La ecuación de tiempo describe la discrepancia entre dos tipos de tiempo solar . La palabra ecuación se usa en el sentido medieval de "reconciliar una diferencia". Los dos tiempos que difieren son el tiempo solar aparente , que sigue directamente el movimiento diurno del Sol , y el tiempo solar medio , que rastrea un Sol medio teórico con un movimiento uniforme. El tiempo solar aparente se puede obtener mediante la medición de la posición actual ( ángulo de la hora ) del Sol, según lo indicado (con una precisión limitada) por un reloj de sol . MediaLa hora solar, para el mismo lugar, sería la hora indicada por un reloj estable establecido de modo que, a lo largo del año, sus diferencias con la hora solar aparente se resolverían en cero. [1]
La ecuación de tiempo es el componente este u oeste del analema , una curva que representa el desplazamiento angular del Sol desde su posición media en la esfera celeste tal como se ve desde la Tierra. La ecuación de los valores de tiempo para cada día del año, compilada por observatorios astronómicos , se incluyó ampliamente en almanaques y efemérides .
El concepto [ editar ]
Durante un año, la ecuación de tiempo varía como se muestra en la gráfica; su cambio de un año a otro es leve. El tiempo aparente, y el reloj de sol, pueden estar adelantados (rápidos) hasta 16 min 33 s(alrededor del 3 de noviembre), o atrasados (lentos) hasta 14 min 6 s (alrededor del 12 de febrero). La ecuación de tiempo tiene ceros cerca del 15 de abril, 13 de junio, 1 de septiembre y 25 de diciembre. Haciendo caso omiso de los cambios muy lentos en la órbita y la rotación de la Tierra, estos eventos se repiten a la misma hora cada año tropical . Sin embargo, debido al número de días no enteros en un año, estas fechas pueden variar aproximadamente un día de un año a otro. [4] [5]
La gráfica de la ecuación del tiempo se aproxima mucho a la suma de dos curvas seno, una con un período de un año y otra con un período de medio año. Las curvas reflejan dos efectos astronómicos, cada uno de los cuales causa una falta de uniformidad diferente en el movimiento diario aparente del Sol en relación con las estrellas:
- la oblicuidad de la eclíptica (el plano del movimiento orbital anual de la Tierra alrededor del Sol), que se inclina aproximadamente 23.44 grados con respecto al plano del ecuador de la Tierra ; y
- la excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, que es aproximadamente 0.0167.
La ecuación de tiempo es constante solo para un planeta con cero inclinación axial y cero excentricidad orbital . En Marte, la diferencia entre la hora del reloj de sol y la hora del reloj puede ser de hasta 50 minutos, debido a la excentricidad considerablemente mayor de su órbita. El planeta Urano , que tiene una inclinación axial extremadamente grande, tiene una ecuación de tiempo que hace que sus días comiencen y terminen varias horas antes o después, dependiendo de dónde se encuentre en su órbita.
Signo de la ecuación del tiempo [ editar ]
El Observatorio Naval de los Estados Unidos declara que "la Ecuación del Tiempo es la diferencia del tiempo solar aparente menos el tiempo solar promedio , es decir, si el Sol está delante del reloj, el signo es positivo y si el reloj está delante del Sol, el signo es negativo. [6] [7] La ecuación de tiempo se muestra en el gráfico superior anterior durante un período de poco más de un año. El gráfico inferior (que cubre exactamente un año calendario) tiene los mismos valores numéricos pero el signose invierte, ya que muestra cuán lejos está el reloj delante del sol. Las publicaciones pueden usar cualquiera de los dos formatos: en el mundo de habla inglesa, el uso anterior es el más común, pero no siempre se sigue. Cualquier persona que haga uso de una tabla o gráfica publicada debe verificar primero su uso de signos. A menudo, hay una nota o título que lo explica. De lo contrario, el uso puede determinarse sabiendo que, durante los primeros tres meses de cada año, el reloj está adelantado al reloj de sol. El mnemotécnico "NYSS" (pronunciado como "nice"), por "new year, sundial slow", puede ser útil. Algunas tablas publicadas evitan la ambigüedad al no usar signos, sino que muestran frases como "reloj de sol rápido" o "reloj de sol lento". [8]
En este artículo, y otros en la Wikipedia en inglés, un valor positivo de la ecuación de tiempo implica que un reloj de sol está adelantado a un reloj.
