PERSONAJES - CIENTÍFICOS

LEONHARD EULER - CONTINUACIÓN

Aportes a las matemáticas y la física.

Parte de una serie de artículos sobre el
constante matemática e
Propiedades
Logaritmo natural Funcion exponencial
Aplicaciones
interés compuesto La identidad de euler Fórmula de Euler vidas medias Crecimiento exponencial y decadencia.
Definiendo e
prueba de que e es irracional representaciones de e Teorema de Lindemann-Weierstrass
Gente
John Napier Leonhard Euler
Temas relacionados
La conjetura de schanuel
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Euler trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas, como la geometría , el cálculo infinitesimal , la trigonometría , el álgebra y la teoría de los números , así como la física continua , la teoría lunar y otras áreas de la física . Es una figura seminal en la historia de las matemáticas; Si se imprimieran, sus obras, muchas de las cuales son de interés fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes de cuarto . ^[5] El nombre de Euler está asociado con una gran cantidad de temas .

Euler es el único matemático que lleva dos números con su nombre: el importante número de Euler en el cálculo , e , aproximadamente igual a 2.71828, y la constante de Euler-Mascheroni γ ( gamma ) a veces denominada simplemente "constante de Euler", aproximadamente igual a 0.57721. No se sabe si γ es racional o irracional . ^[32]

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones de notación a través de sus numerosos libros de texto de amplia circulación. En particular, introdujo el concepto de una función ^[3] y fue el primero en escribir f ( x ) para denotar la función f aplicada al argumento x . También introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas , la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocido como número de Euler ), la letra griega Σ para las sumas y la letra i para denotar la unidad imaginaria . ^[33]El uso de la letra griega π para denotar la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque se originó con el matemático galés William Jones . ^[34]

Análisis

El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoullis, amigos de la familia de Euler, fueron responsables de gran parte del progreso inicial en este campo. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en el foco principal del trabajo de Euler. Si bien algunas de las pruebas de Euler no son aceptables para los estándares modernos de rigor matemático ^[35] (en particular, su confianza en el principio de la generalidad del álgebra ), sus ideas llevaron a muchos grandes avances. Euler es bien conocido en análisis por su uso frecuente y desarrollo de series de poder , la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, como

$${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ sobre n!} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {0!}} + {\ Frac {x} {1!}} + {\ Frac {x ^ {2}} {2!}} + \ Cdots + {\ frac {x ^ {n}} {n!}} \ derecha).}

En particular, Euler demostró directamente las expansiones de la serie de potencias para e y la función de tangente inversa . ( Newton y Leibniz dieron la prueba indirecta a través de la técnica de la serie de poder inverso entre 1670 y 1680). Su uso audaz de la serie de poder le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741): ^{[35 ]}

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {1 \ over n ^ {2}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {1 ^ { 2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {n ^ {2} }} \ right) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}

Una interpretación geométrica de la fórmula de Euler.

Euler introdujo el uso de la función exponencial y los logaritmos en las pruebas analíticas. Descubrió formas de expresar varias funciones logarítmicas usando series de potencias, y definió logaritmos para números negativos y complejos , expandiendo así el alcance de las aplicaciones matemáticas de logaritmos. ^[33] También definió la función exponencial para números complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas . Para cualquier número real φ (tomado como radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface

$${\ displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi.}

Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como la identidad de Euler ,

$${\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0}

llamada "la fórmula más notable en matemáticas" por Richard P. Feynman , por sus usos únicos de las nociones de suma, multiplicación, exponencia e igualdad, y los usos únicos de las constantes importantes 0, 1, e , i y π . ^[36] En 1988, los lectores del Inteligente matemático lo votaron como "la fórmula matemática más hermosa de la historia". ^[37] En total, Euler fue responsable de tres de las cinco fórmulas principales en esa encuesta. ^[37]

La fórmula de De Moivre es una consecuencia directa de la fórmula de Euler .

Además, Euler elaboró ​​la teoría de las funciones trascendentales superiores mediante la introducción de la función gamma e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones quárticas . También encontró una manera de calcular integrales con límites complejos, prefiriendo el desarrollo del análisis complejo moderno . También inventó el cálculo de variaciones, incluido su resultado más conocido, la ecuación de Euler-Lagrange .

Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas distintas de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de los números . Al abrir el camino para este nuevo campo, Euler creó la teoría de series hipergeométricas , series q , funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas . Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de las series armónicas , y utilizó métodos analíticos para comprender mejor la forma en que se distribuyen los números primos . El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo de laTeorema del número primo . ^[38]

Teoría de los números

El interés de Euler en la teoría de los números puede atribuirse a la influencia de Christian Goldbach , su amigo en la Academia de San Petersburgo. Muchos de los primeros trabajos de Euler sobre la teoría de los números se basaron en los trabajos de Pierre de Fermat . Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y refutó algunas de sus conjeturas.

