OCEANOGRAFÍA FÍSICA

aproximación de Boussinesqpara las ondas de agua es una aproximación válida para las ondas débilmente no lineales y bastante largas . La aproximación lleva el nombre de Joseph Boussinesq , quien primero los derivó en respuesta a la observación de John Scott Russell de la ola de traducción (también conocida como ola solitaria o solitón ). El artículo de 1872 de Boussinesq introduce las ecuaciones ahora conocidas como las ecuaciones de Boussinesq . ^[1]

La aproximación de Boussinesq para las ondas de aguatiene en cuenta la estructura vertical de la velocidad de flujohorizontal y vertical . Esto da lugar a ecuaciones diferenciales parciales no lineales , llamadas ecuaciones de tipo Boussinesq , que incorporan dispersión de frecuencia (como opuestas a las ecuaciones de aguas someras , que no son dispersivas en frecuencia). En la ingeniería costera , las ecuaciones de tipo Boussinesq se utilizan con frecuencia en modelos informáticos para la simulación de ondas de agua en mares y puertos poco profundos .

Si bien la aproximación de Boussinesq es aplicable a ondas bastante largas, es decir, cuando la longitud de ondaes grande en comparación con la profundidad del agua, la expansión de Stokes es más apropiada para ondas cortas (cuando la longitud de onda es del mismo orden que la profundidad del agua, o más corta). ).

Simulación de ondas periódicas sobre un bancosubmarino con un modelo tipo Boussinesq. Las olas se propagan sobre un banco submarino de forma elíptica en una playa plana. Este ejemplo combina varios efectos de las olas y las aguas poco profundas, que incluyen la refracción , la difracción , el tiro y la no linealidad débil .

Aproximación de Boussinesq [ editar ]

Ondas periódicas en la aproximación de Boussinesq, mostradas en una sección transversalvertical en la dirección de propagación de la onda . Observe los canales planos y las crestas afiladas , debido a la no linealidad de las olas. Este caso (dibujado en escala ) muestra una onda con la longitud de onda igual a 39,1  m , la altura de la onda es de 1,8 m ( es decir, la diferencia entre la cresta y la elevación del canal), y la profundidad media del agua es de 5 m, mientras que la aceleración gravitacional es de 9,81 m / s ² .

La idea esencial en la aproximación de Boussinesq es la eliminación de la coordenada vertical de las ecuaciones de flujo, al tiempo que se mantienen algunas de las influencias de la estructura vertical del flujo bajo las ondas del agua . Esto es útil porque las ondas se propagan en el plano horizontal y tienen un comportamiento diferente (no parecido a una onda) en la dirección vertical. A menudo, como en el caso de Boussinesq, el interés está principalmente en la propagación de la onda.

Esta eliminación de la coordenada vertical fue realizada por primera vez por Joseph Boussinesq en 1871, para construir una solución aproximada para la ola solitaria (o ola de traducción ). Posteriormente, en 1872, Boussinesq derivó las ecuaciones conocidas en la actualidad como las ecuaciones de Boussinesq.

Los pasos en la aproximación de Boussinesq son:

• una expansión de Taylor está formada por la velocidad de flujo horizontal y vertical (o potencial de velocidad ) alrededor de una cierta elevación ,
• esta expansión de Taylor se trunca a un número finito de términos,
• Se utiliza la conservación de masa (ver ecuación de continuidad ) para un flujo incompresible y la condición de curvatura cero para un flujo de irrigación , para reemplazar las derivadas verticales parciales de cantidades en la expansión de Taylor con derivadas parciales horizontales .

Después de eso, la aproximación de Boussinesq se aplica a las ecuaciones de flujo restantes, para eliminar la dependencia de la coordenada vertical. Como resultado, las ecuaciones diferenciales parciales resultantes están en términos de funciones de las coordenadas horizontales (y el tiempo ).

Como ejemplo, considere el flujo potencial sobre un lecho horizontal en el plano ( x, z ), con x la horizontal yz la coordenada vertical . La cama está ubicada en z = - h , donde h es la profundidad media del agua. Una expansión de Taylor está formada por el potencial de velocidad φ (x, z, t) alrededor del nivel del lecho z = - h : ^[2]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ varphi \, = \, & \ varphi _ {b} \, + \, (z + h) \, \ left [{\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z}} \ right] _ {z = -h} \, + \, {\ frac {1} {2}} \, (z + h) ^ {2} \, \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial z ^ {2}}} \ right] _ {z = -h} \, \\ & + \, {\ frac {1} {6}} \, (z + h) ^ {3} \, \ left [{\ frac {\ partial ^ {3} \ varphi} {\ partial z ^ {3}}} \ right] _ {z = -h} \, + \, { \ frac {1} {24}} \, (z + h) ^ {4} \, \ left [{\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial z ^ {4}}} \ right ] _ {z = -h} \, + \, \ cdots, \ end {alineado}}}

donde φ _b (x, t) es el potencial de velocidad en el lecho. Al invocar la ecuación de Laplace para φ , como válido para un flujo incompresible , se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}$

ya que la velocidad vertical ∂ φ / ∂ z es cero en el lecho horizontal - impermeable - z = - h . Esta serie puede posteriormente ser truncada a un número finito de términos.

