ECUACIONES

resolver una ecuación es encontrar sus soluciones , que son los valores ( números , funciones , conjuntos , etc.) que cumplen la condición establecida por la ecuación , que consiste generalmente en dos expresiones relacionadas por un signo de igualdad . Cuando se busca una solución, una o más variables libres se designan como desconocidas . Una solución es una asignación de expresiones a las variables desconocidas que hacen que la igualdad en la ecuación sea verdadera. En otras palabras, una solución es una expresión o una colección de expresiones (una para cada incógnita) tal que, cuandoSustituido por lo desconocido, la ecuación se convierte en una identidad . Una solución de una ecuación a menudo también se denomina raíz de la ecuación, particularmente pero no solo para ecuaciones algebraicas o numéricas .

Un problema de resolver una ecuación puede ser numérico o simbólico. Resolver una ecuación numéricamente significa que solo los números representados explícitamente como números (no como una expresión que involucra variables), se admiten como soluciones. Resolver simbólicamente una ecuación significa que las expresiones que pueden contener variables conocidas o posiblemente también variables que no están en la ecuación original se admiten como soluciones.

Por ejemplo, la ecuación x + y = 2 x - 1 se resuelve para el desconocido x mediante la solución x = y + 1 , porque al sustituir y + 1 con x en la ecuación se obtiene ( y + 1) + y = 2 ( y + 1) - 1 , una declaración verdadera. También es posible tomar la variable y como desconocida, y luego la ecuación se resuelve con y = x - 1 . O x y yambos pueden tratarse como incógnitas, y luego hay muchas soluciones a la ecuación. ( x , y ) = ( a + 1, a ) es una solución simbólica. La creación de una solución simbólica con números específicos siempre da una solución numérica; por ejemplo, a = 0 da ( x , y ) = (1, 0) (es decir, x = 1 y y = 0 ) y a = 1 da ( x , y ) = (2, 1). Tenga en cuenta que la distinción entre variables conocidas y variables desconocidas se hace en la declaración del problema, en lugar de en la ecuación. Sin embargo, en algunas áreas de las matemáticas, la convención es reservar algunas variables como conocidas y otras como desconocidas. Cuando se escriben polinomios, los coeficientes suelen tomarse como conocidos y los indeterminados como desconocidos, pero según el problema, todas las variables pueden asumir cualquiera de los dos roles.

Dependiendo del problema, la tarea puede ser encontrar cualquier solución (encontrar una sola solución es suficiente) o todas las soluciones. El conjunto de todas las soluciones se denomina conjunto de soluciones . En el ejemplo anterior, la solución ( x , y ) = ( a + 1, a ) es también una parametrización del conjunto de soluciones con el parámetro a . También es posible que la tarea sea encontrar una solución, posiblemente entre muchas, que sea mejor en algún aspecto; Los problemas de esa naturaleza se llaman problemas de optimización ; resolver un problema de optimización generalmente no se conoce como "resolución de ecuaciones".

Una redacción como "una ecuación en x e y ", o "resolver para x e y ", implica que las incógnitas son las indicadas: en estos casos, x e y .

Descripción general [ editar ]

En un caso general, tenemos una situación como

ƒ  ( x ₁ , ..., x _n ) =  c ,

donde x ₁ , ..., x _n son las incógnitas y c es una constante. Sus soluciones son los miembros de la imagen inversa.

ƒ  ⁻¹ [ c ] = {( a ₁ , ..., a _n ) ∈  T ₁ × ··· × T _n  | ƒ  ( a ₁ , ..., a _n ) =  c },

donde T ₁ × ··· × T _n es el dominio de la función ƒ . Tenga en cuenta que el conjunto de soluciones puede ser el conjunto vacío (no hay soluciones), un singleton (hay exactamente una solución), finito o infinito (hay infinitas soluciones).

Por ejemplo, una ecuación como

3 x  + 2 y  = 21 z

con las incógnitas x , y y z , se puede resolver modificando primero la ecuación de alguna manera mientras se mantiene equivalente, como restar 21 z de ambos lados de la ecuación para obtener

3 x  + 2 y  - 21 z  = 0

En este caso particular, no hay una sola solución para esta ecuación, sino un conjunto infinito de soluciones, que se pueden escribir

{( x ,  y ,  z ) | 3 x  + 2 y  - 21 z  = 0}.

Una solución particular es x = 0, y = 0, z = 0. Otras dos soluciones son x = 3, y = 6, z = 1, y x = 8, y = 9, z = 2. De hecho, este particular El conjunto de soluciones describe un plano en el espacio tridimensional, que pasa a través de los tres puntos con estas coordenadas.

Conjuntos de soluciones [ editar ]

Artículo principal: conjunto de soluciones

El conjunto de soluciones de un conjunto dado de ecuaciones o desigualdades es el conjunto de todas sus soluciones, una solución que es una tupla de valores, uno para cada incógnita , que satisface todas las ecuaciones o desigualdades. Si el conjunto de soluciones está vacío, entonces no hay valores x _{i, de} modo que las ecuaciones o desigualdades se vuelvan verdaderas simultáneamente.

