OCEANOGRAFÍA FÍSICA

TABLA DE ONDAS AÉREAS

Tabla de cantidades de onda [ editar ]

En la siguiente tabla, se proporcionan varias cantidades de flujo y parámetros de acuerdo con la teoría de la onda de Airy. ^[7] Las cantidades dadas son para una situación un poco más general que para la solución dada anteriormente. En primer lugar, las ondas pueden propagarse en una dirección horizontal arbitraria en el plano x = ( x , y ). El vector wavenumber es k , y es perpendicular a las levas de las crestas de onda . En segundo lugar, se permite una velocidad de flujo media U , en la dirección horizontal y uniforme sobre (independientemente de) la profundidad z . Esto introduce un cambio DopplerEn las relaciones de dispersión. En un lugar fijo a la Tierra, la frecuencia angular observado (o absoluta de frecuencia angular ) es ω . Por otro lado, en un marco de referencia que se mueve con la velocidad media U (por lo tanto, la velocidad media observada desde este marco de referencia es cero), la frecuencia angular es diferente. Se llama frecuencia angular intrínseca (o frecuencia angular relativa ), denotada como σ . Entonces, en el movimiento de onda pura, con U = 0 , ambas frecuencias ωy σ son iguales. El número de onda k (y la longitud de ondaλ ) son independientes del marco de referencia y no tienen desplazamiento Doppler (para ondas monocromáticas).

La tabla solo proporciona las partes oscilatorias de las cantidades de flujo (velocidades, excursiones de partículas y presión) y no su valor medio o desviación. Las excursiones de partículas oscilatorias ξ _x y ξ _z son las integrales de tiempo de las velocidades de flujo oscilatorio u _x y u _z, respectivamente.

La profundidad del agua se clasifica en tres regímenes: ^[8]

• aguas profundas : para una profundidad de agua mayor a la mitad de la longitud de onda , h > ½ λ , la velocidad de la fase de las olas apenas se ve afectada por la profundidad (este es el caso de la mayoría de las olas de viento en la superficie del mar y el océano), ^[9]
• agua poco profunda - para una profundidad de agua menor que la longitud de onda dividida por 20, h < ¹ / ₂₀ λ , la velocidad de fase de las ondas depende sólo de la profundidad del agua, y ya no en función del período o longitud de onda; ^[10] y
• profundidad intermedia - los demás casos, ¹ / ₂₀ λ < h <½ λ , donde tanto la profundidad del agua y el período (o longitud de onda) tienen una influencia significativa en la solución de la teoría de onda de Airy.

En los casos limitantes de aguas profundas y poco profundas, se pueden hacer aproximaciones simplificadas a la solución. Mientras que para la profundidad intermedia, deben utilizarse las formulaciones completas.

