ECUACIONES

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La trama del radical Bring para un argumento real

En álgebra , el Bring radical o ultraradical de un número real  a es la única raíz real del polinomio

$${\ displaystyle x ^ {5} + x + a.}

El radical Bring de un número complejo a es cualquiera de las cinco raíces del polinomio anterior (es, por lo tanto, de múltiples valores ), o una raíz específica, que generalmente se elige para que el radical Bring sea una función de a , que tiene un valor real cuando a es real, y es una función analítica en una vecindad de la línea real. Debido a la existencia de cuatro puntos de ramificación , el radical Bring no se puede definir como una función que es continua en todo el plano complejo , y su dominio de continuidad debe excluir cuatro cortes de ramificación .

George Jerrard demostró que algunas ecuaciones quínticas se pueden resolver en forma cerrada utilizando radicales y radicales Bring, que fueron introducidos por Erland Bring .

En este artículo, el radical Bring de a se denota$${\ displaystyle \ operatorname {BR} (a).} Para un argumento real, es extraño, monótonamente decreciente y sin límites, con comportamiento asintótico $${\ displaystyle \ mathrm {BR} (a) \ sim -a ^ {1/5}} para grande $${\ displaystyle a}.

Formas normales [ editar ]

La ecuación quíntica es bastante difícil de obtener soluciones directamente, con cinco coeficientes independientes en su forma más general:

$${\ displaystyle x ^ {5} + a_ {4} x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = 0. \,}

Los diversos métodos para resolver la quíntica que se han desarrollado generalmente intentan simplificar la quíntica utilizando transformaciones de Tschirnhaus para reducir el número de coeficientes independientes.

Forma quintic Principal [ editar ]

El quíntico general puede reducirse a lo que se conoce como la forma quíntica principal , con los términos quártico y cúbico eliminados:

$${\ displaystyle y ^ {5} + c_ {2} y ^ {2} + c_ {1} y + c_ {0} = 0 \,}

Si las raíces de una quíntica general y una quíntica principal están relacionadas por una transformacióncuadrática de Tschirnhaus

$${\ displaystyle y_ {k} = x_ {k} ^ {2} + \ alpha x_ {k} + \ beta \ ,,}

Los coeficientes α y β pueden determinarse utilizando la resultante , o por medio de las sumas de poder de las raíces y las identidades de Newton . Esto conduce a un sistema de ecuaciones en α y β que consiste en una ecuación cuadrática y otra lineal, y cualquiera de los dos conjuntos de soluciones puede usarse para obtener los tres coeficientes correspondientes de la forma quíntica principal. ^[1]

Esta forma es utilizada por la solución de Felix Klein para la quíntica. ^[2]

Traer – forma normal de Jerrard [ editar ]

Es posible simplificar aún más la quíntica y eliminar el término cuadrático, produciendo la forma normal de Bring-Jerrard :

$${\ displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0. \,}

Usar las fórmulas de suma de potencias nuevamente con una transformación cúbica como lo intentó Tschirnhausno funciona, ya que el sistema de ecuaciones resultante da como resultado una ecuación de sexto grado. Pero en 1796, Bring encontró una forma de evitar esto mediante el uso de una transformación quártica de Tschirnhaus para relacionar las raíces de una quintica principal con las de una quintica de Bring-Jerrard:

$${\ displaystyle v_ {k} = y_ {k} ^ {4} + \ alpha y_ {k} ^ {3} + \ beta y_ {k} ^ {2} + \ gamma y_ {k} + \ delta \, .}

El parámetro adicional que proporciona esta transformación de cuarto orden permite que Bring disminuya los grados de los otros parámetros. Esto lleva a un sistema de cinco ecuaciones en seis incógnitas, que luego requiere la solución de una ecuación cúbica y cuadrática. Este método también fue descubierto por Jerrard en 1852, ^[3] pero es probable que no estuviera al tanto del trabajo previo de Bring en esta área. ^[4] La transformación completa se puede lograr fácilmente usando un paquete de álgebra computacional tal como Mathematica ^[5] o Maple . ^[6]Como podría esperarse de la complejidad de estas transformaciones, las expresiones resultantes pueden ser enormes, particularmente cuando se comparan con las soluciones en radicales para ecuaciones de menor grado, que requieren muchos megabytes de almacenamiento para una quíntica general con coeficientes simbólicos. ^[5]