Por ejemplo, examinemos un caso clásico de una variable. Usando la función de cuadratura en los enteros, es decir, la función ƒ cuyo dominio son los enteros (los números enteros) definidos por:

ƒ ( x ) = x ² ,

considera la ecuación

ƒ ( x ) = 2.

Su conjunto de soluciones es {}, el conjunto vacío, ya que 2 no es el cuadrado de un entero, por lo que ningún entero resuelve esta ecuación. Sin embargo, tenga en cuenta que al intentar encontrar soluciones para esta ecuación, si modificamos la definición de la función, más específicamente, el dominio de la función , podemos encontrar soluciones para esta ecuación. Entonces, si tuviéramos que definir que el dominio de ƒ consiste en números reales , la ecuación anterior tiene dos soluciones, y su conjunto de soluciones es

{ √ 2 , - √ 2 }.

Ya hemos visto que ciertos conjuntos de soluciones pueden describir superficies. Por ejemplo, al estudiar matemáticas elementales, uno sabe que el conjunto de soluciones de una ecuación en la forma ax  +  by  =  ccon a ,  b ,  yc constantes de valores reales, con a y b que no son iguales a cero, forma una línea en el espacio vectorial R ² . Sin embargo, puede que no siempre sea fácil representar gráficamente los conjuntos de soluciones; por ejemplo, el conjunto de soluciones a una ecuación en la forma ax  +  by  +  cz  +  dw  = k (con a , b , c , d , yk constantes de valores reales) es un hiperplano .

Métodos de solución [ editar ]

Los métodos para resolver ecuaciones generalmente dependen del tipo de ecuación, tanto del tipo de expresiones en la ecuación como del tipo de valores que pueden ser asumidos por las incógnitas. La variedad en los tipos de ecuaciones es grande, y también lo son los métodos correspondientes. Sólo unos pocos tipos específicos se mencionan a continuación.

En general, dada una clase de ecuaciones, es posible que no haya un método sistemático conocido ( algoritmo ) que garantice que funcione. Esto puede ser debido a la falta de conocimiento matemático; Algunos problemas solo fueron resueltos después de siglos de esfuerzo. Pero esto también refleja que, en general, no puede existir tal método: algunos problemas son conocidos por ser imposible de resolver mediante un algoritmo, como décimo problema de Hilbert , que fue probado en 1970 irresoluble.

Para varias clases de ecuaciones, se han encontrado algoritmos para resolverlos, algunos de los cuales se han implementado e incorporado en sistemas de álgebra computacional , pero a menudo no requieren una tecnología más sofisticada que el lápiz y el papel. En algunos otros casos, se conocen métodos heurísticos que a menudo son exitosos pero que no se garantiza que conduzcan al éxito.

Fuerza bruta, prueba y error, conjetura inspirada [ editar ]

Si el conjunto de soluciones de una ecuación está restringido a un conjunto finito (como es el caso de las ecuaciones en aritmética modular , por ejemplo), o si se puede limitar a un número finito de posibilidades (como es el caso de algunas ecuaciones diofánticas ), El conjunto de soluciones se puede encontrar por fuerza bruta , es decir, probando cada uno de los valores posibles ( soluciones candidatas ). Sin embargo, puede ser el caso que el número de posibilidades a ser consideradas, aunque finitas, sea tan grande que una búsqueda exhaustivano sea prácticamente factible; Esto es, de hecho, un requisito para los métodos de encriptación fuertes .

Al igual que con todos los tipos de resolución de problemas , la prueba y el error a veces pueden generar una solución, en particular cuando la forma de la ecuación, o su similitud con otra ecuación con una solución conocida, puede conducir a una "estimación inspirada" de la solución. Si una conjetura, cuando se prueba, no es una solución, la consideración de la forma en que falla puede llevar a una conjetura modificada.

Álgebra elemental [ editar ]

Ecuaciones que involucran funciones racionales simples o lineales de un solo desconocido de valor real, por ejemplo , x , como

$${\ displaystyle 8x + 7 = 4x + 35 \ quad {\ text {o}} \ quad {\ frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 \ ,,}

Se puede resolver utilizando los métodos del álgebra elemental .

Sistemas de ecuaciones lineales [ editar ]

Los sistemas más pequeños de ecuaciones lineales pueden resolverse igualmente mediante métodos de álgebra elemental. Para resolver sistemas más grandes, se utilizan algoritmos basados ​​en álgebra lineal .

Ecuaciones polinomiales [ editar ]

Artículo principal: Resolución de ecuaciones polinomiales.

Ver también: Sistema de ecuaciones polinomiales.

