OCEANOGRAFÍA FÍSICA

la teoría de ondas de Airy (a menudo denominada teoría de ondas lineales ) proporciona una descripción linealizada de la propagación de ondas de gravedad en la superficie de una capa de fluido homogénea . La teoría asume que la capa de fluido tiene una profundidad media uniforme, y que el flujo de fluido es inviscido , incompresible e irrotacional . Esta teoría fue publicada por primera vez, en forma correcta, por George Biddell Airy en el siglo XIX. ^[1]

La teoría de las ondas aerodinámicas se aplica a menudo en la ingeniería oceánica y en la ingeniería costerapara el modelado de estados marinos aleatorios , que proporciona una descripción de la cinemática de las ondas y la dinámica con una precisión suficientemente alta para muchos propósitos. ^[2] [3] Además , se pueden estimar a partir de sus resultados varias propiedades no lineales de segundo orden de las ondas de gravedad de la superficie y su propagación. ^{[4] La} teoría de las ondas aereas también es una buena aproximación para las olas de tsunami en el océano, antes de que empiecen cerca de la costa. 

Esta teoría lineal se usa a menudo para obtener una estimación rápida y aproximada de las características de las olas y sus efectos. Esta aproximación es precisa para pequeñas proporciones de la altura de la ola a la profundidad del agua (para las olas en aguas poco profundas ), y la altura de la onda a la longitud de onda (para las olas en aguas profundas).

Descripción [ editar ]

Características de las olas.

Dispersión de ondas de gravedad sobre una superficie fluida. Velocidad de fase y grupo dividida por √ gh en función de h / λ . A : velocidad de fase, B : velocidad de grupo, C : velocidad de fase y grupo √ gh válida en aguas poco profundas. Líneas dibujadas : basadas en la relación de dispersión válida en profundidad arbitraria. Líneas discontinuas : basadas en la relación de dispersión válida en aguas profundas.

La teoría de ondas aéreas utiliza un enfoque de flujo potencial (o potencial de velocidad ) para describir el movimiento de las ondas de gravedad en una superficie fluida. El uso del flujo potencial, inviscido e irrotacional, en las ondas de agua es notablemente exitoso, dado que no describe muchos otros flujos de fluidos donde a menudo es esencial tomar en cuenta la viscosidad , la vorticidad , la turbulencia y / o la separación del flujo . Esto se debe al hecho de que para la parte oscilatoria del movimiento del fluido, la vorticidad inducida por la onda se restringe a algunas capas delimitadas de Stokes delimitadas en los límites del dominio del fluido. ^[5]

La teoría de la onda aérea se utiliza a menudo en la ingeniería oceánicay la ingeniería costera . Especialmente para las ondas aleatorias , a veces llamada turbulencia de onda , la evolución de las estadísticas de onda, incluido el espectro de onda , se predice en distancias no demasiado largas (en términos de longitudes de onda) y en aguas no poco profundas. La difracción es uno de los efectos de onda que pueden describirse con la teoría de ondas de Airy. Además, al usar la aproximación WKBJ , se puede predecir la formación de olas y la refracción . ^[2]

Los intentos anteriores de describir las ondas de gravedad de la superficie utilizando el flujo potencial fueron realizados por, entre otros, Laplace , Poisson , Cauchy y Kelland . Pero Airy fue el primero en publicar la derivación y formulación correctas en 1841. ^[1] Poco después, en 1847, Stokes extendió la teoría lineal de Airy para el movimiento de ondas no lineales , conocida como la teoría de ondas de Stokes , correcta hasta Tercer orden en la pendiente de la ola. ^[6] Incluso antes de la teoría lineal de Airy, Gerstner derivó una onda trocoidal no linealTeoría en 1802, que sin embargo no es irrotacional . ^[1]