Considerada como una función algebraica, las soluciones a

$${\ displaystyle v ^ {5} + d_ {1} v + d_ {0} = 0 \,}

implicar dos variables, d ₁ y d ₀ ; sin embargo, la reducción es en realidad a una función algebraica de una variable, muy análoga a una solución en radicales, ya que podemos reducir aún más la forma de Bring-Jerrard. Si por ejemplo configuramos

$${\ displaystyle z = {v \ over {\ sqrt [{4}] {- {\ frac {d_ {1}} {5}}}}} \,}

Luego reducimos la ecuación a la forma.

$${\ displaystyle z ^ {5} -5z-4t = 0 \ ,,}

que involucra a z como una función algebraica de una sola variable  t , donde$${\ displaystyle t = - (d_ {0} / 4) (- d_ {1} / 5) ^ {- 5/4}}. Una transformación similar es suficiente para reducir la ecuación a

$${\ displaystyle u ^ {5} -u + a = 0 \ ,,}

que es la forma requerida por el método de Hermite-Kronecker-Brioschi, el método de Glasser y el método de resolución diferencial de Cockle-Harley descrito a continuación.

Forma normal Brioschi [ editar ]

Hay otra forma normal de un parámetro para la ecuación quíntica, conocida como forma normal de Brioschi

$${\ displaystyle w ^ {5} -10Cw ^ {3} + 45C ^ {2} wC ^ {2} = 0,}

que se puede derivar utilizando la transformación racional Tschirnhaus

$${\ displaystyle w_ {k} = {\ frac {\ lambda + \ mu x_ {k}} {{\ frac {x_ {k} ^ {2}} {C}} - 3}}}

Relacionar las raíces de una quintica general con una brioschi quintic. Los valores de los parámetros.$${\ displaystyle \ lambda \,} y $${\ displaystyle \ mu \,}se puede derivar del uso de funciones poliédricas en la esfera de Riemann y se relacionan con la partición de un objeto de simetría icosaédrica en cinco objetos de simetría tetraédrica . ^[7]

Cabe señalar que esta transformación de Tschirnhaus es bastante más simple que la difícil utilizada para transformar una quíntica principal en la forma de Bring-Jerrard. Esta forma normal es utilizada por el método de iteración Doyle-McMullen y el método Kiepert.

Representación en serie [ editar ]

Una serie de Taylor para Traer radicales, así como una representación en términos de funciones hipergeométricas se pueden derivar de la siguiente manera. La ecuacion$${\ displaystyle x ^ {5} + x + a = 0 \,} se puede reescribir como $${\ displaystyle x ^ {5} + x = -a \,}; configurando$${\ displaystyle f (x) = x ^ {5} + x \,}, la solución deseada es $${\ displaystyle x = f ^ {- 1} (- a) \,}.

La serie para $${\ displaystyle f ^ {- 1} \,}Entonces se puede obtener por reversión de la serie de Taylor para$${\ displaystyle f (x) \,} (que es simplemente $${\ displaystyle x + x ^ {5} \,}), dando:

$${\ displaystyle f ^ {- 1} (a) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ binom {5k} {k}} {\ frac {(-1) ^ {k} a ^ {4k + 1}} {4k + 1}} = aa ^ {5} + 5a ^ {9} -35a ^ {13} + ...}

donde los valores absolutos de los coeficientes son la secuencia A002294 en el OEIS . La serie confirma que$${\ displaystyle f ^ {- 1} (a) \,}es impar. Esto da

$${\ displaystyle \ operatorname {BR} (a) = f ^ {- 1} (- a) = - f ^ {- 1} (a) = - a + a ^ {5} -5a ^ {9} + 35a ^ {13} + ... \,}

La serie converge para {\ displaystyle | a | <4 0.53499="" approx="" cdot="" font="" sqrt="">y se puede continuar analíticamente en el plano complejo. El resultado anterior se puede escribir en forma hipergeométrica como: ^[5]

$${\ displaystyle \ operatorname {BR} (a) = - a \, \, _ {4} F_ {3} \ left ({\ frac {1} {5}}, {\ frac {2} {5}} , {\ frac {3} {5}}, {\ frac {4} {5}}; {\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {4}}, {\ frac {5 } {4}}; - 5 \ left ({\ frac {5a} {4}} \ right) ^ {4} \ right)}

Compare con las funciones hipergeométricas que surgen en la derivación de Glasser y el método de resolución diferencial a continuación.