Historia [ editar ]
La frase "ecuación de tiempo" se deriva del latín medieval aequātiō diērum , que significa "ecuación de días" o "diferencia de días". La palabra aequātiō se usó ampliamente en la astronomía temprana para tabular la diferencia entre un valor observado y el valor esperado (como en la ecuación del centro, la ecuación de los equinoccios, la ecuación del epiciclo). La diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo medio fue reconocida por los astrónomos desde la antigüedad, pero antes de la invención de relojes mecánicos precisos a mediados del siglo XVII, los relojes de soleran los únicos relojes confiables, y el tiempo solar aparente era el estándar generalmente aceptado. El tiempo medio no suplantó el tiempo aparente en almanaques y efemérides nacionales hasta principios del siglo XIX. [9]
Nevil Maskelyne dio una descripción del tiempo medio y aparente en el Almanaque Náutico para 1767: "Tiempo Aparente es el que se deduce inmediatamente del Sol, ya sea por la Observación de su paso por el Meridiano, o por su Levantamiento o Ajuste observados . Esta vez es diferente de lo que muestran los Relojes y los Relojes bien regulados en la Tierra, lo que se denomina tiempo equivalente ". Continuó diciendo que, en el mar, el tiempo aparente encontrado a partir de la observación del Sol debe ser corregido por la ecuación de tiempo, si el observador requiere el tiempo promedio. [1]
El momento adecuado se consideró originalmente como el que mostraba un reloj de sol. Cuando se introdujeron buenos relojes mecánicos, acordaron con relojes de sol solo cerca de cuatro fechas cada año, por lo que se utilizó la ecuación de tiempo para "corregir" sus lecturas para obtener el tiempo de reloj de sol. Algunos relojes, llamados relojes de ecuación , incluyen un mecanismo interno para realizar esta "corrección". Más tarde, a medida que los relojes se convirtieron en los relojes dominantes, la hora del reloj no corregida, es decir, "tiempo medio", se convirtió en el estándar aceptado. Las lecturas de los relojes de sol, cuando se usaron, se corrigieron con la ecuación del tiempo, y en su momento se siguen corrigiendo con la ecuación del tiempo anterior, para obtener la hora del reloj. Muchos relojes de sol, por lo tanto,[ cita requerida ]
La ecuación del tiempo se utilizó históricamente para establecer relojes . Entre la invención de los relojes precisos en 1656 y el advenimiento de los servicios de distribución de tiempo comercial alrededor de 1900, había tres formas comunes de establecer relojes. En primer lugar, en el caso del evento inusual de tener un astrónomo presente, se notó el tránsito del sol a través del meridiano (el momento en que el sol pasaba por encima), el reloj se ajustó a mediodía y se compensó con el número de minutos dados por la ecuación de tiempo para esa fecha. En segundo lugar, y mucho más comúnmente, se leyó un reloj de sol, se consultó una tabla de la ecuación del tiempo (generalmente grabada en la esfera) y el reloj o el reloj se ajustaron en consecuencia. Estos calcularon el tiempo medio, aunque local a un punto de longitud. El tercer método no utilizó la ecuación del tiempo; en su lugar, utilizó observaciones estelares para dar tiempo sideral , explotando la relación entre el tiempo sideral y el tiempo solar medio . [10]
Por supuesto, la ecuación de tiempo aún se puede utilizar, cuando sea necesario, para obtener el tiempo solar aparente a partir del tiempo del reloj. Los dispositivos como los seguidores solares , que se mueven para seguir el ritmo de los movimientos del Sol en el cielo, a menudo no incluyen sensores para determinar la posición del Sol. En su lugar, están controlados por un mecanismo de reloj, junto con un mecanismo que incorpora la ecuación de tiempo para hacer que el dispositivo siga el ritmo del sol. [ cita requerida ]
Historia antigua: Babilonia y Egipto [ editar ]
El movimiento diario irregular del Sol fue conocido por los babilonios. Libro III de Ptolomeo 's Almagesto se ocupa principalmente de la anomalía del Sol, y se tabuló la ecuación del tiempo en sus Tablas de Handy . [11] Ptolomeo discute la corrección necesaria para convertir el cruce del meridiano del Sol en tiempo solar solar y toma en consideración el movimiento no uniforme del Sol a lo largo de la eclíptica y la corrección del meridiano para la longitud eclíptica del Sol. Afirma la corrección máxima es de 8 1 / 3 de tiempo grados o 5 / 9 de una hora (Libro III, capítulo 9). [12] Sin embargo, no consideró que el efecto fuera relevante para la mayoría de los cálculos, ya que era insignificante para las luminarias de movimiento lento y solo lo aplicaba para la luminaria de movimiento más rápido, la Luna.
Medieval y renacentista astronomía [ editar ]
Basados en la discusión de Ptolomeo en el Almagesto , los astrónomos medievales islámicos como al-Khwarizmi, al-Battani , Kushyar ibn Labban , Jamshīd al-Kāshī y otros, hicieron mejoras en las tablas solares y el valor de la oblicuidad, y publicaron tablas de la ecuación. del tiempo ( taʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) en sus zij (tablas astronómicas). [13]
Después de eso, la siguiente mejora sustancial en el cómputo no llegó hasta el último malestar de Kepler de la astronomía geocéntrica de los antiguos. Gerald J. Toomer usa el término medieval "ecuación" del latín aequātiō [n 1] , para la diferencia de Ptolomeo entre el tiempo solar medio y el tiempo solar aparente. La definición de la ecuación de Johannes Kepler es "la diferencia entre el número de grados y minutos de la anomalía media y los grados y minutos de la anomalía corregida". [14]
Tiempo aparente versus tiempo medio local [ editar ]
Hasta la invención del péndulo y el desarrollo de relojes confiables durante el siglo XVII, la ecuación del tiempo definida por Ptolomeo seguía siendo una curiosidad, de importancia solo para los astrónomos. Sin embargo, cuando los relojes mecánicos comenzaron a tomar el control del tiempo de los relojes de sol, que habían servido a la humanidad durante siglos, la diferencia entre la hora del reloj y la hora del reloj de sol se convirtió en un problema para la vida cotidiana. El tiempo solar aparente es el tiempo indicado por el Sol en un reloj de sol (o medido por su tránsito sobre un meridiano local preferido), mientras que el tiempo solar medio es el promedio según lo indican los relojes bien regulados. Las primeras tablas para dar la ecuación del tiempo de una manera esencialmente correcta fueron publicadas en 1665 por Christiaan Huygens . [15]Huygens, siguiendo la tradición de Ptolomeo y los astrónomos medievales en general, establece sus valores para la ecuación del tiempo a fin de que todos los valores sean positivos a lo largo del año. [16] [n 2]
