ECUACIONES

relación de Clausius-Mossotti expresa la constante dieléctrica ( permitividad relativa , ε _r ) de un material en términos de la polarizabilidad atómica, α, de los átomos y / o moléculas constituyentes del material, o una mezcla homogénea de los mismos. Lleva el nombre de Ottaviano-Fabrizio Mossotti y Rudolf Clausius . Es equivalente a la ecuación de Lorentz-Lorenz . Puede expresarse como: ^[1] [2]

$${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon _ {\ mathrm {r}} -1} {\ epsilon _ {\ mathrm {r}} +2}} = {\ frac {N \ alpha} {3 \ epsilon _ { 0}}}}

dónde

• $${\ displaystyle \ epsilon _ {r} = \ epsilon / \ epsilon _ {0}}Es la constante dieléctrica del material.
• $${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}Es la permitividad del espacio libre.
• $${\ displaystyle N} es la densidad numérica de las moléculas (número por metro cúbico), y
• $${\ displaystyle \ alpha}Es la polarizabilidad molecular en unidades SI (C · m ² / V).

En el caso de que el material consista en una mezcla de dos o más especies, el lado derecho de la ecuación anterior consistirá en la suma de la contribución de polarizabilidad molecular de cada especie, indexada por i en la siguiente forma: (ver Lorrain y Corson - Campo electromagnético y ondas, 1962, 2ª edición, página 116)

$${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon _ {\ mathrm {r}} -1} {\ epsilon _ {\ mathrm {r}} +2}} = \ sum _ {i} {\ frac {N_ {i} \ alpha _ {i}} {3 \ epsilon _ {0}}}}

En el sistema de unidades CGS, la relación de Clausius-Mossotti se reescribe normalmente para mostrar el volumen de polarizabilidad molecular $${\ displaystyle \ alpha '= \ alpha / (4 \ pi \ varepsilon _ {0})}que tiene unidades de volumen (m ³ ). ^{[2] La} confusión puede surgir de la práctica de usar el nombre más corto "polarizabilidad molecular" para ambos$${\ displaystyle \ alpha} y $${\ displaystyle \ alpha '} Dentro de la literatura destinada al sistema de la unidad respectiva.

Ecuación de Lorentz-Lorenz [ editar ]

La ecuación de Lorentz-Lorenz es similar a la relación de Clausius-Mossotti, excepto que relaciona el índice de refracción (en lugar de la constante dieléctrica ) de una sustancia con su polarizabilidad . La ecuación de Lorentz-Lorenz lleva el nombre del matemático y científico danés Ludvig Lorenz , quien la publicó en 1869, y del físico holandés Hendrik Lorentz , que la descubrió de forma independiente en 1878.

La forma más general de la ecuación de Lorentz-Lorenz es

$${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} -1} {n ^ {2} +2}} = {\ frac {4 \ pi} {3}} N \ alpha _ {\ mathrm {m}}}

dónde $${\ displaystyle n}es el índice de refracción ,$${\ displaystyle N} es el número de moléculas por unidad de volumen, y $${\ displaystyle \ alpha _ {\ mathrm {m}}}Es la polarizabilidad media . Esta ecuación es aproximadamente válida para sólidos homogéneos, así como para líquidos y gases.

Cuando el cuadrado del índice de refracción es $${\ displaystyle n ^ {2} \ approx 1}, como lo es para muchos gases, la ecuación se reduce a:

$${\ displaystyle n ^ {2} -1 \ approx 4 \ pi N \ alpha _ {\ mathrm {m}}}

o simplemente

$${\ displaystyle n-1 \ approx 2 \ pi N \ alpha _ {\ mathrm {m}}}

Esto se aplica a los gases a presiones ordinarias. El índice de refracción.$${\ displaystyle n}del gas se puede expresar en términos de refractividad molar $${\ displaystyle A} como:

$${\ displaystyle n \ approx {\ sqrt {1 + {\ frac {3Ap} {RT}}}}}

dónde $${\ displaystyle p} es la presion del gas, $${\ displaystyle R}es la constante de gas universal , y$${\ displaystyle T} es la temperatura (absoluta), que en conjunto determinan la densidad numérica $${\ displaystyle N}.

el método para borrar denominadores , también llamado borrar fracciones , es una técnica para simplificar una ecuación que iguala dos expresiones, cada una de las cuales es una suma de expresiones racionales , que incluye fracciones simples .

