son válidos para ellos. Además, si un anillo es Noetheriano, entonces satisface la condición de cadena descendente en ideales primos. Esta propiedad sugiere una teoría profunda de la dimensión para los anillos noetherianos que comienza con la noción de la dimensión Krull .

Caracterizaciones [ editar ]

Para los anillos no conmutativos , es necesario distinguir tres conceptos muy similares:

• Un anillo es Noetheriano izquierdo si satisface la condición de cadena ascendente en ideales izquierdos.
• Un anillo es correcto noetheriano si satisface la condición de cadena ascendente en ideales correctos.
• Un anillo es noetheriano si es tanto de izquierda como de derecha: noetheriano.

Para los anillos conmutativos , los tres conceptos coinciden, pero en general son diferentes. Hay anillos que son Noetherianos de izquierda y Noetherianos de derecha, y viceversa.

Hay otras definiciones equivalentes para que un anillo R sea ​​izquierdo-Noetheriano:

• Cada ideal a izquierda I en R es de generación finita , es decir, existen elementos un ₁ , ..., una _n en I de tal manera que I = Ra ₁ + ... + Ra _n . ^[1]
• Cada conjunto no vacío de ideales izquierdos de R , parcialmente ordenado por inclusión, tiene un elemento máximo con respecto a la inclusión de conjunto . ^[1]

Resultados similares son válidos para los anillos noetherianos de derecha.

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano es suficiente que cada ideal primordial del anillo se genere finamente. ^[2]

Propiedades [ editar ]

• Si R es un anillo noetheriano, entonces R [ X ] es noetheriano según el teorema de base de Hilbert . Por inducción, R [ X ₁ , ..., X _n ] es un anillo noetheriano. Además, R [[ X ]], el anillo de la serie de potencias es un anillo noetheriano.
• Si R es un anillo noetheriano e I es un ideal de dos lados, entonces el anillo factorial R / I también es noetheriano. Dicho de otra manera, la imagen de cualquier homomorfismo de anillo suprayectivo de un anillo noetheriano es noetheriana.
• Cada álgebra conmutativa generada finamente sobre un anillo noetheriano conmutativo es noetheriano. (Esto se deduce de las dos propiedades anteriores.)
• Un anillo R se deja-Noetherian si y sólo si cada finitamente generado izquierda R -módulo es un módulo noetheriano .
• Cada localización de un anillo noetheriano conmutativo es noetheriano.
• Una consecuencia del Teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki es que todos los anillos Artinianos de la izquierda quedan en el Noetheriano. Otra consecuencia es que un anillo Artiniano de la izquierda es el derecho de Noetherian si y solo si es el de Artinian. Las declaraciones análogas con "derecha" e "izquierda" intercambiados también son ciertas.
• Un anillo noetheriano izquierdo es coherente y un dominio noetheriano izquierdo es un dominio Ore izquierdo .
• Un anillo es (izquierda / derecha) Noetherian si y solo si cada suma directa de módulos inyectables (izquierda / derecha) es inyectiva. Cada módulo de inyección se puede descomponer como suma directa de módulos de inyección indecomposibles.
• En un anillo noetheriano conmutativo, solo hay finamente muchos ideales primos mínimos .
• En un dominio noetheriano R conmutativo , cada elemento puede descomponerse en elementos irreductibles. Por lo tanto, si, además, los elementos irreductibles son elementos primarios , entonces R es un dominio de factorización único .

Ejemplos [ editar ]

• Cualquier campo, incluidos los campos de números racionales , números reales y números complejos , es noetheriano. (Un campo solo tiene dos ideales: sí y (0)).
• Cualquier anillo ideal principal , como los enteros , es noetheriano, ya que cada ideal es generado por un solo elemento. Esto incluye dominios ideales principales y dominios euclidianos .
• Un dominio de Dedekind (por ejemplo, anillos de enteros ) es noetheriano ya que cada ideal es generado por dos elementos como máximo. El "Noetherian" sigue el teorema de Krull-Akizuki . Los límites en el número de los generadores es un corolario del teorema de Forster-Swan (o teoría básica del anillo).
• El anillo de coordenadas de una variedad afín es un anillo noetheriano, como consecuencia del teorema de base de Hilbert.
• El álgebra envolvente U de un álgebra de Lie de dimensión finita$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}es un anillo noetheriano de izquierda y derecha; esto se deduce del hecho de que el anillo graduado asociado de U es un cociente de$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ({\ mathfrak {g}})}, que es un anillo polinomial sobre un campo; Así, noetherian. ^[3] Por la misma razón, el álgebra de Weyl , y los anillos más generales de los operadores diferenciales , son noetherianos. ^[4]
• El anillo de polinomios en un número infinito de variables sobre los enteros o un campo.

Los anillos que no son noetherianos tienden a ser (en cierto sentido) muy grandes. Aquí hay algunos ejemplos de anillos no-noetherianos:

• El anillo de polinomios en infinitas variables, X ₁ , X ₂ , X ₃ , etc. La secuencia de ideales ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ), etc. Es ascendente, y no termina.
• El anillo de enteros algebraicos no es noetheriano. Por ejemplo, contiene la cadena infinita ascendente de ideales principales: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ), ...
• El anillo de funciones continuas de los números reales a los números reales no es noetheriano: Sea I _n el ideal de todas las funciones continuas f, de modo que f ( x ) = 0 para todas las x ≥ n . La secuencia de ideales I ₀ , I ₁ , I ₂ , etc., es una cadena ascendente que no termina.
• El anillo de grupos homotópicos estables de esferas no es noetheriano. ^[5]

Sin embargo, un anillo no noetheriano puede ser un subring de un anillo noetherian. Dado que cualquier dominio integral es una subring de un campo, cualquier dominio integral que no sea noetheriano proporciona un ejemplo. Para dar un ejemplo menos trivial,

• El anillo de funciones racionales generadas por x e y / x ⁿ sobre un campo k es una subring del campo k ( x , y ) en solo dos variables.

