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anillo local regular es un anillo local noetheriano que tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión Krull . En símbolos, vamos A sea un anillo local noetheriano con máxima ideal m, y supongamos un ₁ , ..., un _n es un conjunto mínimo de generadores de m. Entonces por director teorema el ideal de Krull n ≥ dim A , y A se define para ser regular si n = dim A .

La denominación regular se justifica por el significado geométrico. Un punto x en una variedad algebraica X no es singular si y solo si el anillo local$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}de gérmenes en x es regular. (Ver también: esquema regular ). Los anillos locales regulares no están relacionados con los anillos regulares de von Neumann .

Caracterizaciones [ editar ]

Hay una serie de definiciones útiles de un anillo local regular, una de las cuales se menciona anteriormente. En particular, si$${\ displaystyle A} Es un anillo local noetheriano con ideal máximo. $${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}, entonces las siguientes son definiciones equivalentes

• Dejar $${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})} dónde $${\ displaystyle n}Se elige lo más pequeño posible. Entonces$${\ displaystyle A} es regular si

$${\ displaystyle {\ mbox {dim}} A = n \,},

Donde la dimensión es la dimensión Krull. El conjunto mínimo de generadores de$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}Entonces se llaman un sistema regular de parámetros .

• Dejar $${\ displaystyle k = A / {\ mathfrak {m}}} ser el campo de residuos de $${\ displaystyle A}. Entonces$${\ displaystyle A} es regular si

$${\ displaystyle \ dim _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2} = \ dim A \,},

donde la segunda dimensión es la dimensión Krull .

• Dejar $${\ displaystyle {\ mbox {gl dim}} A: = \ sup \ {{\ mbox {pd}} M {\ mbox {}} | {\ mbox {}} M {\ mbox {is an}} A { \ mbox {-module}} \}}ser la dimensión global de$${\ displaystyle A}(es decir, el supremo de las dimensiones proyectivas de todos$${\ displaystyle A}-módulos.) entonces $${\ displaystyle A} es regular si

{\ displaystyle {\ mbox {gl dim}} A <\ infty \,},

en ese caso, $${\ displaystyle {\ mbox {gl dim}} A = \ dim A}.

Ejemplos [ editar ]

1. Cada campo es un anillo local regular. Estos tienen la dimensión (Krull) 0. De hecho, los campos son exactamente los anillos locales regulares de la dimensión 0.
2. Cualquier anillo de valoración discreto es un anillo local regular de dimensión 1 y los anillos locales regulares de dimensión 1 son exactamente los anillos de valoración discretos. Específicamente, si k es un campo y X es un indeterminado, entonces el anillo de la serie de poder formal k [[ X ]] es un anillo local regular que tiene (Krull) dimensión 1.
3. Si p es un número primo ordinario, el anillo de enteros p-adic es un ejemplo de un anillo de valoración discreto y, en consecuencia, un anillo local regular, que no contiene un campo.
4. Más generalmente, si k es un campo y X ₁ , X ₂ , ..., X _d son indeterminados, entonces el anillo de la serie de potencia formal k [[ X ₁ , X ₂ , ..., X _d ]] es un anillo local regular que tiene (Krull) dimensión d .
5. Si A es un anillo local regular, entonces se deduce que el anillo de la serie de potencia formal A [[ x ]] es local regular.
6. Si Z es el anillo de los enteros y X es un indeterminado, el anillo Z [ X ] _(2, X ) (es decir, el anillo Z [ X ] localizado en el ideal primario (2, X )) es un ejemplo de un 2 Anillo local regular dimensional que no contiene un campo.
7. Según el teorema de la estructura de Irvin Cohen , un anillo local regular equicharacterístico completo de Krull dimensión d y que contiene un campo es un anillo de serie de poder sobre un campo.

No ejemplos [ editar ]

El anillo $${\ displaystyle k [x] / (x ^ {2})}no es un anillo local regular, ya que es de dimensión finita pero no tiene una dimensión global finita. Por ejemplo, hay una resolución infinita.

$${\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} {\ xrightarrow {\ cdot x}} {\ frac {k [x] } {(x ^ {2})}} \ to k \ to 0}

Propiedades basicas [ editar ]

El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que cada anillo local regular es un dominio de factorización único.

Cada localización de un anillo local regular es regular.

La finalización de un anillo local regular es regular.

Si $${\ displaystyle (A, {\ mathfrak {m}})} es un anillo local regular completo que contiene un campo, entonces

$${\ displaystyle A \ cong k [[x_ {1}, \ ldots, x_ {d}]]},

dónde $${\ displaystyle k = A / {\ mathfrak {m}}}es el campo de residuos , y$${\ displaystyle d = \ dim A}, la dimensión de Krull.

