MECÁNICA CUÁNTICA

El enfoque de expansión de clústeres es una técnica en mecánica cuántica que trunca sistemáticamente el problema de la jerarquía BBGKY que surge cuando se resuelve la dinámica cuántica de los sistemas que interactúan. Este método es adecuado para producir un conjunto cerrado de ecuaciones numéricamentecomputables que se pueden aplicar para analizar una gran variedad de problemas ópticos cuánticos y de muchos cuerpos . Por ejemplo, se aplica ampliamente en la óptica cuántica de semiconductores ^[1] y se puede aplicar para generalizar las ecuaciones de Bloch de semiconductores y las ecuaciones de luminiscencia de semiconductores .

Fondo [ editar ]

La teoría cuántica esencialmente reemplaza los valores precisos clásicamente por una distribución probabilísticaque se puede formular utilizando, por ejemplo, una función de onda , una matriz de densidad o una distribución de fase-espacio . Conceptualmente, siempre hay, al menos formalmente, una distribución de probabilidad detrás de cada observable que se mide. Ya en 1889, mucho antes de que se formulara la física cuántica, Thorvald N. Thiele propuso los cumulantes que describen distribuciones probabilísticas con la menor cantidad de cantidades posibles; Los llamó medio invariantes . ^[2] Los cumulantes forman una secuencia de cantidades tales comomedia, varianza , asimetría , curtosis , etc., que identifican la distribución con mayor precisión a medida que se utilizan más cumulantes.

La idea de los cumulantes fue convertida en física cuántica por Fritz Coester ^[3] y Hermann Kümmel ^[4] con la intención de estudiar los fenómenos nucleares de muchos cuerpos. Más tarde, Jiři Čížek y Josef Paldusextendieron el enfoque de la química cuántica para describir fenómenos de muchos cuerpos en átomos complejos y moléculas. Este trabajo introdujo la base para el enfoque de clúster acoplado que opera principalmente con funciones de onda de muchos cuerpos. El enfoque de agrupamientos acoplados es uno de los métodos más exitosos para resolver estados cuánticos de moléculas complejas.

En los sólidos , la función de onda de muchos cuerpos tiene una estructura abrumadoramente complicada, de modo que las técnicas de solución de función de onda directa son intratables. La expansión del cluster es una variante del enfoque de clusters acoplados ^[1] [5] y resuelve las ecuaciones dinámicas de las correlaciones en lugar de intentar resolver la dinámica cuántica de una función de onda aproximada o matriz de densidad. Es igualmente adecuado para tratar las propiedades de los sistemas de muchos cuerpos y las correlaciones cuántico-ópticas, lo que lo ha convertido en un enfoque muy adecuado para la óptica cuántica de semiconductores .

Como casi siempre en la física de muchos cuerpos o en la óptica cuántica, es más conveniente aplicar el formalismo de la segunda cuantización para describir la física involucrada. Por ejemplo, un campo de luz se describe a través de los operadores de creación y aniquilación de Boson. $${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {\ mathbf {q}} ^ {\ dagger}} y $${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {\ mathbf {q}}}, respectivamente, donde $${\ displaystyle \ hbar \ mathbf {q}}Define el impulso de un fotón . El "sombrero" sobre$${\ displaystyle B}Significa la naturaleza del operador de la cantidad. Cuando el estado de muchos cuerpos consiste en excitaciones electrónicas de la materia, está completamente definido por los operadores de creación y aniquilación de Fermion.$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ lambda, \ mathbf {k}} ^ {\ dagger}} y $${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ lambda, \ mathbf {k}}}, respectivamente, donde $${\ displaystyle \ hbar \ mathbf {k}} se refiere al momento de la partícula mientras $${\ displaystyle \ lambda}Es algún grado interno de libertad , como el spin o el índice de banda .

Clasificación de las contribuciones de N- partículas [ editar ]

Cuando el sistema de muchos cuerpos se estudia junto con sus propiedades ópticas cuánticas, todos los valores de expectativa medibles pueden expresarse en forma de un valor de expectativa de N- partículas.

$${\ displaystyle \ langle {\ hat {N}} \ rangle \ equiv \ langle {\ hat {B}} _ {1} ^ {\ dagger} \ cdots {\ hat {B}} _ {K} ^ {\ daga} \ {\ hat {a}} _ {1} ^ {\ dagger} \ cdots {\ hat {a}} _ {N _ {\ hat {a}}} ^ {\ dagger} {\ hat {a} } _ {N _ {\ hat {a}}} \ cdots {\ hat {a}} _ {1} \ {\ hat {B}} _ {J} \ cdots {\ hat {B}} _ {1} \ rangle}

dónde $${\ displaystyle N = N _ {\ hat {B}} + N _ {\ hat {a}}} y $${\ displaystyle N _ {\ hat {B}} = J + K}mientras que los índices de impulso explícito se suprimen en aras de la brevedad. Estas cantidades normalmente se ordenan, lo que significa que todos los operadores de creación están en el lado izquierdo, mientras que todos los operadores de aniquilación están en el lado derecho en el valor esperado. Es sencillo mostrar que este valor de expectativa se desvanece si la cantidad de operadores de creación y aniquilación de Fermion no es igual. ^[6] [7]