Euler vinculó la naturaleza de la distribución principal con las ideas en análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los números primos difiere . Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; Esto se conoce como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann .

Euler probó las identidades de Newton , el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , y realizó contribuciones distintas al teorema de cuatro cuadrados de Lagrange . También inventó la función totient φ ( n ), el número de enteros positivos menor o igual que el entero n que es coprime a n . Usando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que ahora se conoce como el teorema de Euler . Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos , que había fascinado a los matemáticos desde Euclides.. Demostró que la relación mostrada entre los números incluso perfectos y los primos de Mersenne probados anteriormente por Euclid era uno a uno, un resultado también conocido como el teorema de Euclid-Euler . Euler también conjeturó la ley de reciprocidad cuadrática . El concepto es considerado como un teorema fundamental de la teoría de los números, y sus ideas allanaron el camino para el trabajo de Carl Friedrich Gauss . ^[39] Para 1772, Euler había demostrado que 2 ³¹  - 1 = 2,147,483,647 es una prima de Mersenne. Puede haber permanecido como la prima principal más grande conocida hasta 1867. ^[40]

Teoría de grafos

Mapa de Königsberg en el tiempo de Euler que muestra el diseño real de los siete puentes , destacando el río Pregel y los puentes.

En 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los Siete Puentes de Königsberg . ^[41] La ciudad de Königsberg , Prusia , se encontraba en el río Pregel , e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. El problema es decidir si es posible seguir una ruta que cruza cada puente exactamente una vez y vuelve al punto de partida. No es posible: no hay un circuito euleriano . Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos , específicamente de la teoría de grafos planos . ^[41]

Euler también descubrió la fórmula. $${\ displaystyle V-E + F = 2}relacionando el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo , ^[42] y, por lo tanto, de un gráfico plano . La constante en esta fórmula se conoce ahora como la característica de Euler para el gráfico (u otro objeto matemático), y está relacionada con el género del objeto. ^[43] El estudio y la generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy ^[44] y L'Huilier , ^[45] está en el origen de la topología .

Matemáticas Aplicadas

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la solución analítica de problemas del mundo real y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli , series de Fourier , números de Euler , constantes e y π , fracciones continuas e integrales. Integró Leibniz 's cálculo diferencial con la de Newton Método de las fluxiones , y desarrolló herramientas que hace más fácil la aplicación del cálculo a problemas físicos. Hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de las integrales, inventando lo que ahora se conoce como las aproximaciones de Euler . Las más notables de estas aproximaciones son:El método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin . También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales , en particular introduciendo la constante de Euler-Mascheroni :

$${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} { 4}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} - \ ln (n) \ right).}

Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas en la música. En 1739 escribió Tentamen novae theoriae musicae, con la esperanza de incorporar la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió mucha atención y una vez fue descrito como demasiado matemático para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. ^[46]

En 1911, casi 130 años después de la muerte de Euler, Alfred J. Lotka utilizó el trabajo de Euler para derivar la ecuación de Euler-Lotka para calcular las tasas de crecimiento de la población en poblaciones estructuradas por edad, un método fundamental que se usa comúnmente en la biología y ecología de la población.

Fisica y astronomia

Parte de una serie de artículos sobre
Mecanica clasica
$${\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}} Segunda ley del movimiento
Historia Línea de tiempo
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Científicos[ocultar] Galileo Huygens Newton Kepler Horrocks Halley Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Cauchy
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Euler ayudó a desarrollar la ecuación de haz de Euler-Bernoulli , que se convirtió en la piedra angular de la ingeniería. Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de la mecánica clásica , Euler también aplicó estas técnicas a los problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido por varios Premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Sus logros incluyen determinar con gran precisión las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, comprender la naturaleza de los cometas y calcular el paralaje del sol. Sus cálculos también contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas . ^[47]

Además, Euler realizó importantes aportes en la óptica . No estaba de acuerdo con la teoría corpuscular de la luz de Newton en los Ópticos , que era entonces la teoría predominante. Sus documentos sobre óptica en la década de 1740 ayudaron a garantizar que la teoría de la onda de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convirtiera en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz . ^[48]

En 1757 publicó un importante conjunto de ecuaciones para el flujo no viscoso , que ahora se conocen como ecuaciones de Euler . ^[49] En forma diferencial, las ecuaciones son:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ partial \ rho \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0 \\ [1.2ex] & {\ partial (\ rho {\ mathbf {u}}) \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot (\ mathbf {u} \ otimes (\ rho \ mathbf {u})) + \ nabla p = \ mathbf {0} \\ [ 1.2ex] & {\ parcial E \ sobre \ parcial t} + \ nabla \ cdot (\ mathbf {u} (E + p)) = 0, \ end {alineado}}}

dónde

• ρ es la densidad de masa del fluido ,
• u es el vector de velocidad del fluido, con los componentes u , v y w ,
• E = ρ e + ½ ρ ( u ² + v ² + w ² ) es la energía total por unidad de volumen , siendo e la energía interna por unidad de masa para el fluido,
• p es la presión ,
• ⊗ denota el producto tensorial , y
• Siendo 0 el vector cero .