Ejemplo [ editar ]

Considera la ecuación

$${\ displaystyle {\ frac {x} {6}} + {\ frac {y} {15z}} = 1.}

El mínimo común múltiplo de los dos denominadores 6 y 15 z es 30 z , por lo que uno multiplica ambos lados por 30 z :

$${\ displaystyle 5xz + 2y = 30z. \,}

El resultado es una ecuación sin fracciones.

La ecuación simplificada no es completamente equivalente a la original. Para cuando sustituimos y = 0 y z = 0 en la última ecuación, ambos lados se simplifican a 0, por lo que obtenemos 0 = 0 , una verdad matemática. Pero la misma sustitución aplicada a los resultados de la ecuación original en x / 6 + 0/0 = 1 , que matemáticamente notiene significado .

Descripción [ editar ]

Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que el lado derecho de la ecuación es 0, ya que una ecuación E ₁ = E ₂ puede reescribirse de manera equivalente en la forma E ₁ - E ₂ = 0 .

Así que deja que la ecuación tenga la forma

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = 0.}

El primer paso es determinar un denominador común D de estas fracciones, preferiblemente el denominador menos común , que es el mínimo común múltiplo de la Q _i .

Esto significa que cada Q _i es un factor de D , entonces D = R _i Q _i para una expresión R _i que no es una fracción. Entonces

$${\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {R_ {i} Q_ {i}}} = {\ frac {R_ {i} P_ {i}} {D}} \ ,,}

siempre que R _i Q _i no asuma el valor 0, en cuyo caso también D es 0.

Así que ahora tenemos

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {R_ { i} P_ {i}} {D}} = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0.}

Siempre que D no asuma el valor 0, la última ecuación es equivalente a

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0 \ ,,}

en la que los denominadores han desaparecido.

Como lo demuestran las condiciones, se debe tener cuidado de no introducir ceros de D , vistos como una función de las incógnitas de la ecuación, como soluciones espurias .

Ejemplo 2 [ editar ]

Considera la ecuación

$${\ displaystyle {\ frac {1} {x (x + 1)}} + {\ frac {1} {x (x + 2)}} - {\ frac {1} {(x + 1) (x + 2)}} = 0.}

El mínimo común denominador es x ( x + 1) ( x + 2) .

Siguiendo el método descrito anteriormente resulta en

$${\ displaystyle (x + 2) + (x + 1) -x = 0.}

Simplificar esto aún más nos da la solución x = −3 .

Se comprueba fácilmente que ninguno de los ceros de x ( x + 1) ( x + 2) , es decir, x = 0 , x = −1 y x = −2 , es una solución de la ecuación final, por lo que no hay soluciones espurias. fueron introducidos.

ecuación comparativa es una ecuación que describe una relación paramétrica entre una función y una versión dilatada de la misma función, donde la ecuación no incluye el parámetro . Por ejemplo, ƒ (2 t ) = 4 ƒ ( t ) es una ecuación comparativa, cuando definimos g ( t ) = ƒ (2 t ), de modo que tenemos g = 4 ƒ ya no contiene el parámetro, t . La ecuación de comparación g = 4ƒ tiene una familia de soluciones, una de las cuales es ƒ = t ² . ^[1]

Para ver que ƒ = t ² es una solución, simplemente sustituimos en: g = ƒ (2 t ) = (2 t ) ² = 4 t ² = 4 ƒ , de modo que g = 4 ƒ .

Las ecuaciones comparativas surgen naturalmente en el procesamiento de señales cuando tenemos múltiples mediciones del mismo fenómeno, en el que cada una de las mediciones se adquirió con una sensibilidad diferente. Por ejemplo, dos o más imágenes expuestas de manera diferente del mismo tema dan lugar a una relación comparativa, cuya solución es la función de respuesta de la cámara, el sensor de imagen o el sistema de imágenes.

Las ecuaciones comparativas se han usado en muchas áreas de investigación y tienen muchas aplicaciones prácticas para el mundo real. Se usan en radares , arreglos de micrófonos , y se han usado para procesar videos de escenas de crímenes en juicios de homicidios en los que la única evidencia contra el acusado fueron las grabaciones de video del asesinato.