Una vez que se conoce el sistema hamiltoniano, se puede usar la ecuación de movimiento de Heisenberg para generar la dinámica de un determinado$${\ displaystyle N}Operador de partículas. Sin embargo, las interacciones de muchos cuerpos y ópticas cuánticas combinan la$${\ displaystyle N}-las cantidades de partículas a $${\ displaystyle (N + 1)}-los valores de expectativa de partículas, que se conoce como el problema de jerarquía Bogolyubov – Born – Green – Kirkwood – Yvon (BBGKY) . Más matemáticamente, todas las partículas interactúan entre sí lo que lleva a una estructura de ecuación

$${\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ langle {\ hat {N}} \ rangle = \ mathrm {T} \ left [\ langle {\ hat {N }} \ rangle \ right] + \ mathrm {Hi} \ left [\ langle {\ hat {N}} + 1 \ rangle \ right]}

donde funcional $${\ displaystyle T} simboliza las contribuciones sin problemas de jerarquía y el funcional para el acoplamiento jerárquico (Hi) está simbolizado por $${\ displaystyle \ mathrm {Hola} [\ langle {\ hat {N}} + 1 \ rangle]}. Dado que todos los niveles de valores de expectativa pueden ser distintos de cero, hasta el número de partícula real, esta ecuación no se puede truncar directamente sin más consideraciones.

Definición recursiva de agrupamientos [ editar ]

Representación esquemática de la clasificación basada en la expansión de grupos. La correlación completa se compone de singletes, dobletes, tripletes y correlaciones de orden superior, todas definidas de forma única por el enfoque de expansión de clúster. Cada esfera azul corresponde a un operador de partículas y círculos / elipses amarillos a las correlaciones. El número de esferas dentro de una correlación identifica el número de grupo.

El problema de la jerarquía se puede truncar sistemáticamente después de identificar los clústeres correlacionados. Las definiciones más simples que siguen a continuación identifican los clústeres recursivamente. En el nivel más bajo, uno encuentra la clase de valores de expectativa de una sola partícula (singletes) que están simbolizados por$${\ displaystyle \ langle 1 \ rangle}. Cualquier valor de expectativa de dos partículas.$${\ displaystyle \ langle 2 \ rangle} Se puede aproximar por factorización. $${\ displaystyle \ langle 2 \ rangle _ {\ mathrm {S}} = \ langle 1 \ rangle \ langle 1 \ rangle}que contiene una suma formal sobre todos los productos posibles de valores de expectativa de partícula única. Más generalmente,$${\ displaystyle \ langle 1 \ rangle} define los singletes y $${\ displaystyle \ langle N \ rangle _ {\ mathrm {S}}} es la factorización singlete de una $${\ displaystyle N}Valor de la expectativa de partículas. Físicamente, la factorización singlete entre fermiones produce la aproximación de Hartree-Fock,mientras que para los bosones produce la aproximación clásica en la que los operadores del bosón se reemplazan formalmente por una amplitud coherente, es decir,$${\ displaystyle {\ hat {B}} \ rightarrow \ langle {\ hat {B}} \ rangle}. La factorización singlete constituye el primer nivel de la representación de expansión de cluster.

La parte correlacionada de $${\ displaystyle \ langle 2 \ rangle} Es entonces la diferencia de lo real. $${\ displaystyle \ langle 2 \ rangle} y la factorización singlete $${\ displaystyle \ langle 2 \ rangle _ {\ mathrm {S}}}. Más matemáticamente, uno encuentra

$${\ displaystyle \ langle 2 \ rangle = \ langle 2 \ rangle _ {\ mathrm {S}} + \ Delta \ langle 2 \ rangle}

donde el $${\ displaystyle \ Delta} contribución denota la parte correlacionada, es decir, $${\ displaystyle \ Delta \ langle 2 \ rangle = \ langle 2 \ rangle - \ langle 2 \ rangle _ {\ mathrm {S}}}. Los siguientes niveles de identificación siguen recursivamente ^[1] aplicando