Otro conjunto de tablas fue publicado en 1672–73 por John Flamsteed , quien más tarde se convirtió en el primer Astrónomo Real del nuevo Observatorio Real de Greenwich . Estas parecen haber sido las primeras tablas esencialmente correctas que dieron el significado actual del Tiempo promedio (en lugar del tiempo promedio basado en el último amanecer del año, según lo propuesto por Huygens). Flamsteed adoptó la convención de tabular y nombrar la corrección en el sentido de que debía aplicarse al tiempo aparente para dar el tiempo medio. [17]
La ecuación de tiempo, basada correctamente en los dos componentes principales de la irregularidad del movimiento aparente del Sol, [n 3] no se adoptó en general hasta después de las tablas de Flamsteed de 1672–73, publicadas con la edición póstuma de las obras de Jeremiah Horrocks . [18]
Robert Hooke (1635–1703), quien analizó matemáticamente la articulación universal , fue el primero en notar que la geometría y la descripción matemática de la ecuación del tiempo (no secular) y la articulación universal eran idénticas, y propuso el uso de un universal Conjunto en la construcción de un "reloj de sol mecánico". [19]
Principios del siglo 18 y 19. [ editar ]
Las correcciones en las tablas de Flamsteed de 1672–1673 y 1680 dieron el tiempo medio calculado esencialmente correctamente y sin necesidad de un desplazamiento adicional. Pero los valores numéricos en las tablas de la ecuación del tiempo han cambiado algo desde entonces, debido a tres factores:
- mejoras generales en la precisión que provienen de los refinamientos en las técnicas de medición astronómica,
- cambios intrínsecos lentos en la ecuación del tiempo, que se producen como resultado de pequeños cambios a largo plazo en la oblicuidad y la excentricidad de la Tierra (que afectan, por ejemplo, la distancia y las fechas del perihelio ), y
- la inclusión de pequeñas fuentes de variación adicional en el movimiento aparente del Sol, desconocida en el siglo XVII, pero descubierta a partir del siglo XVIII, incluidos los efectos de la Luna [n 4] , Venus y Júpiter. [20]
Desde 1767 hasta 1833, el almanaque náutico británico y la efemérides astronómica tabularon la ecuación del tiempo en el sentido de "media menos el tiempo solar aparente". Los tiempos en el Almanaque estaban en el tiempo solar aparente, porque el tiempo a bordo de la nave se determinaba con mayor frecuencia observando el Sol. En el caso inusual de que el tiempo solar medio de una observación fuera necesario, se aplicaría la ecuación de tiempo al tiempo solar aparente . En los temas desde 1834, todos los tiempos han estado en el tiempo solar medio, porque para entonces el tiempo a bordo del barco estaba determinado cada vez más por cronómetros marinos . En el caso inusual de que el tiempo solar aparente de una observación fuera necesario, uno aplicaría la ecuación de tiempo para significar Tiempo solar, que requiere que todas las diferencias en la ecuación de tiempo tengan el signo opuesto que antes.
Como el movimiento diario aparente del Sol es una revolución por día, es decir 360 ° cada 24 horas, y el Sol aparece como un disco de aproximadamente 0,5 ° en el cielo, los relojes de sol simples se pueden leer con una precisión máxima de aproximadamente uno. minuto. Debido a que la ecuación de tiempo tiene un rango de aproximadamente 33 minutos, la diferencia entre la hora del reloj de sol y la hora del reloj no se puede ignorar. Además de la ecuación de tiempo, uno también tiene que aplicar correcciones debido a la distancia del meridiano de zona horaria local y el horario de verano , si corresponde.
El pequeño aumento de la media del día solar debido a la desaceleración de la rotación de la Tierra, en aproximadamente 2 ms por día por siglo, que actualmente se acumula hasta aproximadamente 1 segundo cada año, no se tiene en cuenta en las definiciones tradicionales de la ecuación de Tiempo, ya que es imperceptible en el nivel de precisión de los relojes de sol.
Principales componentes de la ecuación [ editar ]
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La excentricidad de la órbita de la Tierra [ editar ]
La tierra gira alrededor del Sol. Como se ve desde la Tierra, el Sol parece girar una vez alrededor de la Tierra a través de las estrellas de fondo en un año. Si la Tierra orbitara el Sol con una velocidad constante, en una órbita circular en un plano perpendicular al eje de la Tierra, entonces el Sol culminaría todos los días exactamente a la misma hora y será un perfecto guardián del tiempo (excepto por el efecto muy pequeño de la ralentización de la rotación de la tierra). Pero la órbita de la Tierra es una elipse que no está centrada en el Sol, y su velocidad varía entre 30.287 y 29.291 km / s, según las leyes de movimiento planetario de Kepler , y su velocidad angular también varía, y por lo tanto el Sol parece moverse más rápido. (en relación con las estrellas de fondo) en el perihelio (actualmente alrededor del 3 de enero) y más lento enafelio medio año después. [21] [ no en la cita dada ]
En estos puntos extremos, este efecto varía el día solar aparente en 7,9 s / día de su media. En consecuencia, las diferencias diarias más pequeñas en otros días en velocidad son acumulativas hasta estos puntos, lo que refleja cómo el planeta acelera y desacelera en comparación con la media. Como resultado, la excentricidad de la órbita de la Tierra contribuye a una variación periódica que es (en la aproximación de primer orden) una onda sinusoidal con una amplitud de 7.66 min y un período de un año para la ecuación de tiempo. Los puntos cero se alcanzan en el perihelio (a principios de enero) y en el afelio (principios de julio); los valores extremos son a principios de abril (negativos) y principios de octubre (positivos).
