PROCESAMIENTO DE SEÑALES

La probabilidad de error por pares es la probabilidad de error que para una señal transmitida ($${\ displaystyle X}) su versión correspondiente pero distorsionada ($${\ displaystyle {\ widehat {X}}}) serán recibidos. Este tipo de probabilidad se denomina "probabilidad de error por pares" porque existe una probabilidad con un par de vectores de señal en una constelación de señales. ^[1] Se utiliza principalmente en sistemas de comunicación.

Expansión de la definición [ editar ]

En general, la señal recibida es una versión distorsionada de la señal transmitida. Por lo tanto, introducimos la probabilidad de error de símbolo, que es la probabilidad$${\ displaystyle P (e)}que el demodulador hará una estimación errónea$${\ displaystyle ({\ widehat {X}})} del simbolo transmitido $${\ displaystyle (X)} basado en el símbolo recibido, que se define de la siguiente manera:

$${\ displaystyle P (e) \ triangleq {\ frac {1} {M}} \ sum _ {x} \ mathbb {P} (X \ neq {\ widehat {X}} | X)}

donde M es el tamaño de la constelación de señales.

La probabilidad de error por pares $${\ displaystyle P (X \ a {\ widehat {X}})}se define como la probabilidad de que, cuando$${\ displaystyle X} es transmitida, $${\ displaystyle {\ widehat {X}}} Esta recibido.

$${\ displaystyle P (e | X)} Se puede expresar como la probabilidad de que al menos una $${\ displaystyle {\ widehat {X}} \ neq X} está más cerca que $${\ displaystyle X} a $${\ displaystyle Y}.

Usando el límite superior para la probabilidad de una unión de eventos, se puede escribir:

$${\ displaystyle P (e | X) \ leq \ sum _ {{\ widehat {X}} \ neq X} P (X \ a {\ widehat {X}})}

Finalmente:

$${\ displaystyle P (e) = {\ tfrac {1} {M}} \ sum _ {X \ en S} P (e | X) \ leq {\ tfrac {1} {M}} \ sum _ {X \ en S} \ sum _ {{\ widehat {X}} \ neq X} P (X \ a {\ widehat {X}})}

Forma cerrada computación [ editar ]

Para el caso simple del canal de ruido gaussiano blanco (AWGN) aditivo:

$${\ displaystyle Y = X + Z, Z_ {i} \ sim {\ mathcal {N}} (0, {\ tfrac {N_ {0}} {2}} I_ {n}) \, \!}

El PEP se puede calcular de forma cerrada de la siguiente manera:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} P (X \ a {\ widehat {X}}) & = \ mathbb {P} (|| Y - {\ widehat {X}} || ^ {2} <|| YX || ^ {2} | X) \\ & = \ mathbb {P} (|| (X + Z) - {\ widehat {X}} || ^ {2} <|| (X + Z) - X || ^ {2}) \\ & = \ mathbb {P} (|| (X - {\ widehat {X}}) + Z || ^ {2} <|| Z || ^ {2}) \\ & = \ mathbb {P} (|| X - {\ widehat {X}} || ^ {2} + || Z || ^ {2} +2 (Z, X - {\ widehat {X} }) <|| Z || ^ {2}) \\ & = \ mathbb {P} (2 (Z, X - {\ widehat {X}}) <- -="" 2="" alineado="" amp="" end="" font="" mathbb="" widehat="" x="">

$${\ displaystyle (Z, X - {\ widehat {X}})}es una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza $${\ displaystyle N_ {0} || X - {\ widehat {X}} || ^ {2} / 2}.

