ECUACIONES

La ecuación de Hankinson (también llamada fórmula de Hankinson o criterio de Hankinson ) ^[1] es una relación matemática para predecir la resistencia a la compresión uniaxial fuera de eje de la madera. La fórmula también se puede utilizar para calcular la tensión de la fibra o la velocidad de la onda de tensión en el límite elástico en función del ángulo del grano en la madera . Para una madera que tiene resistencias de compresión uniaxial de$${\ displaystyle \ sigma _ {0}} paralelo al grano y $${\ displaystyle \ sigma _ {90}} perpendicular al grano, la ecuación de Hankinson predice que la resistencia a la compresión uniaxial de la madera en una dirección en un ángulo $${\ displaystyle \ alpha} al grano esta dado por

$${\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} = {\ cfrac {\ sigma _ {0} ~ \ sigma _ {90}} {\ sigma _ {0} ~ \ sin ^ {2} \ alpha + \ sigma _ { 90} ~ \ cos ^ {2} \ alpha}}}

A pesar de que la relación original se basó en estudios de abeto , la ecuación de Hankinson se ha encontrado que es muy precisa para muchos otros tipos de madera. Una forma generalizada de la fórmula de Hankinson también se ha utilizado para predecir la resistencia a la tracción uniaxial de la madera en ángulo con el grano. Esta fórmula tiene la forma ^[2]

$${\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha} = {\ cfrac {\ sigma _ {0} ~ \ sigma _ {90}} {\ sigma _ {0} ~ \ sin ^ {n} \ alpha + \ sigma _ { 90} ~ \ cos ^ {n} \ alpha}}}

donde el exponente $${\ displaystyle n} Puede tomar valores entre 1.5 y 2.

La velocidad de la onda de tensión en ángulo $${\ displaystyle \ alpha} El grano en el límite elástico se puede obtener de forma similar a partir de la fórmula de Hankinson.

$${\ displaystyle V (\ alpha) = {\ frac {V_ {0} V_ {90}} {V_ {0} \ sin ^ {2} \ alpha + V_ {90} \ cos ^ {2} \ alpha}} }

dónde $${\ displaystyle V_ {0}} es la velocidad paralela al grano, $${\ displaystyle V_ {90}} Es la velocidad perpendicular al grano y $${\ displaystyle \ alpha} Es el ángulo del grano.

ecuación de Harris-Benedict (también llamada el principio de Harris-Benedict ) es un método que se utiliza para estimar la tasa metabólica basal (BMR) de un individuo .

El valor de BMR estimado se puede multiplicar por un número que corresponde al nivel de actividad del individuo; el número resultante es la ingesta diaria aproximada de kilocalorías para mantener el peso corporal actual .

La ecuación de Harris-Benedict se puede usar para ayudar a perder peso, al reducir el número de ingesta de kilocalorías por debajo del consumo de mantenimiento estimado de la ecuación.

Paso 1 - Cálculo de la BMR de Harris – Benedict [ editar ]

Las ecuaciones originales de Harris-Benedict publicadas en 1918 y 1919. ^[1] [2]

Sexo	Unidades	Cálculo
Hombres	Métrico	BMR = 66.5 + (13.75 × peso en kg) + (5.003 × altura en cm) - (6.755 × edad en años)
	Imperial	BMR = 66 + (6.2 × peso en libras) + (12.7 × altura en pulgadas) - (6.76 × edad en años)
Mujer	Métrico	BMR = 655.1 + (9.563 × peso en kg) + (1.850 × altura en cm) - (4.676 × edad en años)
	Imperial	BMR = 655.1 + (4.35 × peso en libras) + (4.7 × altura en pulgadas) - (4.7 × edad en años)

Las ecuaciones de Harris-Benedict revisadas por Roza y Shizgal en 1984. ^[3]

Hombres	BMR = 88.362 + (13.397 × peso en kg) + (4.799 × altura en cm) - (5.677 × edad en años)
Mujer	BMR = 447.593 + (9.247 × peso en kg) + (3.098 × altura en cm) - (4.330 × edad en años)

El rango de confianza del 95% para los hombres es de ± 213.0 kcal / día y de ± 201.0 kcal / día para las mujeres.

