MECÁNICA CUÁNTICA

El control coherente es un método basado en la mecánica cuántica para controlar los procesos dinámicos mediante la luz . El principio básico es controlar los fenómenos de interferencia cuántica, normalmente mediante la configuración de la fase de los pulsos láser . ^[1] [2] Las ideas básicas han proliferado, encontrando una vasta aplicación en espectros de espectros de masas , procesamiento de información cuántica , enfriamiento por láser , física ultrafría y más.

Breve historia [ editar ]

La idea inicial era controlar el resultado de las reacciones químicas . Se siguieron dos enfoques: en el dominio del tiempo, un esquema de "volcado de bomba" donde el control es el retardo de tiempo entre los pulsos ^[3] [4] , y en el dominio de la frecuencia, las vías de interferencia controladas por uno y tres fotones. ^[5] Los dos métodos básicos finalmente se fusionaron con la introducción de la teoría del control óptimo . ^[6] [7]

Realizaciones experimentales pronto siguieron en el dominio del tiempo ^[8] y en el dominio de la frecuencia. ^[9]Dos desarrollos interrelacionados aceleraron el campo del control coherente: experimentalmente, fue el desarrollo de la configuración del pulso mediante un modulador de luz espacial ^[10] [11] y su empleo en el control coherente. ^[12] El segundo desarrollo fue la idea del control de retroalimentación automático ^[13] y su realización experimental. ^[14] [15]

Controlabilidad [ editar ]

El control coherente apunta a dirigir un sistema cuántico desde un estado inicial a un estado objetivo a través de un campo externo. Para determinados estados iniciales y finales (objetivo), el control coherente se denomina control de estado a estado. Una generalización es dirigir simultáneamente un conjunto arbitrario de estados puros iniciales a un conjunto arbitrario de estados finales, es decir, controlar una transformación unitaria . Dicha aplicación sienta las bases para una operación de puerta cuántica. ^{[16] [17] [18]}

La controlabilidad de un sistema cuántico cerrado ha sido abordada por Tarn y Clark. ^[19] Su teorema basado en la teoría de control establece que para un sistema de dimensión cuántica cerrada y cuántica, el sistema es completamente controlable, es decir, se puede realizar una transformación unitaria arbitraria del sistema mediante una aplicación apropiada de los controles, ^[20] si los operadores de control y el Hamiltoniano no perturbado generan el álgebra de Lie de todos los operadores de Hermitian . La capacidad de control completa implica la capacidad de control de estado a estado.

La tarea computacional de encontrar un campo de control para una transformación particular de estado a estado es difícil y se vuelve más difícil con el aumento en el tamaño del sistema. Esta tarea se encuentra en la clase de problemas de inversión de alta complejidad computacional . La tarea algorítmica de encontrar el campo que genera una transformación unitaria se escala factorialmente más difícil con el tamaño del sistema. Esto se debe a que se debe encontrar un mayor número de campos de control de estado a estado sin interferir con los otros campos de control.

Una vez impuestas las restricciones se puede degradar la controlabilidad. Por ejemplo, ¿cuál es el tiempo mínimo requerido para lograr un objetivo de control? ^[21] Esto se denomina "límite de velocidad cuántica".

Planteamiento constructivo de control coherente [ editar ]

El enfoque constructivo utiliza un conjunto de campos de control predeterminados para los cuales se puede inferir el resultado del control. El esquema de descarga de la bomba ^[3] [4] en el dominio del tiempo y el esquema de interferencia de tres a uno fotones en el dominio de la frecuencia ^[5] son ejemplos principales. Otro enfoque constructivo se basa en ideas adiabáticas. El método más bien estudiado es estimulada Raman paso adiabáticoSTIRAP ^[22] que emplea un estado auxiliar para lograr la transferencia completa de la población de estado a estado.

Una de las formas de pulso genéricas más prolíficas es un pulso chirrido por pulso con una frecuencia variable en el tiempo. ^[23] [24]

Control óptimo [ editar ]

El control óptimo aplicado en el control coherente busca el campo de control óptimo para dirigir un sistema cuántico hacia su objetivo. ^[6] [7] Para el control de estado a estado, el objetivo se define como la superposición máxima en el tiempo final T con el estado$${\ displaystyle | \ phi _ {f} \ rangle}:

$${\ displaystyle J = | \ langle \ psi (T) | \ phi _ {f} \ rangle | ^ {2}}

donde el estado inicial es $${\ displaystyle | \ phi _ {i} \ rangle}. El control dependiente del tiempo hamiltoniano tiene la forma típica:

$${\ displaystyle H (t) = H_ {0} + \ mu \ cdot \ epsilon (t)}

dónde $${\ displaystyle \ epsilon (t)}es el campo de control. Control óptimo resuelve para el campo óptimo.$${\ displaystyle \ epsilon (t)} Utilizando el cálculo de variaciones introduciendo los multiplicadores de Lagrange . Se define un nuevo objetivo funcional.

$${\ displaystyle J '= J + \ int _ {0} ^ {T} \ langle \ chi (t) | \ left (i {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - H (\ epsilon (t) ) \ right) | \ psi (t) \ rangle dt + \ lambda \ int _ {o} ^ {T} | \ epsilon (t) | ^ {2} dt}

dónde $${\ displaystyle | \ chi \ rangle}Es una función de onda como el multiplicador de Lagrange y el$${\ displaystyle \ lambda}El parámetro regula la intensidad integral. Variación de$${\ displaystyle J '} con respecto a $${\ displaystyle \ delta \ epsilon} y $${\ displaystyle \ delta \ psi}conduce a dos ecuaciones de Schrödinger acopladas Una ecuación directa para$${\ displaystyle | \ psi \ rangle} con condición inicial $${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle = | \ phi _ {i} \ rangle} y una ecuación hacia atrás para el multiplicador de Lagrange. $${\ displaystyle | \ chi \ rangle} con condición final $${\ displaystyle | \ chi (T) \ rangle = | \ phi _ {f} \ rangle}. Encontrar una solución requiere un enfoque iterativo. Se han aplicado diferentes algoritmos para obtener el campo de control, como el método Krotov. ^[25]

