En teoría de la orden , un diagrama de Hasse ( / h æ s ə / ; alemán:[hasə] ) es un tipo de diagrama matemático utilizado para representar un finito conjunto parcialmente ordenado , en forma de un dibujo de su reducción transitiva . Concretamente, para un conjunto parcialmente ordenado (S, ≤) uno representa cada elemento de S como un vértice en el plano y dibuja un segmento de línea o curva que va hacia arriba de x a ysiempre que y cubra x (es decir, siempre que x < y y no haya z , de forma que x < z < y ). Estas curvas pueden cruzarse entre sí, pero no deben tocar ningún vértice que no sean sus puntos finales. Dicho diagrama, con vértices etiquetados, determina de forma única su orden parcial.
Los diagramas de Hasse llevan el nombre de Helmut Hasse (1898–1979); según Garrett Birkhoff ( 1948 ), se les llama así por el uso efectivo que Hasse hizo de ellos. Sin embargo, Hasse no fue el primero en utilizar estos diagramas. Un ejemplo que precede a Hasse se puede encontrar en Henri Gustav Vogt ( 1895 ). Aunque los diagramas de Hasse se diseñaron originalmente como una técnica para hacer dibujos de conjuntos parcialmente ordenados a mano, más recientemente se crearon automáticamente utilizando técnicas de dibujo de gráficos . [1]
La frase "Diagrama de Hasse" también puede referirse a la reducción transitiva como un gráfico acíclicoabstracto dirigido , independientemente de cualquier dibujo de ese gráfico, pero este uso se evita aquí.
Un "buen" diagrama de Hasse [ editar ]
Aunque los diagramas de Hasse son simples, así como las herramientas intuitivas para tratar con posets finitos , resulta bastante difícil dibujar diagramas "buenos". La razón es que, en general, habrá muchas formas posibles de dibujar un diagrama de Hasse para un poset dado. La técnica simple de comenzar con los elementos mínimosde una orden y luego dibujar elementos mayores incrementalmente a menudo produce resultados bastante pobres: las simetrías y la estructura interna de la orden se pierden fácilmente.
El siguiente ejemplo demuestra el problema. Considere el conjunto de potencias de un conjunto de 4 elementos ordenado por inclusión. A continuación se muestran cuatro diagramas de Hasse diferentes para este orden parcial. Cada subconjunto tiene un nodo etiquetado con una codificación binaria que muestra si un determinado elemento está en el subconjunto (1) o no (0):
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El primer diagrama deja claro que el conjunto de potencias es un poset graduado . El segundo diagrama tiene la misma estructura graduada, pero al hacer algunos bordes más largos que otros, enfatiza que el cubo de 4 dimensiones es una unión de dos cubos de 3 dimensiones. El tercer diagrama muestra algo de la simetría interna de la estructura. En el cuarto diagrama, los vértices están dispuestos como los elementos de una matriz de 4 × 4 .
Planaridad hacia arriba [ editar ]
Si se puede dibujar un orden parcial como un diagrama de Hasse en el que no se cruzan dos bordes, se dice que su gráfico de cobertura es plano hacia arriba . Se conocen varios resultados sobre la planaridad hacia arriba y sobre la construcción de diagramas de Hasse sin cruces:
- Si el orden parcial que se va a dibujar es una celosía , entonces puede dibujarse sin cruces si y solo si tiene una dimensión de ordena lo sumo dos. [5] En este caso, se puede encontrar un dibujo no cruzado derivando coordenadas cartesianas para los elementos desde sus posiciones en los dos órdenes lineales que forman la dimensión del pedido, y luego girando el dibujo en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo de 45 grados.
- Si el orden parcial tiene a lo sumo un elemento mínimo , o tiene a lo sumo un elemento máximo , entonces se puede probar en tiempo lineal si tiene un diagrama de Hasse que no se cruce. [6]
- Es NP-completo para determinar si se puede dibujar un orden parcial con múltiples fuentes y sumideros como un diagrama de Hasse libre de cruces. [7] Sin embargo, encontrar un diagrama de Hasse libre de cruces es manejable por parámetros fijos cuando está parametrizado por el número de puntos de articulación y componentes triconectados de la reducción transitiva del orden parcial. [8]
- Si se especifican las coordenadas y de los elementos de un orden parcial, entonces se puede encontrar un diagrama de Hasse libre de cruces que respete esas asignaciones de coordenadas en tiempo lineal, si tal diagrama existe. [9] En particular, si el poset de entrada es un poset graduado , es posible determinar en tiempo lineal si hay un diagrama de Hasse sin cruces en el que la altura de cada vértice sea proporcional a su rango.
