ECUACIONES

La ecuación de Cahn-Hilliard (después de John W. Cahn y John E. Hilliard ) es una ecuación de la física matemática que describe el proceso de separación de fases , mediante el cual las dos componentes de un fluido binario se separan espontáneamente y forman dominios puros en cada componente. Si$${\ displaystyle c} Es la concentración del fluido, con $${\ displaystyle c = \ pm 1} indicando dominios, entonces la ecuación se escribe como

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = D \ nabla ^ {2} \ left (c ^ {3} -c- \ gamma \ nabla ^ {2} c \ right),}

dónde $${\ displaystyle D}Es un coeficiente de difusión con unidades de$${\ displaystyle {\ text {Longitud}} ^ {2} / {\ text {Tiempo}}} y $${\ displaystyle {\ sqrt {\ gamma}}}da la longitud de las regiones de transición entre los dominios. aquí$${\ displaystyle \ partial / {\ partial t}} es la derivada de tiempo parcial y $${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}es el laplaciano en$${\ displaystyle n}dimensiones. Además, la cantidad$${\ displaystyle \ mu = c ^ {3} -c- \ gamma \ nabla ^ {2} c} Se identifica como un potencial químico.

Relacionada con esto está la ecuación de Allen-Cahn , así como la ecuación de Cahn-Hilliard estocástica y la ecuación de Allen-Cahn estocástica.

Características y aplicaciones [ editar ]

De interés para los matemáticos es la existencia de una solución única de la ecuación de Cahn-Hilliard, dada por los datos iniciales suaves. La prueba se basa esencialmente en la existencia de un Lyapunov funcional . En concreto, si nos identificamos

$${\ displaystyle F [c] = \ int d ^ {n} x \ left [{\ frac {1} {4}} \ left (c ^ {2} -1 \ right) ^ {2} + {\ frac {\ gamma} {2}} \ left | \ nabla c \ right | ^ {2} \ right],

Como una energía libre funcional, entonces

$${\ displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = - \ int d ^ {n} x \ left | \ nabla \ mu \ right | ^ {2},}

Para que la energía libre no crezca en el tiempo. Esto también indica que la segregación en dominios es el resultado asintótico de la evolución de esta ecuación.

En experimentos reales, se observa la segregación de un fluido binario inicialmente mezclado en dominios. La segregación se caracteriza por los siguientes hechos.

Evolución de datos iniciales aleatorios bajo la ecuación de Cahn-Hilliard con $${\ displaystyle \ gamma = 0.5} y $${\ displaystyle C = 0}, demostrando separación de fases.

• Hay una capa de transición entre los dominios segregados, con un perfil dado por la función $${\ displaystyle c (x) = \ tanh \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2 \ gamma}}} \ right),} y de ahí un ancho típico. $${\ displaystyle {\ sqrt {\ gamma}}} Porque esta función es una solución de equilibrio de la ecuación de Cahn-Hilliard.
• De interés también es el hecho de que los dominios segregados crecen en el tiempo como una ley de poder. Es decir, si$${\ displaystyle L (t)} es un tamaño de dominio típico, entonces $${\ displaystyle L (t) \ propto t ^ {1/3}}. Esta es la ley de Lifshitz-Slyozov, y se ha demostrado rigurosamente para la ecuación de Cahn-Hilliard y se ha observado en simulaciones numéricas y experimentos reales en fluidos binarios.
• La ecuación de Cahn-Hilliard tiene la forma de una ley de conservación, $${\ displaystyle {\ frac {\ partial c} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ mathbf {j} (x),} con $${\ displaystyle \ mathbf {j} (x) = D \ nabla \ mu}. Así, el proceso de separación de fases conserva la concentración total.$${\ displaystyle C = \ int d ^ {n} xc \ left (x, t \ right)}, así que eso $${\ displaystyle {\ frac {dC} {dt}} = 0}.
• Cuando una fase es significativamente más abundante, la ecuación de Cahn-Hilliard puede mostrar el fenómeno conocido como la maduración de Ostwald , donde la fase minoritaria forma gotitas esféricas y las gotitas más pequeñas se absorben por difusión en las más grandes.

Las ecuaciones de Cahn-Hilliard encuentran aplicaciones en diversos campos: en fluidos complejos y materia blanda (flujo de fluidos interfacial, ciencia de polímeros y en aplicaciones industriales). La solución de la ecuación de Cahn-Hilliard para una mezcla binaria demostró coincidir bien con la solución de un problema de Stefan y el modelo de Thomas y Windle. ^[1] De interés para los investigadores en la actualidad es el acoplamiento de la separación de fases de la ecuación de Cahn-Hilliard a las ecuaciones de flujo de fluido de Navier-Stokes .

 ecuación de Callan-Symanzik es una ecuación diferencial que describe la evolución de las funciones de correlación de n puntos bajo la variación de la escala de energía en la que se define la teoría e involucra la función beta de la teoría y las dimensiones anómalas.

Como ejemplo, para una teoría de campo cuántico con un campo escalar sin masa y un término de autoacoplamiento, denota la intensidad de campo desnudo por$${\ displaystyle \ phi _ {0}} y la constante de acoplamiento desnudo por $${\ displaystyle g_ {0}}. En el proceso de renormalización , se debe elegir una escala de masa M Dependiendo de M , la intensidad de campo se vuelve a escalar mediante una constante:$${\ displaystyle \ phi = Z \ phi _ {0}}, y como resultado la constante de acoplamiento desnudo $${\ displaystyle g_ {0}}se desplaza correspondientemente a la constante de acoplamiento renormalizada g .