Propiedades de las ondas de gravedad en la superficie de aguas profundas, aguas poco profundas y en profundidades intermedias, según la teoría de las ondas de Airy [7]
cantidad	símbolo	unidades	agua profunda  ( h > ½ λ )	aguas poco profundas  ( h <0 .05="" font="" nbsp="">λ )	profundidad intermedia  (todas λ y h )
elevación de la superficie	$${\ displaystyle \ eta ({\ boldsymbol {x}}, t) \,}	metro	$${\ displaystyle a \, \ cos \, \ theta ({\ boldsymbol {x}}, t) \,}
fase de onda	$${\ displaystyle \ theta ({\ boldsymbol {x}}, t) \,}	rad	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} \, - \, \ omega \, t \,}
frecuencia angularobservada	$${\ displaystyle \ omega \,}	rad / s	$${\ displaystyle \ left (\ omega \, - \, {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {U}} \ right) ^ {2} \, = \, {\ bigl (} \ Omega (k ) {\ bigr)} ^ {2} \ quad {\ text {with}} \ quad k \, = \, | {\ boldsymbol {k}} | \,}
frecuencia angular intrínseca	$${\ displaystyle \ sigma \,}	rad / s	$${\ displaystyle \ quad \ sigma ^ {2} \, = \, {\ bigl (} \ Omega (k) {\ bigr)} ^ {2} \ quad {\ text {with}} \ quad \ sigma \, = \, \ omega \, - \, {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {U}} \,}
vector unitario en la direccion de propagacion de onda	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {k} \,}	-	$${\ displaystyle {\ frac {\ boldsymbol {k}} {k}} \,}
relación de dispersión	$${\ displaystyle \ Omega (k) \,}	rad / s	$${\ displaystyle \ Omega (k) \, = \, {\ sqrt {g \, k}}}	$${\ displaystyle \ Omega (k) \, = \, k \, {\ sqrt {g \, h}} \,}	$${\ displaystyle \ Omega (k) \, = \, {\ sqrt {g \, k \, \ tanh \, (k \, h)}} \,}
velocidad de fase	$${\ displaystyle c_ {p} = {\ frac {\ Omega (k)} {k}} \,}	Sra	$${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {g} {k}}} \, = \, {\ frac {g} {\ sigma}} \,}	$${\ displaystyle {\ sqrt {gh}}}	$${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {g} {k}} \, \ tanh \, (k \, h) \,}}}
velocidad de grupo	$${\ displaystyle c_ {g} = {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial k}}}	Sra	$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, {\ sqrt {\ frac {g} {k}}} \, = \, {\ frac {1} {2}} \, {\ frac { g} {\ sigma}} \,}	$${\ displaystyle {\ sqrt {gh}} \,}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, c_ {p} \, \ left (1 \, + \, k \, h \, {\ frac {1 \, - \, \ tanh ^ { 2} \, (k \, h)} {\ tanh \, (k \, h)}} \ derecha)}
proporción	$${\ displaystyle {\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}} \,}	-	$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \,}	$${\ displaystyle 1 \,}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, \ left (1 \, + \, k \, h \, {\ frac {1 \, - \, \ tanh ^ {2} \, (k \, h)} {\ tanh \, (k \, h)}} \ derecha)}
velocidad horizontal	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} _ {x} ({\ boldsymbol {x}}, z, t) \,}	Sra	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {k} \, \ sigma \, a \; {\ text {e}} ^ {\ displaystyle k \, z} \, \ cos \, \ theta \,}	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {k} \, {\ sqrt {\ frac {g} {h}}} \, a \, \ cos \, \ theta \,}	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {k} \, \ sigma \, a \, {\ frac {\ cosh \, {\ bigl (} k \, (z + h) {\ bigr)}} {\ sinh \, (k \, h)}} \, \ cos \, \ theta \,}
velocidad vertical	$${\ displaystyle u_ {z} ({\ boldsymbol {x}}, z, t) \,}	Sra	$${\ displaystyle \ sigma \, a \; {\ text {e}} ^ {\ displaystyle k \, z} \, \ sin \, \ theta \,}	$${\ displaystyle \ sigma \, a \, {\ frac {z \, + \, h} {h}} \, \ sin \, \ theta \,}	$${\ displaystyle \ sigma \, a \, {\ frac {\ sinh \, {\ bigl (} k \, (z + h) {\ bigr)}} {\ sinh \, (k \, h)}} \, \ sin \, \ theta \,}
excursión horizontal de partículas	$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}} _ {x} ({\ boldsymbol {x}}, z, t) \,}	metro	$${\ displaystyle - {\ boldsymbol {e}} _ {k} \, a \; {\ text {e}} ^ {\ displaystyle k \, z} \, \ sin \, \ theta \,}	$${\ displaystyle - {\ boldsymbol {e}} _ {k} \, {\ frac {1} {k \, h}} \, a \, \ sin \, \ theta \,}	$${\ displaystyle - {\ boldsymbol {e}} _ {k} \, a \, {\ frac {\ cosh \, {\ bigl (} k \, (z + h) {\ bigr)}} {\ sinh \, (k \, h)}} \, \ sin \, \ theta \,}
excursión vertical de partículas	$${\ displaystyle \ xi _ {z} ({\ boldsymbol {x}}, z, t) \,}	metro	$${\ displaystyle a \; {\ text {e}} ^ {\ displaystyle k \, z} \, \ cos \, \ theta \,}	$${\ displaystyle a \, {\ frac {z \, + \, h} {h}} \, \ cos \, \ theta \,}	$${\ displaystyle a \, {\ frac {\ sinh \, {\ bigl (} k \, (z + h) {\ bigr)}} {\ sinh \, (k \, h)}} \, \ cos \, \ theta \,}
oscilación de presión	$${\ displaystyle p ({\ boldsymbol {x}}, z, t) \,}	N / m 2	$${\ displaystyle \ rho \, g \, a \; {\ text {e}} ^ {\ displaystyle k \, z} \, \ cos \, \ theta \,}	$${\ displaystyle \ rho \, g \, a \, \ cos \, \ theta \,}	$${\ displaystyle \ rho \, g \, a \, {\ frac {\ cosh \, {\ bigl (} k \, (z + h) {\ bigr)}} {\ cosh \, (k \, h )}} \, \ cos \, \ theta \,}