Solución [ editar ]

Una solución existente es la función de respuesta a la cámara comparativa (CCRF, por sus siglas en inglés) para el análisis comparativo en tiempo real. Tiene aplicaciones en el análisis de múltiples imágenes.

competitivas ecuaciones de Lotka-Volterra son un modelo simple de la dinámica poblacional de las especies que compiten por algún recurso común. Se pueden generalizar aún más para incluir interacciones tróficas .

Descripción general [ editar ]

La forma es similar a las ecuaciones de Lotka-Volterra para la depredación en que la ecuación para cada especie tiene un término para la auto-interacción y un término para la interacción con otras especies. En las ecuaciones de depredación, el modelo de población base es exponencial . Para las ecuaciones de competición, la ecuación logística es la base.

El modelo logístico de población, cuando lo utilizan los ecólogos, adopta a menudo la siguiente forma:

$${\ displaystyle {dx \ over dt} = rx \ left (1- {x \ over K} \ right).}

Aquí x es el tamaño de la población en un momento dado, r es la tasa de crecimiento per cápita inherente y K es la capacidad de carga .

Dos especies [ editar ]

Dadas dos poblaciones, x ₁ y x ₂ , con dinámica logística, la formulación de Lotka-Volterra agrega un término adicional para dar cuenta de las interacciones de la especie. Así, las competitivas ecuaciones de Lotka-Volterra son:

$${\ displaystyle {dx_ {1} \ over dt} = r_ {1} x_ {1} \ left (1- \ left ({x_ {1} + \ alpha _ {12} x_ {2} \ over K_ {1 }}\bien bien)}

$${\ displaystyle {dx_ {2} \ over dt} = r_ {2} x_ {2} \ left (1- \ left ({x_ {2} + \ alpha _ {21} x_ {1} \ over K_ {2 }}\bien bien).}

Aquí, α ₁₂ representa el efecto que la especie 2 tiene sobre la población de la especie 1 y α ₂₁ representa el efecto que la especie 1 tiene sobre la población de la especie 2. Estos valores no tienen que ser iguales. Debido a que esta es la versión competitiva del modelo, todas las interacciones deben ser perjudiciales (competencia) y, por lo tanto, todos los valores α son positivos. Además, tenga en cuenta que cada especie puede tener su propia tasa de crecimiento y capacidad de carga. Está disponible una clasificación completa de esta dinámica, incluso para todos los patrones de signos de los coeficientes anteriores, ^[1] que se basa en la equivalencia de la ecuación del replicador de 3 tipos .

N especies [ editar ]

Este modelo puede generalizarse a cualquier número de especies que compitan entre sí. Uno puede pensar en las poblaciones y las tasas de crecimiento como vectores y las interacciones α como una matriz . Entonces la ecuación para cualquier especie i se convierte

$${\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt}} = r_ {i} x_ {i} \ left (1 - {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {N} \ alpha _ { ij} x_ {j}} {K_ {i}}} \ right)}

o, si la capacidad de carga se inserta en la matriz de interacción (esto no cambia realmente las ecuaciones, solo cómo se define la matriz de interacción),

$${\ displaystyle {\ frac {dx_ {i}} {dt}} = r_ {i} x_ {i} \ left (1- \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ alpha _ {ij} x_ { j} \ derecha)}

donde N es el número total de especies que interactúan. Para simplificar, todos los términos auto interactuantes α _{ii a} menudo se establecen en 1.

Posibles dinámicas [ editar ]

La definición de un sistema Lotka-Volterra competitivo asume que todos los valores en la matriz de interacción son positivos o 0 ( α _ij ≥ 0 para todos i, j ). Si también se asume que la población de cualquier especie aumentará en ausencia de competencia a menos que la población ya tenga capacidad de carga ( r _i > 0 para todo i ), entonces se pueden hacer algunas afirmaciones definitivas sobre el comportamiento del sistema. .