Se ha desarrollado un método alternativo local en el tiempo, ^[26] donde, en cada paso del tiempo, el campo se calcula para dirigir el estado al objetivo. Un método relacionado se ha llamado seguimiento ^[27]

Aplicaciones experimentales [ editar ]

Algunas aplicaciones de control coherente son

• Reacciones químicas unimoleculares y bimoleculares . ^{[28] [29] [30]}
• La fotoisomerización biológica de la retina . ^[31] [32]
• El campo de la resonancia magnética nuclear . ^[33]
• El campo de la materia ultrafría para la fotoasociación. ^[34]
• Enfriamiento por láser de los grados internos de libertad. ^[35] [36]
• Procesamiento de información cuántica. ^{[37] [38] [39]}
• La física del attosegundo . ^[40] [41]

Otro tema importante es la selectividad espectral de dos fotones de control coherente. ^[42] Estos conceptos se pueden aplicar a la espectroscopia Raman de pulso único y la microscopía. ^[43]

Como uno de los pilares para habilitar las tecnologías cuánticas, el control cuántico óptimo sigue evolucionando y expandiéndose en áreas tan diversas como la detección mejorada cuántica, la manipulación de giros individuales, fotones o átomos, la espectroscopia óptica, la fotoquímica, la resonancia magnética (espectroscopia y médica). imágenes), procesamiento de información cuántica y simulación cuántica. 

 estado coherentees el estado cuántico específico del oscilador armónico cuántico , a menudo descrito como un estado que tiene la dinámica más parecida al comportamiento oscilatorio de un oscilador armónico clásico . Fue el primer ejemplo de dinámica cuántica cuando Erwin Schrödinger lo derivó en 1926, mientras buscaba soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisfacen el principio de correspondencia . ^[1]El oscilador armónico cuántico y, por tanto, los estados coherentes surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. ^[2] Por ejemplo, un estado coherente describe el movimiento oscilante de una partícula confinada en un pozo de potencial cuadrático (para una referencia temprana, consulte, por ejemplo, el libro de texto de Schiff ^[3] ). El estado coherente describe un estado en un sistema para el cual el paquete de ondas en estado fundamental se desplaza del origen del sistema. Este estado puede relacionarse con soluciones clásicas mediante una partícula que oscila con una amplitud equivalente al desplazamiento.

Estos estados, expresados ​​como vectores propios del operador de descenso y formando una familia sobrecargada , se introdujeron en los primeros artículos de John R. Klauder , por ejemplo. ^[4] En la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y otras teorías cuánticas bosónicas de campos , los trabajos coherentes fueron introducidos por el trabajo de Roy J. Glauber en 1963 y también se conocen como estados de Glauber .

El concepto de estados coherentes se ha abstraído considerablemente; se ha convertido en un tema importante en la física matemática y en la matemática aplicada , con aplicaciones que van desde la cuantificación hasta el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes (consulte Estados coherentes en física matemática ). Por esta razón, los estados coherentes asociados al oscilador armónico cuántico a veces se denominan estados coherentes canónicos (CCS), estados coherentes estándar , estados gaussianos o estados de osciladores.

Estados coherentes en la óptica cuántica [ editar ]

Figura 1: El campo eléctrico, medido por la detección óptica homodina , en función de la fase para tres estados coherentes emitidos por un láser Nd: YAG. La cantidad de ruido cuántico en el campo eléctrico es completamente independiente de la fase. A medida que aumenta la intensidad de campo, es decir, aumenta la amplitud de oscilación α del estado coherente, el ruido cuántico o la incertidumbre son constantes en 1/2, y se vuelven cada vez menos significativos. En el límite del campo grande, el estado se convierte en una buena aproximación de una onda clásica estable y silenciosa. Los números promedio de fotones de los tres estados de abajo hacia arriba son = 4.2, 25.2, 924.5 ^[5]

Figura 2: El paquete de ondas oscilantes correspondiente al segundo estado coherente representado en la Figura 1. En cada fase del campo de luz, la distribución es un gaussiano de ancho constante.

Figura 3: Función de Wigner del estado coherente representado en la Figura 2. La distribución está centrada en la amplitud α del estado y es simétrica alrededor de este punto . Las ondulaciones se deben a errores experimentales.

En la óptica cuántica, el estado coherente se refiere a un estado del campo electromagnético cuantizado , etc. ^{[2] [6] [7]} que describe un tipo máximo de coherencia y un tipo clásico de comportamiento. Erwin Schrödinger lo derivó como un paquete de ondas gaussianas de " incertidumbre mínima " en 1926, en busca de soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisfacen el principio de correspondencia . ^[1] Es un estado mínimo de incertidumbre., con el único parámetro libre elegido para hacer que la dispersión relativa (desviación estándar en unidades adimensionales naturales) sea igual para la posición y el momento, siendo cada una igualmente pequeña con alta energía.

Además, en contraste con los estados propios de energía del sistema, la evolución temporal de un estado coherente se concentra a lo largo de las trayectorias clásicas . El oscilador armónico lineal cuántico, y por lo tanto los estados coherentes, surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. Se producen en la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y otros bosónicas teorías cuánticas de campos .