Los estados de la FAA "El diagrama de altura-velocidad o la curva H / V es un gráfico que muestra los perfiles de vuelo seguros / inseguros relevantes para un helicópteroespecífico . Dado que la operación fuera del área segura de la tabla puede ser fatal en el caso de una potencia o transmisión. fracaso a veces se conoce como la curva del hombre muerto ". [1]
La curva H – V es un diagrama que indica las combinaciones de altura sobre el suelo y velocidad del aire que deben evitarse debido a problemas de seguridad relacionados con los aterrizajes de emergencia. Es peligroso operar dentro de las regiones sombreadas del diagrama, ya que puede ser imposible para el piloto completar una autorrotación de emergencia desde un punto de partida dentro de estas regiones. [2] La curva H – V también contiene un perfil de despegue, que indica cómo un piloto puede comenzar desde la altura 0 y la velocidad 0, y atravesar el crucero con seguridad. En alturas bajas con baja velocidad , como un taxi flotante , el piloto puede simplemente amortiguar el aterrizaje con colectivo al convertir la inercia rotacional en sustentación. A la inversa, se puede sobrevivir a una pérdida total de energía, y el aterrizaje forzoso resultante, de un taxi estacionario de tres pies a paso. Los helicópteros multimotor capaces de volar y flotar sobre un solo motor, no representan esta segunda región. [1]
A medida que aumenta la velocidad aerodinámica sin un aumento en la altura, llega un momento en el que el tiempo de reacción del piloto sería insuficiente para iniciar un destello y evitar un impacto en el suelo a alta velocidad. Cada aumento de altura, aumenta el tiempo de reacción del piloto. Esta es la razón por la que la parte inferior derecha de la curva H – V tiene un gradiente poco profundo . Si está por encima de la velocidad de autorrotación ideal, un piloto puede evitar la curva del hombre muerto mediante el abocardado, la conversión de la velocidad aérea en altura y el aumento de las RPM del rotor a través del cono [3] [1]
Del mismo modo, un aumento en la altura sin un aumento correspondiente en la velocidad del aire es peligroso, ya que un choque desde esta altura puede no ser sobrevivible. La velocidad del aire tiene que aumentar más allá del rango de 40-80 nudos, lo que permite el inicio seguro de una autorrotación. Por lo tanto, un perfil de despegue seguro, iniciando el vuelo hacia adelante desde una flotación baja, implica ganar altura a medida que la velocidad del aire se aproxima a una velocidad de autorotación segura.
El diagrama Hertzsprung-Russell , abreviado como diagrama H – R , diagrama HR o HRD , es un diagrama de dispersión de estrellas que muestra la relación entre las magnitudes absolutas o luminosidades de las estrellas frente a sus clasificaciones estelares o temperaturas efectivas . Más simplemente, traza cada estrella en un gráfico que representa el brillo de la estrella contra su temperatura (color).
El diagrama fue creado alrededor de 1910 por Ejnar Hertzsprung y Henry Norris Russell y representa un paso importante hacia la comprensión de la evolución estelar .
El diagrama de color-magnitud(CMD) relacionado traza las magnitudes aparentes de las estrellas contra su color, generalmente para un grupo, de modo que las estrellas estén todas a la misma distancia.
Antecedentes históricos [ editar ]
En el siglo XIX, se llevaron a cabo estudios espectroscópicos de estrellas a gran escala en el Observatorio de la Universidad de Harvard , produciendo clasificaciones espectrales para decenas de miles de estrellas, que culminaron finalmente en el Catálogo Henry Draper . En un segmento de este trabajo, Antonia Maury incluyó divisiones de las estrellas por el ancho de sus líneas espectrales . [1] Hertzsprung notó que las estrellas descritas con líneas estrechas tendían a tener movimientos propios más pequeños que los otros de la misma clasificación espectral. Tomó esto como una indicación de mayor luminosidad para las estrellas de línea estrecha y paralajes seculares computados.para varios grupos de estos, permitiéndole estimar su magnitud absoluta. [2]
En 1910, Hans Rosenberg publicó un diagrama que representaba la magnitud aparente de las estrellas en el cúmulo de las Pléyades contra las fuerzas de la línea de calcio K y dos líneas de hidrógeno Balmer . [3] Estas líneas espectrales sirven como un proxy para la temperatura de la estrella, una forma temprana de clasificación espectral. La magnitud aparente de las estrellas en el mismo cúmulo es equivalente a su magnitud absoluta, por lo que este diagrama inicial fue efectivamente un gráfico de la luminosidad frente a la temperatura. El mismo tipo de diagrama todavía se usa hoy como medio para mostrar las estrellas en grupos sin tener que conocer inicialmente su distancia y luminosidad. [4]Hertzsprung ya había estado trabajando con este tipo de diagrama, pero sus primeras publicaciones que lo mostraron no fueron hasta 1911. Esta fue también la forma del diagrama que utiliza magnitudes aparentes de un grupo de estrellas a la misma distancia. [5]
Las primeras versiones del diagrama de Russell (1913) incluían las estrellas gigantes de Maury identificadas por Hertzsprung, las estrellas cercanas con paralajes medidos en ese momento, las estrellas de los Hyades (un cúmulo abierto cercano ), y varios grupos en movimiento , para los cuales el método del cúmulo móvil podría ser usado para derivar distancias y por lo tanto obtener magnitudes absolutas para esas estrellas. [6]
Formas de diagrama [ editar ]
Hay varias formas del diagrama Hertzsprung-Russell, y la nomenclatura no está muy bien definida. Todas las formas comparten el mismo diseño general: las estrellas de mayor luminosidad están hacia la parte superior del diagrama, y las estrellas con una temperatura de superficie más alta están hacia el lado izquierdo del diagrama.
