ECUACIONES

 círculo de Carlyle (llamado así por Thomas Carlyle ) es un cierto círculo en un plano de coordenadas asociado con una ecuación cuadrática . El círculo tiene la propiedad de que las soluciones de la ecuación cuadrática son las coordenadas horizontales de las intersecciones del círculo con el eje horizontal . Los círculos de Carlyle se han utilizado para desarrollar construcciones de regla y compás de polígonos regulares .

Definición [ editar ]

Círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática x ²  -  sx  +  p  = 0.

Dada la ecuación cuadrática

x ²  -  sx  +  p  = 0

el círculo en el plano de coordenadas que tiene el segmento de línea que une los puntos A (0, 1) y B ( s ,  p ) como un diámetro se denomina círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática. ^{[1] [2] [3]}

Definiendo propiedad [ editar ]

La propiedad definitoria del círculo de Carlyle se puede establecer así: la ecuación del círculo que tiene el segmento de línea AB como diámetro es

x ( x  -  s ) + ( y  - 1) ( y  -  p ) = 0.

Las abscisas de los puntos donde el círculo intersecta el eje x son las raíces de la ecuación (obtenidas al establecer y  = 0 en la ecuación del círculo)

x ²  -  sx  +  p  = 0.

Construcción de polígonos regulares [ editar ]

Construcción de pentágono regular utilizando círculos de Carlyle.

Construcción de un heptadecágono regular utilizando círculos de Carlyle.

Construcción de un 257-gon regular utilizando círculos de Carlyle.

Pentágono regular [ editar ]

El problema de construir un pentágono regular es equivalente al problema de construir las raíces de la ecuación

z ⁵  - 1 = 0.

Una raíz de esta ecuación es z ₀  = 1, que corresponde al punto P ₀ (1, 0). Al eliminar el factor correspondiente a esta raíz, las otras raíces resultan ser raíces de la ecuación

z ⁴  +  z ³  +  z ²  +  z  + 1 = 0.

Estas raíces se pueden representar en la forma, ω ² , ω ³ , ω ⁴ donde ω = exp (2π i / 5). Dejen que estos correspondan a los puntos P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ . Dejando

p ₁  = ω + ω ⁴ , p ₂  = ω ²  + ω ³

tenemos

p ₁  +  p ₂ = −1, p ₁ p ₂  = −1. (Se puede demostrar rápidamente que estos valores son verdaderos mediante una sustitución directa en el quártico anterior y observando que ω ⁶ = ω y ω ⁷ = ω ² ).

Entonces p ₁ y p ₂ son las raíces de la ecuación cuadrática

x ²  +  x  - 1 = 0.

El círculo de Carlyle asociado con este cuadrático tiene un diámetro con puntos finales en (0, 1) y (-1, -1) y centro en (-1/2, 0). Los círculos de Carlyle se utilizan para construir p ₁y p ₂ . De las definiciones de p ₁ y p ₂ también se deduce que

p ₁  = 2 cos (2π / 5), p ₂  = 2 cos (4π / 5).

Estos se utilizan luego para construir los puntos P ₁ , P ₂, P ₃ , P ₄ .

A continuación se detalla este procedimiento detallado que involucra los círculos de Carlyle para la construcción de pentágonosregulares . ^[3]

1. Dibuje un círculo en el que para inscribir el pentágono y marque el punto central  O .
2. Dibuja una línea horizontal a través del centro del círculo. Marque una intersección con el círculo como punto  B .
3. Construye una línea vertical a través del centro. Marque una intersección con el círculo como punto A .
4. Construir el punto M como el punto medio de O y B .
5. Dibuje un círculo centrado en M a través del punto A . Marque su intersección con la línea horizontal (dentro del círculo original) como el punto W y su intersección fuera del círculo como el punto V .
6. Dibuje un círculo de radio OA y el centro de W . Se interseca con el círculo original en dos de los vértices del pentágono.
7. Dibuje un círculo de radio OA y el centro de V . Se interseca con el círculo original en dos de los vértices del pentágono.
8. El quinto vértice es la intersección del eje horizontal con el círculo original.

Heptadecagon regular [ editar ]

Existe un método similar que involucra los círculos de Carlyle para construir heptadecagones regulares . ^[3] La figura de la derecha ilustra el procedimiento.