Solución de la ecuación de quinto grado en general [ editar ]

Ahora podemos expresar las raíces de cualquier polinomio.

$${\ displaystyle x ^ {5} + px + q \,}

en términos del radical traído como

$${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {- {\ frac {p} {5}}}} \, \ operatorname {BR} \ left (- {\ frac {1} {4}} \ left (- {\ frac {5} {p}} \ derecha) ^ {\ frac {5} {4}} q \ derecha)}

y sus cuatro conjugados . Tenemos una reducción a la forma de Bring-Jerrard en términos de ecuaciones polinomiales solubles, y utilizamos transformaciones que involucran expresiones polinomiales en las raíces solo hasta el cuarto grado, lo que significa que la inversión se puede realizar al encontrar las raíces de un polinomio soluble En los radicales. Este procedimiento produce soluciones extrañas, pero cuando encontramos las correctas por medios numéricos, también podemos escribir las raíces de la quíntica en términos de raíces cuadradas, raíces cúbicas y el radical Bring, que es por lo tanto una solución algebraica en términos de Funciones algebraicas de una sola variable: una solución algebraica de la quintica general.

Otras caracterizaciones [ editar ]

Se han desarrollado muchas otras caracterizaciones del radical Bring, la primera de las cuales es en términos de funciones modulares elípticas por Charles Hermite en 1858, y otros métodos posteriormente desarrollados por otros matemáticos.

La caracterización de Hermite – Kronecker – Brioschi [ editar ]

En 1858, Charles Hermite ^[8] publicó la primera solución conocida de la ecuación quíntica general en términos de trascendentes elípticas, y casi al mismo tiempo Francesco Brioschi ^[9] y Leopold Kronecker ^[10] encontraron soluciones equivalentes. Hermite llegó a esta solución al generalizar la solución conocida a la ecuación cúbica en términos de funciones trigonométricas y encuentra la solución a un quíntico en forma de Bring-Jerrard:

$${\ displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 \,}

en la cual cualquier ecuación quíntica puede reducirse por medio de transformaciones de Tschirnhaus como se ha mostrado. Observó que las funciones elípticas tenían un papel análogo que desempeñar en la solución de la quintica de Bring-Jerrard como las funciones trigonométricas para la cúbica. Si$${\ displaystyle K \,} y $${\ displaystyle K '\,}Son los períodos de una integral elíptica del primer tipo:

$${\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi }}}}

$${\ displaystyle K '= \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ varphi} {\ sqrt {1-k' ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}}

El nome elíptico está dado por:

$${\ displaystyle q = e ^ {- {\ frac {\ pi K '} {K}}} \,}

y

$${\ displaystyle k ^ {2} + k '^ {2} = 1 \,}

Con

$${\ displaystyle q = e ^ {- {\ frac {\ pi K '} {K}}} = e ^ {{\ mathrm {i}} \ pi \ tau} \,}

Definir las dos funciones modulares elípticas :

$${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {k}} = \ varphi (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ vartheta _ {10} (0; \ tau)} {\ vartheta _ {00} (0; \ tau)}}}}

$${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {k '}} = \ psi (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ vartheta _ {01} (0; \ tau)} {\ vartheta _ {00 } (0; \ tau)}}}}

dónde $${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (0; \ tau)}Y similares son las funciones de Jacobi Theta .

Si n es un número primo , podemos definir dos valores U y V de la siguiente manera:

$${\ displaystyle v = \ varphi (n \ tau) \,}

y

$${\ displaystyle u = \ varphi (\ tau) \,}

Los parametros $${\ displaystyle u \,} y $${\ displaystyle v \,}están vinculados por una ecuación de grado n  + 1 conocida como la ecuación modular , cuyas n  + 1 raíces están dadas por:

$${\ displaystyle \ epsilon \ varphi (n \ tau) \,}

y

$${\ displaystyle \ varphi \ left ({\ frac {\ tau + 16m} {n}} \ right) \,}

donde ε es 1 o −1 dependiendo de si 2 es un residuo cuadrático con respecto a n o no, y m es un módulo entero  n . Para n  = 5, tenemos la ecuación modular del sexto grado:

$${\ displaystyle u ^ {6} -v ^ {6} + 5u ^ {2} v ^ {2} (u ^ {2} -v ^ {2}) + 4uv (1-u ^ {4} v ^ {4}) = 0 \,}

con seis raíces como se muestra arriba.