La teoría de ondas aereas es una teoría lineal para la propagación de ondas en la superficie de un flujo potencial y sobre un fondo horizontal. La elevación de superficie libre η ( x , t ) de un componente de onda es sinusoidal , en función de la posición horizontal x y el tiempo t :

$${\ displaystyle \ eta (x, t) \, = \, a \, \ cos \, \ left (kx \, - \, \ omega t \ right)}

dónde

• a es la amplitud de onda en metros,
• cos es la función coseno ,
• k es el número de onda angular en radianes por metro, relacionado con la longitud de onda λ como

$${\ displaystyle k \, = \, {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}, \,}

• ω es la frecuencia angular en radianes por segundo, relacionada con el período T y la frecuencia f por

$${\ displaystyle \ omega \, = \, {\ frac {2 \ pi} {T}} \, = \, 2 \ pi \, f. \,}

Las ondas se propagan a lo largo de la superficie del agua con la velocidad de fase c _p :

$${\ displaystyle c_ {p} \, = \, {\ frac {\ omega} {k}} \, = \, {\ frac {\ lambda} {T}}.

El número de onda angular k y la frecuencia ω no son parámetros independientes (y, por lo tanto, la longitud de onda λ y el período T no son independientes), pero están acoplados. Las ondas de gravedad de la superficie en un fluido son ondas dispersivas , que muestran una dispersión de frecuencia, lo que significa que cada número de onda tiene su propia frecuencia y velocidad de fase.

Tenga en cuenta que, en ingeniería, la altura de la ola H , la diferencia en la elevación entre la cresta y la vaguada , se usa a menudo:

$${\ displaystyle H \, = \, 2 \, a \ qquad {\ text {y}} \ qquad a \, = \, {\ frac {1} {2}} \, H,}

Válido en el presente caso de ondas periódicas lineales.

Movimiento orbital bajo ondas lineales. Los puntos amarillos indican la posición momentánea de las partículas de fluido en sus órbitas (naranjas). Los puntos negros son los centros de las órbitas.

Debajo de la superficie, hay un movimiento fluido asociado con el movimiento de superficie libre. Mientras que la elevación de la superficie muestra una onda de propagación, las partículas de fluido están en un movimiento orbital . En el marco de la teoría de las ondas de Airy, las órbitas son curvas cerradas: círculos en aguas profundas y elipses en profundidad finita, con elipsis que se vuelven más planas cerca del fondo de la capa de fluido. Entonces, mientras la onda se propaga, las partículas de fluido solo orbitan (oscilan) alrededor de su promedioposición. Con el movimiento de onda de propagación, las partículas de fluido transfieren energía en la dirección de propagación de la onda, sin tener una velocidad media. El diámetro de las órbitas se reduce con la profundidad por debajo de la superficie libre. En aguas profundas, el diámetro de la órbita se reduce al 4% de su valor de superficie libre a una profundidad de media longitud de onda.

De manera similar, también hay una oscilación de presión debajo de la superficie libre, con oscilaciones de presión inducidas por onda que se reducen con la profundidad debajo de la superficie libre, de la misma manera que para el movimiento orbital de las parcelas de fluido.

Formulación matemática del movimiento de las olas [ editar ]

Problema de flujo de formulación [ editar ]

Las ondas se propagan en la dirección horizontal, con la coordenada x , y un dominio de fluido unido por una superficie libre en z = η ( x , t ), con z la coordenada vertical (positiva en la dirección hacia arriba) yt es el tiempo. ^[7] El nivel z  = 0 se corresponde con la elevación media de la superficie. El lecho impermeable debajo de la capa de fluido está en z  = - h . Además, se supone que el flujo es incompresible e irrotacional.- una buena aproximación del flujo en el interior del fluido para las ondas en una superficie líquida - y la teoría del potencial se puede utilizar para describir el flujo. El potencial de velocidad Φ ( x , z , t ) está relacionado con los componentes de velocidad de flujo u _x y u _z en las direcciones horizontal ( x ) y vertical ( z ) mediante:

$${\ displaystyle u_ {x} \, = \, {\ fractura {\ partial \ Phi} {\ partial x}} \ quad {\ text {y}} \ quad u_ {z} \, = \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}}.}

Entonces, debido a la ecuación de continuidad para un flujo incompresible, el potencial Φ tiene que satisfacer la ecuación de Laplace :

$${\ displaystyle (1) \ qquad {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial x ^ {2}}} \, + \, {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} { \ partial z ^ {2}}} \, = \, 0.}

Se necesitan condiciones de contorno en el lecho y la superficie libre para cerrar el sistema de ecuaciones. Para su formulación dentro del marco de la teoría lineal, es necesario especificar cuál es el estado base (o solución de orden cero ) del flujo. Aquí, asumimos que el estado base es reposo, lo que implica que las velocidades de flujo promedio son cero.