Oblicuidad de la eclíptica [ editar ]
Sin embargo, incluso si la órbita de la Tierra fuera circular, el movimiento percibido del Sol a lo largo de nuestro ecuador celestial aún no sería uniforme. Esto es una consecuencia de la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto al plano de su órbita , o de manera equivalente, la inclinación de la eclíptica (la trayectoria que el Sol parece tomar en la esfera celeste ) con respecto al ecuador celeste . La proyección de este movimiento en nuestro ecuador celeste , a lo largo del cual se mide el "tiempo de reloj", es un máximo en los solsticios , cuando el movimiento anual del Sol es paralelo al ecuador (lo que provoca la amplificación de la velocidad percibida) y produce principalmente un cambio. enAscensión recta . Es un mínimo en los equinoccios , cuando el movimiento aparente del Sol es más inclinado y produce más cambios en la declinación , dejando menos para el componente en ascensión recta , que es el único componente que afecta la duración del día solar. Una ilustración práctica de la oblicuidad es que el desplazamiento diario de la sombra proyectada por el Sol en un reloj de sol, incluso en el ecuador, es más pequeña cerca de los solsticios y mayor cerca de los equinoccios. Si este efecto funcionara solo, entonces los días tendrían una duración de hasta 24 horas y 20,3 segundos (medido desde el mediodía solar al mediodía solar) cerca de los solsticios, y hasta 20,3 segundos menos que 24 horas cerca de los equinoccios. [22] [ no en la cita dada ]
En la figura de la derecha, podemos ver la variación mensual de la pendiente aparente del plano de la eclíptica en el mediodía solar visto desde la Tierra. Esta variación se debe a la aparente precesión de la Tierra en rotación a lo largo del año, como se ve desde el Sol al mediodía solar.
En términos de la ecuación de tiempo, la inclinación de la eclíptica resulta en la contribución de una variación de onda sinusoidal con una amplitud de 9.87 minutos y un período de medio año a la ecuación de tiempo. Los puntos cero de esta onda sinusoidal se alcanzan en los equinoccios y solsticios, mientras que los extremos se encuentran a principios de febrero y agosto (negativos) y principios de mayo y noviembre (positivos).
Efectos seculares [ editar ]
Los dos factores mencionados anteriormente tienen diferentes longitudes de onda, amplitudes y fases, por lo que su contribución combinada es una onda irregular. En la época 2000 estos son los valores (en minutos y segundos con fechas UT ):
| Punto | Valor | Fecha |
|---|---|---|
| mínimo | −14 min 15 s | 11 de febrero |
| cero | 0 min 0 s | 15 de abril |
| máximo | +3 min 41 s | 14 de mayo |
| cero | 0 min 0 s | 13 de junio |
| mínimo | −6 min 30 s | 26 de julio |
| cero | 0 min 0 s | 1 de septiembre |
| máximo | +16 min 25 s | 3 de noviembre |
| cero | 0 min 0 s | 25 de diciembre |
- ET = aparente - media. Medios positivos: el Sol corre rápido y culmina más temprano, o el reloj de sol está adelantado al tiempo promedio. Se produce una ligera variación anual debido a la presencia de años bisiestos, reajustándose cada 4 años.
La forma exacta de la ecuación de la curva de tiempo y el analema asociado cambian lentamente [23] a lo largo de los siglos, debido a las variaciones seculares tanto en la excentricidad como en la oblicuidad. En este momento, ambos están disminuyendo lentamente, pero aumentan y disminuyen en una escala de tiempo de cientos de miles de años. Si la excentricidad orbital de la Tierra (ahora alrededor de 0.0167 y disminuye lentamente) alcanza 0.047, el efecto de excentricidad puede en algunas circunstancias eclipsar el efecto de oblicuidad, dejando la ecuación de la curva de tiempo con solo un máximo y mínimo por año, como es el caso Marte. [24]
En escalas de tiempo más cortas (miles de años) los cambios en las fechas de equinoccio y perihelio serán más importantes. El primero es causado por la precesión , y desplaza el equinoccio hacia atrás en comparación con las estrellas. Pero se puede ignorar en la discusión actual ya que nuestro calendario gregoriano está construido de tal manera que se mantenga la fecha del equinoccio vernal al 20 de marzo (al menos con suficiente precisión para nuestro objetivo aquí). El cambio del perihelio es hacia adelante, aproximadamente 1.7 días cada siglo. En 1246, el perihelio se produjo el 22 de diciembre, el día del solsticio, por lo que las dos ondas contribuyentes tenían puntos cero comunes y la ecuación de la curva de tiempo era simétrica: en Algoritmos astronómicosMeeus da los extremos de febrero y noviembre de 15 m 39 sy los de mayo y julio de 4 m 58 s. Antes de esa fecha, el mínimo de febrero era mayor que el máximo de noviembre, y el máximo de mayo era mayor que el mínimo de julio. De hecho, en los años anteriores a −1900 (1901 aC), el máximo de mayo fue mayor que el máximo de noviembre. En el año −2000 (2001 BCE), el máximo de mayo fue de +12 minutos y un par de segundos, mientras que el máximo de noviembre fue de menos de 10 minutos. El cambio secular es evidente cuando se compara un gráfico actual de la ecuación del tiempo (ver más abajo) con uno de hace 2000 años, por ejemplo, uno construido a partir de los datos de Ptolomeo. [ cita requerida ]
Representación gráfica [ editar ]
Uso práctico [ editar ]
Si el gnomon (el objeto que proyecta la sombra) no es un borde sino un punto (por ejemplo, un agujero en una placa), la sombra (o el punto de luz) trazará una curva durante el transcurso de un día. Si la sombra se proyecta sobre una superficie plana, esta curva será una sección cónica.(por lo general, una hipérbola), ya que el círculo del movimiento del Sol junto con el punto gnomon definen un cono. En los equinoccios de primavera y otoño, el cono se degenera en un plano y la hipérbola en una línea. Con una hipérbola diferente para cada día, se pueden colocar marcas de hora en cada hipérbola que incluyen las correcciones necesarias. Desafortunadamente, cada hipérbola corresponde a dos días diferentes, uno en cada mitad del año, y estos dos días requerirán correcciones diferentes. Un compromiso conveniente es trazar la línea para el "tiempo promedio" y agregar una curva que muestre la posición exacta de los puntos de sombra al mediodía durante el transcurso del año. Esta curva tomará la forma de una figura ocho y se conoce como un analema.. Al comparar el analema con la línea media del mediodía, se puede determinar la cantidad de corrección que se aplicará generalmente ese día.