Origen de las nociones básicas [ editar ]

Ver también: esquema suave

Los anillos locales regulares fueron definidos originalmente por Wolfgang Krull en 1937, ^[2] pero primero se hicieron prominentes en el trabajo de Oscar Zariski unos años más tarde, ^[3] [4] quienes mostraron que geométricamente, un anillo local regular corresponde a un Punto sobre una variedad algebraica . Sea Y una variedad algebraica contenida en el espacio n afín sobre un campo perfecto, y supongamos que Y es el lugar de desaparición de los polinomios f ₁ , ..., f _m . Y es no singular en P si Ysatisface una condición jacobiana : Si M = (∂ f _i / ∂ x _j ) es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones que definen de la variedad, entonces el rango de la matriz encontró mediante la evaluación de M a P es n - dim Y . Zariski demostró que Y no es singular en P si y solo si el anillo local de Y en Pes regular (Zariski observó que esto puede fallar sobre campos no perfectos). Esto implica que la suavidad es una propiedad intrínseca de la variedad, en otras palabras, no depende de dónde o cómo esté incrustada la variedad en el espacio afín. También sugiere que los anillos locales regulares deberían tener buenas propiedades, pero antes de la introducción de técnicas de álgebra homológica se sabía muy poco en esta dirección. Una vez que se introdujeron tales técnicas en la década de 1950, Auslander y Buchsbaum demostraron que cada anillo local regular es un dominio de factorización único .

Otra propiedad sugerida por la intuición geométrica es que la localización de un anillo local regular debe ser nuevamente regular. De nuevo, esto quedó sin resolver hasta la introducción de técnicas homológicas. Fue Jean-Pierre Serre quien encontró una caracterización homológica de los anillos locales regulares: un anillo local A es regular si y solo si A tiene una dimensión global finita , es decir, si cada módulo A tiene una resolución proyectiva de longitud finita. Es fácil demostrar que la propiedad de tener una dimensión global finita se conserva en la localización y, en consecuencia, que las localizaciones de los anillos locales regulares en los ideales primarios son nuevamente regulares.

Esto nos permite definir la regularidad para todos los anillos conmutativos, no solo los locales: se dice que un anillo conmutativo A es un anillo regular si sus localizaciones en todos sus ideales principales son anillos locales regulares. Si A es una dimensión finita, es equivalente a decir que A tiene una dimensión global finita.

anillo de Cohen-Macaulay es un anillo conmutativo con algunas de las propiedades algebro-geométricas de una variedad suave , como la equidimensionalidad local . Bajo suposiciones moderadas, un anillo local es Cohen-Macaulay exactamente cuando se trata de un módulo libre generado de forma definitiva sobre un subring local regular. Los anillos de Cohen-Macaulay desempeñan un papel central en el álgebra conmutativa : forman una clase muy amplia y, sin embargo, se entienden bien de muchas maneras.

Se llaman así por Francis Sowerby Macaulay  ( 1916 ), quien probó el teorema de falta de mezcla para los anillos polinomiales, y por Irvin Cohen  ( 1946 ), quien demostró el teorema de falta de mezcla para los anillos de series de poder formales. Todos los anillos de Cohen-Macaulay tienen la propiedad de no mezclar.

Definición [ editar ]

Para una conmutativa Noetherian anillo local R , la profundidad de R (la longitud máxima de una secuencia regular en el ideal maximal de R ) es como máximo la dimensión Krull de R . El anillo R se llama Cohen-Macaulay si su profundidad es igual a su dimensión.

Más generalmente, un anillo conmutativo se llama Cohen-Macaulay si es noetheriano y todas sus localizacionesen ideales primordiales son Cohen-Macaulay. En términos geométricos, un esquema se llama Cohen-Macaulay si es localmente noetheriano y su anillo local en cada punto es Cohen-Macaulay.

Ejemplos [ editar ]

Los anillos noetherianos de los siguientes tipos son Cohen-Macaulay.

• Cualquier anillo local regular . Esto lleva a varios ejemplos de anillos de Cohen-Macaulay, como los enteros$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}, o un anillo polinomial $${\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}sobre un campo K , o un anillo de series de poder $${\ displaystyle K [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]]. En términos geométricos, cada esquema regular , por ejemplo, una variedad uniforme sobre un campo, es Cohen-Macaulay.
• Cualquier anillo de 0 dimensiones (o equivalente, cualquier anillo de Artinian ).
• Cualquier anillo reducido unidimensional , por ejemplo, cualquier dominio unidimensional .
• Cualquier anillo normal bidimensional .
• Cualquier anillo de gorenstein . En particular, cualquier anillo de intersección completo .
• El anillo de invariantes. $${\ displaystyle R ^ {G}}cuando R es un álgebra de Cohen-Macaulay sobre un campo de característicacero y G es un grupo finito (o más generalmente, un grupo algebraico lineal cuyo componente de identidad es reductivo ). Este es el teorema de Hochster-Roberts .
• Cualquier anillo determinante. Es decir, dejar que R sea el cociente de un anillo local regular S por el ideal Igenerada por el r × r menores de algunos p × q matriz de elementos de S . Si la codimensión (o altura ) de Ies igual a la codimensión "esperada" ( p - r +1) ( q - r +1), R se llama un anillo determinante . En ese caso, R es Cohen − Macaulay. ^[1]Del mismo modo, los anillos de coordenadas de variedades determinantes son Cohen-Macaulay.