Las ecuaciones de Harris-Benedict revisadas por Mifflin y St Jeor en 1990: ^[4]

Hombres	BMR = (10 × peso en kg) + (6.25 × altura en cm) - (5 × edad en años) + 5
Mujer	BMR = (10 × peso en kg) + (6.25 × altura en cm) - (5 × edad en años) - 161

Paso 2 - Determine la ingesta total [ editar ]

Si bien el documento original no intenta traducir la BMR en el gasto total de energía (ETE), un resultado de la RBM puede multiplicarse por un factor que se aproxime al nivel de actividad física (PAL) de una persona para estimar su ETE. La siguiente tabla permite la aproximación del TEE diario de una persona en función de algunos estilos de vida de ejemplo. ^[5]

Estilo de vida	Ejemplo	CAMARADA	Cálculo
Actividad sedentaria o ligera.	Trabajador de oficina haciendo poco o ningún ejercicio	1.53	BMR x 1.53
Activo o moderadamente activo.	Trabajador de la construcción o persona que corre una hora diaria	1.76	BMR x 1.76
Vigorosamente activo	Trabajador agrícola (no mecanizado) o persona que nadados horas diarias.	2.25	BMR x 2.25

Historia [ editar ]

La ecuación de Harris-Benedict surgió de un estudio de James Arthur Harris y Francis Gano Benedict , que fue publicado en 1919 por el Carnegie Institution de Washington en la monografía A Biometric Study Of Basal Metabolism In Man . Una revisión de 1984 mejoró su precisión. Mifflin et al. publicó una ecuación más predictiva para los estilos de vida modernos en 1990. ^{[4] El} trabajo posterior produjo estimadores de BMR que explicaban la masa corporal magra.

Problemas en el uso de la dieta [ editar ]

Como las ecuaciones de BMR no intentan tomar en cuenta la composición corporal, se pueden calcular resultados idénticos para una persona muy musculosa y una persona muy gorda, que tienen la misma altura, peso, edad y género. Como el músculo y la grasa requieren diferentes cantidades de calorías para mantenerse, las estimaciones de ETE no serán precisas para tales casos.

El documento detrás de la última actualización (Mifflin et al) de la fórmula BMR establece que todos los participantes en su estudio se encuentran dentro de las categorías de índice de masa corporal (IMC) "normal" y "sobrepeso" , por lo que los resultados tampoco se aplican necesariamente a esas en las categorías de IMC 'infraponderadas' u 'obesas'.

La ecuación de Hudson , también conocida como la fórmula de Hudson , es una ecuación utilizada por los ingenieros costeros para calcular el tamaño mínimo de riprap (bloques de armadura de roca) requerido para proporcionar características de estabilidad satisfactorias para estructuras de escombros como los rompeolas bajo el ataque de condiciones de olas de tormenta .

La ecuación fue desarrollada por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los Estados Unidos , Waterways Experiment Station (WES), luego de extensas investigaciones realizadas por Hudson (1953, 1959, 1961a, 1961b) (consulte el Manual de Protección de Orillas y el Manual de Rocas que se mencionan a continuación).

Ecuación inicial [ editar ]

La ecuación en sí es:

$${\ displaystyle W = {\ frac {\ gamma _ {r} H ^ {3}} {K_ {D} \ Delta ^ {3} \ cot \ theta}}}

dónde:

• W es el peso de diseño de la armadura de riprap (Newton)
• $${\ displaystyle \ gamma _ {r}}es el peso específico de los bloques de armadura (N / m ³ )
• H es la altura de la ola de diseño en la punta de la estructura (m)
• K _D es un coeficiente de estabilidad adimensional, deducido de experimentos de laboratorio para diferentes tipos de bloques de blindaje y para daños muy pequeños (algunos bloques eliminados de la capa de blindaje) (-):

• K _D = alrededor de 3 para la roca de cantera natural
• K _D = alrededor de 10 para bloques de hormigón entrelazados artificiales

• Δ es la densidad de flotabilidad relativa adimensional de la roca, es decir (ρ _r / ρ _w - 1) = alrededor de 1.58 para el granito en agua de mar
• ρ _r y ρ _w son las densidades de roca y agua (mar) (-)
• θ es el ángulo de revestimiento con la horizontal

Ecuación actualizada [ editar ]

Esta ecuación fue reescrita como sigue en los años noventa:

$${\ displaystyle {\ frac {H_ {s}} {\ Delta D_ {n50}}} = {\ frac {(K_ {D} cot \ theta) ^ {1/3}} {1.27}}}

dónde:

• H _s es el diseño de altura de onda significativa en la punta de la estructura (m)
• Δ es la densidad de flotabilidad relativa adimensional de la roca, es decir (ρ _r / ρ _w - 1) = alrededor de 1.58 para el granito en agua de mar
• ρ _r y ρ _w son las densidades de roca y agua (mar) (-)
• D _n50 es el diámetro mediano nominal de los bloques de blindaje = (W ₅₀ / r _r ) ^1/3 (m)
• K _D es un coeficiente de estabilidad adimensional, deducido de experimentos de laboratorio para diferentes tipos de bloques de blindaje y para daños muy pequeños (algunos bloques eliminados de la capa de blindaje) (-):

• K _D = alrededor de 3 para la roca de cantera natural
• K _D = alrededor de 10 para bloques de hormigón entrelazados artificiales

• θ es el ángulo de revestimiento con la horizontal

Los bloques de blindaje pueden considerarse estables si el número de estabilidad N _s = H _s / Δ D _n50 <1 .5="" 2="" a="" aumenta="" con="" da="" font="" n="" nbsp="" o="" para="" pidamente="" que="" r="">_s > 3.