Si bien los paquetes de ondas gaussianas de incertidumbre mínima habían sido bien conocidos, no atrajeron toda la atención hasta que Roy J. Glauber , en 1963, proporcionó una descripción teórico-cuántica completa de la coherencia en el campo electromagnético. ^[8] A este respecto, la contribución concurrente de ECG Sudarshan no debe omitirse, ^[9] (sin embargo, hay una nota en el documento de Glauber que dice: "Los usos de estos estados como funciones generadoras para el$${\ displaystyle n}Sin embargo, J. Schwinger ^[10] ha realizado estados quantum . Se le pidió a Glauber que hiciera esto para proporcionar una descripción del experimento Hanbury-Brown & Twiss que generó patrones de interferencia muy amplios en la línea de base (cientos o miles de millas) que podrían usarse para determinar los diámetros estelares. Esto abrió la puerta a una comprensión mucho más completa de la coherencia. (Para más información, consulte la descripción mecánica de Quantum ).

En la óptica clásica , la luz se considera como ondas electromagnéticas que irradian de una fuente. A menudo, la luz láser coherente se considera como la luz que emiten muchas de estas fuentes que están en fase . En realidad, la imagen de un fotón en fase con otro no es válida en la teoría cuántica. La radiación láser se produce en una cavidad resonante donde la frecuencia resonante de la cavidad es la misma que la frecuencia asociada con las transiciones de electrones atómicos que proporcionan el flujo de energía hacia el campo. A medida que se acumula energía en el modo resonante, la probabilidad de emisión estimulada , solo en ese modo, aumenta. Eso es positivoBucle de retroalimentación en el que la amplitud en el modo resonante aumenta exponencialmente hasta que algunos efectos no lineales lo limitan. Como ejemplo contrario, una bombilla de luz irradia luz en un continuo de modos, y no hay nada que seleccione un modo sobre el otro. El proceso de emisión es altamente aleatorio en el espacio y el tiempo (ver luz térmica ). En un láser , sin embargo, la luz se emite en un modo resonante, y ese modo es altamente coherente. Así, la luz láser se idealiza como un estado coherente. (Clásicamente describimos tal estado por un campo eléctrico que oscila como una onda estable. Ver Fig.1)

Los estados propios de energía del oscilador armónico lineal (p. Ej., Masas en resortes, vibraciones de red en un sólido, movimientos vibratorios de núcleos en moléculas, o oscilaciones en el campo electromagnético) son estados cuánticos de número fijo. El estado Fock (por ejemplo, un solo fotón) es el estado más parecido a una partícula; tiene un número fijo de partículas, y la fase es indeterminada. Un estado coherente distribuye su incertidumbre mecánico-cuántica de manera equitativa entre las coordenadas conjugadas canónicamente , la posición y el momento, y la incertidumbre relativa en la fase [definida heurísticamente ] y la amplitud son aproximadamente iguales, y pequeñas en amplitud alta.

Quantum definición mecánica [ editar ]

Matemáticamente, un estado coherente. $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}se define como el estado propio (único) del operador de aniquilación â asociado al valor propio α . Formalmente, esto se lee,

$${\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle ~.}

Dado que â no es hermitiano , α es, en general, un número complejo. Escritura$${\ displaystyle \ alpha = | \ alpha | e ^ {i \ theta},}| α | y θ se llaman la amplitud y fase del estado$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}.

El estado $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}Se denomina estado coherente canónico en la literatura, ya que hay muchos otros tipos de estados coherentes, como se puede ver en el artículo complementario Estados coherentes en la física matemática .

Físicamente, esta fórmula significa que un estado coherente permanece sin cambios por la aniquilación de la excitación de campo o, digamos, una partícula. Un estado propio del operador de aniquilación tiene una distribución numérica de Poissonian cuando se expresa en una base de estados propios de energía, como se muestra a continuación. Una distribución de Poisson es una condición necesaria y suficiente para que todas las detecciones sean estadísticamente independientes. Compare esto con un estado de partícula única ($${\ displaystyle | 1 \ rangle} Estado Fock ): una vez que se detecta una partícula, hay una probabilidad cero de detectar otra.

La derivación de esto hará uso de operadores adimensionales , X y P , normalmente denominados cuadraturas de campo en la óptica cuántica. (Consulte No dimensionalización .) Estos operadores están relacionados con los operadores de posición y de momento de una masa m en un resorte con una constante k ,

$${\ displaystyle {P} = {\ sqrt {\ frac {1} {2 \ hbar m \ omega}}} \ {\ hat {p}} {\ text {,}} \ quad {X} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}}} \ {\ hat {x}} {\ text {,}} \ quad \ quad {\ text {where}} \ omega \ equiv {\ sqrt {k / m}} ~.}

Figura 4: La probabilidad de detectar n fotones, la distribución del número de fotones, del estado coherente en la Figura 3. Como es necesario para una distribución de Poissonian, el número medio de fotones es igual a la varianza de la distribución de números de fotones. Las barras se refieren a la teoría, los puntos a los valores experimentales.

Para un campo óptico ,

$${\ displaystyle ~ E _ {\ rm {R}} = \ left ({\ frac {\ hbar \ omega} {2 \ epsilon _ {0} V}} \ right) ^ {1/2} \! \! \ ! \ cos (\ theta) X \ qquad {\ text {y}} \ qquad ~ E _ {\ rm {I}} = \ left ({\ frac {\ hbar \ omega} {2 \ epsilon _ {0} V }} \ right) ^ {1/2} \! \! \! \ sin (\ theta) X ~}

son los componentes reales e imaginarios del modo del campo eléctrico dentro de una cavidad de volumen $${\ displaystyle V}.