Ecuaciones originales de Boussinesq [ editar ]

Derivación [ editar ]

Para las ondas de agua en un fluido incompresible y el flujo de irrigación en el plano ( x , z ), las condiciones de contorno en la elevación de la superficie libre z = η ( x , t ) son: ^[3]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \, & + \, u \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \, - \, w \, = \, 0 \\ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \, & + \, {\ frac {1} {2}} \, \ left (u ^ {2} + w ^ {2} \ right) \, + \, g \, \ eta \, = \, 0, \ end {alineado}}}

dónde:

u es el componente de velocidad de flujo horizontal : u = ∂ φ / ∂ x ,

w es el componente de velocidad de flujo vertical : w = ∂ φ / ∂ z ,

g es la aceleración por gravedad .

Ahora la aproximación de Boussinesq para el potencial de velocidad φ , como se da anteriormente, se aplica en estas condiciones de contorno . Además, en las ecuaciones resultantes solo se retienen los términos lineales y cuadráticos con respecto a η y u _b (con u _b = ∂ φ _b / ∂ x la velocidad horizontal en el lecho z = - h ). Se supone que los términos cúbicos y de orden superior son despreciables. Luego, se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales parciales :

conjunto A - Boussinesq (1872), ecuación (25)

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \, & + \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, \ left [\ left (h + \ eta \ right) \, u_ {b} \ right] \, = \, {\ frac {1} {6}} \, h ^ {3} \, {\ frac {\ partial ^ {3} u_ {b}} {\ parcial x ^ {3}}}, \\ {\ frac {\ parcial u_ {b}} {\ parcial t}} \, & + \, u_ {b} \, {\ frac {\ parcial u_ {b}} {\ parcial x}} \, + \, g \, {\ fractura \ parcial \ eta} {\ parcial x}} \, = \, {\ frac {1} {2 }} \, h ^ {2} \, {\ frac {\ parcial ^ {3} u_ {b}} {\ parcial t \, \ parcial x ^ {2}}}. \ fin {alineado}}}

Este conjunto de ecuaciones se ha derivado para un lecho horizontal plano, es decir , la profundidad media h es una constante independiente de la posición x . Cuando los lados derechos de las ecuaciones anteriores se ponen a cero, se reducen a las ecuaciones de aguas poco profundas .

Bajo algunas aproximaciones adicionales, pero con el mismo orden de precisión, el conjunto A anterior se puede reducir a una sola ecuación parcial parcial para la elevación de superficie libre η :

conjunto B - Boussinesq (1872), ecuación (26)

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} \ eta} {\ parcial t ^ {2}}} \, - \, gh \, {\ frac {\ parcial ^ {2} \ eta} {\ parcial x ^ {2}}} \, - \, gh \, {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left ({\ frac {3} {2}} \ , {\ frac {\ eta ^ {2}} {h}} \, + \, {\ frac {1} {3}} \, h ^ {2} \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \, = \, 0.}

De los términos entre paréntesis, la importancia de la no linealidad de la ecuación se puede expresar en términos del número de Ursell . En cantidades sin dimensiones , utilizando la profundidad del agua h y la aceleración gravitacional g para la no dimensionalización, esta ecuación dice, después de la normalización : ^[4]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ tau ^ {2}}} \, - \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ xi ^ {2}}} \, - \, {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ xi ^ {2}}} \ left (\, 3 \, \ psi ^ {2} \, + \, {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial \ xi ^ {2}}} \, \ derecha) \, = \, 0,}

con:

$${\ displaystyle \ psi \, = \, {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {\ eta} {h}}}	: la elevación superficial adimensional,
$${\ displaystyle \ tau \, = \, {\ sqrt {3}} \, t \, {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}	: el tiempo adimensional, y
$${\ displaystyle \ xi \, = \, {\ sqrt {3}} \, {\ frac {x} {h}}}	: la posición horizontal adimensional.

Velocidad de fase lineal cuadrada c ² / ( gh ) en función del número de onda relativa kh . 
A = Boussinesq (1872), ecuación (25), 
B = Boussinesq (1872), ecuación (26), 
C = teoría de la onda lineal completa, ver dispersión (ondas de agua)

Dispersión de frecuencia lineal [ editar ]

Las ondas de agua de diferentes longitudes de ondaviajan con diferentes velocidades de fase , un fenómeno conocido como dispersión de frecuencia . Para el caso de la amplitud de onda infinitesimal , la terminología es la dispersión de frecuencia lineal . Las características de dispersión de frecuencia de una ecuación de tipo Boussinesq se pueden usar para determinar el rango de longitudes de onda, para lo cual es una aproximación válida .