Efectos de tensión superficial [ editar ]

Artículo principal: Onda capilar.

Dispersión de la gravedad-ondas capilares en la superficie de las aguas profundas. Velocidad de fase y grupo dividida por$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{4}] {g \ sigma / \ rho}}} en función de la longitud de onda relativa inversa $${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {\ lambda}} {\ sqrt {\ sigma / (\ rho g)}}}. 
Líneas azules (A): velocidad de fase c _p , Líneas rojas (B): velocidad de grupo c _g . 
Líneas dibujadas: gravedad-ondas capilares. 
Líneas discontinuas: ondas de gravedad. 
Líneas de puntos: líneas puras capilares.

Debido a la tensión superficial , la relación de dispersión cambia a: ^[11]

$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} (k) \, = \, \ left (g \, + \, {\ frac {\ gamma} {\ rho}} \, k ^ {2} \ right) \, k \; \ tanh \, (k \, h),}

con γ la tensión superficial, con unidades SI en N / m. Todas las ecuaciones anteriores para las ondas lineales siguen siendo las mismas, si la aceleración gravitacional g se reemplaza por ^[12]

$${\ displaystyle {\ tilde {g}} \, = \, g \, + \, {\ frac {\ gamma} {\ rho}} \, k ^ {2}.}

Como resultado de la tensión superficial, las ondas se propagan más rápido. La tensión superficial solo tiene influencia para las ondas cortas, con longitudes de onda inferiores a unos pocos decímetros en el caso de una interfaz agua-aire. Para longitudes de onda muy cortas, dos milímetros o menos, en el caso de la interfaz entre aire y agua, los efectos de la gravedad son insignificantes. Tenga en cuenta que los tensioactivos pueden alterar la tensión superficial .

La velocidad de grupo ∂Ω / ∂ k de ondas capilares, dominada por los efectos de la tensión superficial, es mayor que la velocidad de fase Ω / k . Esto es opuesto a la situación de las ondas de gravedad de la superficie (con una tensión superficial insignificante en comparación con los efectos de la gravedad) donde la velocidad de la fase supera la velocidad del grupo. ^[13]

Ondas interfaciales [ editar ]

Las ondas superficiales son un caso especial de ondas interfaciales, en la interfaz entre dos fluidos de diferente densidad .