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle 3 \ rangle & = \ langle 3 \ rangle _ {\ mathrm {S}} + \ langle 1 \ rangle \ \ Delta \ langle 2 \ rangle + \ Delta \ langle 3 \ rangle \, \\\ langle N \ rangle & = \ langle N \ rangle _ {\ mathrm {S}} \\ & \ quad + \ langle N-2 \ rangle _ {\ mathrm {S}} \ \ Delta \ langle 2 \ rangle \\ & \ quad + \ langle N-4 \ rangle _ {\ mathrm {S}} \ \ Delta \ langle 2 \ rangle \ \ Delta \ langle 2 \ rangle + \ dots \\ & \ quad + \ langle N-3 \ rangle _ {\ mathrm {S}} \ \ Delta \ langle 3 \ rangle \\ & \ quad + \ langle N-5 \ rangle _ {\ mathrm {S}} \ \ Delta \ langle 3 \ rangle \ \ Delta \ langle 2 \ rangle + \ dots \\ & \ quad + \ Delta \ langle N \ rangle \ ,, \ end {alineado}}}

donde cada término de producto representa una factorización, simbólicamente e implícitamente incluye una suma sobre todas las factorizaciones dentro de la clase de términos identificados. La parte puramente correlacionada se denota por$${\ displaystyle \ Delta \ langle N \ rangle}. De éstas, las correlaciones de dos partículas.$${\ displaystyle \ Delta \ langle 2 \ rangle} Determinar dobletes mientras que las correlaciones de tres partículas. $${\ displaystyle \ Delta \ langle 3 \ rangle} Se llaman trillizos.

Como esta identificación se aplica recursivamente, uno puede identificar directamente qué correlaciones aparecen en el problema de jerarquía. Uno entonces determina la dinámica cuántica de las correlaciones, produciendo

$${\ displaystyle \ mathrm {i} \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Delta \ langle {\ hat {N}} \ rangle = \ mathrm {T} \ left [\ Delta \ langle { \ hat {N}} \ rangle \ right] + \ mathrm {NL} \ left [\ langle {\ hat {1}} \ rangle, \ Delta \ langle {\ hat {2}} \ rangle, \ cdots, \ Delta \ langle {\ hat {N}} \ rangle \ right] + \ mathrm {Hi} \ left [\ Delta \ langle {\ hat {N}} + 1 \ rangle \ right] \ ,,}

Donde las factorizaciones producen un acoplamiento no lineal. $${\ displaystyle \ mathrm {NL} \ left [\ cdots \ right]}entre los grupos. Obviamente, la introducción de clústeres no puede eliminar el problema de jerarquía del enfoque directo porque las contribuciones jerárquicas permanecen en la dinámica. Esta propiedad y la apariencia de los términos no lineales parecen sugerir complicaciones para la aplicabilidad del enfoque de expansión de conglomerados.

Sin embargo, como una diferencia importante con respecto a un enfoque directo de expectativa de valor, tanto las interacciones ópticas cuánticas como las de muchos cuerpos generan correlaciones secuencialmente. ^[1] [8]En varios problemas relevantes, uno de hecho tiene una situación en la que solo los clústeres de orden inferior inicialmente no se desvanecen, mientras que los clústeres de orden superior se acumulan lentamente. En esta situación, se puede omitir el acoplamiento jerárquico,$${\ displaystyle \ mathrm {Hola} \ left [\ Delta \ langle {\ hat {C}} + 1 \ rangle \ right]}, en el nivel superior a $${\ displaystyle C}- Racimos de partículas. Como resultado, las ecuaciones se cierran y solo se necesita calcular la dinámica hasta$${\ displaystyle C}- correlaciones de partículas para explicar las propiedades relevantes del sistema. Ya que$${\ displaystyle C}Por lo general, es mucho más pequeño que el número total de partículas, el enfoque de expansión de conglomerados produce un esquema de solución pragmático y sistemático para investigaciones de muchos cuerpos y óptica cuántica. ^[1]

Extensiones [ editar ]

Además de describir la dinámica cuántica, se puede aplicar naturalmente el enfoque de expansión de conglomerados para representar las distribuciones cuánticas. Una posibilidad es representar las fluctuaciones cuánticas de un modo de luz cuantificado$${\ displaystyle {\ hat {B}}}en términos de clusters, produciendo la representación de expansión de cluster. Alternativamente, uno puede expresarlos en términos de la representación de expectativa-valor$${\ displaystyle \ langle [{\ hat {B}} ^ {\ dagger}] ^ {J} {\ hat {B}} ^ {K} \ rangle}. En este caso, la conexión desde$${\ displaystyle \ langle [{\ hat {B}} ^ {\ dagger}] ^ {J} {\ hat {B}} ^ {K} \ rangle}La matriz de densidad es única, pero puede dar como resultado una serie numéricamente divergente. Este problema se puede resolver introduciendo una transformación de expansión de grupo (CET) ^[9] que representa la distribución en términos de un gaussiano , definido por las contribuciones singlete-doblete, multiplicado por un polinomio, definido por los grupos de orden superior. Resulta que esta formulación proporciona una convergencia extrema en las transformaciones de representación a representación.

