MECÁNICA CUÁNTICA

En la física cuántica , la división del nivel de energía de un sistema cuántico se produce cuando un nivel de energía degenerada de dos o más estados se divide porque los valores propios del hamiltonianocorrespondientes se vuelven diferentes. El resultado es varios niveles de energíadistintos en lugar del nivel degenerado anterior ( estadomúltiple ). Esto puede ocurrir debido a campos externos , túneles cuánticos entre estados u otros efectos. El término se usa más comúnmente en referencia a la configuración electrónica en átomos o moléculas .

El caso más simple de división de niveles es un sistema cuántico con dos estados cuyo Hamiltoniano no perturbado es un operador diagonal : Ĥ ₀ = E ₀  I , donde I es la matriz de identidad de 2 × 2 . Estados propios y valores propios (niveles de energía) de un Hamiltoniano perturbado

{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ varepsilon} = {\ hat {H}} _ {0} + \ varepsilon \ sigma _ {3} = {\ begin {pmatrix} E_ {0} + \ varepsilon & 0 \\ 0 & E_ {0} - \ varepsilon \ end {pmatrix}}}

estarán:

| 0⟩ : el nivel E ₀ + ε  , y

| 1⟩ : el nivel E ₀ - ε  ,

por lo que este  valor propio de E ₀ degenerado se divide en dos cuando ε ≠ 0 . Sin embargo, si un Hamiltoniano perturbado no es diagonal para esta base de estados cuánticos {| 0⟩, | 1⟩}  , entonces los estados propios del Hamiltoniano son combinaciones lineales de estos dos estados.

Para una implementación física, como una partícula de espín y media cargada en un campo magnético externo , se requiere que el eje Z del sistema de coordenadas sea colineal con el campo magnético para obtener un Hamiltoniano en la forma anterior (la matriz σ _{3 de} Pauli corresponde al eje z ). Estos estados de base, denominados spin- up y spin-down , son por lo tanto vectores propios del Hamiltoniano perturbado, por lo que esta división de niveles es fácil de demostrar matemática e intuitivamente evidente.  

Pero en los casos en que la elección de la base de estado no está determinada por un sistema de coordenadas, y el Hamiltoniano perturbado no es diagonal, una división de nivel puede parecer contraintuitiva, como en los ejemplos de química a continuación.

Ejemplos [ editar ]

En la física atómica :

• El efecto Zeeman  : la división de niveles electrónicos en un átomo debido a un campo magnético externo .
• El efecto Stark  : división debido a un campo eléctrico externo .

En química física :

• El efecto Jahn-Teller  : división de los niveles electrónicos en una molécula porque al romper la simetría disminuye la energía cuando los orbitales degenerados están parcialmente llenos.
• La resonancia (química) conduce a la creación de estados de electrones deslocalizados . ( Feynman 1965 , capítulo 10, § 4)
• La inversión de nitrógeno conduce a la división de niveles en amoníaco ( Feynman 1965 , capítulo 8, § 6) , que se usa en un maser de amoníaco .

División de niveles de energía atómica en rubidio.

En mecánica cuántica , la energía se define en términos del operador de energía , actuando sobre la función de onda del sistema como consecuencia de la simetría de la traducción del tiempo .

Definición [ editar ]

Está dada por: ^[1]

$${\ displaystyle {\ hat {E}} = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \, \!}

Actúa sobre la función de onda (la amplitud de probabilidad para diferentes configuraciones del sistema)

$${\ displaystyle \ Psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \, \!}

Aplicación [ editar ]

El operador de energía corresponde a la energía completa de un sistema. La ecuación de Schrödinger describe la dependencia del espacio y el tiempo de la función de onda de cambio lento (no relativista ) de un sistema cuántico. La solución de esta ecuación para un sistema unido es discreta (un conjunto de estados permitidos, cada uno caracterizado por un nivel de energía ) que da como resultado el concepto de quanta .

Ecuación de Schrödinger [ editar ]

Usando el operador de energía para la ecuación de Schrödinger :

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t ) \, \!}

Puede ser obtenido:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ hat {E}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t ) \\\ end {alineado}} \, \!}

donde i es la unidad imaginaria , ħ es la constante de Planck reducida , y$${\ displaystyle {\ hat {H}}}Es el operador hamiltoniano .

En un estado estacionario, además, se produce la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & E \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) \\\ end {alineado }} \, \!}

donde E es un valor propio de energía.

Klein-Gordon ecuación [ editar ]

La relación relativista masa-energía :

$${\ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2} \, \!}

donde, nuevamente, E = energía total, p = total 3 momentum de la partícula, m = masa invariante y c = velocidad de la luz , puede producir de manera similar la ecuación de Klein-Gordon :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ hat {E}} ^ {2} = c ^ {2} {\ hat {p}} ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2} \\ & {\ hat {E}} ^ {2} \ Psi = c ^ {2} {\ hat {p}} ^ {2} \ Psi + (mc ^ {2}) ^ {2} \ Psi \ \\ end {alineado}} \, \!}

es decir:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Psi} {\ partial t ^ {2}}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} \ Psi - \ left ({\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ Psi \, \!}

Derivación [ editar ]

El operador de energía se deriva fácilmente del uso de la función de onda de partículas libres ( solución de onda plana a la ecuación de Schrödinger). ^[2] Comenzando en una dimensión la función de onda es

$${\ displaystyle \ Psi = e ^ {i (kx- \ omega t)} \, \!}

El tiempo derivado de Ψ es

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = - i \ omega e ^ {i (kx- \ omega t)} = - i \ omega \ Psi \, \!}.

Por la relación de De Broglie :

$${\ displaystyle E = \ hbar \ omega \, \!},

tenemos

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = - i {\ frac {E} {\ hbar}} \ Psi \, \!}.

Reorganizar la ecuación lleva a

$${\ displaystyle E \ Psi = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} \, \!},

donde el factor de energía E es un valor escalar , la energía que tiene la partícula y el valor que se mide. La derivada parcial es un operador lineal, por lo que esta expresión es el operador de la energía:

$${\ displaystyle {\ hat {E}} = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \, \!}.

Se puede concluir que el escalar E es el valor propio del operador, mientras que$${\ displaystyle {\ hat {E}} \, \!}es el operador Resumiendo estos resultados:

$${\ displaystyle {\ hat {E}} \ Psi = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi = E \ Psi \, \!}

Para una onda plana tridimensional.

$${\ displaystyle \ Psi = e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} \, \!}

la derivación es exactamente idéntica, ya que no se realiza ningún cambio en el término, incluido el tiempo y, por lo tanto, la derivada del tiempo. Dado que el operador es lineal , son válidos para cualquier combinación lineal de ondas planas y, por lo tanto, pueden actuar en cualquier función de onda sin afectar las propiedades de la función de onda u operadores. Por lo tanto, esto debe ser cierto para cualquier función de onda. Resulta que funciona incluso en la mecánica cuántica relativista , como la ecuación de Klein-Gordon anterior.