Algunos ejemplos más:

1. El anillo K [ x ] / ( x ²) tiene dimensión 0 y, por lo tanto, es Cohen-Macaulay, pero no se reduce y, por lo tanto, no es regular.
2. El subring K [ t ² , t ³ ] del anillo polinomial K [ t ], o su localización o terminación en t = 0, es un dominio unidimensional que es Gorenstein, y por lo tanto Cohen-Macaulay, pero no es regular. Este anillo también puede ser descrito como el anillo de coordenadas de la cuspidal cúbico curva y ² = x ³ sobre K .
3. El subring K [ t ³ , t ⁴ , t ⁵ ] del anillo polinomial K [ t ], o su localización o terminación en t = 0, es un dominio unidimensional que es Cohen-Macaulay pero no Gorenstein.

Las singularidades racionales sobre un campo de característica cero son Cohen-Macaulay. Las variedades tóricas sobre cualquier campo son Cohen-Macaulay. ^[2] El programa de modelo mínimo hace uso prominente de variedades con singularidades klt (terminal de registro Kawamata); en el cero característico, estas son singularidades racionales y, por lo tanto, son Cohen-Macaulay, ^[3] Un análogo exitoso de las singularidades racionales en característica positiva es la noción de singularidades F-racionales ; de nuevo, tales singularidades son Cohen-Macaulay. ^[4]

Deje que X sea una variedad proyectiva de dimensión n ≥ 1 sobre un campo, y dejar que L sea un amplio haz de línea en X . Entonces el anillo de sección de L

$${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {j \ geq 0} H ^ {0} (X, L ^ {j})}

es Cohen – Macaulay si y solo si el grupo de cohomología H ⁱ ( X , L ^j ) es cero para todos 1 ≤ i ≤ n −1 y todos los números enteros j . ^[5] Se deduce, por ejemplo, que el cono afín Spec R a través de una variedad abeliano X es Cohen-Macaulay cuando X tiene dimensión 1, pero no cuando X tiene dimensión al menos 2 (porque H ¹ ( X , O ) no es cero).

Consecuencias geométricas [ editar ]

Decimos que un esquema. $${\ displaystyle X} es Cohen-Macaulay si en cada punto $${\ displaystyle x \ en X} el anillo local $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}} Es Cohen-Macaulay.

Los esquemas de Cohen-Macaulay tienen una relación especial con la teoría de la intersección . Si$${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}} son dos subsquemas de Cohen-Macaulay en $${\ displaystyle X}, y su intersección tiene dimensión esperada , entonces la estructura del esquema de$${\ displaystyle Y_ {1} \ veces _ {X} Y_ {2}}Contiene la multiplicidad de intersección . En general, la multiplicidad está contenida en los datos de la "intersección derivada", como se explica en la fórmula Tor de Serre .

Planitud milagrosa o criterio de Hironaka [ editar ]

Hay una notable caracterización de los anillos de Cohen-Macaulay, a veces llamados llanura milagrosa o el criterio de Hironaka . Deje que R sea un anillo local que se genera un número finito como un módulo sobre algún anillo local regular A contenida en R . Tal subring existe para cualquier localización R en un ideal primordialde un álgebra generada finamente sobre un campo, por el lema de normalización de Noether ; también existe cuando R está completo y contiene un campo, o cuando R es un dominio completo. ^[6] Entonces Res Cohen – Macaulay si y solo si es plano como un módulo A ; también es equivalente a decir que R es libre como un módulo A. ^[7]

Una reformulación geométrica es la siguiente. Sea X un esquema afín conectado de tipo finito sobre un campo K(por ejemplo, una variedad afín ). Deje que n sea la dimensión de X . Por Noether normalización, hay un morfismo finito f de X a espacio afín A ⁿ sobre K . Entonces X es Cohen-Macaulay si y solo todas las fibras de ftienen el mismo grado. ^[8] Es sorprendente que esta propiedad sea independiente de la elección de f . 