La ecuación de tiempo se usa no solo en conexión con relojes de sol y dispositivos similares, sino también para muchas aplicaciones de energía solar . Las máquinas como los seguidores solares y los heliostatos tienen que moverse en formas que están influenciadas por la ecuación del tiempo.
La hora civil es la hora local promedio para un meridiano que a menudo pasa cerca del centro de la zona horaria, y posiblemente se puede alterar aún más por el horario de verano . Cuando se encuentra la hora solar aparente que corresponde a una hora civil determinada, se debe considerar la diferencia de longitud entre el sitio de interés y el meridiano de zona horaria, el horario de verano y la ecuación de la hora. [25]
Calculando la ecuación del tiempo [ editar ]
La ecuación de tiempo se obtiene de una tabla publicada o una gráfica. Para fechas en el pasado, tales tablas se producen a partir de mediciones históricas, o por cálculo; Para fechas futuras, por supuesto, las tablas solo se pueden calcular. En dispositivos como los heliostatos controlados por computadora, la computadora a menudo está programada para calcular la ecuación de tiempo. El cálculo puede ser numérico o analítico. Las primeras se basan en la integración numérica de las ecuaciones diferenciales de movimiento, incluidos todos los efectos gravitacionales y relativistas significativos. Los resultados son precisos a más de 1 segundo y son la base para los datos del almanaque moderno. Las últimas se basan en una solución que incluye solo la interacción gravitacional entre el Sol y la Tierra, más simple pero no tan precisa como la anterior. Su precisión puede mejorarse incluyendo pequeñas correcciones.
La siguiente discusión describe un algoritmo razonablemente preciso (de acuerdo con los datos del Almanaque dentro de 3 segundos en un amplio rango de años) para la ecuación de tiempo que es bien conocida por los astrónomos. [26] También muestra cómo obtener una fórmula aproximada simple (con una precisión de 1 minuto durante un gran intervalo de tiempo), que se puede evaluar fácilmente con una calculadora y proporciona una explicación simple del fenómeno que se usó anteriormente en este artículo.
Descripción matemática [ editar ]
La definición precisa de la ecuación de tiempo es [27]
- EOT = GHA - GMHA
Las cantidades que ocurren en esta ecuación son
- EOT, la diferencia de tiempo entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio ;
- GHA, el ángulo de la hora de Greenwich del Sol aparente (real);
- GMHA = Tiempo universal - Desplazamiento, el ángulo de la hora media de Greenwich de la media (ficticia) del Sol.
Aquí el tiempo y el ángulo son cantidades que están relacionadas por factores tales como: 2 π radianes = 360 ° = 1 día = 24 horas. La diferencia, EOT, es mensurable ya que GHA es un ángulo que se puede medir y Universal Time , UT, es una escala para la medición del tiempo. El desplazamiento de π = 180 ° = 12 horas desde UT es necesario porque UT es cero a la media noche mientras que GMHA = 0 al mediodía medio. [n 5] Tanto GHA como GMHA, como todos los ángulos físicos, tienen una discontinuidad matemática, pero no física en su respectivo mediodía (aparente y medio). A pesar de las discontinuidades matemáticas de sus componentes, EOT se define como una función continua sumando (o restando) 24 horas en el pequeño intervalo de tiempo entre las discontinuidades en GHA y GMHA.
De acuerdo con las definiciones de los ángulos en la esfera celeste GHA = GAST - α (ver ángulo de hora )
donde:
donde:
- GAST es el tiempo sideral aparente de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el meridiano en el plano del ecuador). Esta es una función conocida de UT. [28]
- α es la ascensión correcta del Sol aparente (el ángulo entre el equinoccio vernal aparente y el Sol real en el plano del ecuador).
Al sustituir en la ecuación del tiempo, es
- EOT = GAST - α - UT + offset
Al igual que la fórmula para GHA anterior, se puede escribir GMHA = GAST - α M , donde el último término es la ascensión correcta del Sol medio. La ecuación se escribe a menudo en estos términos como [29]
- EOT = α M - α
donde α M = GAST - UT + offset . En esta formulación, una medición o cálculo de EOT en un determinado valor de tiempo depende de una medición o cálculo de α en ese momento. Tanto α y α M varían de 0 a 24 horas durante el transcurso de un año. El primero tiene una discontinuidad en un momento que depende del valor de UT, mientras que el último tiene su en un momento un poco más tarde. Como consecuencia, cuando se calcula de esta manera, EOT tiene dos discontinuidades artificiales. Ambos se pueden eliminar restando 24 horas del valor de EOT en el pequeño intervalo de tiempo después de la discontinuidad en α y antes de la de α M. El EOT resultante es una función continua del tiempo.