Para una media de cero, varianza $${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = 1} Variable aleatoria gaussiana:

{\ displaystyle P (X> x) = Q (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {x} ^ {+ \ infty} e ^ {-} {\ tfrac {t ^ {2}} {2}} dt}

Por lo tanto,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} P (X \ a {\ widehat {X}}) & = Q {\ bigg (} {\ tfrac {\ tfrac {|| X - {\ widehat {X}} || ^ {2}} {2}} {\ sqrt {\ tfrac {N_ {0} || X - {\ widehat {X}} || ^ {2}} {2}}}} {\ bigg)} = Q {\ bigg (} {\ tfrac {|| X - {\ widehat {X}} || ^ {2}} {2}}. {\ Sqrt {\ tfrac {2} {N_ {0} || X - {\ widehat {X}} || ^ {2}}}} {\ bigg)} \\ & = Q {\ bigg (} {\ tfrac {|| X - {\ widehat {X}} ||} {\ sqrt {2N_ {0}}}} {\ bigg)} \ end {alineado}}}

El procesamiento de señales es un subcampo de matemáticas , información e ingeniería eléctrica que se refiere al análisis, síntesis y modificación de señales , que se definen ampliamente como funciones que transmiten "información sobre el comportamiento o los atributos de algún fenómeno", ^[1] como el sonido , Imágenes y medidas biológicas. ^[2] Por ejemplo, las técnicas de procesamiento de señales se utilizan para mejorar la fidelidad de transmisión de la señal, la eficiencia de almacenamiento y la calidad subjetiva, y para enfatizar o detectar componentes de interés en una señal medida.

Historia [ editar ]

Según Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer , los principios del procesamiento de señales se pueden encontrar en las técnicas clásicas de análisis numérico del siglo XVII. Oppenheim y Schafer afirman además que el refinamiento digital de estas técnicas se puede encontrar en los sistemas de control digital de las décadas de 1940 y 1950. ^[4]

Categorías [ editar ]

Analógico [ editar ]

Artículo principal: Procesamiento de señales analógicas.

El procesamiento de señales analógicas es para señales que no han sido digitalizadas, como en sistemas de radio, teléfono, radar y televisión heredados. Esto involucra tanto circuitos electrónicos lineales como no lineales. Los primeros son, por ejemplo, filtros pasivos , filtros activos , mezcladores de aditivos , integradores y líneas de retardo . Circuitos no lineales incluyen compansores , multiplicadores ( mezclador de frecuencias y amplificadores controlados por voltaje ), filtros controlados por voltaje , osciladores controlados por voltaje y los bucles de enganche de fase .

Tiempo continuo [ editar ]

El procesamiento de la señal en tiempo continuo es para señales que varían con el cambio de dominio continuo (sin tener en cuenta algunos puntos interrumpidos individuales).

Los métodos de procesamiento de señales incluyen dominio de tiempo , dominio de frecuencia y dominio de frecuencia complejo . Esta tecnología trata principalmente el modelado de sistemas lineales invariantes en el tiempo, parte integral de la respuesta de estado cero del sistema, configuración de la función del sistema y el filtrado continuo de señales deterministas en el tiempo.

Tiempo discreto [ editar ]

El procesamiento de señales en tiempo discreto es para señales muestreadas, definidas solo en puntos discretos en el tiempo, y como tales se cuantifican en el tiempo, pero no en la magnitud.

El procesamiento de señales analógicas de tiempo discreto es una tecnología basada en dispositivos electrónicos como los circuitos de muestreo y retención , multiplexores analógicos de división de tiempo , líneas de retardo analógicas y registros de desplazamiento de retroalimentación analógica . Esta tecnología fue un antecesor del procesamiento de señales digitales (ver más abajo), y aún se usa en el procesamiento avanzado de señales de gigahercios.

El concepto de procesamiento de señales de tiempo discreto también se refiere a una disciplina teórica que establece una base matemática para el procesamiento de señales digitales, sin tener en cuenta el error de cuantificación .

Digital [ editar ]

Artículo principal: Procesamiento digital de señales.

El procesamiento de señales digitales es el procesamiento de señales muestreadas en tiempo discreto digitalizadas. El procesamiento se realiza por computadoras de propósito general o por circuitos digitales como ASIC , arreglos de puertas programables en campo o procesadores de señales digitales especializados (chips DSP). Operaciones aritméticas típicas incluyen de punto fijo y de punto flotante , valores reales y de valor complejo, la multiplicación y adición. Otras operaciones típicas soportadas por el hardware son los buffers circulares y las tablas de búsqueda . Ejemplos de algoritmos son la transformada rápida de Fourier (FFT), el filtro de respuesta de impulso finito (FIR),Filtro de respuesta de impulsos infinitos (IIR) y filtros adaptativos como los filtros Wiener y Kalman .