Finalmente, hay una versión de Miracle Flatness para anillos graduados. Sea R un álgebra con calificaciónconmutativa generada finamente sobre un campo K ,

$${\ displaystyle R = K \ oplus R_ {1} \ oplus R_ {2} \ oplus \ cdots.}

Siempre hay un subring polinomial graduado A ⊂ R (con generadores en varios grados) de tal manera que R se genera finitamente como un módulo A. Entonces R es Cohen-Macaulay si y solo si R es libre como un módulo Acalificado . Una vez más, se deduce que este grado de refino es independiente de la elección del polinomio subanillo A .

Propiedades [ editar ]

• Un anillo local es Cohen-Macaulay si y solo si su terminación es Cohen-Macaulay. ^[9]
• Si R es un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el anillo polinomial R [ x ] es Cohen-Macaulay. ^[10]
• Si R es un anillo local de Cohen-Macaulay, entonces el anillo de la serie de potencias R [[ x ]] es Cohen-Macaulay. ^[11]
• Para un divisor no cero u en el ideal máximo de un anillo local noetheriano R , R es Cohen-Macaulay si y solo si R / ( u ) es Cohen-Macaulay. ^[12]
• El cociente de un anillo de Cohen-Macaulay por cualquier ideal es universalmente catenario . ^[13]
• Si R es un cociente de un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el locus { p ∈ Spec R | R _p es Cohen-Macaulay} es un subconjunto abierto de Spec R . ^[14]
• Sea ( R , m , k ) un anillo local noetheriano de incrustación en código c , lo que significa que c = dim _k ( m / m ² ) - dim ( R ). En términos geométricos, esto es válido para un anillo local de un subsquema de codimension c en un esquema regular. Para c = 1, R es Cohen-Macaulay si y solo si es un anillo de hipersuperficie . También existe un teorema de estructura para los anillos de Cohen-Macaulay de codimension 2, el teorema de Hilbert-Burch : todos ellos son anillos determinantes, definidos por la r ×r menores de una matriz ( r +1) × rpara algunos r .

El teorema de la no mezcla[ editar ]

Un ideal I de un anillo noetheriano A se llama sin mezclar si el codimensión (o altura) de I es igual a la codimensión de cada primer asociado P de A / I . (Esto es más fuerte que decir que A / I es equidimensional ). Se dice que el teorema de falta de mezcla es válido para el anillo A si no se mezclan todos los ideales I generados por un número de elementos igual a su codimension. Un anillo noetheriano es Cohen-Macaulay si y solo si el teorema de falta de mezcla es válido para él. ^[15]

Ver también: anillo casi sin mezclar (aproximadamente, un anillo en el que se sostiene el teorema sin mezclar para el cierre integral de un ideal ).

Contraejemplos [ editar ]

1. Si K es un campo, entonces el anillo R = K [ x , y ] / ( x ² , xy ) (el anillo de coordenadas de una línea con un punto incrustado) no es Cohen-Macaulay. Esto sigue, por ejemplo, por planitud milagrosa : R es finito sobre el anillo polinomial A = K [ y ], con el grado 1 sobre los puntos de la línea afín Spec A con y ≠ 0, pero con el grado 2 sobre el punto y = 0 (porque el espacio K- vector K [ x ] / (x ² ) tiene dimensión 2).
2. Si K es un campo, entonces el anillo K [ x , y , z ] / ( xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de una línea y un plano) se reduce, pero no es equidimensional, y por lo tanto no es Cohen – Macaulay . Tomando el cociente por el no-cero-divisor x - z da el ejemplo anterior.
3. Si K es un campo, entonces el anillo R = K [ w , x , y , z ] / ( wy , wz , xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de dos planos que se encuentran en un punto) se reduce y es equidimensional , pero no Cohen – Macaulay. Para probar eso, se puede usar el teorema de conectividad de Hartshorne : si R es un anillo de dimensión local de Cohen-Macaulay al menos 2, entonces se conecta Spec R menos su punto cerrado. ^[dieciséis]

El producto Segre de dos anillos Cohen-Macaulay no necesita ser Cohen-Macaulay. ^{[ cita requerida ]}

Grothendieck dualidad [ editar ]

Un significado de la condición de Cohen-Macaulay puede verse en la teoría de la dualidad coherente . Una variedad o esquema X es Cohen-Macaulay si el "complejo de dualización", que a priori se encuentra en la categoría derivada de las gavillas en X , está representado por una sola gavilla. La propiedad más fuerte de ser Gorenstein significa que esta gavilla es un paquete de líneas . En particular, cada esquema regular es Gorenstein. Así, las declaraciones de teoremas de dualidad como la dualidad de Serre o la dualidad local de Grothendieck para Gorenstein o Cohen-Macaulay, los esquemas conservan algo de la simplicidad de lo que sucede con los esquemas regulares o las variedades suaves.