De hecho, hay anillos que están a la derecha noetheriano, pero no a la izquierda, por lo que uno debe tener cuidado al medir el "tamaño" de un anillo de esta manera. Por ejemplo, si L es un subgrupo de Q ² isomorfo a Z , dejar que R sea el anillo de homomorfismos f de Q ² a sí misma satisfactoria f ( L ) ⊂ L . Escogiendo una base, podemos describir el mismo anillo R como

{\ displaystyle R = \ left \ {\ left. {\ begin {bmatrix} a & \ beta \\ 0 & \ gamma \ end {bmatrix}} \, \ right \ vert \, a \ in \ mathbb {Z}, \ beta \ in \ mathbb {Q}, \ gamma \ in \ mathbb {Q} \ right \}.}

Este anillo es derecho noetheriano, pero no izquierdo noetheriano; el subconjunto I ⊂ R que consta de elementos con a = 0 y γ = 0 es un ideal de izquierda que no se genera de forma definitiva como un módulo R de izquierda .

Si R es un signo conmutativo de un anillo noetheriano izquierdo S , y S se genera finamente como un módulo Rizquierdo , entonces R es noetheriano. ^[6] (En el caso especial cuando S es conmutativo, esto se conoce como el teorema de Eakin). Sin embargo, esto no es cierto si R no es conmutativo: el anillo R del párrafo anterior es una subring del anillo noetheriano izquierdo S = Hom ( Q ² , Q ² ) y S se genera finamente como un módulo Rizquierdo , pero R No se deja noetherian.

Un dominio de factorización único no es necesariamente un anillo noetheriano. Satisface una condición más débil: la condición de cadena ascendente en los ideales principales .

Un anillo de valoración no es noetheriano a menos que sea un dominio ideal principal. Da un ejemplo de un anillo que surge naturalmente en la geometría algebraica pero no es noetheriano.

Descomposición primaria [ editar ]

Artículo principal: Teorema de Lasker-Noether

En el anillo Z de los enteros, un ideal arbitrario tiene la forma ( n ) de algún entero n (donde ( n ) denota el conjunto de todos los múltiplos enteros de n ). Si n es distinto de cero, y no es ni 1 ni -1, según el teorema fundamental de la aritmética , existen los primos p _i y los enteros positivos e _i , con$${\ displaystyle n = \ prod _ {i} {p_ {i}} ^ {e_ {i}}}. En este caso, el ideal ( n ) puede escribirse como la intersección de los ideales ( p _i ^e _i ); es decir,$${\ displaystyle (n) = \ cap _ {i} ({p_ {i}} ^ {e_ {i}})}. Esto se conoce como una descomposición primaria del ideal ( n ).

En general, un ideal Q se dice que es de un anillo primario si Q es adecuada y siempre que xy ∈ Q , ya sea x ∈ Qo y ⁿ ∈ Q para algún entero positivo n . En Z , los ideales primarios son precisamente los ideales de la forma ( p ^e) donde p es primo y e es un entero positivo. Por lo tanto, una descomposición primaria de ( n ) corresponde a representar ( n ) como la intersección de muchos ideales primarios.

Dado que el teorema fundamental de la aritmética aplicado a un entero n distinto de cero que no es ni 1 ni −1 también afirma la singularidad de la representación$${\ displaystyle n = \ prod _ {i} {p_ {i}} ^ {e_ {i}}}para p _i prime y e _i positive, una descomposición primaria de ( n ) es esencialmente única .

Por todas las razones anteriores, el siguiente teorema, denominado teorema de Lasker-Noether , puede verse como una generalización del teorema fundamental de la aritmética:

Teorema de Lasker-Noether. Deje que R sea un anillo noetheriano conmutativo y dejar que sea un ideal de R . Entonces puedo escribirme como la intersección de muchos ideales primarios con radicales distintos ; es decir:

$${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {t} Q_ {i}}

con Q _i primario para todo i y Rad ( Q _i ) ≠ Rad ( Q _j ) para i ≠ j . Además, si:

$${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {k} P_ {i}}

es la descomposición de I con Rad ( P _i ) ≠ Rad ( P _j ) para i ≠ j , y ambas descomposiciones de Ison irredundantes (lo que significa que no hay un subconjunto adecuado de { Q ₁ , ..., Q _t } o { P ₁ , ..., P _k } produce una intersección igual a I ), t = k y (después de posiblemente renumerar el Q _i ) Rad ( Q _i ) = Rad ( P _i ) para todosi .

Para cualquier descomposición primaria de I , el conjunto de todos los radicales, es decir, el conjunto {Rad ( Q ₁), ..., Rad ( Q _t )} sigue siendo el mismo según el teorema de Lasker-Noether. De hecho, resulta que (para un anillo noetheriano) el conjunto es precisamente el asesino del módulo R / I ; es decir, el conjunto de todos los aniquiladores de R / I (vistos como un módulo sobre R ) que son primos.