Con estos operadores (adimensionales), el hamiltoniano de cualquiera de los sistemas se convierte en

$${\ displaystyle {H} = \ hbar \ omega \ left ({P} ^ {2} + {X} ^ {2} \ right) {\ text {,}} \ qquad {\ text {with}} \ qquad \ left [{X}, {P} \ right] \ equiv {XP} - {PX} = {\ frac {i} {2}} \, {I}.}

Erwin Schrödinger estaba buscando los estados más clásicos cuando introdujo los paquetes de ondas gaussianos de mínima incertidumbre. El estado cuántico del oscilador armónico que minimiza la relación de incertidumbre con la incertidumbre igualmente distribuida entre X y P satisface la ecuación

$${\ displaystyle \ left ({X} - \ langle {X} \ rangle \ right) \, | \ alpha \ rangle = -i \ left ({P} - \ langle {P} \ rangle \ right) \, | \ alpha \ rangle {\ text {,}}}

o equivalente,

$${\ displaystyle \ left ({X} + i {P} \ right) \, \ left | \ alpha \ right \ rangle = \ left \ langle {X} + i {P} \ right \ rangle \, \ left | \ alpha \ right \ rangle ~,}

y por lo tanto

$${\ displaystyle \ langle \ alpha \! \ mid \ left ({X} - \ langle X \ rangle \ right) ^ {2} + \ left ({P} - \ langle P \ rangle \ right) ^ {2} \ mid \! \ alpha \ rangle = 1/2 ~.}

Por lo tanto, dado (∆ X −∆ P ) ² ≥ 0 , Schrödinger encontró que los estados de incertidumbre mínimos para el oscilador armónico lineal son los estados propios de ( X + iP ) .

Dado que â es ( X + iP ) , esto es reconocible como un estado coherente en el sentido de la definición anterior.

Utilizando la notación para estados de fotomontaje múltiple, Glauber caracterizó el estado de coherencia completa para que todos los órdenes en el campo electromagnético fueran el estado propio del operador de aniquilación, formalmente, en un sentido matemático, el mismo estado que encontró Schrödinger. El nombre de estado coherente se apoderó del trabajo de Glauber.

Si la incertidumbre se minimiza, pero no necesariamente se equilibra por igual entre X y P , el estado se denomina estado coherente comprimido .

La ubicación del estado coherente en el plano complejo ( espacio de fase ) se centra en la posición y el momento de un oscilador clásico de la fase θ y la amplitud | α | dado por el valor propio α (o el mismo valor de campo eléctrico complejo para una onda electromagnética). Como se muestra en la Figura 5, la incertidumbre, igualmente extenderse en todas las direcciones, está representado por un disco con un diámetro de ¹ / ₂ . A medida que varía la fase, el estado coherente gira alrededor del origen y el disco no se distorsiona ni se propaga. Este es el estado cuántico más similar a un punto en el espacio de fase.

Figura 5: Gráfico de espacio de fase de un estado coherente. Esto demuestra que la incertidumbre en un estado coherente se distribuye por igual en todas las direcciones. Los ejes horizontal y vertical son las cuadraturas X y P del campo, respectivamente (ver texto). Los puntos rojos en el eje x trazan los límites del ruido cuántico en la Figura 1. Para más detalles, vea la figura correspondiente de la formulación del espacio de fase .

Dado que la incertidumbre (y por lo tanto el ruido de medición) se mantiene constante a ¹ / ₂ como la amplitud de los aumentos de oscilación, el estado se comporta cada vez más como una onda sinusoidal, como se muestra en la Figura 1. Además, dado que el estado de vacío$${\ displaystyle | 0 \ rangle}es solo el estado coherente con α = 0, todos los estados coherentes tienen la misma incertidumbre que el vacío. Por lo tanto, uno puede interpretar el ruido cuántico de un estado coherente como debido a las fluctuaciones del vacío.

La notación $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}no se refiere a un estado de Fock . Por ejemplo, cuando α = 1, uno no debe confundir$${\ displaystyle | 1 \ rangle} para el estado Fock de fotón único, que también se denota $${\ displaystyle | 1 \ rangle}En su propia notación. La expresion$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}con α = 1 representa una distribución de Poisson de estados numéricos$${\ displaystyle | n \ rangle} con un número medio de fotones de unidad.

La solución formal de la ecuación de valor propio es el estado de vacío desplazado a una ubicación α en el espacio de fase, es decir, se obtiene al permitir que el operador de desplazamiento unitario D (α) opere en el vacío,

$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {\ alpha {\ hat {a}} ^ {\ dagger} - \ alpha ^ {*} {\ hat {a}}} | 0 \ rangle = D (\ alpha ) | 0 \ rangle},

donde â = X + iP y â ^† = X-iP .

Esto se puede ver fácilmente, como virtualmente todos los resultados que involucran estados coherentes, utilizando la representación del estado coherente en la base de los estados Fock,

$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ over 2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ alpha ^ {n} \ over { \ sqrt {n!}}} | n \ rangle = e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ over 2}} e ^ {\ alpha {\ hat {a}} ^ {\ dagger}} | 0 \ rangle ~,}

donde | n〉 son vectores propios de energía (número) del hamiltoniano

$${\ displaystyle H = \ hbar \ omega ({\ hat {a}} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} + {\ frac {1} {2}}) ~.}

Para la correspondiente distribución de Poissonian , la probabilidad de detectar n fotones es

$${\ displaystyle P (n) = | \ langle n | \ alpha \ rangle | ^ {2} = e ^ {- \ langle n \ rangle} {\ frac {\ langle n \ rangle ^ {n}} {n! }} ~.}

Del mismo modo, el número promedio de fotones en un estado coherente es

$${\ displaystyle ~ \ langle n \ rangle = \ langle {\ hat {a}} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} \ rangle = | \ alpha | ^ {2} ~}

y la varianza es

$${\ displaystyle ~ (\ Delta n) ^ {2} = {\ rm {Var}} \ left ({\ hat {a}} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} \ right) = | \ alpha | ^ {2} ~}.

Es decir, la desviación estándar del número detectado va como la raíz cuadrada del número detectado. Entonces, en el límite de α grande , estas estadísticas de detección son equivalentes a las de una onda estable clásica.