Euler también es conocido en ingeniería estructural por su fórmula que proporciona la carga crítica de pandeo de un puntal ideal, que depende solo de su longitud y rigidez a la flexión: ^[50]

$${\ displaystyle F = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {(KL) ^ {2}}}}

dónde

• F = fuerza máxima o crítica (carga vertical en columna),
• mi = módulo de elasticidad ,
• yo = momento de inercia del área ,
• L = longitud de columna no admitida,
• K = factor de longitud efectiva de la columna, cuyo valor depende de las condiciones de soporte final de la columna, de la siguiente manera.

Para ambos extremos fijados (con bisagras, libres para girar), K = 1.0.

Para ambos extremos fijos, K = 0.50.

Para un extremo fijo y el otro extremo fijado, K = 0.699 ...

Para un extremo fijo y el otro libre para moverse lateralmente, K = 2.0.

• KL es la longitud efectiva de la columna.

Lógica

A Euler también se le atribuye el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se han conocido como diagramas de Euler . ^[51]

Diagrama de euler

Un diagrama de Euler es un medio diagramático para representar conjuntos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos . Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Los tamaños o formas de las curvas no son importantes; El significado del diagrama está en cómo se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (superposición, contención o ninguna) corresponden a las relaciones de la teoría de conjuntos ( intersección , subconjunto ydesunión ). Las curvas cuyas zonas interiores no se intersecan representan conjuntos disjuntos . Dos curvas cuyas zonas interiores se intersecan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está contenida completamente dentro de la zona interior de otra representa un subconjunto de ella. Los diagramas de Euler (y su generalización en los diagramas de Venn ) se incorporaron como parte de la instrucción en la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático en los años sesenta. Desde entonces, también han sido adoptados por otros campos curriculares como la lectura. ^[52]

Música

Incluso cuando se trata de música, el enfoque de Euler es principalmente matemático. Sus escritos sobre música no son particularmente numerosos (unos pocos cientos de páginas, en su producción total de aproximadamente treinta mil páginas), pero reflejan una preocupación temprana y una que no lo abandonó durante toda su vida. ^[53]

Un primer punto de la teoría musical de Euler es la definición de "géneros", es decir, de posibles divisiones de la octava utilizando los números primos 3 y 5. Euler describe 18 géneros de este tipo, con la definición general 2 ^mA, donde A es el "exponente "del género (es decir, la suma de los exponentes de 3 y 5) y 2 ^m (donde" m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles " ^[54] ), expresa que la relación se mantiene independientemente del número de octavas en cuestión. El primer género, con A = 1, es la octava en sí (o sus duplicados); el segundo género, 2 ^m .3, es la octava dividida por la quinta (quinta + cuarta, C – G – C); el tercer género es 2 ^m .5, tercero mayor + sexto menor (C – E – C);^m .3 ² , dos cuartos y un tono (C – F – B ♭–C); el quinto es 2 ^m .3.5 (C – E – G – B – C); etc. Los géneros 12 (2 ^m .3 ³ .5), 13 (2 ^m .3 ² .5 ² ) y 14 (2 ^m .3.5 ³ ) son versiones corregidas de la diatónica, cromática y enharmónica, respectivamente, de los Antiguos. . El género 18 (2 ^m .3 ³ .5 ² ) es el "diatómico-cromático", "se usa generalmente en todas las composiciones", ^[55] y resulta ser idéntico al sistema descrito por Johann Mattheson. ^[56]Más tarde, Euler previó la posibilidad de describir géneros, incluido el número primo 7. ^[57]

Euler ideó un gráfico específico, el Speculum musicum , ^[58] para ilustrar el género diatómico-cromático, y discutió las rutas en este gráfico para intervalos específicos, recordando su interés en los Siete Puentes de Königsberg (ver arriba ). El dispositivo despertó un interés renovado como el Tonnetz en la teoría neo-riemanniana (véase también Lattice (música) ). ^[59]

Euler utilizó además el principio del "exponente" para proponer una derivación de gradus suavitatis (grado de suavidad, amabilidad) de intervalos y acordes a partir de sus factores primos: hay que tener en cuenta que consideró la entonación justa, es decir, 1 y Los números primos 3 y 5 solamente. ^[60] Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo, en la forma

ds = Σ (k _i p _i - k _i ) + 1

donde p _i son números primos y k _i sus exponentes. ^[61]

Filosofía personal y creencias religiosas.