1. Las poblaciones de todas las especies estarán limitadas entre 0 y 1 en todo momento (0 ≤ x _i ≤ 1, para todo i ) siempre que las poblaciones comiencen de manera positiva.
2. Smale ^[2] demostró que los sistemas Lotka-Volterra que cumplen con las condiciones anteriores y tienen cinco o más especies ( N ≥ 5) pueden mostrar cualquier comportamiento asintótico , incluido un punto fijo , un ciclo límite , un n- oro o atractores .
3. Hirsch ^{[3] [4] [5]} demostró que todas las dinámicas del atractor ocurren en una variedad de dimensiones N-1. Esto esencialmente dice que el atractor no puede tener una dimensión mayor que N -1. Esto es importante porque un ciclo límite no puede existir en menos de dos dimensiones, un n- toro no puede existir en menos de n dimensiones y el caos no puede ocurrir en menos de tres dimensiones. Por lo tanto, Hirsch demostró que los sistemas Lotka-Volterra competitivos no pueden exhibir un ciclo límite para N <3 cualquier="" font="" nbsp="" o="">toro o caos para N<4 .="" a="" acuerdo="" con="" cualquier="" de="" din="" en="" est="" esto="" font="" mica="" n="" nbsp="" ocurrir="" para="" puede="" que="" smale="">N ≥ 5.
   • Más específicamente, Hirsch demostró que hay un conjunto invariante C que es homeomorfo al simplex ( N -1) -dimensional.
     $${\ displaystyle \ Delta _ {N-1} = \ left \ {x_ {i}: x_ {i} \ geq 0, \ sum x_ {i} = 1 \ right \}}
     y es un atractor global de todo punto excluyendo el origen. Este simplex portador contiene toda la dinámica asintótica del sistema.
4. Para crear un ecosistema estable, la matriz α _ij debe tener todos los valores propios positivos. Para grandes sistemas N, los modelos Lotka-Volterra son inestables o tienen poca conectividad. Kondoh ^[6] y Ackland y Gallagher ^[7] han demostrado de forma independiente que los sistemas Lotka-Volterra grandes y estables surgen si los elementos de α _ij (es decir, las características de la especie) pueden evolucionar de acuerdo con la selección natural.

Ejemplo de 4 dimensiones [ editar ]

El competitivo sistema Lotka-Volterra graficado en el espacio de fase con el valor x ₄ representado por el color.

Un ejemplo simple en 4 dimensiones de un sistema competitivo de Lotka-Volterra se ha caracterizado por Vano et al. ^[8] Aquí las tasas de crecimiento y la matriz de interacción se han establecido en

{\ displaystyle r = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0.72 \\ 1.53 \\ 1.27 \ end {bmatrix}} \ quad \ alpha = {\ begin {bmatrix} 1 & 1.09 & 1.52 & 0 \\ 0 & 1 & 0.44 & 1.36 \\ 2.33 & 0 & 1 & 0.47 \\ 1.21 & 0.51 & 0.35 & 1 \ end {bmatrix}}}

con $${\ displaystyle K_ {i} = 1} para todos $${\ displaystyle i}. Este sistema es caótico y tiene un mayor exponente de Lyapunov de 0.0203. De los teoremas de Hirsch, es uno de los sistemas Lotka-Volterra competitivos caóticos de dimensión más baja. La dimensión Kaplan-Yorke, una medida de la dimensionalidad del atractor, es 2.074. Este valor no es un número entero, indicativo de la estructura fractal inherente en un atractor extraño . El punto de equilibrio coexistente , el punto en el que todas las derivadas son iguales a cero pero que no es el origen , se puede encontrar invirtiendola matriz de interacción y multiplicándola por el vector de la columna de unidades , y es igual a

$${\ displaystyle {\ overline {x}} = \ left (\ alpha \ right) ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0.3013 \\ 0.4586 \\ 0.1307 \\ 0.3557 \ end {bmatrix}}.

Tenga en cuenta que siempre hay 2 puntos de equilibrio ^N , pero todos los demás tienen al menos una población de una especie igual a cero.

Los valores propios del sistema en este punto son 0.0414 ± 0.1903 i , -0.3342 y -1.0319. Este punto es inestable debido al valor positivo de la parte real del par de valores propios complejos . Si la parte real fuera negativa, este punto sería estable y la órbita se atraería asintóticamente. La transición entre estos dos estados, donde la parte real del par de valores propios complejos es igual a cero, se denomina bifurcación de Hopf .