El diagrama original mostraba el tipo espectral de estrellas en el eje horizontal y la magnitud visual absoluta en el eje vertical. El tipo espectral no es una cantidad numérica, pero la secuencia de tipos espectrales es una serie monotónica que refleja la temperatura de la superficie estelar. Las versiones de observación modernas de la tabla reemplazan el tipo espectral por un índice de color (en diagramas realizados a mediados del siglo XX, con mayor frecuencia el color BV ) de las estrellas. Este tipo de diagrama es lo que a menudo se llama un diagrama observacional de Hertzsprung-Russell, o específicamente un diagrama de color-magnitud (CMD), y es utilizado a menudo por los observadores. [7] En los casos en que se sabe que las estrellas están a distancias idénticas, como dentro de un cúmulo de estrellas, a menudo se usa un diagrama de color y magnitud para describir las estrellas del cúmulo con una gráfica en la que el eje vertical es la magnitud aparente de las estrellas. Para los miembros del cúmulo, suponiendo que hay una única diferencia constante aditiva entre sus magnitudes aparentes y absolutas, llamada módulo de distancia , para todo ese cúmulo de estrellas. Los primeros estudios de cúmulos abiertos cercanos (como las Híadas y las Pléyades ) por Hertzsprung y Rosenberg produjeron los primeros CMD, anteriores a unos pocos años de la influyente síntesis de Russell del diagrama que recopila datos de todas las estrellas para las cuales se podrían determinar magnitudes absolutas. [3] [5]
Otra forma del diagrama representa la temperatura de la superficie efectiva de la estrella en un eje y la luminosidad de la estrella en el otro, casi invariablemente en un gráfico log-log . Los cálculos teóricos de la estructura estelar y la evolución de las estrellas producen gráficos que coinciden con los de las observaciones. Este tipo de diagrama podría denominarse diagrama de temperatura-luminosidad , pero este término casi nunca se usa; Cuando se hace la distinción, esta forma se denomina diagrama teórico de Hertzsprung-Russell.en lugar. Una característica peculiar de esta forma del diagrama H – R es que las temperaturas se trazan de alta a baja temperatura, lo que ayuda a comparar esta forma del diagrama H – R con la forma observacional.
Aunque los dos tipos de diagramas son similares, los astrónomos hacen una clara distinción entre los dos. La razón de esta distinción es que la transformación exacta de uno a otro no es trivial. Ir entre la temperatura efectiva y el color requiere una relación de color-temperatura , y la construcción es difícil; se sabe que es una función de la composición estelar y puede verse afectada por otros factores como la rotación estelar . Al convertir la luminosidad o la magnitud bolométrica absoluta en una magnitud visual aparente o absoluta, se requiere una corrección bolométrica, que puede o no provenir de la misma fuente que la relación color-temperatura. También se necesita conocer la distancia a los objetos observados ( es decir , el módulo de distancia) y los efectos del oscurecimiento interestelar , tanto en el color (enrojecimiento) como en la magnitud aparente (donde el efecto se llama "extinción"). La distorsión del color (incluido el enrojecimiento) y la extinción (oscurecimiento) también son evidentes en las estrellas que tienen polvo circunstancial significativo . El ideal de la comparación directa de las predicciones teóricas de la evolución estelar con las observaciones, por lo tanto, tiene incertidumbres adicionales en las conversiones entre cantidades teóricas y observaciones.