Este problema completamente matemático tiene una aplicación física directa. Se puede aplicar la transformación de expansión de clúster para proyectar de manera robusta la medición clásica en una medición cuántica óptica. ^[10] Esta propiedad se basa en gran medida en la capacidad de CET para describir cualquier distribución en la forma en que un gaussiano se multiplica por un factor polinomial. Esta técnica ya se está utilizando para acceder y derivar la espectroscopia óptica cuántica de un conjunto de mediciones de espectroscopia clásica, que se puede realizar utilizando láseres de alta calidad .

la coherencia describe todas las propiedades de la correlación entre cantidades físicas de una sola onda, o entre varias ondas o paquetes de ondas.

La interferencia es la adición, en el sentido matemático, de las funciones de onda. Una sola onda puede interferir consigo misma, pero esto sigue siendo una adición de dos ondas (consulte el experimento de Slits de Young ). Las interferencias constructivas o destructivas son casos límite, y dos ondas siempre interfieren, incluso si el resultado de la adición es complicado o no es notable.

Al interferir, dos ondas pueden sumarse para crear una onda de mayor amplitud que una ( interferencia constructiva ) o restar una de la otra para crear una onda de menor amplitud que una ( interferencia destructiva ), dependiendo de su fase relativa . Se dice que dos ondas son coherentes si tienen una fase relativa constante. La cantidad de coherencia se puede medir fácilmente por la visibilidad de la interferencia , que mira el tamaño de las franjas de interferencia en relación con las ondas de entrada (a medida que se varía el desplazamiento de fase); Una definición matemática precisa del grado de coherencia se da por medio de funciones de correlación.

La coherencia espacial describe la correlación (o relación predecible) entre las ondas en diferentes puntos del espacio, ya sea lateral o longitudinal. ^[1] La coherencia temporal describe la correlación entre las ondas observadas en diferentes momentos en el tiempo. Ambos se observan en el experimento de Michelson-Morley y en el experimento de interferencia de Young . Una vez que se obtienen las franjas en el interferómetro de Michelson , cuando uno de los espejos se aleja gradualmente, el tiempo para que el rayo se desplace aumenta y las franjas se embotan y finalmente desaparecen, mostrando una coherencia temporal. Del mismo modo, si en un experimento de doble rendija, el espacio entre las dos rendijas aumenta, la coherencia muere gradualmente y, finalmente, las franjas desaparecen, mostrando coherencia espacial. En ambos casos, la amplitud de la franja desaparece lentamente, a medida que la diferencia de trayectoria aumenta más allá de la longitud de coherencia.

Introducción [ editar ]

La coherencia se concibió originalmente en conexión con Thomas Young 's experimento de doble rendija en la óptica pero ahora se utiliza en cualquier campo que implica ondas, tales como la acústica , la ingeniería eléctrica, la neurociencia , y la mecánica cuántica . La coherencia describe la similitud estadística de un campo (campo electromagnético, paquete de ondas cuánticas, etc.) en dos puntos en el espacio o el tiempo ^[2] . La propiedad de la coherencia es la base para aplicaciones comerciales como la holografía , el giroscopio Sagnac , los conjuntos de antenas de radio , la tomografía de coherencia óptica.e interferómetros de telescopio (interferómetros ópticos astronómicos y radiotelescopios ).

Definición matemática [ editar ]

Una definición precisa se da en el grado de coherencia .

La función de coherencia entre dos señales. $${\ displaystyle x (t)} y $${\ displaystyle y (t)}se define como ^[3]

$${\ displaystyle \ gamma _ {xy} ^ {2} (f) = {\ frac {| S_ {xy} (f) | ^ {2}} {S_ {xx} (f) S_ {yy} (f) }}}

dónde $${\ displaystyle S_ {xy} (f)}es la densidad espectral cruzada de la señal y$${\ displaystyle S_ {xx} (f)} y $${\ displaystyle S_ {yy} (f)}son las funciones de densidad espectral de potencia$${\ displaystyle x (t)} y $${\ displaystyle y (t)}, respectivamente. La densidad espectral cruzada y la densidad espectral de potencia se definen como las transformadas de Fourier de la correlación cruzada y las señales de autocorrelación , respectivamente. Por ejemplo, si las señales son funciones del tiempo, la correlación cruzada es una medida de la similitud de las dos señales en función del retardo de tiempo relativo entre sí y la autocorrelación es una medida de la similitud de cada señal consigo misma. En diferentes instantes del tiempo. En este caso la coherencia es una función de la frecuencia. Análogamente, si$${\ displaystyle x (t)} y $${\ displaystyle y (t)}son funciones del espacio, la correlación cruzada mide la similitud de dos señales en diferentes puntos del espacio y las autocorrelaciones la similitud de la señal relativa a sí misma para una cierta distancia de separación. En ese caso, la coherencia es una función de wavenumber (frecuencia espacial).