La ecuación modular de sexto grado puede relacionarse con la quíntica de Bring-Jerrard por la siguiente función de las seis raíces de la ecuación modular:

$${\ displaystyle \ Phi (\ tau) = \ left [\ varphi (5 \ tau) + \ varphi \ left ({\ frac {\ tau} {5}} \ right) \ right] \ left] \ left [\ varphi \ left ({\ frac {\ tau +16} {5}} \ derecha) - \ varphi \ left ({\ frac {\ tau +64} {5}} \ derecha) \ right] \ left [\ varphi \ left ( {\ frac {\ tau +32} {5}} \ right) - \ varphi \ left ({\ frac {\ tau +48} {5}} \ right) \ right] \,}

Las cinco cantidades $${\ displaystyle \ Phi (\ tau) \,}, $${\ displaystyle \ Phi (\ tau +16) \,}, $${\ displaystyle \ Phi (\ tau +32) \,}, $${\ displaystyle \ Phi (\ tau +48) \,}, $${\ displaystyle \ Phi (\ tau +64) \,} son las raíces de una ecuación quíntica con coeficientes racionales en $${\ displaystyle \ varphi (\ tau) \,}:

$${\ displaystyle \ Phi ^ {5} -2000 \ varphi ^ {4} (\ tau) \ psi ^ {16} (\ tau) \ Phi +1600 {\ sqrt {5}} \ varphi ^ {3} (\ tau) \ psi ^ {16} (\ tau) \ left [1+ \ varphi ^ {8} (\ tau) \ right] = 0 \,

que se puede convertir fácilmente en la forma de Bring-Jerrard mediante la sustitución:

$${\ displaystyle \ Phi = 2 {\ sqrt [{4}] {125}} \ varphi (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau) x \,}

llevando a la quíntica Bring – Jerrard:

$${\ displaystyle x ^ {5} -x + a = 0 \,}

dónde

$${\ displaystyle a = {\ frac {2 [1+ \ varphi ^ {8} (\ tau)]} {{\ sqrt [{4}] {5 ^ {5}}} \ varphi ^ {2} (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau)}} \,}

El método de Hermite-Kronecker-Brioschi equivale a encontrar un valor para τ que corresponda al valor de a , y luego usar ese valor de τ para obtener las raíces de la ecuación modular correspondiente. Para hacer esto, vamos

$${\ displaystyle A = {\ frac {a {\ sqrt [{4}] {5 ^ {5}}}} {2}}}

y calcular el módulo elíptico requerido $${\ displaystyle k} Resolviendo la ecuación quártica:

$${\ displaystyle k ^ {4} + A ^ {2} k ^ {3} + 2k ^ {2} -A ^ {2} k + 1 = 0 \,

Las raíces de esta ecuación son:

$${\ displaystyle k = \ tan {\ frac {\ alpha} {4}}, \ tan {\ frac {\ alpha +2 \ pi} {4}}, \ tan {\ frac {\ pi - \ alpha} { 4}}, \ tan {\ frac {3 \ pi - \ alpha} {4}} \,}

dónde $${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {4} {A ^ {2}}} \,}^[11] (note que algunas referencias importantes lo dan erróneamente como$${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {1} {4A ^ {2}}} \,}^[7] [8] ). Cualquiera de estas raíces se puede usar como módulo elíptico para los fines del método. El valor de$${\ displaystyle \ tau} Se puede obtener fácilmente del módulo elíptico. $${\ displaystyle k \,}Por las relaciones dadas anteriormente. Las raíces de la quintica de Bring-Jerrard están entonces dadas por:

$${\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {\ Phi (\ tau + 16i)} {2 {\ sqrt [{4}] {125}} \ varphi (\ tau) \ psi ^ {4} (\ tau )}}}

para $${\ displaystyle i = 0, \ ldots, 4}.