Regular 257-gon [ editar ]

Para construir un 257-gon regular utilizando círculos de Carlyle, se deben construir hasta 24 círculos de Carlyle. Uno de estos es el círculo para resolver la ecuación cuadrática x ²  +  x  - 64 = 0. ^[3]

Regular 65537-gon [ editar ]

Hay un procedimiento que involucra los círculos de Carlyle para la construcción de un 65537-gon regular . Sin embargo, existen problemas prácticos para la implementación del procedimiento; por ejemplo, requiere la construcción del círculo de Carlyle para la solución de la ecuación cuadrática x ²  +  x  - 2 ¹⁴  = 0. ^[3]

Historia [ editar ]

La solución de Carlyle al problema de Leslie. El segmento de línea negra está dividido en dos segmentos de tal manera que los dos segmentos forman un rectángulo (verde) que es del área igual a otro rectángulo dado (rojo).

Según Howard Eves (1911–2004), el matemático John Leslie (1766-1832) describió la construcción geométrica de las raíces de una ecuación cuadrática con un círculo en su libro Elementos de Geometría y señaló que esta idea fue proporcionada por su ex alumno Thomas Carlyle.(1795–1881). ^[4] Sin embargo, aunque la descripción en el libro de Leslie contiene una construcción de círculo análoga, se presentó únicamente en términos geométricos elementales sin la noción de un sistema de coordenadas cartesiano o una función cuadrática y sus raíces: ^[5]

Para dividir una línea recta, ya sea interna o externamente, de modo que el rectángulo debajo de sus segmentos sea equivalente a un rectángulo dado.

-  John Leslie, Elementos de Geometría , prop. XVII, p. 176 ^[5]

En 1867, el ingeniero austriaco Eduard Lill publicó un método gráfico para determinar las raíces de un polinomio ( método de Lill ). Si se aplica en una función cuadrática, entonces se obtiene la figura trapezoidal de la solución de Carlyle al problema de Leslie (ver gráfico) con uno de sus lados que es el diámetro del círculo de Carlyle. En un artículo de 1925, GA Miller señaló que una ligera modificación del método de Lill aplicado a una función cuadrática normalizada produce un círculo que permite la construcción geométrica de las raíces de esa función y dio la definición explícita moderna de lo que más tarde se llamaría Carlyle circulo. ^[6]

Eves usó el círculo en el sentido moderno en uno de los ejercicios de su libro Introducción a la Historia de las Matemáticas (1953) y señaló la conexión con Leslie y Carlyle. ^[4] Las publicaciones posteriores comenzaron a adoptar los nombres de círculo de Carly , el método de Carlyle o el algoritmo de Carlyle , aunque en los países de habla alemana también se usa el término círculo de Lill ( Lill-Kreis ). ^[7] DeTemple se utilizó en 1989 y 1991 en los círculos de Carlyle para diseñar construcciones de compás y rectas para polígonos regulares, en particular el pentágono , el heptacontagón , el257-gon y el 65537-gon . Ladislav Beran describió en 1999 cómo se puede usar el círculo de Carlyle para construir las raíces complejas de una función cuadrática normada.

 ecuación de Carothers (o la ecuación de Carothers ) da el grado de polimerización , X _n , para una conversión de monómero fraccional dada, pág .

Hay varias versiones de esta ecuación, propuestas por Wallace Carothers, quien inventó el nylon en 1935.

Polímeros lineales: dos monómeros en cantidades equimolares [ editar ]

El caso más simple se refiere a la formación de un polímero estrictamente lineal por la reacción (generalmente por condensación) de dos monómeros en cantidades equimolares. Un ejemplo es la síntesis de nylon-6,6 cuya fórmula es [-NH- (CH ₂ ) ₆ -NH-CO- (CH ₂ ) ₄ -CO-] _n de un mol de hexametilendiamina , H ₂ N (CH ₂ ) ₆ NH ₂ , y un mol de ácido adípico , HOOC- (CH ₂ ) ₄ -COOH. Para este caso ^[1] [2]

$${\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = {\ frac {1} {1-p}}}

En esta ecuacion

• $${\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n}}es el valor promedio en número del grado de polimerización , igual al número promedio de unidades monoméricas en una molécula de polímero. Por el ejemplo de nylon-6,6. $${\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = 2n} (n unidades de diamina y n unidades diácidas).
• $${\ displaystyle p = {\ frac {N_ {0} -N} {N_ {0}}}} es el grado de reacción (o conversión a polímero), definido por
• $${\ displaystyle N_ {0}} es el número de moléculas presentes inicialmente como monómero
• $${\ displaystyle N}es el número de moléculas presentes después del tiempo t. El total incluye todos los grados de polimerización: monómeros, oligómeros y polímeros.