Euler y su amigo Daniel Bernoulli fueron adversarios del monadismo de Leibniz y de la filosofía de Christian Wolff. Euler insistió en que el conocimiento se basa en parte en leyes cuantitativas precisas, algo que el monadismo y la ciencia wolffiana no pudieron proporcionar. Las inclinaciones religiosas de Euler también podrían haber tenido relación con su disgusto por la doctrina; llegó al extremo de etiquetar las ideas de Wolff como "paganas y ateas". ^[62]

Gran parte de lo que se sabe de las creencias religiosas de Euler se puede deducir de sus Cartas a una princesa alemana y una obra anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister ( Defensa de la Revelación divina contra las objeciones de los Freethinkers ). Estas obras muestran que Euler era un cristiano devoto que creía que la Biblia estaba inspirada; El Rettung fue principalmente un argumento a favor de la inspiración divina de las escrituras . ^[63]

Hay una famosa leyenda ^[64] inspirada en los argumentos de Euler con los filósofos seculares sobre la religión, que se desarrolla durante la segunda etapa de Euler en la Academia de San Petersburgo. El filósofo francés Denis Diderot visitaba Rusia por invitación de Catalina la Grande. Sin embargo, la emperatriz se alarmó de que los argumentos del filósofo a favor del ateísmo influyeran en los miembros de su corte, por lo que se le pidió a Euler que se enfrentara al francés. Diderot fue informado de que un matemático erudito había presentado una prueba de la existencia de Dios : aceptó ver la prueba tal como se presentó ante el tribunal. Euler apareció, avanzó hacia Diderot y, en un tono de perfecta convicción, anunció esta no secuencia : "Señor, ^n.a + b/n = x , por lo tanto, Dios existe, ¡responda! "Diderot, a quien (dice la historia) todas las matemáticas eran incomprensibles, se quedó estupefacto cuando estallaron carcajadas de la corte. Avergonzado, pidió abandonar Rusia, una petición que fue graciosamente otorgada por la Emperatriz. Sin embargo, por divertida que sea la anécdota, es apócrifa , dado que el propio Diderot realizó una investigación en matemáticas. ^[65] Aparentemente, la leyenda fue contada por primera vez por Dieudonné Thiébault ^[66] con un adorno significativo de Augustus De Morgan . ^{[67 ] [68]}

Conmemoraciones

Euler sobre el antiguo billete suizo de 10 francos

Euler apareció en la sexta serie del billete de banco suizo de 10 francosy en numerosos sellos postales suizos, alemanes y rusos. El asteroide 2002 Euler fue nombrado en su honor. También es conmemorado por la Iglesia Luterana en su Calendario de los Santos el 24 de mayo; era un cristiano devoto (y creyente en la infalibilidad bíblica ) que escribió apologética y argumentó enérgicamente contra los prominentes ateos de su tiempo. ^[63]

Bibliografía seleccionada

• Euler, Leonhard (2015). Elementos de álgebra . ISBN  978-1-5089-0118-1 .(Una traducción del Álgebra de Euler Vollständige Anleitung zur , 1765. Este texto de álgebra elemental comienza con una discusión de la naturaleza de los números y ofrece una introducción completa al álgebra, que incluye fórmulas para soluciones de ecuaciones polinómicas).

Ilustración de Solutio problematis ... a. 1743 propuestas publicadas en Acta Eruditorum , 1744

La página de título de Euler's Methodus inveniendi lineas curvas .

• Euler tiene una extensa bibliografía . Sus libros más conocidos incluyen:
• Mecánica (1736).
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive propietario gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744) . El título latino se traduce como un método para encontrar líneas curvas con propiedades de máximo o mínimo, o solución de problemas isoperimétricos en el sentido más amplio y aceptado . ^[69]
• Introductio in analysin infinitorum (1748). Inglés traducciónIntroducción al análisis del Infinito por John Blanton (Libro I, ISBN 0-387-96824-5 , Springer-Verlag, 1988; Libro II, ISBN 0-387-97132-7 , Springer-Verlag, 1989).  

• Dos libros de texto influyentes sobre el cálculo: Institutiones calculi diferencialis (1755) y Institutionum calculi integralis (1768–1770).
• Cartas a una princesa alemana (1768–1772).

Una colección definitiva de las obras de Euler, titulada Opera Omnia , ha sido publicada desde 1911 por la Comisión Euler de la Academia Suiza de Ciencias . Una lista cronológica completa de las obras de Euler está disponible en la siguiente página: El Índice Eneström (PDF).