La coherencia varía en el intervalo. $${\ displaystyle 0 \ leqslant \ gamma _ {xy} ^ {2} (f) \ leqslant 1.}. Si$${\ displaystyle \ gamma _ {xy} ^ {2} (f) = 1} significa que las señales están perfectamente correlacionadas o relacionadas linealmente y si $${\ displaystyle \ gamma _ {xy} ^ {2} (f) = 0}son totalmente no correlacionados Si se está midiendo un sistema lineal,$${\ displaystyle x (t)} siendo la entrada y $${\ displaystyle y (t)}La salida, la función de coherencia será unitaria en todo el espectro. Sin embargo, si las no linealidades están presentes en el sistema, la coherencia variará en el límite dado anteriormente.

La coherencia y la correlación [ editar ]

La coherencia de dos ondas expresa qué tan bien correlacionadas están las ondas según lo cuantificado por la función de correlación cruzada . ^{[4] [5] [6] [7] [8]} La correlación cruzada cuantifica la capacidad de predecir la fase de la segunda ola al conocer la fase de la primera. Como ejemplo, considere dos ondas perfectamente correlacionadas para todos los tiempos. En cualquier momento, la diferencia de fase será constante. ^{[ aclaración necesaria ]}Si, cuando se combinan, exhiben una interferencia constructiva perfecta, una interferencia destructiva perfecta o algo intermedio pero con una diferencia de fase constante, se sigue que son perfectamente coherentes. Como se discutirá más adelante, la segunda ola no necesita ser una entidad separada. Podría ser la primera ola en un momento o posición diferente. En este caso, la medida de la correlación es la función de autocorrelación (a veces llamada auto-coherencia ). El grado de correlación implica funciones de correlación. ^{[9] : 545-550}

Ejemplos de estados de onda [ editar ]

Estos estados están unificados por el hecho de que su comportamiento se describe mediante una ecuación de onda o alguna generalización de la misma.

• Ondas en una cuerda (arriba y abajo) o slinky (compresión y expansión)
• Ondas superficiales en un líquido.
• Señales electromagnéticas (campos) en líneas de transmisión.
• Sonar
• Ondas de radio y microondas.
• Ondas de luz ( óptica )
• Electrones , átomos y cualquier otro objeto (como una pelota de béisbol), como lo describe la física cuántica.

En la mayoría de estos sistemas, uno puede medir la onda directamente. En consecuencia, su correlación con otra onda puede simplemente calcularse. Sin embargo, en óptica no se puede medir el campo eléctricodirectamente, ya que oscila mucho más rápido que la resolución de tiempo de cualquier detector. ^[10] En cambio, medimos la intensidad de la luz. La mayoría de los conceptos relacionados con la coherencia que se presentarán a continuación se desarrollaron en el campo de la óptica y luego se utilizaron en otros campos. Por lo tanto, muchas de las mediciones estándar de coherencia son mediciones indirectas, incluso en campos donde la onda se puede medir directamente.

Coherencia temporal [ editar ]

Figura 1: La amplitud de una onda de frecuencia única en función del tiempo t(rojo) y una copia de la misma onda retrasada por τ (azul). El tiempo de coherencia de la onda es infinito, ya que está perfectamente correlacionado consigo mismo para todos los retrasos τ. ^[11] : 118

Figura 2: La amplitud de una onda cuya fase se desplaza significativamente en el tiempo τ _c en función del tiempo t (rojo) y una copia de la misma onda retrasada en 2τ _c (verde). En cualquier momento particular, la onda puede interferir perfectamente con su copia retrasada. Pero, dado que la mitad del tiempo las ondas roja y verde están en fase y la mitad del tiempo fuera de fase, cuando se promedia más de t, la interferencia desaparece con este retraso.

La coherencia temporal es la medida de la correlación promedio entre el valor de una onda y la demora en sí misma, en cualquier par de veces. La coherencia temporal nos dice qué tan monocromática es una fuente. En otras palabras, caracteriza cómo una ola puede interferir consigo misma en un momento diferente. El retraso sobre el cual la fase o la amplitud vaga en una cantidad significativa (y, por lo tanto, la correlación disminuye en una cantidad significativa) se define como el tiempo de coherencia τ _c . Con un retraso de τ = 0, el grado de coherencia es perfecto, mientras que disminuye significativamente a medida que el retraso pasa τ = τ _c . La longitud de coherencia L _c se define como la distancia que la onda recorre en el tiempo τ _c . ^{[9]: 560, 571–573}

Se debe tener cuidado de no confundir el tiempo de coherencia con la duración del tiempo de la señal, ni la longitud de la coherencia con el área de coherencia (ver más abajo).

La relación entre el tiempo de coherencia y el ancho de banda [ editar ]

Se puede demostrar que cuanto mayor sea el rango de frecuencias containsf contiene una onda, más rápido se correlaciona la onda (y, por lo tanto, el τ _c más pequeño ). Por lo tanto, hay una compensación: ^{[9] : 358-359, 560}

$${\ displaystyle \ tau _ {c} \ Delta f \ lesssim 1}.

Formalmente, esto se desprende del teorema de convolución en matemáticas, que relaciona la transformada de Fourier del espectro de potencia (la intensidad de cada frecuencia) con su autocorrelación . ^[9] : 572

Ejemplos de coherencia temporal [ editar ]

Consideramos cuatro ejemplos de coherencia temporal.