Dos capas de profundidad infinita [ editar ]

Considere dos fluidos separados por una interfaz, y sin límites adicionales. Entonces su relación de dispersión ω ²  = Ω ² ( k ) se da a través de: ^{[11] [14] [15]}

$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} (k) \, = \, | k | \, \ left ({\ frac {\ rho - \ rho '} {\ rho + \ rho'}} g \, + \ , {\ frac {\ gamma} {\ rho + \ rho '}} \, k ^ {2} \ derecha),}

donde ρ y ρ ' son las densidades de los dos fluidos, debajo ( ρ ) y arriba ( ρ' ) de la interfaz, respectivamente. Además γ es la tensión superficial en la interfaz.

Para que existan ondas interfaciales, la capa inferior debe ser más pesada que la superior, ρ  >  ρ ' . De lo contrario, la interfaz es inestable y se desarrolla una inestabilidad de Rayleigh-Taylor .

Dos capas entre planos rígidos horizontales [ editar ]

Movimiento ondulatorio en la interfaz entre dos capas de fluidos homogéneos no viscópicos de diferente densidad, confinados entre límites rígidos horizontales (en la parte superior e inferior). El movimiento es forzado por la gravedad. La capa superior tiene una profundidad media h ' y una densidad ρ' , mientras que la capa inferior tiene una profundidad media h y una densidad ρ . La amplitud de onda es a , la longitud de onda se denota por λ ( relacionada con el número de onda k por: k = 2π / λ), la aceleración gravitacional por g y la velocidad de fase como c _p(con c _p = Ω ( k ) / k ).

Para dos capas homogéneas de fluidos, de grosor medio h debajo de la interfaz y h ′ arriba: bajo la acción de la gravedad y limitadas por encima y por debajo por paredes rígidas horizontales, se proporciona la relación de dispersión ω ²  = Ω ² ( k ) para las ondas de gravedad por: ^[16]

$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} (k) = {\ frac {g \, k (\ rho - \ rho ')} {\ rho \, \ coth (kh) + \ rho' \, \ coth (kh ')}},}

donde de nuevo, ρ y ρ ′ son las densidades por debajo y por encima de la interfaz, mientras que coth es la función cotangente hiperbólica . En el caso de que ρ ′ sea ​​cero, esto se reduce a la relación de dispersión de las ondas de gravedad de la superficie en el agua de profundidad finita h.

Dos capas delimitadas por una superficie libre [ editar ]

En este caso, la relación de dispersión permite dos modos: un modo barotrópico donde la amplitud de la superficie libre es grande en comparación con la amplitud de la onda interfacial, y un modo baroclínicodonde ocurre lo contrario: la onda interfacial es más alta que en antifase.Con la onda de superficie libre. La relación de dispersión para este caso es de una forma más complicada. ^[17]

Propiedades de onda de segundo orden [ editar ]

Varias propiedades de onda de segundo orden , es decir , cuadráticas en la amplitud de onda a , pueden derivarse directamente de la teoría de ondas de Airy. Son importantes en muchas aplicaciones prácticas, por ejemplo , pronósticos de condiciones de olas. ^[18] Al usar una aproximación WKBJ , las propiedades de onda de segundo orden también encuentran sus aplicaciones en la descripción de ondas en el caso de batimetría devariación lenta , y variaciones de flujo promedio de corrientes y elevación de la superficie. Así como en la descripción de las interacciones de onda y flujo medio debidas a las variaciones de tiempo y espacio en amplitud, frecuencia, longitud de onda y dirección del campo de onda en sí.

Tabla de propiedades de onda de segundo orden [ editar ]

En la siguiente tabla, se proporcionan varias propiedades de onda de segundo orden, así como las ecuaciones dinámicas que satisfacen en caso de condiciones de variación lenta en el espacio y el tiempo. Más detalles sobre estos se pueden encontrar a continuación. La tabla proporciona resultados para la propagación de ondas en una dimensión espacial horizontal. Más adelante en esta sección, se proporcionan descripciones y resultados más detallados para el caso general de propagación en un espacio horizontal bidimensional.