Estos resultados se aplican a los resultados de detección en un solo detector y, por lo tanto, se relacionan con la coherencia de primer orden (ver grado de coherencia ). Sin embargo, para las mediciones que correlacionan detecciones en detectores múltiples, está implicada una coherencia de orden superior (por ejemplo, correlaciones de intensidad, coherencia de segundo orden, en dos detectores). La definición de Glauber de la coherencia cuántica implica funciones de correlación de orden n (coherencia de orden n ) para todo n . El estado coherente perfecto tiene todos los n órdenes de correlación iguales a 1 (coherente). Es perfectamente coherente con todos los pedidos.

Roy J. GlauberEl trabajo fue impulsado por los resultados de Hanbury-Brown y Twiss que produjeron patrones de interferencia de primer orden de largo alcance (cientos o miles de millas) mediante el uso de fluctuaciones de intensidad (falta de coherencia de segundo orden), con filtros de banda estrecha ( Coherencia parcial de primer orden) en cada detector. (Uno puede imaginar, durante duraciones muy cortas, un patrón de interferencia casi instantáneo de los dos detectores, debido a los filtros de banda estrecha, que baila alrededor al azar debido a la diferencia de fase relativa cambiante. Con un contador de coincidencia, el patrón de interferencia de baile ser más fuerte en momentos de mayor intensidad [común a ambos haces], y ese patrón sería más fuerte que el ruido de fondo.) Casi todas las ópticas se preocuparon por la coherencia de primer orden. Los resultados de Hanbury-Brown y Twiss hicieron que Glauber observara una coherencia de orden superior, y presentó una descripción teórica cuántica y completa de la coherencia para todos los órdenes en el campo electromagnético (y una descripción teórica cuántica de la señal más ruido) . Acuñó el términoEstado coherente y demostró que se producen cuando una corriente eléctrica clásica interactúa con el campo electromagnético.

En α ≫ 1 , de la Figura 5, la geometría simple da Δθ | α | = 1/2. A partir de esto, parece que hay una compensación entre la incertidumbre numérica y la incertidumbre de fase, Δθ Δn = 1/2, que a veces se interpreta como una relación de incertidumbre de fase numérica; pero esto no es una relación formal de incertidumbre estricta: no hay un operador de fase definido de forma única en la mecánica cuántica. ^{[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]}

La función de onda de un estado coherente [ editar ]

Evolución temporal de la distribución de probabilidad con fase cuántica (color) de un estado coherente con α = 3.

Para encontrar la función de onda del estado coherente, la incertidumbre mínima del paquete de ondas de Schrödinger, es más fácil comenzar con la imagen de Heisenberg del oscilador armónico cuántico para el estado coherente$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}. Tenga en cuenta que

$${\ displaystyle ~ a (t) | \ alpha \ rangle = e ^ {- i \ omega t} a (0) | \ alpha \ rangle}

El estado coherente es un estado propio del operador de aniquilación en la imagen de Heisenberg .

Es fácil ver que, en la imagen de Schrödinger , el mismo valor propio

$${\ displaystyle ~ \ alpha (t) = e ^ {- i \ omega t} \ alpha (0) ~}

ocurre,

$${\ displaystyle ~ a | \ alpha (t) \ rangle = \ alpha (t) | \ alpha (t) \ rangle} .

En las representaciones de coordenadas resultantes de operar con 〈x |, esto equivale a la ecuación diferencial,

$${\ displaystyle ~ {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}}} \ left (x + {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {\ partial} {\ partial x }} \ derecha) \ psi ^ {\ alpha} (x, t) = \ alpha (t) \ psi ^ {\ alpha} (x, t) ~,}

que se resuelve fácilmente para ceder

$${\ displaystyle ~ \ psi ^ {(\ alpha)} (x, t) = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {1/4} e ^ {- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} \ left (x - {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ Re [\ alpha (t)] \ right) ^ {2} + i {\ sqrt {\ frac {2m \ omega} {\ hbar}}} \ Im [\ alpha (t)] x + i \ theta (t)} ~,}

donde θ (t) es una fase aún no determinada, que debe solucionarse exigiendo que la función de onda satisfaga la ecuación de Schrödinger.

Resulta que

$${\ displaystyle ~ \ theta (t) = - {\ frac {\ omega t} {2}} + {\ frac {| \ alpha (0) | ^ {2} \ sin (2 \ omega t-2 \ sigma )} {2}} ~, {\ text {donde}} \ qquad \ alpha (0) \ equiv | \ alpha (0) | \ exp (i \ sigma) ~,}

de modo que σ es la fase inicial del valor propio.

La posición media y el impulso de este "paquete de ondas de Schrödinger mínimo" ψ ^(α) están, por lo tanto, oscilando como un sistema clásico , 

$${\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} (t) \ rangle = {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ Re [\ alpha (t)] = | \ alpha ( 0) | {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ cos (\ sigma - \ omega t) ~,}

$${\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} (t) \ rangle = {\ sqrt {2m \ hbar \ omega}} \ Im [\ alpha (t)] = | \ alpha (0) | {\ sqrt { 2m \ hbar \ omega}} \ sin (\ sigma - \ omega t) ~.}

La densidad de probabilidad sigue siendo un gaussiano centrado en esta media oscilante,

$${\ displaystyle | \ psi ^ {(\ alpha)} (x, t) | ^ {2} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}}} e ^ {- {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ left (x- \ langle {\ hat {x}} (t) \ rangle \ right) ^ {2}}.}

Características matemáticas de los estados canónicos coherentes [ editar ]

Los estados canónicos coherentes descritos hasta ahora tienen tres propiedades que son mutuamente equivalentes, ya que cada uno de ellos especifica completamente el estado $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}a saber

1. Son vectores propios del operador de aniquilación :   $${\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle \,}.
2. Se obtienen del vacío mediante la aplicación de un operador de desplazamiento unitario :  $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {\ alpha {\ hat {a}} ^ {\ dagger} - \ alpha ^ {*} {\ hat {a}}} | 0 \ rangle = D (\ alpha ) | 0 \ rangle \,} .
3. Son estados de incertidumbre mínima (equilibrada):   $${\ displaystyle \ Delta X = \ Delta P = 1 / {\ sqrt {2}} \,} .