Otra definición, denotada E para distinguirlo de EOT, es
- E = GMST - α - UT + offset
Aquí GMST = GAST - eqeq , es el tiempo sideral medio de Greenwich (el ángulo entre el equinoccio vernal medio y el Sol medio en el plano del ecuador). Por lo tanto, GMST es una aproximación a GAST (y E es una aproximación a EOT); eqeq se denomina ecuación de los equinoccios y se debe a la oscilación, o nutación del eje de rotación de la Tierra sobre su movimiento precesional. Dado que la amplitud del movimiento nutacional es solo de aproximadamente 1,2 s (18 ″ de longitud), la diferencia entre EOT y E puede ignorarse a menos que uno esté interesado en la precisión de un segundo.
Una tercera definición, denotado Δ t para distinguirla de EOT y E , y ahora llamada la Ecuación de Efemérides Tiempo [30] (antes de la distinción que ahora se hace entre EOT, E , y Δ t este último se conoce como la ecuación de tiempo) es
- Δ t = Λ - α
aquí Λ es la longitud eclíptica del Sol medio (el ángulo desde el equinoccio vernal medio hasta el Sol medio en el plano de la eclíptica ).
La diferencia Λ - (GMST - UT + offset) es 1.3 s desde 1960 hasta 2040. Por lo tanto, sobre este rango restringido de años Δ t es una aproximación a EOT cuyo error está en el rango de 0.1 a 2.5 s dependiendo de la corrección de longitud en la ecuación de los equinoccios; para muchos propósitos, por ejemplo, para corregir un reloj de sol, esta precisión es más que suficiente.
Cálculo de ascensión recta [ editar ]
La ascensión correcta y, por lo tanto, la ecuación del tiempo, pueden calcularse a partir de la teoría de los dos cuerpos de Newton del movimiento celeste, en la que los cuerpos (Tierra y Sol) describen órbitas elípticas sobre su centro de masa común. Usando esta teoría, la ecuación del tiempo se convierte en
- Δ t = M + λ p - α
Donde están los nuevos ángulos que aparecen.
- M = 2π ( t - t p )t Y , es la anomalía media , el ángulo desde la periapsis de la órbita elíptica al Sol medio; su rango es de 0 a 2 π a medida que t aumenta de t p to t p + t Y ;
- t Y = 365.259 6358 días es el período de tiempo en un año anómalo : el intervalo de tiempo entre dos pasajes sucesivos de la periapsis;
- λ p = Λ - M , es la longitud eclíptica de la periapsis;
- t es el tiempo dinámico , la variable independiente en la teoría. Aquí se considera que es idéntico al tiempo continuo basado en UT (ver más arriba), pero en cálculos más precisos (de E o EOT), la pequeña diferencia entre ellos se debe tener en cuenta [31] , así como la distinción entre UT1 y UTC.
Para completar el cálculo se requieren tres ángulos adicionales:
- E , la anomalía excéntrica del Sol(tenga en cuenta que esto es diferente de M );
- ν , la verdadera anomalía del Sol;
- λ = ν + λ p , la verdadera longitud del Sol en la eclíptica.
Todos estos ángulos se muestran en la figura de la derecha, que muestra la esfera celeste y la órbita elíptica del Sol vista desde la Tierra (lo mismo que la órbita de la Tierra vista desde el Sol). En esta figura ε es la oblicuidad , mientras que e = √ 1 - ( b / a ) 2 es la excentricidad de la elipse.
Ahora, dado un valor de 0 ≤ M ≤ 2π , se puede calcular α ( M ) mediante el siguiente procedimiento conocido: [26]
- M = E - e sin E
Si bien esta ecuación no se puede resolver exactamente en forma cerrada, los valores de E ( M ) se pueden obtener a partir de series infinitas (de potencia o trigonométricas), gráficas o numéricas. Como alternativa, tenga en cuenta que para e = 0 , E = M , y por iteración: [33]
- E ≈ M + e pecado M .
Esta aproximación se puede mejorar, para la pequeña e , iterando de nuevo,
- E ≈ M + e pecado M + 12 e 2 sen 2 M ,
y la iteración continua produce términos de orden sucesivamente superiores de la expansión de la serie de potencias en e . Para valores pequeños de e (mucho menos que 1) dos o tres términos de la serie dan una buena aproximación para E ; Cuanto más pequeña sea , mejor será la aproximación.
Luego, conociendo E , calcule la verdadera anomalía ν a partir de una relación de órbita elíptica [34]
La rama correcta de la función de valor múltiple tan −1 x a usar es la que hace ν una función continua de E ( M ) a partir de ν E = 0 = 0 . Por lo tanto, para 0 ≤ E <π use tan −1 x = Tan −1 x , y para π < E ≤ 2π use tan −1 x = Tan −1 x + π . En el valor específico E = π para el cual el argumento de tanes infinito, el uso ν = E . Aquí Tan −1 x es la rama principal, | Tan −1 x | < π2 ; La función que es devuelta por calculadoras y aplicaciones informáticas. Alternativamente, esta función se puede expresar en términos de sus series de Taylor en e , los tres primeros términos de los cuales son:
- nu ≈ E + E pecado E + 14 e 2 sen 2 E .
Para e pequeña, esta aproximación (o incluso los dos primeros términos) es buena. Combinando la aproximación de E ( M ) con esta para ν ( E ) produce
- nu ≈ M + 2 e pecado M + 54 e 2 pecado 2 M .
La relación ν ( M ) se llama la ecuación del centro ; La expresión escrita aquí es una aproximación de segundo orden en e . Para el pequeño valor de e que caracteriza la órbita de la Tierra, esto da una muy buena aproximación para ν ( M ) .