Cantidades de segundo orden y su dinámica, utilizando los resultados de la teoría de ondas de Airy.
cantidad	símbolo	unidades	fórmula
densidad media de energía de onda por unidad de área horizontal	$${\ displaystyle E \,}	J / m 2	$${\ displaystyle E \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, g \, a ^ {2} \,}
Tensión de radiación o exceso deflujo demomentohorizontaldebido al movimiento de las olas.	$${\ displaystyle S_ {xx} \,}	N / m	$${\ displaystyle S_ {xx} \, = \, \ left (2 \, {\ frac {c_ {g}} {c_ {p}}} \, - \, {\ frac {1} {2}} \ derecha) \, E \,}
acción de las olas	$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}	J · s / m 2	$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \, = \, {\ frac {E} {\ sigma}} \, = \, {\ frac {E} {\ omega \, - \, k \, U} } \,}
Flujo de masa promedio debido al movimiento de la onda o al pseudo-momento de la onda	$${\ displaystyle M \,}	kg / (m · s)	$${\ displaystyle M \, = \, {\ frac {E} {c_ {p}}} \, = \, k \, {\ frac {E} {\ sigma}} \,}
velocidad media de transporte de masa horizontal	$${\ displaystyle {\ tilde {U}} \,}	Sra	$${\ displaystyle {\ tilde {U}} \, = \, U \, + \, {\ frac {M} {\ rho \, h}} \, = \, U \, + \, {\ frac { E} {\ rho \, h \, c_ {p}}} \,}
Deriva de Stokes	$${\ displaystyle {\ bar {u}} _ {S} \,}	Sra	$${\ displaystyle {\ bar {u}} _ {S} \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ sigma \, k \, a ^ {2} \, {\ frac {\ cosh \, 2 \, k \, (z + h)} {\ sinh ^ {2} \, (k \, h)}} \,}
propagación de energía de onda		J / (m 2 · s)	$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial E} {\ parcial t}} \, + \, {\ fractura \ \ parcial} {\ parcial x}} {\ Bigl (} (U \, + \, c_ {g }) \, E {\ Bigr)} \, + \, S_ {xx} \, {\ frac {\ partial U} {\ partial x}} \, = \, 0 \,}
conservación de la acción de las olas		J / m 2	$${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {A}}} {\ partial t}} \, + \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ Bigl (} (U \, + \, c_ {g}) \, {\ mathcal {A}} {\ Bigr)} \, = \, 0 \,}
conservación de la cresta de las olas		rad / (m · s)	$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial k} {\ parcial t}} \, + \, {\ fractura \ parcial \ omega} {\ parcial x}} \, = \, 0 \,}   con   $${\ displaystyle \ omega \, = \, \ Omega (k) \, + \, k \, U \,}
conservación de la masa media		kg / (m 2 · s)	$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ Bigl (} \ rho \, h {\ Bigr)} \, + \, {\ fragment {\ partial} {\ partial x}} { \ Bigl (} \ rho \, h \, {\ tilde {U}} {\ Bigr)} \, = \, 0 \,}
evolución media del momento horizontal		N / m 2	$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ Bigl (} \ rho \, h \, {\ tilde {U}} {\ Bigr)} \, + \, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda (\ rho \, h \, {\ tilde {U}} ^ {2} \, + \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, g \, h ^ {2} \, + \, S_ {xx} \ right) \, = \, \ rho \, g \, h \, {\ frac {\ partial d} {\ partial x}} \ ,}

Las últimas cuatro ecuaciones describen la evolución de los trenes de ondas que varían lentamente sobre la batimetría en interacción con el flujo medio , y se pueden derivar de un principio variacional: Whitham 's de Lagrange promediado método. ^[19] En la ecuación media del momento horizontal, d ( x ) es la profundidad del agua, es decir , el lecho debajo de la capa de fluido está ubicado en z  = - d . Tenga en cuenta que la velocidad media de flujo en las ecuaciones de masa y momento es la velocidad de transporte de masa $${\ displaystyle {\ tilde {U}}}, incluidos los efectos en la zona de salpicadura de las ondas en el transporte de masa horizontal, y no la velocidad media de Euler (por ejemplo, medida con un medidor de flujo fijo).