Cada una de estas propiedades puede llevar a generalizaciones, en general diferentes entre sí (consulte el artículo " Estados coherentes en la física matemática " para conocer algunas de ellas). Hacemos hincapié en que los estados coherentes tienen características matemáticas que son muy diferentes de las de un estado Fock ; por ejemplo, dos estados coherentes diferentes no son ortogonales,

$${\ displaystyle \ langle \ beta | \ alpha \ rangle = e ^ {- {1 \ sobre 2} (| \ beta | ^ {2} + | \ alpha | ^ {2} -2 \ beta ^ {*} \ alpha)} \ neq \ delta (\ alpha - \ beta)}

(vinculado al hecho de que son vectores propios del operador de aniquilación no autoadjuntivo â ).

Por lo tanto, si el oscilador está en el estado cuántico $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle} También es con probabilidad distinta de cero en el otro estado cuántico. $${\ displaystyle | \ beta \ rangle} (pero cuanto más separados están los estados en el espacio de fase, menor es la probabilidad). Sin embargo, como obedecen a una relación de cierre, cualquier estado puede descomponerse en el conjunto de estados coherentes. Por lo tanto, forman una base demasiado completa , en la que uno puede descomponer diagonalmente cualquier estado. Esta es la premisa para la representación Sudarshan-Glauber P .

Esta relación de cierre se puede expresar mediante la resolución del operador de identidad I en el espacio vectorial de estados cuánticos,

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} \ int | \ alpha \ rangle \ langle \ alpha | d ^ {2} \ alpha = I \ qquad d ^ {2} \ alpha \ equiv d \ Re ( \ alpha) \, d \ Im (\ alpha) ~.}

Esta resolución de la identidad está íntimamente conectada a la transformada de Segal-Bargmann .

Otra peculiaridad es que $${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}} no tiene eigenket (mientras que â no tiene eigenbra). La siguiente igualdad es el sustituto formal más cercano, y resulta útil para cálculos técnicos,

$${\ displaystyle a ^ {\ dagger} | \ alpha \ rangle = \ left ({\ partial \ over \ partial \ alpha} + \ alpha ^ {*} + {\ alpha ^ {*} \ over \ alpha} {\ parcial \ sobre \ parcial \ alpha ^ {*}} \ derecha) | \ alpha \ rangle ~.}

Este último estado se conoce como "estado de Agarwal" o estado coherente de fotón agregado y se denota como $${\ displaystyle | \ alpha, 1 \ rangle.}

Los estados de Agarwal normalizados de orden n pueden expresarse como $${\ displaystyle | \ alpha, n \ rangle = [{{\ hat {a}} ^ {\ dagger}]} ^ {n} | \ alpha \ rangle / \ | [{{\ hat {a}} ^ { \ dagger}]} ^ {n} | \ alpha \ rangle \ | ~.}^[19]

La resolución anterior de la identidad puede derivarse (restringiéndose a una dimensión espacial por simplicidad) tomando elementos de matriz entre estados propios de posición, $${\ displaystyle \ langle x | \ cdots | y \ rangle}, a ambos lados de la ecuación. En el lado derecho, esto da inmediatamente δ (xy) . En el lado izquierdo, lo mismo se obtiene insertando 

$${\ displaystyle \ psi ^ {\ alpha} (x, t) = \ langle x | \ alpha (t) \ rangle}

de la sección anterior (el tiempo es arbitrario), luego se integra sobre $${\ displaystyle \ Im (\ alpha)}utilizando la representación de Fourier de la función delta , y luego realizando una integral gaussiana sobre$${\ displaystyle \ Re (\ alpha)}.

En particular, el estado del paquete de ondas de Schroedinger gaussiano se desprende del valor explícito

$${\ displaystyle \ langle x | \ alpha \ rangle = {\ frac {e ^ {- {\ frac {(x - {\ sqrt {2}} \ Re (\ alpha)) ^ {2}} {2}} + ix {\ sqrt {2}} \ Im (\ alpha)}} {\ pi ^ {1/4}}} ~.}

La resolución de la identidad también puede expresarse en términos de la posición de las partículas y el momento. Para cada dimensión de coordenadas (utilizando una notación adaptada con un nuevo significado para$${\ displaystyle x})

$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle \ equiv | x, p \ rangle \ qquad \ qquad x \ equiv \ langle {\ hat {x}} \ rangle \ qquad \ qquad p \ equiv \ langle {\ hat {p}} \ rangle}

La relación de cierre de estados coherentes lee.

$${\ displaystyle I = \ int | x, p \ rangle \, \ langle x, p | ~ {\ frac {\ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} p} {2 \ pi \ hbar}} ~ .}

Esto se puede insertar en cualquier valor de expectativa mecánico-cuántica, relacionándolo con alguna integral de fase-espacio casi clásica y explicando, en particular, el origen de los factores de normalización. $${\ displaystyle (2 \ pi \ hbar) ^ {- 1}}Para las funciones de partición clásicas , consistente con la mecánica cuántica.