• Una onda que contiene una sola frecuencia (monocromática) está perfectamente correlacionada consigo misma en todos los retrasos de tiempo, de acuerdo con la relación anterior. (Ver Figura 1)
• A la inversa, una onda cuya fase se desplaza rápidamente tendrá un tiempo de coherencia corto. (Ver Figura 2)
• De manera similar, los pulsos ( paquetes de ondas) de ondas, que naturalmente tienen un amplio rango de frecuencias, también tienen un corto tiempo de coherencia, ya que la amplitud de la onda cambia rápidamente. (Ver Figura 3)
• Finalmente, la luz blanca, que tiene un rango muy amplio de frecuencias, es una onda que varía rápidamente tanto en amplitud como en fase. Debido a que, en consecuencia, tiene un tiempo de coherencia muy corto (solo 10 períodos aproximadamente), a menudo se lo denomina incoherente.

Las fuentes monocromáticas suelen ser láseres ; tal alta monocromaticidad implica largas longitudes de coherencia (hasta cientos de metros). Por ejemplo, un láser de helio-neón monomodo y estabilizado puede producir fácilmente luz con longitudes de coherencia de 300 m. ^[12] Sin embargo, no todos los láseres son monocromáticos (por ejemplo, para un láser de zafiro Ti bloqueado en modo , Δλ ≈ 2 nm - 70 nm). Los LED se caracterizan por Δλ ≈ 50 nm, y las luces de filamento de tungsteno presentan Δλ ≈ 600 nm, por lo que estas fuentes tienen tiempos de coherencia más cortos que los láseres monocromáticos.

La holografía requiere luz con un largo tiempo de coherencia. En contraste, la tomografía de coherencia óptica , en su versión clásica, utiliza la luz con un tiempo de coherencia corto.

La medición de la coherencia temporal [ editar ]

Figura 3: La amplitud de un paquete de ondas cuya amplitud cambia significativamente en el tiempo τ _c (rojo) y una copia de la misma onda retardada en 2τ _c (verde) representada en función del tiempo t . En cualquier momento particular, las ondas rojas y verdes no están correlacionadas; uno oscila mientras que el otro es constante, por lo que no habrá interferencia en este retraso. Otra forma de ver esto es que los paquetes de ondas no se superponen en el tiempo, por lo que en un momento determinado solo hay un campo distinto de cero, por lo que no puede producirse ninguna interferencia.

Figura 4: La intensidad promediada en el tiempo (azul) detectada en la salida de un interferómetro representada en función del retardo τ para las ondas de ejemplo en las Figuras 2 y 3. A medida que el retardo se cambia por medio período, la interferencia cambia entre constructivos y destructivo. Las líneas negras indican la envolvente de interferencia, lo que da el grado de coherencia . Aunque las ondas en las Figuras 2 y 3 tienen diferentes duraciones de tiempo, tienen el mismo tiempo de coherencia.

En óptica, la coherencia temporal se mide en un interferómetro como el interferómetro de Michelson o el interferómetro de Mach-Zehnder . En estos dispositivos, una ola se combina con una copia de sí misma que se retrasa con el tiempo τ. Un detector mide la intensidad promediada en el tiempo de la luz que sale del interferómetro. La visibilidad de la interferencia resultante (por ejemplo, ver la Figura 4) proporciona la coherencia temporal en el retardo τ. Como para la mayoría de las fuentes de luz natural, el tiempo de coherencia es mucho más corto que la resolución de tiempo de cualquier detector, el detector sí mismo hace el promedio de tiempo. Considere el ejemplo mostrado en la Figura 3. En un retardo fijo, aquí 2τ _c , un detector infinitamente rápida sería medir una intensidad que fluctúa significativamente durante un tiempot igual a τ _c . En este caso, para encontrar la coherencia temporal en 2τ _c , uno haría tiempo promedio de la intensidad manualmente.

Coherencia espacial [ editar ]

En algunos sistemas, como las ondas de agua o la óptica, los estados de onda pueden extenderse sobre una o dos dimensiones. La coherencia espacial describe la capacidad de dos puntos en el espacio, x ₁ y x ₂ , en la extensión de una onda para interferir, cuando se promedia en el tiempo. Más precisamente, la coherencia espacial es la correlación cruzada entre dos puntos en una onda para todos los tiempos. Si una onda tiene solo 1 valor de amplitud sobre una longitud infinita, es perfectamente coherente espacialmente. El rango de separación entre los dos puntos sobre los cuales hay una interferencia significativa define el diámetro del área de coherencia, A _c ^[13] (La longitud de la coherencia, a menudo una característica de una fuente, suele ser un término industrial relacionado con el tiempo de coherencia de la fuente, no el área de coherencia en el medio). A _c es el tipo de coherencia relevante para el interferómetro de doble rendija de Young. También se usa en sistemas de imágenes ópticas y particularmente en varios tipos de telescopios de astronomía. A veces, las personas también usan la "coherencia espacial" para referirse a la visibilidad cuando un estado de onda se combina con una copia de ella desplazada espacialmente.