La densidad de energía de las olas [ editar ]

La energía de las olas es una cantidad de interés primario, ya que es una cantidad primaria que se transporta con los trenes de olas. ^[20] Como se puede ver arriba, muchas cantidades de ondas como la elevación de la superficie y la velocidad orbital son de naturaleza oscilatoria con media cero (dentro del marco de la teoría lineal). En las ondas de agua, la medida de energía más utilizada es la densidad de energía de onda media por unidad de área horizontal. Es la suma de la densidad de energía cinética y potencial , integrada en la profundidad de la capa de fluido y promediada en la fase de onda. Más simple para derivar es la densidad de energía potencial media por unidad de superficie horizontal E _olla de las ondas de gravedad de la superficie, que es la desviación de la energía potencial debido a la presencia de las olas:^[21]

$${\ displaystyle E _ {\ text {pot}} \, = \, {\ overline {\ int _ {- h} ^ {\ eta} \ rho \, g \, z \; {\ text {d}} z }} \, - \, \ int _ {- h} ^ {0} \ rho \, g \, z \; {\ text {d}} z \, = \, {\ overline {{\ frac {1 } {2}} \, \ rho \, g \, \ eta ^ {2}}} \, = \, {\ frac {1} {4}} \, \ rho \, g \, a ^ {2 }

con una barra superior que indica el valor medio (que en el presente caso de ondas periódicas se puede tomar como un promedio de tiempo o un promedio de una longitud de onda en el espacio).

La densidad de energía cinética media por unidad del área horizontal E _kin del movimiento de onda se encuentra de manera similar en: ^[21]

$${\ displaystyle E _ {\ text {kin}} \, = \, {\ overline {\ int _ {- h} ^ {0} {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, \ left [ \, \ left | {\ boldsymbol {U}} \, + \, {\ boldsymbol {u}} _ {x} \ right | ^ {2} \, + \, u_ {z} ^ {2} \, \ right {\ text {d}} z}} \, - \, \ int _ {- h} ^ {0} {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, \ left | {\ boldsymbol {U}} \ right | ^ {2} \; {\ text {d}} z \, = \, {\ frac {1} {4}} \, \ rho \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {k \, \ tanh \, (k \, h)}} \, a ^ {2},}

con σ la frecuencia intrínseca, vea la tabla de cantidades de onda . Usando la relación de dispersión, el resultado para las ondas de gravedad de superficie es:

$${\ displaystyle E _ {\ text {kin}} \, = \, {\ frac {1} {4}} \, \ rho \, g \, a ^ {2}.}

Como puede verse, las densidades de energía cinética media y potencial son iguales. Esta es una propiedad general de las densidades de energía de las ondas lineales progresivas en un sistema conservador . ^[22] [23]Agregando potenciales y contribuciones cinéticas, E _pot y E _kin , la densidad de energía media por unidad de área horizontal E del movimiento de onda es:

$${\ displaystyle E \, = \, E _ {\ text {pot}} \, + \, E _ {\ text {kin}} \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ rho \ , g \, a ^ {2}.}

En caso de que los efectos de la tensión superficial no sean despreciables, su contribución también aumenta el potencial y las densidades de energía cinética, dando ^[22]

$${\ displaystyle E _ {\ text {pot}} \, = \, E _ {\ text {kin}} \, = \, {\ frac {1} {4}} \, \ left (\ rho \, g \ , + \, \ gamma \, k ^ {2} \ right) \, a ^ {2}, \ qquad {\ text {so}} \ qquad E \, = \, E _ {\ text {pot}} \ , + \, E _ {\ text {kin}} \, = \, {\ frac {1} {2}} \, \ left (\ rho \, g \, + \, \ gamma \, k ^ {2 } \ right) \, a ^ {2},}

con γ la tensión superficial .