Además de ser un estado propio exacto de los operadores de aniquilación, un estado coherente es un estado propio aproximado de la posición de las partículas y el momento. Restricción a una dimensión de nuevo,

$${\ displaystyle {\ hat {x}} | x, p \ rangle \ approx x | x, p \ rangle \ qquad \ qquad {\ hat {p}} | x, p \ rangle \ approx p | x, p \ sonar

El error en estas aproximaciones se mide por las incertidumbres de la posición y el momento,

$${\ displaystyle \ langle x, p | \ left ({\ hat {x}} - x \ right) ^ {2} | x, p \ rangle = \ left (\ Delta x \ right) ^ {2} \ qquad \ qquad \ langle x, p | \ left ({\ hat {p}} - p \ right) ^ {2} | x, p \ rangle = \ left (\ Delta p \ right) ^ {2} ~.}

Estado coherente térmica [ editar ]

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Se produce un estado térmico coherente de modo único ^[20] desplazando un estado térmico mixto en el espacio de fase , en analogía directa con el desplazamiento del estado de vacío con el fin de generar un estado coherente. Se lee la matriz de densidad de un estado térmico coherente en la representación del operador.

$${\ displaystyle \ rho (\ alpha, \ beta) = {\ frac {1} {Z}} D (\ alpha) e ^ {- \ hbar \ beta \ omega a ^ {\ dagger} a} D ^ {\ daga} (\ alpha),}

dónde $${\ displaystyle D (\ alpha)}Es el operador de desplazamiento el que genera el estado coherente.$${\ displaystyle D (\ alpha) | 0 \ rangle = | \ alpha \ rangle} con amplitud compleja $${\ displaystyle \ alpha}y $${\ displaystyle \ beta = 1 / (k_ {B} T)}. La función de partición es igual a

$${\ displaystyle Z = {\ text {tr}} \ left \ {\ displaystyle e ^ {- \ hbar \ beta \ omega a ^ {\ dagger} a} \ right \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ beta \ hbar \ omega} = {\ frac {1} {1-e ^ {- \ hbar \ beta \ omega}}}.}

Usando la expansión del operador unitario en los estados de Fock ,$${\ displaystyle I \ equiv \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | n \ rangle \ langle n |}, la definición del operador de densidad se puede expresar en la siguiente forma

$${\ displaystyle \ rho (\ alpha, \ beta) = {\ frac {1} {Z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ hbar \ beta \ omega} D ( \ alpha) | n \ rangle \ langle n | D ^ {\ dagger} (\ alpha) = {\ frac {1} {Z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ hbar \ beta \ omega} | \ alpha, n \ rangle \ langle \ alpha, n |,}

dónde $${\ displaystyle | \ alpha, n \ rangle}representa el estado de Fock desplazado . Observamos que si la temperatura baja a cero tenemos

$${\ displaystyle \ lim _ {\ beta \ to \ infty} \ rho (\ alpha, \ beta) = \ lim _ {\ beta \ to \ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {-n \ hbar \ beta \ omega} (1-e ^ {- \ hbar \ beta \ omega}) | \ alpha, n \ rangle \ langle \ alpha, n | = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} \ delta _ {n, 0} | \ alpha, n \ rangle \ langle \ alpha, n | = | \ alpha, 0 \ rangle \ langle \ alpha, 0 |,}

que es la matriz de densidad para un estado coherente. El número promedio de fotones en ese estado se puede calcular de la siguiente manera

$${\ displaystyle \ langle n \ rangle = {\ text {Tr}} \ {\ rho a ^ {\ dagger} a \} = {\ frac {1} {Z}} {\ text {Tr}} \ {D ^ {\ dagger} (\ alpha) a ^ {\ dagger} D ({\ alpha}) D ^ {\ dagger} (\ alpha) aD (\ alpha) e ^ {- \ beta \ hbar \ omega a ^ { \ dagger} a} \} = {\ frac {1} {Z}} {\ text {Tr}} \ {(a ^ {\ dagger} + \ alpha ^ {*}) (a + \ alpha) e ^ { - \ beta \ hbar \ omega a ^ {\ dagger} a} \} =}

$${\ displaystyle = | \ alpha | ^ {2} {\ frac {1} {Z}} {\ text {Tr}} \ {e ^ {- \ beta \ hbar \ omega a ^ {\ dagger} a} \ } + {\ frac {1} {Z}} {\ text {Tr}} \ {a ^ {\ dagger} ae ^ {- \ beta \ hbar \ omega a ^ {\ dagger} a} \} = | \ alpha | ^ {2} + {\ frac {1} {Z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} ne ^ {- n \ beta \ hbar \ omega},}

donde para el último término podemos escribir

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} ne ^ {- n \ beta \ hbar \ omega} = - {\ frac {\ partial} {\ partial (\ beta \ hbar \ omega)}} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ beta \ hbar \ omega} \ right) = {\ frac {e ^ {- \ beta \ hbar \ omega}} {( 1-e ^ {- \ beta \ hbar \ omega}) ^ {2}}}.}

Como resultado, encontramos

$${\ displaystyle \ langle n \ rangle = | \ alpha | ^ {2} + \ langle n \ rangle _ {\ text {th}},}

dónde $${\ displaystyle \ langle n \ rangle _ {\ text {th}}}es el promedio del número de fotones calculado con respecto al estado térmico. Aquí hemos definido, para facilidad de notación,

$${\ displaystyle \ langle O \ rangle _ {\ text {th}} = {\ frac {1} {Z}} {\ text {tr}} \ {e ^ {- \ beta \ hbar \ omega a ^ {\ daga} a} O \},}

y escribimos explícitamente

$${\ displaystyle \ langle n \ rangle _ {\ text {th}} = {\ frac {1} {e ^ {\ beta \ hbar \ omega} -1}}.}

En el limite $${\ displaystyle \ beta \ to \ infty} obtenemos $${\ displaystyle \ langle n \ rangle = | \ alpha | ^ {2}}, que es consistente con la expresión para el operador de matriz de densidad a temperatura cero. Asimismo, la varianza del número de fotones puede ser evaluada como

$${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = \ langle n ^ {2} \ rangle - \ langle n \ rangle ^ {2} = \ sigma _ {\ text {th}} ^ {2} + | \ alpha | ^ {2} \ left (1 + 2 \ langle a ^ {\ dagger} a \ rangle _ {\ text {th}} \ right),}

con $${\ displaystyle \ sigma _ {\ text {th}} ^ {2} = \ langle n ^ {2} \ rangle _ {\ text {th}} - \ langle n \ rangle _ {\ text {th}} ^ {2}}. Deducimos que el segundo momento no se puede desacoplar a los momentos de distribución térmica y cuántica, a diferencia del valor promedio (primer momento). En ese sentido, las estadísticas de fotones del estado térmico desplazado no se describen por la suma de las estadísticas de Poisson y las estadísticas de Boltzmann . La distribución del estado térmico inicial en el espacio de fase se amplía como resultado del desplazamiento coherente.