A continuación, sabiendo ν , calcule λ a partir de su definición:
- λ = ν + λ p
El valor de λ varía no linealmente con M porque la órbita es elíptica y no circular. De la aproximación para ν :
- λ ≈ M + λ p + 2 e pecado M + 54 e 2 pecado 2 M .
Finalmente, saber λ calcular α a partir de una relación para el triángulo rectángulo en la esfera celeste que se muestra arriba [35]
- α = tan −1 (cos ε tan λ )
Tenga en cuenta que el cuadrante de α es el mismo que el de λ , por lo tanto, reduzca λ al rango de 0 a 2 π y escriba
- α = Tan −1 (cos ε tan λ ) + k π ,
donde k es 0 si λ está en el cuadrante 1, es 1 si λ está en los cuadrantes 2 o 3 y es 2 si λ está en el cuadrante 4. Para los valores en los que tan es infinito, α = λ .
Aunque se pueden obtener valores aproximados para α de series de Taylor truncadas como las de ν , [36] es más eficaz usar la ecuación [37]
- α = λ - sin −1 [ y sin ( α + λ )]
donde y = tan 2 ( ε2 ) . Tenga en cuenta que para ε = y = 0 , α = λ e iterando dos veces:
- alpha ≈ λ - y sen 2 λ + 12 Y 2 sen 4 λ .
Ecuación de tiempo [ editar ]
La ecuación de tiempo se obtiene al sustituir el resultado del cálculo de la ascensión correcta en una fórmula de ecuación de tiempo. Aquí se usa Δ t ( M ) = M + λ p - α [ λ ( M )] ; en parte porque las pequeñas correcciones (del orden de 1 segundo), que justificarían el uso de E , no se incluyen, y en parte porque el objetivo es obtener una expresión analítica simple. Usando aproximaciones de dos términos para λ ( M ) y α ( λ ) , permite Δ tpara escribirse como una expresión explícita de dos términos, que se designa Δ t ey porque es una aproximación de primer orden en e y en y .
- Ey t ey = −2 e sin M + y sin (2 M + 2 λ p ) = −7.659 sin M + 9.863 sin (2 M + 3.5932) minutos
Esta ecuación fue derivada por primera vez por Milne, [38] que la escribió en términos de λ = M + λ p . Los valores numéricos escritos aquí resultan del uso de los valores del parámetro orbital, e = 0.016 709 , ε = 23.4393° = 0.409 093 radianes, y λ p = 282.9381 ° = 4.938 201 radianes que corresponden a la época del 1 de enero de 2000 a las 12:00 del mediodía UT1 . Cuando se evalúa la expresión numérica para Δ t eycomo se indicó anteriormente, una calculadora debe estar en modo de radianes para obtener los valores correctos porque el valor de 2 λ p - 2π en el argumento del segundo término se escribe allí en radianes. También se pueden escribir aproximaciones de orden superior, [39] pero necesariamente tienen más términos. Por ejemplo, la aproximación de segundo orden en e e y consta de cinco términos [40]
- Δ t e 2 y 2 = Δ t ey - 54 e 2 Sin 2 M + ey pecado M cos (2 M + 2 λ p ) - 12 y 2 sin (4 M + 4 λ p )
Esta aproximación tiene el potencial de alta precisión; sin embargo, para lograrla en un amplio rango de años, los parámetros e , ε y λ p deben poder variar con el tiempo. [41] Esto crea complicaciones de cálculo adicionales. Se han propuesto otras aproximaciones, por ejemplo, Δ t e [42] que usa la ecuación de primer orden del centro pero ninguna otra aproximación para determinar α , y Δ t e 2 [43] que usa la ecuación de segundo orden del centro.
La variable de tiempo, M , se puede escribir en términos de n , el número de días después del perihelio o D , el número de días después de una fecha y hora específicas (época):
- M = 2πt Y n días = M D + 2πt Y D días = 6.240 040 77 + 0.017 201 97 D
Aquí M D es el valor de M en la fecha y hora elegidas. Para los valores dados aquí, en radianes, M D es la medida para el Sol real en la época, 1 de enero de 2000 a las 12 del mediodía UT1, y D es el número de días posteriores a esa época. En la periapsis M = 2π , la solución da D = D p = 2.508 109 . Esto coloca la periapsis el 4 de enero de 2000 a las 00:11:41, mientras que la periapsis real es, según los resultados del Almanaque de computadora interactivo multianual [44](abreviado como MICA), el 3 de enero de 2000 a las 05:17:30. Esta gran discrepancia ocurre porque la diferencia entre el radio orbital en las dos ubicaciones es de solo 1 parte en un millón; en otras palabras, el radio es una función muy débil del tiempo cerca de la periapsis. Como cuestión práctica, esto significa que no se puede obtener un resultado altamente preciso para la ecuación de tiempo usando n y agregando la fecha de periapsis real para un año determinado. Sin embargo, de alta precisión se puede lograr mediante el uso de la formulación en términos de D .
Cuando D > D p , M es mayor que 2 π y uno debe restar un múltiplo de 2 π(que depende del año) para ponerlo en el rango de 0 a 2 π . Del mismo modo, para los años anteriores a 2000, se deben sumar múltiplos de 2 π . Por ejemplo, para el año 2010, D varía de 3653el 1 de enero al mediodía a 4017 al 31 de diciembre al mediodía, los valores Mcorrespondientes son 69.078 9468 y 75.340 4748 y se reducen al rango de 0 a 2 π al restar 10 y 11 tiempos 2πrespectivamente. Siempre se puede escribir D = n Y + d , donde n Y es el número de días desde la época hasta el mediodía del 1 de enero del año deseado, y 0 ≤ d ≤ 364(365 si el cálculo es para un año bisiesto).