No lineal [ editar ]

El procesamiento de señales no lineales implica el análisis y el procesamiento de señales producidas a partir de sistemas no lineales y puede estar en los dominios de tiempo, frecuencia o espacio temporal. ^[5] Los sistemas no lineales pueden producir comportamientos altamente complejos que incluyen bifurcaciones , caos , armónicos y subarmónicos que no pueden producirse ni analizarse mediante métodos lineales.

Estadística [ editar ]

El procesamiento de señales estadísticas es un enfoque que trata las señales como procesos estocásticos , utilizando sus propiedades estadísticas para realizar tareas de procesamiento de señales. ^[6] Las técnicas estadísticas son ampliamente utilizadas en aplicaciones de procesamiento de señales. Por ejemplo, uno puede modelar la distribución de probabilidad del ruido incurrido al fotografiar una imagen y construir técnicas basadas en este modelo para reducir el ruido en la imagen resultante.

Campos de aplicación [ editar ]

Procesamiento de señales sísmicas

• Procesamiento de señales de audio  : para señales eléctricas que representan sonido, como voz o música
• Procesamiento de la señal del habla  - para procesar e interpretar palabras habladas
• Procesamiento de imágenes  - en cámaras digitales, computadoras y varios sistemas de imágenes
• Procesamiento de video  - para interpretar imágenes en movimiento
• Comunicación inalámbrica  - generaciones de formas de onda, demodulación, filtrado, ecualización
• Sistemas de control
• Procesamiento  de matrices - para procesar señales de matrices de sensores
• Control de proceso  : se utiliza una variedad de señales, incluido el bucle de corriente de 4-20 mA estándar de la industria
• Sismología
• Procesamiento de señales financieras  : analiza los datos financieros utilizando técnicas de procesamiento de señales, especialmente para fines de predicción.
• Extracción de características , como la comprensión de la imagen y el reconocimiento de voz .
• Mejora de la calidad, como reducción de ruido , mejora de imagen y cancelación de eco .
• ( Codificación de la fuente ), que incluye compresión de audio , compresión de imagen y compresión de video.
• Genómica , procesamiento de señales genómicas ^[7]

En los sistemas de comunicación, el procesamiento de la señal puede ocurrir en:

• La capa 1 de OSI en el modelo OSI de siete capas, la capa física ( modulación , ecualización , multiplexación, etc.);
• Capa OSI 2, la capa de enlace de datos ( corrección de errores hacia adelante );
• La capa 6 de OSI, la capa de presentación (codificación de fuente, incluida la conversión analógica a digital y la compresión de la señal ).

Dispositivos típicos [ editar ]

• Filtros  : por ejemplo, analógicos (pasivos o activos) o digitales ( FIR , IIR , dominio de frecuencia o filtros estocásticos , etc.)
• Muestreadores y convertidores analógico a digital para la adquisición y reconstrucción de señales , lo que implica medir una señal física, almacenarla o transferirla como señal digital y, posiblemente, reconstruir la señal original o una aproximación de la misma.
• Compresores de señal
• Procesadores de señal digital (DSP)

Métodos matemáticos aplicados [ editar ]

• Ecuaciones diferenciales
• Relación de recurrencia
• Teoría de la transformación
• Análisis tiempo-frecuencia  - para procesar señales no estacionarias ^[8]
• Estimación espectral  : para determinar el contenido espectral (es decir, la distribución de la potencia sobre la frecuencia) de una serie de tiempo ^[9]
• Procesamiento estadístico de señales  : analiza y extrae información de señales y ruido según sus propiedades estocásticas
• Teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo y teoría de transformaciones.
• Identificación y clasificación del sistema.
• Cálculo
• Espacios vectoriales y álgebra lineal.
• Análisis funcional
• Probabilidad y procesos estocásticos.
• Teoria de la deteccion
• Teoría de la estimación
• Mejoramiento
• Métodos numéricos
• Series de tiempo
• Minería de datos  : para el análisis estadístico de las relaciones entre grandes cantidades de variables (en este contexto, representan muchas señales físicas), para extraer patrones interesantes previamente desconocidos.