Estados coherentes de los condensados ​​de Bose-Einstein [ editar ]

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• Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es una colección de átomos de bosón que se encuentran todos en el mismo estado cuántico. En un sistema termodinámico, el estado fundamental se vuelve macroscópicamente ocupado por debajo de una temperatura crítica, aproximadamente cuando la longitud de onda térmica de Broglie es más larga que la separación interatómica. Se cree que la superfluidez en helio-4 líquido está asociada con la condensación de Bose-Einstein en un gas ideal. Pero ⁴ tiene interacciones fuertes, y el factor de estructura líquida (una estadística de segundo orden) juega un papel importante. El uso de un estado coherente para representar el componente superfluido de ⁴ He proporcionó una buena estimación de las fracciones de condensado / no condensado en superfluidez, consistente con los resultados de la dispersión lenta de neutrones. ^{[21][22] [23]} La mayoría de las propiedades superfluidas especiales se derivan directamente del uso de un estado coherente para representar el componente superfluido, que actúa como un estado de un solo cuerpo macroscópicamente ocupado con una amplitud y fase bien definidas en todo el volumen. (El componente superfluido de ⁴ He va de cero a la temperatura de transición a 100% a cero absoluto. Pero la fracción de condensado es aproximadamente 6% ^[24] a temperatura cero absoluta, T = 0K.)
• Al inicio del estudio de la superfluidez, Penrose y Onsager propusieron una métrica ("parámetro de orden") para la superfluidez. ^[25] Fue representado por un componente factorizado macroscópico (un valor propio macroscópico) en la matriz de densidad reducida de primer orden. Más tarde, CN Yang ^[26] propuso una medida más generalizada de la coherencia cuántica macroscópica, llamada "Orden de largo alcance fuera de la diagonal" (ODLRO), ^[27]que incluía tanto el sistema fermión como el bosón. ODLRO existe siempre que haya un componente factorizado macroscópicamente grande (valor propio) en una matriz de densidad reducida de cualquier orden. La superfluidez corresponde a un gran componente factorizado en la matriz de densidad reducida de primer orden. (Y, todas las matrices de densidad reducida de orden superior se comportan de manera similar). La superconductividad implica un gran componente factorizado en la matriz de densidad reducida de 2º orden (" par de electrones de Cooper ").
• Las matrices de densidad reducida utilizadas para describir la coherencia cuántica macroscópica en superfluidos son formalmente iguales a las funciones de correlación utilizadas para describir los órdenes de coherencia en la radiación. Ambos son ejemplos de coherencia cuántica macroscópica. El componente coherente macroscópicamente grande, más el ruido, en el campo electromagnético, como lo indica la descripción de Glauber de la señal más el ruido, es formalmente igual al componente superfluido macroscópicamente más el componente fluido normal en el modelo de superfluidez de dos fluidos.
• La radiación electromagnética de todos los días, como las ondas de radio y televisión, también es un ejemplo de estados casi coherentes (coherencia cuántica macroscópica). Eso debería "dar una pausa" con respecto a la demarcación convencional entre lo cuántico y lo clásico.
• La coherencia en la superfluidez no debe atribuirse a ningún subconjunto de átomos de helio; es una clase de fenómenos colectivos en los que están involucrados todos los átomos (similar al emparejamiento de Cooper en la superconductividad, como se indica en la siguiente sección).

Estados electrónicos coherentes en la superconductividad [ editar ]

• Los electrones son fermiones, pero cuando se emparejan en pares de Cooper , actúan como bosones, y así pueden formar colectivamente un estado coherente a bajas temperaturas. Este emparejamiento no es realmente entre electrones, sino en los estados disponibles para los electrones que se mueven dentro y fuera de esos estados. ^[28] El emparejamiento de Cooper se refiere al primer modelo de superconductividad. ^[29]
• Estos estados coherentes son parte de la explicación de efectos como el efecto Quantum Hall en semiconductores superconductores de baja temperatura .

Generalizaciones [ editar ]

• Según Gilmore y Perelomov, quienes lo mostraron de forma independiente, la construcción de estados coherentes puede verse como un problema en la teoría de grupos , y por lo tanto los estados coherentes pueden asociarse a grupos diferentes del grupo de Heisenberg , lo que conduce a los estados coherentes canónicos discutidos anteriormente . ^{[30] [31] [32] [33]} Además, estos estados coherentes pueden generalizarse a grupos cuánticos . Estos temas, con referencias al trabajo original, se discuten en detalle en Estados coherentes en la física matemática .

• En la teoría de campos cuánticos y la teoría de cuerdas , una generalización de los estados coherentes al caso en el que se utilizan infinitos grados de libertad para definir un estado de vacío con un valor de expectativa de vacío diferente del vacío original.
• En los sistemas cuánticos unidimensionales de muchos cuerpos con grados de libertad fermiónicos, los estados excitados de baja energía se pueden aproximar como estados coherentes de un operador de campo bosónico que crea excitaciones de agujeros de partículas. Este enfoque se llama bosonización .
• Los estados coherentes gaussianos de la mecánica cuántica no relativista pueden generalizarse a los estados coherentes relativistas de las partículas de Klein-Gordon y Dirac. ^{[34] [35] [36]}
• También han aparecido estados coherentes en trabajos sobre la gravedad cuántica de bucles o para la construcción de la relatividad cuántica canónica (semi) clásica.