Roques y Chekroun realizaron un estudio detallado de la dependencia de los parámetros de la dinámica. ^[9] Los autores observaron que los parámetros de interacción y crecimiento que conducen respectivamente a la extinción de tres especies, o la coexistencia de dos, tres o cuatro especies, son para el La mayor parte está dispuesta en grandes regiones con límites claros. Como lo predice la teoría, también se encontró el caos; Sin embargo, tiene lugar en islas mucho más pequeñas del espacio de parámetros, lo que dificulta la identificación de su ubicación mediante un algoritmo de búsqueda aleatorio. ^[8] Estas regiones donde ocurre el caos son, en los tres casos analizados en, ^[9]situado en la interfaz entre una región no caótica de cuatro especies y una región donde se produce la extinción. Esto implica una alta sensibilidad de la biodiversidad con respecto a las variaciones de los parámetros en las regiones caóticas. Además, en las regiones donde se produce la extinción que son adyacentes a las regiones caóticas, el cómputo de los exponentes locales de Lyapunov ^[10] reveló que una posible causa de extinción son las fluctuaciones excesivamente fuertes en las abundancias de especies inducidas por el caos local.

Arreglos espaciales [ editar ]

Una ilustración de la estructura espacial en la naturaleza. La fuerza de la interacción entre las colonias de abejas es una función de su proximidad. Colonias A y B interactúan, al igual que las colonias By C . A y C no interactúan directamente, pero se afectan entre sí a través de colonia B .

Fondo [ editar ]

Hay muchas situaciones en las que la fuerza de las interacciones de las especies depende de la distancia física de separación. Imagina colonias de abejas en un campo. Competirán fuertemente por los alimentos con las colonias ubicadas cerca de ellos, débilmente con otras colonias, y en absoluto con las colonias que están lejos. Esto no significa, sin embargo, que esas colonias lejanas puedan ser ignoradas. Hay un efecto transitivo que impregna el sistema. Si la colonia A interactúa con la colonia B y B con C , entonces C afecta de A a B. Por lo tanto, si las ecuaciones competitivas de Lotka-Volterra se van a utilizar para modelar un sistema de este tipo, deben incorporar esta estructura espacial.

Organización matriz [ editar ]

Una forma posible de incorporar esta estructura espacial es modificar la naturaleza de las ecuaciones de Lotka-Volterra a algo así como un sistema de reacción-difusión . Sin embargo, es mucho más fácil mantener el formato de las ecuaciones y, en su lugar, modificar la matriz de interacción. Para simplificar, considere un ejemplo de cinco especies en donde todas las especies están alineadas en un círculo, y cada una interactúa solo con los dos vecinos en cada lado con fuerza α ₋₁ y α ₁ respectivamente. Por lo tanto, la especie 3 interactúa solo con las especies 2 y 4, la especie 1 interactúa solo con las especies 2 y 5, etc. La matriz de interacción ahora será

{\ displaystyle \ alpha _ {ij} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & 0 & 0 & \ alpha _ {- 1} \\\ alpha _ {- 1} & 1 & \ alpha _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & \ alpha _ {- 1} & 1 & \ alpha _ {1} & 0 \\ 0 & 0 & \ alpha _ {- 1} & 1 & \ alpha _ {1} \\\ alpha _ {1} & 0 & 0 & \ alpha _ {- 1} & 1 \ end {bmatrix}}.}

Si cada especie es idéntica en sus interacciones con las especies vecinas, entonces cada fila de la matriz es solo una permutación de la primera fila. Un ejemplo simple, pero no realista, de este tipo de sistema ha sido caracterizado por Sprott et al. ^[11] El punto de equilibrio coexistente para estos sistemas tiene una forma muy simple dada por la inversa de la suma de la fila.

$${\ displaystyle {\ overline {x}} _ {i} = {\ frac {1} {\ sum _ {j = 1} ^ {N} \ alpha _ {ij}}} = {\ frac {1} { \ alpha _ {- 1} +1+ \ alpha _ {1}}}.}

Funciones de Lyapunov [ editar ]

Una función de Lyapunov es una función del sistema f = f ( x ) cuya existencia en un sistema demuestra estabilidad . A menudo es útil imaginar una función de Lyapunov como la energía del sistema. Si la derivada de la función es igual a cero para una órbita que no incluye el punto de equilibrio , entonces esa órbita es un atractorestable , pero debe ser un ciclo límite o n -torus, pero no un atractor extraño (esto se debe a que El mayor exponente de Lyapunov de un ciclo límite yn-torus son cero mientras que el de un atractor extraño es positivo). Si la derivada es menor que cero en todas partes excepto el punto de equilibrio, entonces el punto de equilibrio es un atractor de punto fijo estable. Cuando se busca en un sistema dinámico para atractores de puntos no fijos, la existencia de una función Lyapunov puede ayudar a eliminar regiones del espacio de parámetros donde estas dinámicas son imposibles.