Obviamente, estas ecuaciones se pueden usar para el diseño preliminar, pero la prueba del modelo a escala (2D en el canal de onda y 3D en la cuenca de la onda) es absolutamente necesaria antes de emprender la construcción.

La ecuación hipsométrica , también conocida como ecuación de espesor , relaciona la relación de presión atmosférica con el espesor equivalente de una capa atmosférica bajo los supuestos de temperatura y gravedadconstantes . Se deriva de la ecuación hidrostática y la ley del gas ideal .

Formulación [ editar ]

La ecuación hipsométrica se expresa como: ^[1]

$${\ displaystyle h = z_ {2} -z_ {1} = {\ frac {R \ cdot {\ overline {T}}} {g}} \ cdot \ ln \ left ({\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ derecha),}

dónde:

$${\ displaystyle h} = espesor de la capa [m],

$${\ displaystyle z} = altura geométrica [m],

$${\ displaystyle R}= constante de gas específica para aire seco,

$${\ displaystyle {\ overline {T}}}= temperatura media en kelvins [K],

$${\ displaystyle g}= aceleración gravitacional [m / s ² ],

$${\ displaystyle p}= presión [ Pa ].

En meteorología ,$${\ displaystyle p_ {1}} y $${\ displaystyle p_ {2}}Son superficies isobáricas . En la altimetría con la Atmósfera Estándar Internacional, la ecuación hipsométrica se utiliza para calcular la presión a una altura dada en las capas isotérmicas en la estratosfera superior e inferior .

Derivación [ editar ]

La ecuación hidrostática:

$${\ displaystyle p = \ rho \ cdot g \ cdot z,}

dónde $${\ displaystyle \ rho}es la densidad [kg / m ³ ], se utiliza para generar la ecuación para el equilibrio hidrostático , escrita en forma diferencial :

$${\ displaystyle dp = - \ rho \ cdot g \ cdot dz.}

Esto se combina con la ley del gas ideal :

$${\ displaystyle p = \ rho \ cdot R \ cdot T}

para eliminar $${\ displaystyle \ rho}:

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = {\ frac {-g} {R \ cdot T}} \, \ mathrm {d} z.}

Esto está integrado desde $${\ displaystyle z_ {1}} a $${\ displaystyle z_ {2}}:

$${\ displaystyle \ int _ {p (z_ {1})} ^ {p (z_ {2})} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = \ int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} {\ frac {-g} {R \ cdot T}} \, \ mathrm {d} z.}

R y g son constantes con z , por lo que pueden llevarse fuera de la integral. Si la temperatura varía linealmente con z (como se supone que lo hace en la Atmósfera Estándar Internacional ), también puede llevarse fuera de la integral cuando se reemplaza con$${\ displaystyle {\ overline {T}}}, la temperatura media entre $${\ displaystyle z_ {1}} y $${\ displaystyle z_ {2}}.

$${\ displaystyle \ int _ {p (z_ {1})} ^ {p (z_ {2})} {\ frac {\ mathrm {d} p} {p}} = {\ frac {-g} {R \ cdot {\ overline {T}}}} \ int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} \, \ mathrm {d} z.}

La integración da

$${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p (z_ {2})} {p (z_ {1})}} \ right) = {\ frac {-g} {R \ cdot {\ overline {T }}}} (z_ {2} -z_ {1}),}

simplificando a

$${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ right) = {\ frac {g} {R \ cdot {\ overline {T}}}} (z_ { 2} -z_ {1}).}

Reorganizar

$${\ displaystyle z_ {2} -z_ {1} = {\ frac {R \ cdot {\ overline {T}}} {g}} \ ln \ left ({\ frac {p_ {1}} {p_ {2 }}}\Correcto),}

O bien, eliminando el tronco natural:

$${\ displaystyle {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} = e ^ {{\ frac {g} {R \ cdot {\ overline {T}}}} \ cdot (z_ {2} - z_ {1})}.}