Ejemplos de coherencia espacial [ editar ]

• Coherencia espacial
• 

  Figura 5: Una onda plana con una longitud de coherencia infinita .
 
• 

  Figura 6: Una onda con un perfil variable (frente de onda) y una longitud de coherencia infinita.
 
• 

  Figura 7: Una onda con un perfil variable (frente de onda) y una longitud de coherencia finita.
 
• 

  Figura 8: una onda con área de coherencia finita incide en un orificio (abertura pequeña). La onda sedifractará del orificio. Lejos del orificio, los frentes de onda esféricos emergentes son aproximadamente planos. El área de coherencia ahora es infinita, mientras que la longitud de la coherencia no cambia.
• 

  Figura 9: Una onda con área de coherencia infinita se combina con una copia de ella desplazada espacialmente. Algunas secciones en la onda interfieren constructivamente y otras interferirán destructivamente. Con un promedio de estas secciones, un detector con longitud D medirá lavisibilidad reducida de lainterferencia . Por ejemplo, un interferómetro Mach-Zehnder mal alineado hará esto.

Considere un filamento de luz de tungsteno. Diferentes puntos en el filamento emiten luz independientemente y no tienen una relación de fase fija. En detalle, en cualquier momento, el perfil de la luz emitida se distorsionará. El perfil cambiará aleatoriamente a lo largo del tiempo de coherencia.$${\ displaystyle \ tau _ {c}}. Dado que para una fuente de luz blanca como una bombilla$${\ displaystyle \ tau _ {c}}Es pequeño, el filamento es considerado una fuente espacialmente incoherente. En contraste, una matriz de antenas de radio tiene una gran coherencia espacial porque las antenas en los extremos opuestos de la matriz emiten con una relación de fase fija. Las ondas de luz producidas por un láser a menudo tienen una alta coherencia temporal y espacial (aunque el grado de coherencia depende en gran medida de las propiedades exactas del láser). La coherencia espacial de los rayos láser también se manifiesta como patrones de moteado y franjas de difracción observadas en los bordes de la sombra.

La holografía requiere luz temporal y espacialmente coherente. Su inventor, Dennis Gabor , produjo hologramas exitosos más de diez años antes de que se inventaran los láseres. Para producir una luz coherente, pasó la luz monocromática desde una línea de emisión de una lámpara de vapor de mercurio a través de un filtro espacial de orificios.

En febrero de 2011 se informó que los átomos de helio , enfriados a casi cero absoluto / estado de condensado de Bose-Einstein , pueden fluir y comportarse como un haz coherente como ocurre en un láser. ^[14] [15]

La coherencia espectral [ editar ]

Figura 10: Las ondas de diferentes frecuencias interfieren para formar un pulso localizado si son coherentes.

Figura 11: la luz espectralmente incoherente interfiere para formar luz continua con una fase y amplitud que varían al azar

Las ondas de diferentes frecuencias (en la luz, estos son colores diferentes) pueden interferir para formar un pulso si tienen una relación de fase relativa fija (consulte la transformada de Fourier ). A la inversa, si las ondas de diferentes frecuencias no son coherentes, entonces, cuando se combinan, crean una onda que es continua en el tiempo (por ejemplo, luz blanca o ruido blanco ). La duración temporal del pulso.$${\ displaystyle \ Delta t} Está limitado por el ancho de banda espectral de la luz. $${\ displaystyle \ Delta f} de acuerdo a:

$${\ displaystyle \ Delta f \ Delta t \ geq 1},

que se desprende de las propiedades de la transformada de Fourier y da como resultado el principio de incertidumbre de Küpfmüller (para las partículas cuánticas también produce el principio de incertidumbre de Heisenberg ).

Si la fase depende linealmente de la frecuencia (es decir, $${\ displaystyle \ theta (f) \ propto f}) entonces el pulso tendrá la duración de tiempo mínima para su ancho de banda (un pulso de transformación limitada ), de lo contrario, se emite un chirrido (vea dispersión ).

La medición de la coherencia espectral [ editar ]

La medición de la coherencia espectral de la luz requiere un interferómetro óptico no lineal , como un correlacionador óptico de intensidad , compuerta óptica de resolución de frecuencia (FROG) o interferometría de fase espectral para la reconstrucción directa del campo eléctrico(SPIDER).

La polarización y la coherencia [ editar ]

La luz también tiene una polarización , que es la dirección en la que oscila el campo eléctrico. La luz no polarizada se compone de ondas de luz incoherentes con ángulos de polarización aleatorios. El campo eléctrico de la luz no polarizada vaga en todas direcciones y cambia en fase a lo largo del tiempo de coherencia de las dos ondas de luz. Un polarizador absorbente girado en cualquier ángulo siempre transmitirá la mitad de la intensidad del incidente cuando se promedia con el tiempo.