Interpretación [ editar ]
La mayoría de las estrellas ocupan la región en el diagrama a lo largo de la línea llamada secuencia principal . Durante la etapa de sus vidas en la que las estrellas se encuentran en la línea de la secuencia principal, están fundiendo hidrógeno en sus núcleos. La siguiente concentración de estrellas está en la rama horizontal ( fusión de helio en el núcleo e hidrógeno que se quema en una cáscara que rodea el núcleo). Otra característica destacada es la brecha de Hertzsprung ubicada en la región entre el tipo espectral A5 y G0 y entre las magnitudes absolutas +1 y −3 ( es decir, entre la parte superior de la secuencia principal y los gigantes en la rama horizontal ). RR Lyrae variableLas estrellas se pueden encontrar a la izquierda de esta brecha en una sección del diagrama llamada tira de inestabilidad . Las variables cefeidas también caen en la franja de inestabilidad, a luminosidades más altas.
El diagrama de recursos humanos puede ser utilizado por los científicos para medir aproximadamente a qué distancia se encuentra un cúmulo de estrellas o galaxia de la Tierra. Esto se puede hacer comparando las magnitudes aparentes de las estrellas en el cúmulo con las magnitudes absolutas de las estrellas con distancias conocidas (o de estrellas modelo). El grupo observado se desplaza entonces en dirección vertical, hasta que las dos secuencias principales se superponen. La diferencia en la magnitud que se salvó para coincidir con los dos grupos se denomina módulo de distancia y es una medida directa de la distancia (ignorando la extinción ). Esta técnica se conoce como ajuste de secuencia principal y es un tipo de paralaje espectroscópico.. No solo se puede utilizar el apagado en la secuencia principal, sino también la punta de las estrellas rojas gigantes. [8] [9]
El rol del diagrama en el desarrollo de la física estelar [ editar ]
La contemplación del diagrama llevó a los astrónomos a especular que podría demostrar una evolución estelar, la sugerencia principal es que las estrellas colapsaron de gigantes rojas a estrellas enanas, y luego se desplazaron hacia abajo a lo largo de la línea de la secuencia principal en el transcurso de sus vidas. Por lo tanto, se pensaba que las estrellas irradiaban energía convirtiendo la energía gravitacional en radiación a través del mecanismo de Kelvin-Helmholtz . Este mecanismo resultó en una edad para el Sol de solo decenas de millones de años, creando un conflicto sobre la edad del Sistema Solar entre astrónomos y biólogos y geólogos que tenían evidencia de que la Tierra era mucho más antigua que eso. Este conflicto solo se resolvió en la década de 1930 cuando se identificó la fusión nuclear como la fuente de energía estelar.
Luego de la presentación de Russell del diagrama a una reunión de la Royal Astronomical Society en 1912, Arthur Eddington se inspiró para usarlo como base para desarrollar ideas sobre la física estelar . En 1926, en su libro La Constitución Interna de las Estrellas , explicó la física de cómo encajan las estrellas en el diagrama. [10]El artículo anticipó el descubrimiento posterior de la fusión nuclear y propuso correctamente que la fuente de poder de la estrella era la combinación de hidrógeno en helio, liberando una energía enorme. Este fue un salto de percepción particularmente notable, ya que en ese momento la fuente de energía de una estrella aún estaba sin resolver, la energía termonuclearno se había comprobado que existiera, e incluso que las estrellas están compuestas en gran parte de hidrógeno (véase metalicidad ), aún no se habían descubierto. Eddington logró evitar este problema al concentrarse en la termodinámica del transporte de energía por radiación en los interiores estelares. [11] Eddington predijo que las estrellas enanas permanecen en una posición esencialmente estática en la secuencia principal durante la mayor parte de sus vidas. En las décadas de 1930 y 1940, con una comprensión de la fusión del hidrógeno, surgió una teoría de la evolución respaldada por la evidencia para los gigantes rojos, a continuación se especularon casos de explosión e implosión de los restos a las enanas blancas. El término supernova nucleosíntesis.se utiliza para describir la creación de elementos durante la evolución y la explosión de una estrella pre-supernova, un concepto presentado por Fred Hoyle en 1954. [12] La mecánica cuánticamatemática pura y los modelos mecánicos clásicos de procesos estelares permiten que Hertzsprung – Russell Diagrama para anotar con las rutas convencionales conocidas conocidas como secuencias estelares: se siguen agregando ejemplos más raros y más anómalos a medida que se analizan más estrellas y se consideran modelos matemáticos.
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