Puede verse que este proceso utiliza una generalización de la raíz nth , que puede expresarse como:

$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = \ exp \ left ({{\ frac {1} {n}} \ ln x} \ right)}

o más al punto, como

$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = \ exp \ left ({\ frac {1} {n}} \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {dt} {t} }\Correcto).}

El método de Hermite-Kronecker-Brioschi esencialmente reemplaza el exponencial por una función modular elíptica, y la integral $${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {dt} {t}}}por una integral elíptica. Kronecker pensó que esta generalización era un caso especial de un teorema aún más general, que sería aplicable a ecuaciones de grado arbitrariamente alto. Este teorema, conocido como fórmula de Thomae , fue expresado completamente por Hiroshi Umemura ^[12] en 1984, quien utilizó formas modulares de Siegel en lugar de la función modular exponencial / elíptica y la integral por una integral hiperelíptica .

Derivación de Glasser [ editar ]

Esta derivación debida a ML Glasser ^[13] generaliza el método de serie presentado anteriormente en este artículo para encontrar una solución a cualquier ecuación trinomial de la forma:

$${\ displaystyle x ^ {N} -x + t = 0 \, \!}

En particular, la ecuación quíntica puede reducirse a esta forma mediante el uso de transformaciones de Tschirnhaus como se muestra arriba. Dejar$${\ displaystyle x = \ zeta ^ {- {\ frac {1} {N-1}}} \,}, la forma general se convierte en:

$${\ displaystyle \ zeta = e ^ {2 \ pi i} + t \ phi (\ zeta) \, \!}

dónde

$${\ displaystyle \ phi (\ zeta) = \ zeta ^ {\ frac {N} {N-1}} \, \!}

Una fórmula debida a Lagrange establece que para cualquier función analítica. $${\ displaystyle f \,}, en la vecindad de una raíz de la ecuación general transformada en términos de $${\ displaystyle \ zeta \,}, lo anterior puede ser expresado como una serie infinita :

$${\ displaystyle f (\ zeta) = f (e ^ {2 \ pi {\ mathrm {i}}}) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} {\ frac {d ^ {n-1}} {da ^ {n-1}}} [f '(a) | \ phi (a) | ^ {n}] _ {a = e ^ {2 \ pi {\ mathrm {i}}}}}

Si dejamos $${\ displaystyle f (\ zeta) = \ zeta ^ {- {\ frac {1} {N-1}}} \,} En esta fórmula, podemos llegar a la raíz:

$${\ displaystyle x_ {k} = e ^ {- {\ frac {2k \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} - {\ frac {t} {N-1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(te ^ {\ frac {2k \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}) ^ {n}} {\ Gamma (n + 2)}} \ cdot {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {Nn} {N-1}} + 1 \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {N-1} } +1 \ right)}}}

$${\ displaystyle k = 1,2,3, \ dots, N-1 \,}

Mediante el uso del teorema de multiplicación de Gauss, la serie infinita de arriba se puede dividir en una serie finita de funciones hipergeométricas :

${\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}$

$${\ displaystyle x_ {n} = e ^ {- {\ frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} - {\ frac {t} {(N-1) ^ {2 }}} {\ sqrt {\ frac {N} {2 \ pi (N-1)}}} \ sum _ {q = 0} ^ {N-2} \ psi _ {n} (q) _ {( N + 1)} F_ {N} {\ begin {bmatrix} {\ frac {qN + N-1} {N (N-1)}}, \ ldots, {\ frac {q + N-1} {N -1}}, 1; \\ [8pt] {\ frac {q + 2} {N-1}}, \ ldots, {\ frac {q + N} {N-1}}, {\ frac {q + N-1} {N-1}}; \\ [8pt] \ left ({\ frac {te ^ {\ frac {2n \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} {N -1}} \ derecha) ^ {N-1} N ^ {N} \ end {bmatrix}}, \ quad n = 1,2,3, \ dots, N-1}

$${\ displaystyle x_ {N} = \ sum _ {m = 1} ^ {N-1} {\ frac {t} {(N-1) ^ {2}}} {\ sqrt {\ frac {N} { 2 \ pi (N-1)}}} \ sum _ {q = 0} ^ {N-2} \ psi _ {m} (q) _ {(N + 1)} F_ {N} {\ begin { bmatrix} {\ frac {qN + N-1} {N (N-1)}}, \ ldots, {\ frac {q + N-1} {N-1}}, 1; \\ [8pt] { \ frac {q + 2} {N-1}}, \ ldots, {\ frac {q + N} {N-1}}, {\ frac {q + N-1} {N-1}}; \ \ [8pt] \ left ({\ frac {te ^ {\ frac {2m \ pi {\ rm {i}}} {N-1}}} {N-1}} \ right) ^ {N-1} N ^ {N} \ end {bmatrix}}}

Y el trinomio de la forma tiene raíces.