Las ecuaciones polinómicas de grado hasta cuatro pueden resolverse exactamente usando métodos algebraicos, de los cuales la fórmula cuadrática es el ejemplo más simple. Las ecuaciones polinomiales con un grado de cinco o superior requieren métodos numéricos generales (ver más abajo) o funciones especiales como los radicales de Bring , aunque algunos casos específicos pueden resolverse algebraicamente, por ejemplo

4 x ⁵ - x ³ - 3 = 0

(usando el teorema de la raíz racional ), y

x ⁶ - 5 x ³ + 6 = 0,

(Al usar la sustitución x = z ^1/3 , lo que simplifica esto a una ecuación cuadrática en z ).

Ecuaciones diofánticas [ editar ]

En las ecuaciones diofánticas, las soluciones deben ser enteros . En algunos casos, se puede utilizar un enfoque de fuerza bruta, como se mencionó anteriormente. En algunos otros casos, en particular si la ecuación está en un desconocido, es posible resolver la ecuación para incógnitas con valores racionales (ver Teorema de la raíz racional ), y luego encontrar soluciones a la ecuación diofántica al restringir el conjunto de soluciones a entero. soluciones valoradas. Por ejemplo, la ecuación polinomial.

$${\ displaystyle 2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0 \,

tiene como soluciones racionales x = −1/2 y x = 3, y así, vista como una ecuación diofántica, tiene la única solución x = 3.

En general, sin embargo, las ecuaciones diofánticas se encuentran entre las más difíciles de resolver.

Funciones inversas [ editar ]

Ver también: Problema inverso.

En el caso simple de una función de una variable, digamos, h ( x ), podemos resolver una ecuación de la forma

h ( x ) = c , c constante

considerando lo que se conoce como la función inversa de h .

Dada una función h  : A → B , la función inversa, denotada h ⁻¹ , definida como h ⁻¹  : B → A es una función tal que

h ⁻¹ ( h ( x )) = h ( h ⁻¹ ( x )) = x .

Ahora, si aplicamos la función inversa a ambos lados de

h ( x ) = c , donde c es un valor constante en B ,

obtenemos

h ⁻¹ ( h ( x )) = h ⁻¹ ( c )

x = h ⁻¹ ( c )

Y hemos encontrado la solución a la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, la inversa puede ser difícil de definir, o puede no ser una función en todo el conjunto B (solo en algún subconjunto), y tiene muchos valores en algún punto.

Si solo sirve una solución, en lugar del conjunto completo de soluciones, en realidad es suficiente si solo la identidad funcional

h ( h ⁻¹ ( x )) = x

sostiene. Por ejemplo, la proyección π ₁  : R ² → R definida por π ₁ ( x , y ) = x no tiene efecto inverso, pero tiene un preinverso π ₁ ⁻¹ definido por π ₁ ⁻¹ ( x ) = ( x , 0) . En efecto, la ecuación.

π ₁ ( x , y ) = c

es resuelto por

( x , y ) = π ₁ ⁻¹ ( c ) = ( c , 0).

Ejemplos de funciones inversas incluyen la raíz n th (inversa de x ⁿ ); el logaritmo (inverso de una ^x ); las funciones trigonométricas inversas ; y la función W de Lambert (inversa de x e ^x ).

Factorización [ editar ]

Si la expresión del lado izquierdo de una ecuación P = 0 puede factorizarse como P = QR , el conjunto de soluciones de la solución original consiste en la unión de los conjuntos de soluciones de las dos ecuaciones Q = 0 y R = 0. Por ejemplo , la ecuacion

$${\ displaystyle \ tan x + \ cot x = 2}

se puede reescribir usando la identidad tan x cuna x = 1 como

$${\ displaystyle {\ frac {\ tan ^ {2} x-2 \ tan x + 1} {\ tan x}} = 0,}

que puede ser factorizado en

$${\ displaystyle {\ frac {(\ tan x-1) ^ {2}} {\ tan x}} = 0.}

Las soluciones son, pues, las soluciones de la ecuación tan x = 1 , y son así el conjunto.

$${\ displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {4}} + k \ pi, k = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ ldots.}

Métodos numéricos [ editar ]

Con ecuaciones más complicadas en números reales o complejos , los métodos simples para resolver ecuaciones pueden fallar. A menudo, los algoritmos de búsqueda de raíces como el método de Newton-Raphsonpueden usarse para encontrar una solución numérica a una ecuación que, para algunas aplicaciones, puede ser completamente suficiente para resolver algún problema.

Ecuaciones matriciales [ editar ]

Las ecuaciones que involucran matrices y vectores de números reales a menudo se pueden resolver utilizando métodos del álgebra lineal .

Ecuaciones diferenciales [ editar ]

Existe una gran cantidad de métodos para resolver varios tipos de ecuaciones diferenciales , tanto numéricacomo analíticamente . Una clase particular de problema que se puede considerar que pertenece aquí es la integración , y los métodos analíticos para resolver este tipo de problemas ahora se denominan integración simbólica .