De importancia física son las funciones renormalizadas de n puntos, calculadas a partir de diagramas de Feynman conectados , esquemáticamente de la forma

$${\ displaystyle G ^ {(n)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}; M, g) = \ langle \ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2 }) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ rangle}

Para una elección dada del esquema de renormalización, el cálculo de esta cantidad depende de la elección de M , que afecta el cambio en g y el cambio de escala de$${\ displaystyle \ phi}. Si la elección de$${\ displaystyle M} está ligeramente alterado por $${\ displaystyle \ delta M}, entonces ocurrirán los siguientes turnos:

$${\ displaystyle M \ to M + \ delta M}

$${\ displaystyle g \ to g + \ delta g}

$${\ displaystyle \ phi = Z \ phi _ {0} \ to Z '\ phi _ {0} = (1+ \ delta \ eta) \ phi}

$${\ displaystyle G ^ {(n)} \ a (1 + n \, \ delta \ eta) G ^ {(n)}}

La ecuación de Callan-Symanzik relaciona estos cambios:

$${\ displaystyle n \, \ delta \ eta G ^ {(n)} = {\ frac {\ partial G ^ {(n)}} {\ partial M}} \ delta M + {\ frac {\ partial G ^ { (n)}} {\ partial g}} \ delta g}

Después de las siguientes definiciones

$${\ displaystyle \ beta = {\ frac {M} {\ delta M}} \ delta g}

$${\ displaystyle \ gamma = - {\ frac {M} {\ delta M}} \ delta \ eta}

La ecuación de Callan-Symanzik se puede poner en la forma convencional:

$${\ displaystyle \ left [M {\ frac {\ parcial} {\ parcial M}} + \ beta (g) {\ frac {\ parcial} {\ parcial g}} + n \ gamma \ derecha] G ^ {( n)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}; M, g) = 0}

$${\ displaystyle \ beta (g)}siendo la función beta .

En la electrodinámica cuántica esta ecuación toma la forma.

$${\ displaystyle \ left [M {\ frac {\ parcial} {\ parcial M}} + \ beta (e) {\ frac {\ parcial} {\ parcial e}} + n \ gamma _ {2} + m \ gamma _ {3} \ derecha] G ^ {(n, m)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}; y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {m}; M, e) = 0}

donde n y m son los números de campos de electrones y fotones , respectivamente, para los cuales la función de correlación$${\ displaystyle G ^ {(n, m)}}se define. La constante de acoplamiento renormalizada es ahora la carga elementalrenormalizada e . El campo de electrones y el campo de fotones se vuelven a escalar de manera diferente bajo la renormalización, y por lo tanto conducen a dos funciones separadas,$${\ displaystyle \ gamma _ {2}} y $${\ displaystyle \ gamma _ {3}}, respectivamente.

La ecuación de Callan-Symanzik fue descubierta independientemente por Curtis Callan ^[1] y Kurt Symanzik ^[2] [3]en 1970. Más tarde se usó para entender la libertad asintótica .

Esta ecuación surge en el marco del grupo de renormalización . Es posible tratar la ecuación utilizando la teoría de la perturbación .

La ecuación de Callendar-Van Dusen es una ecuación que describe la relación entre la resistencia (R) y la temperatura (T) de los termómetros de resistencia de platino (RTD).

Como se usa comúnmente para aplicaciones comerciales de termómetros RTD, la relación entre la resistencia y la temperatura viene dada por las siguientes ecuaciones. La relación por encima de 0 ° C (hasta el punto de fusión del aluminio ~ 660 ° C) es una simplificación de la ecuación que se mantiene en un rango más amplio hasta -200 ° C. La forma más larga fue publicada en 1925 (ver más abajo) por MS Van Dusen y se da como:

$${\ displaystyle R (T) = R (0) [1 + A * T + B * T ^ {2} + (T-100) C * T ^ {3}].}

Si bien Callendar publicó anteriormente la forma más simple, generalmente solo es válida en el rango entre 0 ° C y 661 ° C y se presenta como:

$${\ displaystyle R (T) = R (0) (1 + A * T + B * T ^ {2}).}

Donde las constantes A, B y C se derivan de parámetros determinados experimentalmente α, β y δ utilizando mediciones de resistencia realizadas a 0 ° C, 100 ° C y 260 ° C.

Es importante tener en cuenta que estas ecuaciones se enumeran como la base de las tablas de temperatura / resistencia para los termómetros de resistencia de platino idealizados y no están diseñadas para la calibración de un termómetro individual, lo que requeriría que se encuentren los parámetros determinados experimentalmente.

Estas ecuaciones se citan en las Normas internacionales para las funciones de resistencia a temperatura y temperatura RTD de platino DIN / IEC 60751 (también llamadas IEC 751) , también adoptadas como BS-1904 , y con alguna modificación, JIS C1604.

La ecuación fue encontrada por el físico británico Hugh Longbourne Callendar , y refinada para mediciones a temperaturas más bajas por MS Van Dusen, un químico de la Oficina Nacional de Estándares de los Estados Unidos (ahora conocido como el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología ) en un trabajo publicado en 1925 en El Diario de la American Chemical Society .

A partir de 1968, la Ecuación de Callendar-Van Dusen fue reemplazada por una fórmula de interpolación dada por un polinomio de 20º orden publicado por primera vez en la Escala Internacional de Temperatura Práctica de 1968 por el Comité Internacional de Poids et Mesures.

A partir de 1990, la fórmula de interpolación se refinó aún más con la publicación de The International Temperature Scale of 1990 . El ITS-90 es publicado por el Comité Consultivo de Termometría y el Comité Internacional de Poids et Mesures. Este trabajo proporciona un polinomio de 12º orden que es válido en un rango de temperatura aún más amplio que abarca desde 13.8033 K hasta 273.16 K y un segundo polinomio de noveno orden que es válido en el rango de temperatura de 0 ° C hasta 961.78 ° C.