El sistema espacial introducido anteriormente tiene una función Lyapunov que ha sido explorada por Wildenberg et al. ^[12] Si todas las especies son idénticas en sus interacciones espaciales, entonces la matriz de interacción circula . Los valores propios de una matriz circulante están dados por ^[13]

$${\ displaystyle \ lambda _ {k} = \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} c_ {j} \ gamma ^ {kj}}

para k = 0 _{N  - 1} y donde$${\ displaystyle \ gamma = e ^ {i2 \ pi / N}}La raíz N th de la unidad . Aquí, c _j es el valor j th en la primera fila de la matriz de circulación.

La función Lyapunov existe si la parte real de los valores propios es positiva (Re ( λ _k > 0 para k = 0, ...,  N / 2). Considere el sistema donde α ₋₂ = a , α ₋₁ = b , α ₁ = c , y α ₂ = d . La función Lyapunov existe si

$${\ displaystyle \ operatorname {Re} (\ lambda _ {k}) = \ operatorname {Re} \ left (1+ \ alpha _ {- 2} e ^ {i2 \ pi k (N-2) / N} + \ alpha _ {- 1} e ^ {i2 \ pi k (N-1) / N} + \ alpha _ {1} e ^ {i2 \ pi k / N} + \ alpha _ {2} e ^ {i4 \ pi k / N} \ derecha)} {\ displaystyle = 1 + (\ alpha _ {- 2} + \ alpha _ {2}) \ cos \ left ({\ frac {i4 \ pi k} {N}} \ right) + (\ alpha _ {- 1} + \ alpha _ {1}) \ cos \ left ({\ frac {i2 \ pi k} {N}} \ right)> 0}

para k = 0, ..., N  - 1. Ahora, en lugar de tener que integrar el sistema en miles de pasos de tiempo para ver si existe alguna otra dinámica que no sea un atractor de punto fijo, solo hay que determinar si existe la función Lyapunov (nota: la ausencia de la función Lyapunov no garantiza un ciclo límite, un toro o un caos).

Ejemplo: Sea α ₋₂ = 0.451, α ₋₁ = 0.5, y α ₂ = 0.237. Si α ₁ = 0.5, todos los valores propios son negativos y el único atractor es un punto fijo. Si α ₁ = 0.852, entonces la parte real de uno de los pares de valores propios complejos se vuelve positiva y hay un atractor extraño. La desaparición de esta función de Lyapunov coincide con una bifurcación de Hopf .

Sistemas de línea y valores propios [ editar ]

Los valores propios de un círculo, una línea corta y una línea larga trazados en el plano complejo

También es posible organizar la especie en una línea. ^[12] La matriz de interacción para este sistema es muy similar a la de un círculo, excepto que los términos de interacción en la parte inferior izquierda y superior derecha de la matriz se eliminan (aquellos que describen las interacciones entre las especies 1 y N , etc.).

{\ displaystyle \ alpha _ {ij} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ alpha _ {1} & 0 & 0 & 0 \\\ alpha _ {- 1} & 1 & \ alpha _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & \ alpha _ {- 1 } & 1 & \ alpha _ {1} & 0 \\ 0 & 0 & \ alpha _ {- 1} & 1 & \ alpha _ {1} \\ 0 & 0 & 0 & \ alpha _ {- 1} & 1 \ end {bmatrix}}}

Este cambio elimina la función Lyapunov descrita anteriormente para el sistema en un círculo, pero lo más probable es que haya otras funciones Lyapunov que no se hayan descubierto.

Los valores propios del sistema circular trazados en el plano complejo forman una forma de trébol . Los valores propios de una línea corta forman una Y lateral, pero los de una línea larga comienzan a parecerse a la forma de trébol del círculo. Esto podría deberse al hecho de que una línea larga es indistinguible de un círculo a aquellas especies alejadas de los fines.