La cama es impermeable, conduce a la condición de borde cinemática del lecho:

$${\ displaystyle (2) \ qquad {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \, = \, 0 \ quad {\ text {at}} z \, = \, - h.}

En el caso de aguas profundas, lo que significa una profundidad de agua infinita , desde un punto de vista matemático, las velocidades de flujo deben ir a cero en el límite, ya que la coordenada vertical va a menos infinito: z  → -∞.

En la superficie libre, para ondas infinitesimales , el movimiento vertical del flujo debe ser igual a la velocidad vertical de la superficie libre. Esto conduce a la condición de límite cinemática de superficie libre:

$${\ displaystyle (3) \ qquad {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \, = \, {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial z}} \ quad {\ text {at }} z \, = \, \ eta (x, t).}

Si la elevación de superficie libre η ( x , t ) fuera una función conocida, esto sería suficiente para resolver el problema del flujo. Sin embargo, la elevación de la superficie es una incógnita adicional, por lo que se necesita una condición de límite adicional. Esto es proporcionado por la ecuación de Bernoulli para un flujo potencial inestable. Se supone que la presión sobre la superficie libre es constante. Esta presión constante se toma igual a cero, sin pérdida de generalidad, ya que el nivel de dicha presión constante no altera el flujo. Después de la linealización, esto da la condición de límite de superficie libre dinámica :

$${\ displaystyle (4) \ qquad {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \, + \, g \, \ eta \, = \, 0 \ quad {\ text {at}} z \ , = \, \ eta (x, t).}

Debido a que esta es una teoría lineal, en ambas condiciones de contorno de superficie libre: la cinemática y la dinámica, las ecuaciones (3) y (4), el valor de Φ y ∂ Φ / ∂ z en el nivel medio fijo z  = 0 es usado.

Solución para una onda monocromática progresiva [ editar ]

Ver también: Dispersión (ondas de agua).

Para una onda de propagación de una sola frecuencia, una onda monocromática , la elevación de la superficie es de la forma: ^[7]

$${\ displaystyle \ eta \, = \, a \, \ cos \, (kx \, - \, \ omega t).}

El potencial de velocidad asociado, que satisface la ecuación de Laplace (1) en el interior del fluido, así como las condiciones de contorno cinemático en la superficie libre (2) y el lecho (3), es:

$${\ displaystyle \ Phi \, = \, {\ frac {\ omega} {k}} \, a \, {\ frac {\ cosh \, {\ bigl (} k \, (z + h) {\ bigr )}} {\ sinh \, (k \, h)}} \, \ sin \, (kx \, - \, \ omega t),}

con sinh y cosh, el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico funcionan, respectivamente. Pero η y Φ también tienen que satisfacer la condición de límite dinámico, que da como resultado valores no triviales (no cero) para la amplitud de onda a solo si se cumple la relación de dispersión lineal :

$${\ displaystyle \ omega ^ {2} \, = \, g \, k \, \ tanh \, (kh),}

con tanh la tangente hiperbólica . Por lo tanto, la frecuencia angular ω y el número de onda k - o el período equivalente T y la longitud de onda λ - no se pueden elegir de manera independiente, pero están relacionados. Esto significa que la propagación de la onda en una superficie fluida es un problema propio . Cuando ω y ksatisfacen la relación de dispersión, la amplitud de onda a puede elegirse libremente (pero lo suficientemente pequeña como para que la teoría de la onda de Airy sea una aproximación válida).