Si el campo eléctrico se desvía en una cantidad menor, la luz se polarizará parcialmente, de modo que, en algún ángulo, el polarizador transmitirá más de la mitad de la intensidad. Si una onda se combina con una copia ortogonal polarizada de sí misma retrasada en menos del tiempo de coherencia, se crea una luz parcialmente polarizada.

La polarización de un haz de luz está representada por un vector en la esfera de Poincaré . Para la luz polarizada, el extremo del vector se encuentra en la superficie de la esfera, mientras que el vector tiene una longitud cero para la luz no polarizada. El vector para la luz parcialmente polarizada se encuentra dentro de la esfera.

Aplicaciones [ editar ]

La holografía [ editar ]

Las superposiciones coherentes de los campos de ondas ópticas incluyen la holografía . Los objetos holográficos se utilizan con frecuencia en la vida diaria en billetes de banco y tarjetas de crédito.

Campos de onda no ópticos [ editar ]

Otras aplicaciones se refieren a la superposición coherente de campos de ondas no ópticas . En la mecánica cuántica, por ejemplo, se considera un campo de probabilidad, que está relacionado con la función de onda.$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}(interpretación: densidad de la amplitud de probabilidad). Aquí, las aplicaciones se refieren, entre otras, a las tecnologías futuras de computación cuántica y la tecnología ya disponible de criptografía cuántica . Adicionalmente se tratan los problemas del siguiente subcapítulo.

Análisis modal [ editar ]

La coherencia se utiliza para verificar la calidad de las funciones de transferencia (FRF) que se miden. La baja coherencia puede ser causada por una relación pobre de señal a ruido y / o una resolución de frecuencia inadecuada.

Coherencia cuántica [ editar ]

Más información: Decoherencia cuántica.

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En la mecánica cuántica , todos los objetos tienen propiedades de onda (consulte las ondas de Broglie ). Por ejemplo, en el experimento de Young de doble rendija, los electrones se pueden usar en lugar de las ondas de luz. La función de onda de cada electrón atraviesa ambas rendijas y, por lo tanto, tiene dos haces separados que contribuyen al patrón de intensidad en una pantalla. Según la teoría de la onda estándar ^[16]estas dos contribuciones dan lugar a un patrón de intensidad de bandas brillantes debido a la interferencia constructiva, entrelazadas con bandas oscuras debido a la interferencia destructiva, en una pantalla corriente abajo. Esta capacidad de interferir y difractar está relacionada con la coherencia (clásica o cuántica) de las ondas producidas en ambas rendijas. La asociación de un electrón con una onda es exclusiva de la teoría cuántica.

Cuando el haz incidente está representado por un estado puro cuántico , los haces divididos aguas abajo de las dos rendijas se representan como una superposición de los estados puros que representan cada haz dividido ^[17]. La descripción cuántica de trayectorias imperfectamente coherentes se denomina estado mixto . Un estado perfectamente coherente tiene una matriz de densidad (también llamada "operador estadístico") que es una proyección sobre el estado coherente puro y es equivalente a una función de onda, mientras que un estado mixto se describe mediante una distribución de probabilidad clásica para los estados puros que Maquillaje de la mezcla.

La coherencia cuántica a escala macroscópica conduce a nuevos fenómenos, los llamados fenómenos cuánticos macroscópicos . Por ejemplo, el láser , la superconductividad y la superfluidez son ejemplos de sistemas cuánticos altamente coherentes cuyos efectos son evidentes a escala macroscópica. La coherencia cuántica macroscópica (Orden de largo alcance fuera de la diagonal, ODLRO) ^[18] [19] para superfluidez y luz láser, está relacionada con la coherencia de primer orden (1 cuerpo) / ODLRO, mientras que la superconductividad está relacionada con la segunda coherencia de orden / ODLRO. (Para los fermiones, como los electrones, solo son posibles órdenes de coherencia / ODLRO). Para los bosones, un condensado de Bose-Einstein es un ejemplo de un sistema que muestra coherencia cuántica macroscópica a través de un estado de múltiples partículas ocupadas múltiples.

El campo electromagnético clásico exhibe coherencia cuántica macroscópica. El ejemplo más obvio es la señal portadora de radio y televisión. Satisfacen la descripción cuántica de coherencia de Glauber .

Recientemente, MB Plenio y sus colaboradores construyeron una formulación operativa de la coherencia cuántica como una teoría de recursos. Introdujeron monótonos de coherencia análogos al enredo monótonos. ^[20]Se ha demostrado que la coherencia cuántica es equivalente al enredo cuántico ^[21] en el sentido de que la coherencia se puede describir fielmente como enredo y, a la inversa, que cada medida de enredo corresponde a una medida de coherencia.