Las características de dispersión de frecuencialineal para el conjunto A anterior de ecuaciones son: ^[5]

$${\ displaystyle c ^ {2} \, = \; gh \, {\ frac {1 \, + \, {\ frac {1} {6}} \, k ^ {2} h ^ {2}} { 1 \, + \, {\ frac {1} {2}} \, k ^ {2} h ^ {2}}},}

con:

• c la velocidad de la fase ,
• k el número de onda ( k = 2π / λ , con λ la longitud de onda ).

El error relativo en la velocidad de fase c para el conjunto A , en comparación con la teoría lineal para las ondas de agua , es inferior al 4% para un número de onda relativo kh <½ π . Por lo tanto, en aplicaciones de ingeniería , el conjunto A es válido para longitudes de onda λ mayores a 4 veces la profundidad del agua h .

Las características de dispersión de frecuencia lineal de la ecuación B son: ^[5]

$${\ displaystyle c ^ {2} \, = \, gh \, \ left (1 \, - \, {\ frac {1} {3}} \, k ^ {2} h ^ {2} \ right) .}

El error relativo en la velocidad de fase para la ecuación B es menor que 4% para kh <2 7="" font=""> , equivalente a longitudes de onda λ más largas que 7 veces la profundidad del agua h , llamadas ondas bastante largas . ^[6]

Para ondas cortas con k ² h ² > 3, la ecuación B se vuelve físicamente sin sentido, porque ya no hay solucionesde la velocidad de fase en valores reales . El conjunto original de dos ecuaciones diferenciales parciales(Boussinesq, 1872, ecuación 25, consulte el conjunto A anterior) no tiene esta deficiencia.

Las ecuaciones de aguas poco profundas tienen un error relativo en la velocidad de fase inferior al 4% para longitudes de onda λ superiores a 13 veces la profundidad del agua h .

Ecuaciones y extensiones tipo Boussinesq [ editar ]

Hay un número abrumador de modelos matemáticos que se conocen como ecuaciones de Boussinesq. Esto puede conducir fácilmente a confusión, ya que a menudo se hace referencia libremente como las ecuaciones de Boussinesq, mientras que, de hecho, una variante de la misma se considera. Así que es más apropiado llamarlos ecuaciones de tipo Boussinesq . Estrictamente hablando, las ecuaciones de Boussinesq son el conjunto Bmencionado anteriormente , ya que se utilizan en el análisis en el resto de su artículo de 1872.

Algunas direcciones, en las que se han extendido las ecuaciones de Boussinesq, son:

• batimetría variable ,
• dispersión de frecuencia mejorada ,
• comportamiento no lineal mejorado ,
• haciendo una expansión de Taylor alrededor de diferentes elevaciones verticales ,
• dividiendo el dominio fluido en capas y aplicando la aproximación de Boussinesq en cada capa por separado,
• inclusión de rompimiento de olas ,
• Inclusión de la tensión superficial .
• extensión a las ondas internas en una interfaz entre dominios de fluidos de diferente densidad de masa ,
• Derivación de un principio variacional .

Otras aproximaciones para un solo sentido de propagación de ondas [ editar ]

Si bien las ecuaciones de Boussinesq permiten que las ondas viajen simultáneamente en direcciones opuestas, a menudo es ventajoso considerar solo las ondas que viajan en una dirección. Bajo pequeños supuestos adicionales, las ecuaciones de Boussinesq se reducen a:

• la ecuación de Korteweg – de Vries para la propagación de ondas en una dimensión horizontal ,
• la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili para la propagación de la onda (casi unidireccional) en dos dimensiones horizontales ,
• La ecuación de Schrödinger no lineal ( ecuación NLS) para la amplitud de valores complejos de las ondas de banda estrecha ( ondas moduladas lentamente ).

Además de las soluciones de ondas solitarias, la ecuación de Korteweg – de Vries también tiene soluciones periódicas y exactas, llamadas ondas cnoidales . Estas son soluciones aproximadas de la ecuación de Boussinesq.

Los modelos numéricos [ editar ]

Una simulación con un modelo de onda tipo Boussinesq de olas cercanas a la costa que viajan hacia la entrada de un puerto. La simulación es con el módulo BOUSS-2D de SMS .

Más rápido que la simulación en tiempo real con el módulo Boussinesq de Celeris, que muestra la ruptura de las olas y la refracción cerca de la playa. El modelo proporciona un entorno interactivo.

Para la simulación del movimiento de las olas cerca de costas y puertos, existen modelos numéricos, tanto comerciales como académicos, que emplean ecuaciones de tipo Boussinesq. Algunos ejemplos comerciales son los módulos de onda de tipo Boussinesq en MIKE 21 y SMS . Algunos de los modelos gratuitos de Boussinesq son Celeris, ^[7]COULWAVE, ^[8] y FUNWAVE. ^[9] La mayoría de los modelos numéricos emplean diferencias finitas , de volúmenes finitos o elementos finitostécnicas para la discretización de las ecuaciones del modelo. Revisiones científicas e intercomparaciones de varias ecuaciones de tipo Boussinesq, su aproximación numérica y rendimiento son, por ejemplo, Kirby (2003), Dingemans (1997 , Parte 2, Capítulo 5) y Hamm, Madsen y Peregrine (1993) .