El resultado de los cálculos se suele dar como un conjunto de valores tabulares o como un gráfico de la ecuación del tiempo en función de d . En la figura de la derecha se muestra una comparación de las gráficas de Δ t , Δ t ey, y los resultados de MICA para el año 2000. La gráfica de Δ t ey se ve cercana a los resultados producidos por MICA, el error absoluto, Err = | Δ t ey - MICA2000 | , es menos de 1 minuto durante todo el año; su valor más grande es de 43,2 segundos y ocurre el día 276 (3 de octubre). La trama de Δ t Es indistinguible de los resultados de MICA, el error absoluto más grande entre los dos es de 2.46 s en el día 324 (20 de noviembre).
Observación sobre la continuidad de la ecuación del tiempo [ editar ]
Para la elección de la rama apropiada de la relación arctan con respecto a la continuidad de la función, es útil una versión modificada de la función arctangente. Aporta conocimientos previos sobre el valor esperado mediante un parámetro. La función arctangente modificada se define como:
- arctan η x = arctan x + π round ( η - arctan xπ ) .
Produce un valor que es lo más cercano a η como sea posible. La función de ronda redondea al entero más cercano.
Aplicando estos rendimientos:
- Δ t ( M ) = M + λ p - arctan ( M + λ p ) (cos ε tan λ ) .
El parámetro M + λ p organiza aquí para establecer Δ t al valor más cercano a cero, que es la deseada.
Efectos seculares [ editar ]
La diferencia entre las MICA y delta t resultados se comprobó cada 5 años sobre el rango de 1960 a 2040. En todos los casos el error máximo absoluto fue menos de 3 s; la mayor diferencia, 2.91 s, ocurrió el 22 de mayo de 1965 (día 141). Sin embargo, para alcanzar este nivel de precisión en este rango de años, es necesario tener en cuenta el cambio secular en los parámetros orbitales con el tiempo. Las ecuaciones que describen esta variación son: [45]
De acuerdo con estas relaciones, en 100 años ( D = 36 525 ), λ p aumenta en alrededor de 0.5% (1.7 °), edisminuye en alrededor de 0.25% y ε disminuye en alrededor de 0.05%.
Como resultado, la cantidad de cálculos requeridos para cualquiera de las aproximaciones de orden superior de la ecuación de tiempo requiere que una computadora los complete, si uno quiere lograr su precisión inherente en un amplio rango de tiempo. En este caso no es más difícil de evaluar Δ t usando una computadora que cualquiera de sus aproximaciones.
En toda esta nota que Δ t ey como está escrito arriba es fácil de evaluar, incluso con una calculadora, es lo suficientemente precisa (mejor que 1 minuto en todo el rango de 80 años) para corregir los relojes de sol, y tiene la explicación física agradable como la suma de dos términos, uno debido a la oblicuidad y el otro a la excentricidad que se utilizó anteriormente en el artículo. Esto no es cierto ni para Δ t considerado como una función de M ni para ninguna de sus aproximaciones de orden superior.
Cálculo alternativo [ editar ]
Otro cálculo de la ecuación de tiempo se puede hacer de la siguiente manera. [46] [ enlace muerto ] Los ángulos están en grados; Se aplica el orden convencional de operaciones .
- W =360 °365.24 días
W es la velocidad orbital angular media de la Tierra en grados por día.
- A = W × ( D + 10)
D es la fecha, en días que comienzan en cero el 1 de enero (es decir, los días que forman parte de la fecha ordinal menos 1). 10 es el número aproximado de días desde el solsticio de diciembre hasta el 1 de enero. Unaes el ángulo de la tierra se movería en su órbita a su velocidad media desde el solsticio de diciembre hasta la fecha D .
- B = A + 360 °π × 0.0167 × sin [ W ( D - 2)]
B es el ángulo que mueve la Tierra desde el solsticio hasta la fecha D , incluida una corrección de primer orden para la excentricidad orbital de la Tierra, 0.0167. El número 2 es el número de días desde el 1 de enero hasta la fecha del perihelio de la Tierra. Esta expresión para B se puede simplificar combinando constantes con:
- B = A + 1.914 ° × sen [ W ( D - 2)] .
C es la diferencia entre los ángulos movidos a velocidad media y a la velocidad corregida proyectada en el plano ecuatorial, y dividida por 180 para obtener la diferencia en " medias vueltas ". El valor 23.44 ° es la oblicuidad (inclinación) del eje de la Tierra. La resta da el signo convencional a la ecuación del tiempo. Para cualquier valor dado de x , arctan x (a veces escrito como tan −1 x ) tiene múltiples valores, que se diferencian entre sí por números enteros de medias vueltas. El valor generado por una calculadora o computadora puede no ser el adecuado para este cálculo. Esto puede causar Cestar equivocado por un número entero de medias vueltas. Las medias vueltas en exceso se eliminan en el siguiente paso del cálculo para dar la ecuación de tiempo:
- EOT = 720 × ( C - nint ( C )) minutos
La expresión nint ( C ) significa el número entero más cercano al C . En una computadora, se puede programar, por ejemplo, como INT (C + 0.5) . Es 0, 1 o 2 en diferentes épocas del año. Restarlo deja un pequeño número fraccional positivo o negativo de medias vueltas, que se multiplica por 720, la cantidad de minutos (12 horas) que tarda la Tierra en girar una media vuelta con respecto al Sol, para obtener la ecuación de tiempo.
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