${\displaystyle {}_{ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}\,\!}$

${\displaystyle {}_{x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}{\rm {i}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle {}_{x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}{\rm {i}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}}$

${\displaystyle {}_{x_{n}=-e^{\frac {2n\pi {\rm {i}}}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+}}$

${\displaystyle {}_{+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi {\rm {i}}}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2}}$

Por lo tanto, una raíz de la ecuación se puede expresar como la suma de, como máximo, N  - 1 funciones hipergeométricas. Aplicando este método a la reducción de Bring – Jerrard quintic, defina las siguientes funciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$

cuáles son las funciones hipergeométricas que aparecen en la fórmula de la serie anterior. Las raíces de la quíntica son así:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcrccccc} x_ {1} & = & {} - tF_ {2} (t) \\ [8pt] x_ {2} & = & {} - F_ {1} (t ) & + & {\ frac {1} {4}} tF_ {2} (t) & + & {\ frac {5} {32}} t ^ {2} F_ {3} (t) & + & { \ frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t) \\ [8pt] x_ {3} & = & F_ {1} (t) & + & {\ frac {1} {4 }} tF_ {2} (t) & - & {\ frac {5} {32}} t ^ {2} F_ {3} (t) & + & {\ frac {5} {32}} t ^ { 3} F_ {4} (t) \\ [8pt] x_ {4} & = & {} - iF_ {1} (t) & + & {\ frac {1} {4}} tF_ {2} (t ) & - & {\ frac {5} {32}} it ^ {2} F_ {3} (t) & - & {\ frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t ) \\ [8pt] x_ {5} & = & iF_ {1} (t) & + & {\ frac {1} {4}} tF_ {2} (t) & + & {\ frac {5} {32 }} it ^ {2} F_ {3} (t) & - & {\ frac {5} {32}} t ^ {3} F_ {4} (t) \ end {array}}}

Este es esencialmente el mismo resultado que el obtenido por el siguiente método.

El método de resolución diferencial [ editar ]

James Cockle ^[14] y Robert Harley ^[15] desarrollaron, en 1860, un método para resolver el quíntico mediante ecuaciones diferenciales. Consideran las raíces como funciones de los coeficientes y calculan un resolutivo diferencial basado en estas ecuaciones. El quíntico Bring – Jerrard se expresa como una función:

$${\ displaystyle f (x) = x ^ {5} -x + a \,}

y una función $${\ displaystyle \ phi (a) \,} se determinará de modo que:

$${\ displaystyle f [\ phi (a)] = 0 \,}

La función $${\ displaystyle \ phi \,} También debe satisfacer las siguientes cuatro ecuaciones diferenciales:

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {df [\ phi (a)]} {da}} = 0 \\ [6pt] {\ frac {d ^ {2} f [\ phi (a)] } {da ^ {2}}} = 0 \\ [6pt] {\ frac {d ^ {3} f [\ phi (a)]} {da ^ {3}}} = 0 \\ [6pt] { \ frac {d ^ {4} f [\ phi (a)]} {da ^ {4}}} = 0 \ end {alineado}}}

Expandiendo estos y combinándolos juntos se obtiene el resolutivo diferencial:

$${\ displaystyle {\ frac {(256-3125a ^ {4})} {1155}} {\ frac {d ^ {4} \ phi} {da ^ {4}}} - {\ frac {6250a ^ {3 }} {231}} {\ frac {d ^ {3} \ phi} {da ^ {3}}} - {\ frac {4875a ^ {2}} {77}} {\ frac {d ^ {2} \ phi} {da ^ {2}}} - {\ frac {2125a} {77}} {\ frac {d \ phi} {da}} + \ phi = 0}

La solución del resolutor diferencial, que es una ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden, depende de cuatro constantes de integración , que deben elegirse de modo que satisfagan el quíntico original. Esta es una ecuación diferencial ordinaria fucsiana de tipo hipergeométrico, ^[16] cuya solución resulta ser idéntica a la serie de funciones hipergeométricas que surgieron en la derivación de Glasser anterior. ^[6]