Esta ecuación muestra que se requiere una alta conversión de monómeros para lograr un alto grado de polimerización. Por ejemplo, se requiere una conversión de monómero, p , de 98% para$${\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = 50}, y p = 99% es requerido para$${\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = 100}.

Polímeros lineales: un monómero en exceso [ editar ]

Si un monómero está presente en un exceso estequiométrico , entonces la ecuación se convierte en ^[3]

$${\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = {\ frac {1 + r} {1 + r-2rp}}}

• r es la relación estequiométrica de los reactivos, el reactivo en exceso es convencionalmente el denominador de modo que r <1 .="" al="" anterior.="" caso="" de="" ecuaci="" en="" equimolar="" est="" exceso="" font="" la="" los="" meros="" mon="" n="" ninguno="" r="1" reduce="" se="" si="" y="">

El efecto del exceso de reactivo es reducir el grado de polimerización para un valor dado de p. En el límite de conversión completa del monómero reactivo limitante , p → 1 y

$${\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} \ a {\ frac {1 + r} {1-r}}}

Por lo tanto, para un exceso del 1% de un monómero, r = 0,99 y el grado límite de polimerización es 199, en comparación con el infinito para el caso equimolar. Se puede usar un exceso de un reactivo para controlar el grado de polimerización.

Polímeros ramificados: monómeros multifuncionales [ editar ]

La funcionalidad de una molécula monomérica es el número de grupos funcionales que participan en la polimerización. Los monómeros con una funcionalidad mayor que dos introducirán ramificación en un polímero, y el grado de polimerización dependerá de la funcionalidad promedio de _av por unidad de monómero. Para un sistema que contiene N ₀ moléculas inicialmente y números equivalentes de dos grupos funcionales A y B, el número total de grupos funcionales es N ₀ f _av .

$${\ displaystyle f_ {av} = {\ frac {\ sum N_ {i} \ cdot f_ {i}} {\ sum N_ {i}}}}

Y la ecuación de Carothers modificada es ^{[4] [5] [6]}

$${\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {2} {2-pf_ {av}}}}, donde p es igual a $${\ displaystyle {\ frac {2 (N_ {0} -N)} {N_ {0} \ cdot f_ {av}}}}

Ecuaciones relacionadas [ editar ]

Relacionadas con la ecuación de Carothers están las siguientes ecuaciones (para el caso más simple de polímeros lineales formados a partir de dos monómeros en cantidades equimolares):

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ bar {X}} _ {w} & = & {\ frac {1 + p} {1-p}} \\ {\ bar {M}} _ {n} & = & M_ {o} {\ frac {1} {1-p}} \\ {\ bar {M}} _ {w} & = & M_ {o} {\ frac {1 + p} {1-p} } \\ PDI & = & {\ frac {{\ bar {M}} _ {w}} {{\ bar {M}} _ {n}}} = 1 + p \\\ end {matrix}}}

dónde:

• X _w es el grado promedio de polimerización ,
• M _n es el peso molecular promedio en número ,
• M _w es el peso molecular promedio en peso ,
• M _o es el peso molecular de la unidad monomérica repetitiva ,
• Đ (PDI, antigua nomenclatura) es el índice de polidispersidad .

La última ecuación muestra que el valor máximo de Đ es 2, que se produce en una conversión de monómero de 100% (o p = 1). Esto es cierto para la polimerización por crecimiento en etapas de polímeros lineales. Para la polimerización por crecimiento en cadena o para polímeros ramificados , el Đ puede ser mucho mayor.

En la práctica, la longitud promedio de la cadena de polímero está limitada por cosas tales como la pureza de los reactivos, la ausencia de reacciones secundarias (es decir, alto rendimiento) y la viscosidad del medio.