Este método también puede generalizarse a ecuaciones de grado arbitrariamente alto, con resoluciones diferenciales que son ecuaciones diferenciales parciales , cuyas soluciones involucran funciones hipergeométricas de varias variables. ^[17] [18] Una fórmula general para los resolventes diferenciales de polinomios univariados arbitrarios está dada por la fórmula de Nahay powersum. ^[19] [20]

Doyle-McMullen iteración [ editar ]

En 1989, Peter Doyle y Curt McMullen derivaron un método de iteración ^[21] que resuelve una quintica en la forma normal de Brioschi:

$${\ displaystyle x ^ {5} -10Cx ^ {3} + 45C ^ {2} xC ^ {2} = 0. \,}

El algoritmo de iteración procede de la siguiente manera:

1. Establecer $${\ displaystyle Z = 1-1728C \,}

2. Calcular la función racional.

$${\ displaystyle T_ {Z} (w) = w-12 {\ frac {g (Z, w)} {g '(Z, w)}} \,}

dónde $${\ displaystyle g (Z, w) \,} es una función polinomial dada a continuación, y $${\ displaystyle g '\,}es el derivado de$${\ displaystyle g (Z, w) \,} con respecto a $${\ displaystyle w \,}

3. Iterar $${\ displaystyle T_ {Z} [T_ {Z} (w)] \,}en una conjetura inicial aleatoria hasta que converja. Llamar al punto limite $${\ displaystyle w_ {1} \,} y deja $${\ displaystyle w_ {2} = T_ {Z} (w_ {1}) \,}. 4. Calcular

$${\ displaystyle \ mu _ {i} = {\ frac {100Z (Z-1) h (Z, w_ {i})} {g (Z, w_ {i})}} \,}

dónde $${\ displaystyle h (Z, w) \,}Es una función polinomial que se da a continuación. Haz esto por ambos$${\ displaystyle w_ {1} \,} y $${\ displaystyle w_ {2} = T_ {Z} (w_ {1}) \,}.

5. Finalmente, computar

$${\ displaystyle x_ {i} = {\ frac {(9 + {\ sqrt {15}} {\ mathrm {i}}) \ mu _ {i} + (9 - {\ sqrt {15}} {\ mathrm {i}}) \ mu _ {3-i}} {90}}}

para i  = 1, 2. Estas son dos de las raíces de la Brioschi quintic.

Las dos funciones polinomiales. $${\ displaystyle g (Z, w) \,} y $${\ displaystyle h (Z, w) \,} son como sigue:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} g (Z, w) = {} & 91125Z ^ {6} \\ & {} + (- 133650w ^ {2} + 61560w-193536) Z ^ {5} \\ & { } + (- 66825w ^ {4} + 142560w ^ {3} + 133056w ^ {2} -61140w + 102400) Z ^ {4} \\ & {} + (5940w ^ {6} + 4752w ^ {5} + 63360w ^ {4} -140800w ^ {3}) Z ^ {3} \\ & {} + (- 1485w ^ {8} + 3168w ^ {7} -10560w ^ {6}) Z ^ {2} \\ & {} + (- 66w ^ {10} + 440w ^ {9}) Z \\ & {} + w ^ {12} \\ [8pt] h (Z, w) = {} & (1215w-648) Z ^ {4} \\ & {} + (- 540w ^ {3} -216w ^ {2} -1152w + 640) Z ^ {3} \\ & {} + (378w ^ {5} -504w ^ { 4} + 960w ^ {3}) Z ^ {2} \\ & {} + (36w ^ {7} -168w ^ {6}) Z \\ & {} + w ^ {9} \ end {alineado} }}

Este método de iteración produce dos raíces de la quíntica. Las tres raíces restantes pueden obtenerse utilizando la división sintética para dividir las dos raíces, produciendo una ecuación cúbica. Cabe señalar que debido a la forma en que se formula la iteración, este método parece encontrar siempre dos raíces complejas conjugadas de la quíntica, incluso cuando todos los coeficientes quínticos son reales y la estimación inicial es real. Este método de iteración se deriva de las simetrías del icosaedro y está estrechamente relacionado con el método que describe Felix Klein en su libro.